第4节 二次函数与一元二次方程、不等式（二）同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第4节 二次函数与一元二次方程、不等式（二）（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【知识点】① 含参一元二次不等式的分类讨论；② 二次函数在闭区间上的最值；③ 一元二次方程根的分布（区间根问题）；④ 不等式恒成立与存在性问题；⑤ 换元法解二次型不等式。 一、单项选择题 1. 关于 x 的不等式 (x − 1)(x − a) < 0 的解集中恰有 3 个整数，则实数 a 的取值范围是（ ） A. (4, 5] B. [4, 5) C. (5, 6] D. [5, 6) 【答案】 A 【解析】 当 a > 1 时，不等式解集为 (1, a)。要使其中恰有 3 个整数 2、3、4，需 4 < a ≤ 5（若 a = 5，整数仍为 2,3,4；若 a > 5，则整数 5 也进入解集，变为 4 个）。故 a ∈ (4, 5]。 2. 若不等式 + ax + 1 ≥ 0 对一切 x ∈ (0, ] 恒成立，则 a 的最小值为（ ） A. 0 B. −2 C. − D. −3 【答案】 C 【解析】 分离参数：ax ≥ − − 1。因 x > 0，两边同除以 x 得 a ≥ −(x + )。 要使 a ≥ −(x + ) 对一切 x ∈ (0, ] 恒成立，只需 a 不小于 −(x + ) 在 x ∈ (0, ] 上能取到的所有值，即 a ≥ 该式的最大值。 设 0 < < ≤ ，作差比较 x + ：( + ) − ( + ) = ( − )(1 − )。因 < = < 1，故 1 − > 0，又 − < 0，得差为负，即 x 越大 x + 越小。 故 x = 时 x + 取最小值 + 2 = ，此时 −(x + ) 取最大值 −。故 a ≥ −，a 的最小值为 −。 3. 已知关于 x 的方程 + (m − 2)x + 5 − m = 0 的两根都大于 2，则实数 m 的取值范围是（ ） A. [−4, +∞) B. (−∞, −4] C. (−5, +∞) D. (−5, −4] 【答案】 D 【解析】 设 f(x) = + (m−2)x + 5−m。两根都大于 2 的条件： ① Δ = − 4(5−m) ≥ 0，即 − 16 ≥ 0，m ≤ −4 或 m ≥ 4； ② 对称轴 x = > 2，解得 m < −2； ③ f(2) = 4 + 2(m−2) + 5−m = m + 5 > 0，解得 m > −5。 综合：−5 < m ≤ −4。 4. 不等式 | − 5x| ≤ 0 的解集为（ ） A. [0, 5] B. C. R D. ∅ 【答案】 B 【解析】 绝对值 ≤ 0 当且仅当里面表达式为 0，即 − 5x = 0，x(x − 5) = 0，解得 x = 0 或 x = 5。 5. 已知集合 A 是关于 x 的不等式 − 4x + 3 < 0 的解集，集合 B 是关于 x 的不等式 − (a + 1)x + a < 0 的解集。若 A 是 B 的子集，则 a 的取值范围是（ ） A. a ≥ 3 B. a ≤ 1 C. 1 < a < 3 D. a ≤ 3 【答案】 A 【解析】 先求 A： − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) < 0，得 A = (1, 3)。 再求 B： − (a + 1)x + a = (x − 1)(x − a) < 0。 当 a > 1 时，B = (1, a)； 当 a = 1 时， < 0 无解，B 为空集； 当 a < 1 时，B = (a, 1)。 要使 A = (1, 3) 是 B 的子集，只能取 a > 1 的情形，此时 (1, 3) 包含于 (1, a)，需 a ≥ 3。 （a = 1 与 a < 1 时 B 的元素都在 1 的左侧，与 A 没有包含关系。） 故选 A。 6. 不等式 ≥ 0 的解集为（ ） A. (−2, 1) ∪ (1, +∞) B. [−2, 1) ∪ (1, +∞) C. (−∞, −2] ∪ (1, +∞) D. (−2, +∞) 【答案】 B 【解析】 分式有意义要求分母 x − 1 ≠ 0，即 x ≠ 1。 分子 + x − 2 = (x + 2)(x − 1)，与分母有公因式 (x − 1)。 约去公因式 (x − 1)：分子分母同除以同一个非零式子，所得分式与原分式的值完全相同，不等号方向不变（这与「不等式两边同除以一个负数」时变向是两回事），所以原不等式等价于 x + 2 ≥ 0。 由 x + 2 ≥ 0 解得 x ≥ −2，其中 x = −2 使分子为 0，符合「≥」，应当保留。 再结合 x ≠ 1，解集为 [−2, 1) ∪ (1, +∞)。 故选 B。 7. 关于 x 的不等式 − < 0 的解集为（ ） A. (−2, 1) B. (−∞, −2] ∪ [1, +∞) C. (−∞, −2) ∪ (1, +∞) D. (−1, 2) 【答案】 C 【解析】 原式 = = 。 要使分式有意义，分母不能为 0，即 (x + 2)(x − 1) ≠ 0，所以 x ≠ −2 且 x ≠ 1。 分式的分母可化为 (x + 2)(x − 1)，其符号在 x < −2 时为正，在 −2 < x < 1 时为负，在 x > 1 时为正。 分子 −3 恒为负，所以要让分式小于 0，必须使分母为正， 即 x < −2 或 x > 1。 故解集为 (−∞, −2) ∪ (1, +∞)。 （x = −2 与 x = 1 使分母为 0，分式无意义，必须排除，故用开区间。） 故选 C。 8. 若不等式 − ax + a > 0 对所有实数 x 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A. 0 < a < 4 B. a = 0 或 a = 4 C. a < 0 或 a > 4 D. 0 ≤ a ≤ 4 【答案】 A 【解析】 开口向上，要 − ax + a > 0 恒成立，需 Δ = − 4a < 0，即 a(a − 4) < 0，解得 0 < a < 4。 二、多项选择题 9. 关于 x 的不等式 − (a + 2)x + 2a < 0 的解集中恰有两个整数，则实数 a 的取值可以是（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】 AB 【解析】 因式分解：(x − 2)(x − a) < 0。 当 a > 2 时解集为 (2, a)，其中整数为 3, 4, …, ⌊a⌋。要恰有两个整数 3、4，需 4 < a ≤ 5。 选项中 4.5、5 满足，5.5、6 时整数为 3,4,5（三个），不满足。 10. 关于 x 的不等式 − (a + 1)x + a < 0，下列结论正确的是（ ） A. 当 a = 时，不等式有解 B. 当 a = 1 时，不等式无解 C. 当 a = 2 时，不等式的解集为 (1, 2) D. 当 a 为任意实数时，不等式恒成立 【答案】 ABC 【解析】 先求判别式： Δ = − 4a = + 2a + 1 − 4a = − 2a + 1 = 。 由于二次项系数为 1 > 0，抛物线开口向上，故：Δ > 0 时解集是两根之间的开区间（有解）；Δ = 0 时解集为空集；Δ < 0 时不等式恒成立。 A a = 时 Δ = = > 0，方程有两个不相等实根，不等式有解，A 对； B a = 1 时 Δ = 0，方程有重根 x = 1，此时不等式为 < 0，无解，B 对； C a = 2 时不等式为 − 3x + 2 < 0，即 (x − 1)(x − 2) < 0，解集为 (1, 2)，C 对； D 不等式恒成立需 Δ < 0，而 Δ = ≥ 0 恒成立，不可能小于 0，D 错。 故选 ABC。 11. 若关于 x 的不等式 + bx + c > 0 的解集为 (1, 2)，则下列结论正确的是（ ） A. a < 0 B. a + b + c = 0 C. a + c = 0 D. 不等式 + bx + a > 0 的解集为 (, 1) 【答案】 ABD 【解析】 A 由解集形式（中间的区间）知抛物线开口向下，a < 0； B x = 1 是方程 + bx + c = 0 的根，代入得 a + b + c = 0； C 由韦达定理：1 + 2 = −，1 × 2 = ， 故 b = −3a，c = 2a，于是 a + c = 3a。因 a < 0 且 a ≠ 0，故 3a ≠ 0，C 错； D + bx + a = 2a· − 3a·x + a = a( − 3x + 1) = a(2x−1)(x−1)。 因 a < 0，不等式 a(2x−1)(x−1) > 0 化为 (2x−1)(x−1) < 0，解集为 (, 1)，D 对。 综上正确为 ABD。 三、填空题 12. 若不等式 − 2x + a ≥ 0 对任意 x ∈ R 恒成立，则实数 a 的取值范围是________。 【答案】 [1, +∞) 【解析】 Δ = 4 − 4a ≤ 0，解得 a ≥ 1。 13. 若关于 x 的不等式 + 2mx + m < 0 的解集为空集，则实数 m 的取值范围是________。 【答案】 [0, 1] 【解析】 解集为空集，说明 + 2mx + m < 0 恒不成立。 二次项系数为 1 > 0，开口向上，要使该二次函数的值始终不小于 0，需 Δ ≤ 0。 判别式 Δ = − 4m = − 4m = 4m(m − 1)。 由 Δ ≤ 0 得 m(m − 1) ≤ 0，即 0 ≤ m ≤ 1。 14. 已知关于 x 的不等式 (x − a)(x − b) < 0 的解集为 (1, 3)，则 a + b 的值为________。 【答案】 4 【解析】 因式分解 − (a + b)x + ab = (x − a)(x − b)，故原不等式 (x − a)(x − b) < 0 中，二次项系数为 1 > 0，解集是两根 a 与 b 之间的开区间，即 (min, max)。 已知解集为 (1, 3)，所以 a 与 b 恰好是 1 与 3（哪个大哪个小不影响结果）。 故 a + b = 1 + 3 = 4。 四、解答题 15. 已知关于 x 的不等式 − (2a + 1)x + + a ≤ 0。 （1）当 a = 1 时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为 [α, β]，求 β − α 的值； （3）若不等式对任意 x ∈ [1, 2] 恒成立，求 a 的取值范围。 【答案】 解：（1）[1, 2]；（2）1；（3）a = 1 【解析】 （1）当 a = 1 时，不等式为 − 3x + 2 ≤ 0，即 (x − 1)(x − 2) ≤ 0，解集为 [1, 2]。 （2）因式分解： − (2a+1)x + a(a+1) = (x − a)(x − (a+1)) ≤ 0。解集为 [a, a+1]，故 β − α = (a+1) − a = 1。 （3）要使 (x − a)(x − a − 1) ≤ 0 对 x ∈ [1, 2] 恒成立，即 [1, 2] 包含于 [a, a+1]。需 a ≤ 1 且 a + 1 ≥ 2，即 a ≤ 1 且 a ≥ 1，故 a = 1。 16. 某文具店购进一批单价为 20 元的毕业纪念册。按单价 30 元出售时，月销售量为 400 本。根据销售经验：单价每上涨 1 元，月销售量减少 20 本。 （1）求月销售利润 y（元）关于单价 x（元）的函数关系式； （2）单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ （3）若月利润不低于 4000 元，求单价 x 的取值范围。 【答案】 解：（1）y = − + 1400x − 20000；（2）35 元，4500 元；（3）[30, 40] 【解析】 （1）每本利润为 x − 20 元，月销量为 400 − 20(x − 30) = 1000 − 20x 本。 y = (x − 20)(1000 − 20x) = − + 1400x − 20000。 （2）配方：y = −20( − 70x) − 20000 = −20 + 20 × 1225 − 20000 = −20 + 4500。 当 x = 35 时， = 4500 元。 （3）要求 y ≥ 4000：−20 + 4500 ≥ 4000，即 ≤ 25，|x − 35| ≤ 5，解得 30 ≤ x ≤ 40。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第4节 二次函数与一元二次方程、不等式（二） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【知识点】① 含参一元二次不等式的分类讨论；② 二次函数在闭区间上的最值；③ 一元二次方程根的分布（区间根问题）；④ 不等式恒成立与存在性问题；⑤ 换元法解二次型不等式。 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 关于 x 的不等式 (x − 1)(x − a) < 0 的解集中恰有 3 个整数，则实数 a 的取值范围是（ ） A. (4, 5] B. [4, 5) C. (5, 6] D. [5, 6) 2. 若不等式 + ax + 1 ≥ 0 对一切 x ∈ (0, ] 恒成立，则 a 的最小值为（ ） A. 0 B. −2 C. − D. −3 3. 已知关于 x 的方程 + (m − 2)x + 5 − m = 0 的两根都大于 2，则实数 m 的取值范围是（ ） A. [−4, +∞) B. (−∞, −4] C. (−5, +∞) D. (−5, −4] 4. 不等式 | − 5x| ≤ 0 的解集为（ ） A. [0, 5] B. C. R D. ∅ 5. 已知集合 A 是关于 x 的不等式 − 4x + 3 < 0 的解集，集合 B 是关于 x 的不等式 − (a + 1)x + a < 0 的解集。若 A 是 B 的子集，则 a 的取值范围是（ ） A. a ≥ 3 B. a ≤ 1 C. 1 < a < 3 D. a ≤ 3 6. 不等式 ≥ 0 的解集为（ ） A. (−2, 1) ∪ (1, +∞) B. [−2, 1) ∪ (1, +∞) C. (−∞, −2] ∪ (1, +∞) D. (−2, +∞) 7. 关于 x 的不等式 − < 0 的解集为（ ） A. (−2, 1) B. (−∞, −2] ∪ [1, +∞) C. (−∞, −2) ∪ (1, +∞) D. (−1, 2) 8. 若不等式 − ax + a > 0 对所有实数 x 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A. 0 < a < 4 B. a = 0 或 a = 4 C. a < 0 或 a > 4 D. 0 ≤ a ≤ 4 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 关于 x 的不等式 − (a + 2)x + 2a < 0 的解集中恰有两个整数，则实数 a 的取值可以是（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 10. 关于 x 的不等式 − (a + 1)x + a < 0，下列结论正确的是（ ） A. 当 a = 时，不等式有解 B. 当 a = 1 时，不等式无解 C. 当 a = 2 时，不等式的解集为 (1, 2) D. 当 a 为任意实数时，不等式恒成立 11. 若关于 x 的不等式 + bx + c > 0 的解集为 (1, 2)，则下列结论正确的是（ ） A. a < 0 B. a + b + c = 0 C. a + c = 0 D. 不等式 + bx + a > 0 的解集为 (, 1) 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 若不等式 − 2x + a ≥ 0 对任意 x ∈ R 恒成立，则实数 a 的取值范围是________。 13. 若关于 x 的不等式 + 2mx + m < 0 的解集为空集，则实数 m 的取值范围是________。 14. 已知关于 x 的不等式 (x − a)(x − b) < 0 的解集为 (1, 3)，则 a + b 的值为________。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知关于 x 的不等式 − (2a + 1)x + + a ≤ 0。 （1）当 a = 1 时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为 [α, β]，求 β − α 的值； （3）若不等式对任意 x ∈ [1, 2] 恒成立，求 a 的取值范围。 16. 某文具店购进一批单价为 20 元的毕业纪念册。按单价 30 元出售时，月销售量为 400 本。根据销售经验：单价每上涨 1 元，月销售量减少 20 本。 （1）求月销售利润 y（元）关于单价 x（元）的函数关系式； （2）单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ （3）若月利润不低于 4000 元，求单价 x 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $