精品解析：上海市杨思高级中学2026-2027学年高一上学期10月阶段评估数学试卷

上海市杨思高级中学2026学年10月阶段评估 高一数学试卷 满分100分　　考试时间90分钟 一．填空题：（每小题3分，共36分） 1. 集合的非空子集的个数为_____． 【答案】7 【解析】 【详解】由于集合的元素个数为3，故的非空子集的个数为． 2. 已知，，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】由于，，则． 3. 已知集合,若，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入不等式即可求得的范围. 【详解】 ，解得： 的取值范围为 故答案为 【点睛】本题考查根据元素与集合关系求解参数范围问题，属于基础题. 4. 设全集，集合，则_____； 【答案】 【解析】 【分析】先根据集合并集的定义求出的取值范围，再结合全集为实数集计算该并集对应的补集即可. 【详解】 因为， 所以，又因为全集， 所以. 5. 集合，则_____； 【答案】 【解析】 【详解】可知，解得，即. 6. 设全集是，则下图中阴影部分所表示的集合是_____； 【答案】 【解析】 【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示集合与的补集的交集，故阴影部分表示的集合为. 7. 已知，若关于的方程有两个实根，且，则的值为_____； 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理得到和，代入解出的值，根据判别式判断是否符合题意. 【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得， 所以，即，解得， 判别式， 当时，，有两个实根，符合条件， 8. 如果则的取值范围是_____； 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的相关性质推理即得. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 则 ，即， 故的取值范围为. 9. 集合，试用列举法表示集合_____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知可取的值有，因为， 所以， 即. 10. 不等式的解集是，若关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集确定的值，再根据不等式组的解集求的取值范围. 【详解】因为不等式的解集是，所以. 所以可化为. 因为不等式组无实数解， 所以，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 11. 若关于的方程有解，则为真命题，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先通过一元二次方程有实根的判别式条件求出的取值范围，再根据恒成立的逻辑关系确定的取值范围. 【详解】因为方程有解， 所以，判别式，即， 解得， 所以，方程有解时的取值集合为， 所以， 命题“若方程有解，则”为真命题，即对任意，恒成立， 因此的取值不能超过集合的最小值，即， 综上，的取值范围为. 12. 设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据“长度”定义确定集合的“长度”，由“长度”最小时，两集合位于集合左右两端即可确定结果. 【详解】由“长度”的定义可知：集合的长度为，集合的长度为； 若集合的“长度”最小，则与分别位于集合的左右两端， 的“长度”的最小值为 若集合的“长度”最大，则与分别重合的部分最多， 的“长度”的最大值为 则集合的“长度”的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查集合中的新定义运算问题的求解，解题关键是能够确定“长度”最小时，两集合的位置. 二．选择题：（每小题4分，共16分） 13. 设集合，则之间的关系是（ ） A. B. C. D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个集合的元素是否完全一致，进而确定集合关系. 【详解】由，所以与均表示全体奇数， 所以集合与集合都表示全体奇数构成的集合，故. 14. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 15. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质得解. 【详解】取，满足，推不出且； 当且时，由不等式性质，可得且， 即成立， 故“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 16. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 对任意，是的子集，对任意的，不是的子集 B. 对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C. 存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集 D. 存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集 【答案】B 【解析】 【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误． 【详解】解：对于集合，， 可得当，即，可得， 即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误 当时，，， 可得是的子集； 当时，，且， 可得不是的子集，故A错误． 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集． 故选：B. 三、简答题：（共5小题，共46分；8分+8分+10分+10分+12分=48分） 17. 若，求关于的不等式的解集； 【答案】 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，若，解集为；若，解集为. 【解析】 【分析】解一元一次不等式需根据一次项系数分类讨论，移项化简后得到对应解集；当一次项系数为时，不等式转化为常数与常数的比较，根据不等式是否恒成立得到对应解集. 【详解】分情况讨论如下： 当时，的解集为； 当时，的 解集为； 当时，若，不等式恒成立，解集为； 若，不等式无解，解集为. 18. 设集合，． （1）用列举法表示集合； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）集合为方程的实数解组成的集合，解方程即可用列举法表示集合； （2）使用子集的概念进行求解即可. 【小问1详解】 ∵， ∴集合为方程的实数解组成的集合， 由，解得，， ∴， ∴用列举法表示集合为. 【小问2详解】 ∵， ∴集合为方程的实数解组成的集合， 由，， ∴方程有解，， ①当时，方程 方程有两个相等的实数根， 此时，满足； ②当时，方程， 解得，， 若要使，则需使，即， 综上所述，若，则或. 19. （1）设是两个正数．已知，比较与的值的大小． （2）用反证法证明：若，且，则中至少有一个不小于0． 【答案】（1） （2）假设都小于0，则有， 因为， 所以， 又，所以，即， 这与矛盾，故假设不成立， 所以中至少有一个不小于0． 【解析】 【分析】（1）作差法比较两式子的大小即可； （2）先假设都小于0，有，代入的表达式推理得出矛盾即可证明原命题. 【详解】（1）由 ， 又，所以， 所以，即，所以. （2）略 20. 已知，，. （1）若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析命题为真时x的取值范围，由复合命题的真假可得一真一假，由此分情况讨论，求出x的取值范围，即可得答案； （2）根据p是q的充分条件，得到关于m的不等式组，解可得答案. 【小问1详解】 对于，解可得， 若，则， 若，有且只有一个为真命题，则真假或假真， 若真假，即，无解， 若假真，即，解可得或， 综合可得：或， 即的取值范围为； 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则有，解可得， 即的取值范围为. 21. 已知关于的不等式：． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求不等式的解集； （3）命题若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若中至少有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，解一元二次不等式可得解； （2）分，讨论，令当时，根据两根大小讨论可得解； （3）先求出命题分别为真命题的范围，再根据与都是假命题，求出的取值范围，再求出补集即可. 【小问1详解】 当时，原不等式为，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，原不等式为，解得； 当时，原不等式变为，其对应方程的两根为，1， 若，即时，由解得， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，由解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 若命题为真命题，若，原不等式变为，其对应方程的两根为，1， 其解集为，不合题意，当时，由（2）可知时，解集为，所以命题为真命题，则； 命题为真命题，则有相应方程的，即，解得； 所以当命题，都为假命题时，，解得或， 所以命题，中至少有一个真命题，则. 实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市杨思高级中学2026学年10月阶段评估 高一数学试卷 满分100分　　考试时间90分钟 一．填空题：（每小题3分，共36分） 1. 集合的非空子集的个数为_____． 2. 已知，，则_____（填“”“”或“”）． 3. 已知集合,若，则实数的取值范围为__________． 4. 设全集，集合，则_____； 5. 集合，则_____； 6. 设全集是，则下图中阴影部分所表示的集合是_____； 7. 已知，若关于的方程有两个实根，且，则的值为_____； 8. 如果则的取值范围是_____； 9. 集合，试用列举法表示集合_____． 10. 不等式的解集是，若关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围是_________. 11. 若关于的方程有解，则为真命题，则的取值范围为_____． 12. 设数集，，且集合M､N都是集合的子集，如果把称为非空集合的“长度”，那么集合的“长度”的取值范围为___________. 二．选择题：（每小题4分，共16分） 13. 设集合，则之间的关系是（ ） A. B. C. D. 以上都不是 14. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 16. 设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ） A. 对任意，是的子集，对任意的，不是的子集 B. 对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C. 存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集 D. 存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集 三、简答题：（共5小题，共46分；8分+8分+10分+10分+12分=48分） 17. 若，求关于的不等式的解集； 18. 设集合，． （1）用列举法表示集合； （2）若，求实数的值． 19. （1）设是两个正数．已知，比较与的值的大小． （2）用反证法证明：若，且，则中至少有一个不小于0． 20. 已知，，. （1）若，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 21. 已知关于的不等式：． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求不等式的解集； （3）命题若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若中至少有一个真命题，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $