精品解析：安徽宿州市第二初级中学2026～2027学年度第一学期第一次素养检测八年级数学试题

宿州二初中2026～2027学年度第一学期综合素质测评 八年级数学 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在，，，，9.8080080008…（每隔一个8多一个0）这5个数中，无理数共有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，是有理数；，，9.8080080008…（每隔一个8多一个0）是无理数， ∴无理数共有3个． 2. 已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判定A正确，利用三角形内角和定理判定B和C正确、D错误． 【详解】解：A、设a=3k，b=4k，c=5k， ∵ ， 即 ， ∴三角形是直角三角形， 正确； B、∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠C=∠A+∠B， ∴2∠C=180°， 即∠C=90°， 正确； C、设∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°， 又三角形内角和定理得x+5x+6x=180, 解得6x=90, 故正确； D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°， 又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180， 5x=75, 故不是直角三角形， 错误； 故本题选择D． 【点睛】本题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、证明最大角是直角． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可． 【详解】解：A、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误； B、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 4. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可． 【详解】解：当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， ∴第三边长为13或， 故选：B． 5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. b C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴求得，，再根据二次根式的性质化简解答即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A. 3 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 7. 在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：A． 8. 如图，分别以的三边为边作正方形，再以为斜边作，最后以为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（ ） A. 5 B. 3 C. 16 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出以和以为边的正方形的面积，然后相加即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵以为边的作两个小正方形的面积分别是1、3， ∴． ∵以为边的正方形面积为2， ∴， ∴以为边的正方形面积为∶， ∴图中5个正方形的面积总和是∶． 9. 如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 10. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用——最短路径问题，根据圆柱侧面展开图，利用勾股定理计算出的长即为最短距离． 【详解】解：圆柱体的底面周长为，高， 把圆柱侧面沿展开，得到长方形，如图， ， ， 故答案为：． 13. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得M点表示的数． 【详解】解：由题意得：， ∴， 则点M表示的数为． 14. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数，具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）__________； （2）按此规律，若（a，b为正整数），__________． 【答案】 ①. ②. 89 【解析】 【分析】（1）根据题意可得规律（n为大于等于2的正整数），据此可得答案； （2）根据（1）的规律可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ……， 以此类推可知，（n为大于等于2的正整数） ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 一个正数a的两个平方根分别是和，且．求的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义求出a、b的值，根据立方根的定义得到，进而求出c的值，代入计算，再求其算术平方根即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 代入得， ∴； ∵，，， ∴， ∴的算术平方根为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义及求法、算术平方根定义及求法、二元一次方程组的解法等知识，先由题意得到关于的二元一次方程组，解方程组求得，代入代数式求值，最后由平方根求法即可得到答案．熟记平方根定义及求法、算术平方根定义及求法、二元一次方程组的解法等知识是解决问题的关键． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，，即，解得， 把代入得：， ∴的平方根是． 18. 如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． （1）求此时的长度； （2）当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出的长度． 【小问1详解】 解：由题意得，米，米， ∴米； 【小问2详解】 解：∵米， ∴米， ∵米，， ∴米， 因此米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． （1）判断的形状并证明； （2）计算点，之间的距离． 【答案】（1）解：为直角三角形，证明如下： 米，米，米， ∴在中，，即， 为直角三角形，； （2）、间的距离为18米． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出点，之间的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，由勾股定理，得， ， 米， （米）， 答：池塘两端、间的距离为18米． 20. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）处与地面的距离是米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【小问1详解】 解：在中， 米，米，米， （米）， （米）， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：由题意得米， 米，（米）， （米）， （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 六、（本题满分12分） 21. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出__________； （2）若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）按照小明的方法，先把分母有理化，再两边同时平方可得：，等式两边同时乘以a可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， ， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 已知三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请直接写出的面积； （2）我们把上述求面积的方法叫作构图法．若三边的长分别为，，（），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积； （3）若三边的长分别为，，（，，且），试运用构图法求出这个三角形的面积． 【答案】（1） （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答． （1）利用割补法求解可得； （2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为，，的首尾相接的三条线段，再利用割补法求解可得； （3）在网格中构建边长为m和n的长方形，同理作出边长为，，的三角形，最后同理可得这个三角形的面积． 【小问1详解】 解：的面积为； 【小问2详解】 的面积为； 【小问3详解】 解：如图，作，，，即为所求， 的面积为． 八、（本题满分14分） 23. 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． （1）【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； （2）【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； （3）【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 【答案】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）13 （3）元 【解析】 【分析】（1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，代入已知条件可得，进而求解； （3）根据题意可得，设米，则米，根据勾股定理可得，由此列方程解得米，进而求出米，最后计算学校修建这道栅栏需要的投资. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，． ∴， 又∵的长比的长大1， ∴， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：根据题意可得， 设米，则米， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴米， ∴（米）， 学校修建这道栅栏需要投资：（元）． 答：学校修建这道栅栏需要投资600元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿州二初中2026～2027学年度第一学期综合素质测评 八年级数学 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在，，，，9.8080080008…（每隔一个8多一个0）这5个数中，无理数共有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　） A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15 5. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. b C. D. 6. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A. 3 B. C. D. 1 7. 在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 如图，分别以的三边为边作正方形，再以为斜边作，最后以为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（ ） A. 5 B. 3 C. 16 D. 6 9. 如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 10 D. 10. 如图，图是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形探究学习中，标上字母绘成图所示，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 的算术平方根是______． 12. 如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是________． 13. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为__________． 14. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数，具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 （1）__________； （2）按此规律，若（a，b为正整数），__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1）． （2）． 16. 一个正数a的两个平方根分别是和，且．求的算术平方根． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 18. 如图，在一个宽阔的十字路口，两条道路互相垂直．小明站在其中一条道路的边缘点A处，米，小亮站在另一条道路的边缘点B处，此时两人之间的直线距离为25米，而他们手中的对讲机恰好处于信号传输的极限状态． （1）求此时的长度； （2）当小明沿路边向北走了9米到达点C处（即米），同时小亮沿路边向东走到了点D处，若两人之间的直线距离仍然处于对讲机信号传输的极限状态（即保持25米不变），求的长度． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． （1）判断的形状并证明； （2）计算点，之间的距离． 20. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 六、（本题满分12分） 21. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出__________； （2）若，请按照小明的方法求出的值． 七、（本题满分12分） 22. 已知三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请直接写出的面积； （2）我们把上述求面积的方法叫作构图法．若三边的长分别为，，（），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积； （3）若三边的长分别为，，（，，且），试运用构图法求出这个三角形的面积． 八、（本题满分14分） 23. 在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． （1）【初步探究】如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； （2）【结论运用】如图2，已知是直角三角形，．若，的长比的长大1，求的长； （3）【应用拓展】学校校内有一块如图3所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $