精品解析：安徽宿城第一初级中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次学情自测

宿城第一初级中学2025-2026学年度八年级第二次月考 数学学科试卷 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 3. 描点法是画函数图象的主要方法，一般有三个步骤：列表、描点、连线．小明同学在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（ ） … 0 1 2 … … 0 3 5 … A. B. 0 C. 3 D. 5 4. 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数的图象与性质，下列说法错误的是（ ） A. 图象不经过第三象限 B. 当时，函数值y有最小值3 C. y随x的增大而减小 D. 图象是与平行的一条直线 6. 规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（ ） A. 3， B. 4，3 C. 5， D. 3，2 7. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是2，则c的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知是一次函数，则m=_______. 12. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，C为线段的中点，为线段上的一点，P为线段上的一动点，的最小值为__________． 13. 已知方程组的解作为坐标的点在直线上，则的值为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线上一点，若是以为底的等腰直角三角形，则点P的坐标是__________． 15. 如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为______，的坐标为______． 三、解答题（共70分） 16. 解方程组： （1） （2） 17. 已知y与成正比例，当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 18. 在长方形中，放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．试求阴影部分的面积． 19. 如图，已知直线与坐标轴交于，两点，点是轴正半轴上一点，并且．求所在直线的表达式． 20. 剪纸艺术，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，常用纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮革等制作，是中国汉族最古老的民间艺术之一．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共500套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸少8元，购进3套甲种剪纸和5套乙种剪纸共需96元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元/套？ （2）若甲种剪纸的售价为10元/套，乙种剪纸的售价为20元/套，设购进甲种剪纸装饰套，销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润为元，求与之间的函数关系式，并求销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值． 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应． 请根据相关信息．解答下列问题： （1）品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元； （2）求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式； （3）请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线垂直轴于点，直线与直线交于点． （1）直线的解析式为 ，点的坐标为 ； （2）若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； （3）若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿城第一初级中学2025-2026学年度八年级第二次月考 数学学科试卷 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的概念，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示是的函数，故A不符合题意； B、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示是的函数，故B不符合题意； C、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示是的函数，故C不符合题意； D、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象和概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 2. 下列不是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键．共含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，故A符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，故B不符合题意； C、该方程组是二元一次方程组，故C不符合题意； D、该方程组是二元一次方程组，故D不符合题意． 故选：A． 3. 描点法是画函数图象的主要方法，一般有三个步骤：列表、描点、连线．小明同学在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（ ） … 0 1 2 … … 0 3 5 … A. B. 0 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据表格数据分析，即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得当增大1时，函数值增大2，而在时，表格中的函数应为，故这个错误的函数值是； 故选：B． 4. 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子． 明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组． 【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即， 若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即， 因此，可列方程组为， 故选：C． 5. 关于函数的图象与性质，下列说法错误的是（ ） A. 图象不经过第三象限 B. 当时，函数值y有最小值3 C. y随x的增大而减小 D. 图象是与平行的一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：在函数中，， 则函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；且y随x的增大而减小， 故选项A、C说法正确； 函数与函数的k值相等， 则两函数的图象平行，故选项D说法正确； 当时，函数值y有最大值3，有最小值0，故选项B说法错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 6. 规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（ ） A. 3， B. 4，3 C. 5， D. 3，2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组．根据共轭方程组的定义，比较给定方程组与标准形式，构建关于和的方程组并求解． 【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组， ∴， ∴， 联立方程： 解得： 故选：A． 7. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，由函数图象的位置可得，，然后，根据系数的正负性判断函数的图象的位置即可． 【详解】解：由一次函数图象的位置可知，， ∴，． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． ∴选项D的图象符合要求． 8. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积是2，则c的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到c的值．考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键． 【详解】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， 又∵，，分别是的三条边长，，的面积是2， ∴，即， 又∵， ∴， 即∴， 解得（负值舍去）， 故选：A． 9. 若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由与可得直线向右平移7个单位得到直线，从而可得直线与轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移7个单位所得， 与轴交点为， 直线与轴交点坐标为， 的解为， 故选：C． 10. 已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．方程组整理得，针对四种说法逐一分析即可判断． 【详解】解：， 由②得， 把代入①得， 整理得， 当时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 如果，则，解得， 观察四种说法，①②错误，③④正确， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 已知是一次函数，则m=_______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，可得，，解出即可. 【详解】由题意得，，解得， 又∵，所以 故答案为3. 【点睛】本题考查一次函数的定义，x的指数为1，一次项系数不等于0，掌握定义是解题的关键. 12. 如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，C为线段的中点，为线段上的一点，P为线段上的一动点，的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点C′的坐标，利用勾股定理即可求得最小值． 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，准确得到一次函数与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小， 令中，则， ∴点的坐标为， 令中，则，解得， ∴点的坐标为， ∵为线段上的一点， 令中，则，解得， ∴点， 点为线段的中点， ∴点， ∵取点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为，， ∴最小值． 故答案为：． 13. 已知方程组的解作为坐标的点在直线上，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 根据题目中的方程组，进行变形即可得其到与直线的关系，从而可以得到的值． 【详解】解：，①+②，得, ∵直线， ∴， ∵方程组的解作为坐标的点在直线上， ∴， 解得：． 故答案为：. 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，点P是直线上一点，若是以为底的等腰直角三角形，则点P的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过P作轴于N，过A作于M，由，可得，即得． 【详解】解：∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∴， 当P为直角顶点时，过P作轴于N，过B作于M， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题． 15. 如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；按此规律作下去，则点的坐标为______，的坐标为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质． 先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点、的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点， ∴将代入得， ∴点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，同理可得的坐标为， 点与点关于直线对称． 故点的坐标为，同理的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，同理点的坐标为． 故答案为：，． 三、解答题（共70分） 16. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②得：， 解得：，代入①中， 解得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 得③， 得④， 得， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 17. 已知y与成正比例，当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用正比例关系求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时，． 18. 在长方形中，放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．试求阴影部分的面积． 【答案】32 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 由图得等量关系：（1）1个长个宽；（2）3个宽个长个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设小长方形宽为，长为， 根据题意得：， 解得， ， ∴阴影部分的面积为 32 ． 19. 如图，已知直线与坐标轴交于，两点，点是轴正半轴上一点，并且．求所在直线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积公式．由直线可求得、坐标，再结合，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式． 【详解】解：在中，令可得，令可求得， ，,， ，， ， ，即，解得， ， 设直线解析式为，代入，， ， 解得， 直线解析式为． 20. 剪纸艺术，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，常用纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮革等制作，是中国汉族最古老的民间艺术之一．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共500套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸少8元，购进3套甲种剪纸和5套乙种剪纸共需96元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元/套？ （2）若甲种剪纸的售价为10元/套，乙种剪纸的售价为20元/套，设购进甲种剪纸装饰套，销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润为元，求与之间的函数关系式，并求销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值． 【答案】（1）甲种剪纸的单价为元/套，乙种剪纸的单价为元/套 （2）与之间的函数关系式为,销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值为元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设这两种剪纸购进时的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据“销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润甲种剪纸的售价甲种剪纸的进价购进甲种剪纸的套数乙种剪纸的售价乙种剪纸的进价购进乙种剪纸的套数”写出与之间的函数关系式，并由一次函数的增减性和的取值范围求出的最小值即可． 【小问1详解】 解：设甲种剪纸购进时的单价为元/套，乙种剪纸购进时的单价为元/套. 根据题意，得， 解得 答：甲种剪纸的单价为元/套，乙种剪纸的单价为元/套. 【小问2详解】 解：， ， ∴随的增大而减小， ， ∴当时，值最小，最小为元， 答：与之间的函数关系式为，销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值为元. 21. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应． 请根据相关信息．解答下列问题： （1）品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元； （2）求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式； （3）请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元． 【答案】（1）7， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数关系式，是解题的关键. （1）直接从图象获取信息，用总费用除以时间，求出A品牌共享电动车的收费即可； （2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，B品牌共享电动车的起步价是7元，A品牌共享电动车的收费是每分钟：（元）， 故答案为：7；； 【小问2详解】 解：设， 把代入，得：， 解得：； ∴； 【小问3详解】 解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线垂直轴于点，直线与直线交于点． （1）直线的解析式为 ，点的坐标为 ； （2）若点在直线上，且与点、构成的三角形的面积是8，求点的坐标； （3）若点是直线上一个动点，当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3），，， 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数表达式、一次函数应用、勾股定理及轴对称的性质， （1）待定系数法求出表达式，再根据一次函数性质求出点的坐标； （2）设点P的坐标为，分两种情况：当点P在直线左侧或当点P在直线右侧时，分别求出即可； （3）设N的坐标为，先求出，，再分类讨论求出即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，则由题意得： ， 解得：， 直线的解析式为， 直线垂直轴于点，直线与直线交于点． 当时，， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：连接，如下图， 点在直线上， 设点P的坐标为， 当点P在直线左侧且时， ， ， 解得：， 当时，， ； 当点在直线右侧且时， ， ， ， 解得：， 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：点是直线上一个动点， 设N的坐标为， ， ，， 当点N与点A、点构成的三角形是等腰三角形时， 当时，， ， 解得：或， （不合题意舍去）或； 当时，， ， 解得：， ； 当时，， ， 解得：或， 或； 综上所述，点的坐标为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $