专题04 平方根、立方根 同步培优讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题04平方根、立方根同步培优讲义 ✺知识框架 1.平方根：算术平方根、平方根的定义与性质，开平方运算 2.立方根：立方根的定义与性质，开立方运算 3.平方根、立方根的异同对比 4.综合应用：根式有意义条件、解方程、非负性求值 ✺学习目标 1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，规范根式符号书写，辨析三者含义。 2.掌握平方根、立方根的性质，能完成根式求值与化简。 3.能利用平方根、立方根的意义解方程，体会整体思想。 4.掌握算术平方根的双重非负性，解决几个非负数之和为0的综合题型。 5.对比平方根与立方根的性质差异，规避典型概念误区。 ✺知识梳理 知识点一、平方根 1.定义：如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数叫做a的平方根。 数学语言：若x2=a(a≥0），则x是a的平方根。 2.表示方法：正数a的平方根记作 ±。其中为算术平方根，-为负的平方根。 3.性质:（1）正数有两个互为相反数的平方根；（2）0 的平方根是0；（3）负数没有平方根（任何数的平方非负）。 知识点二、算术平方根 1.定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。 数学语言：若x2=a(a≥0,x≥0)，则x=。 2.核心双重非负性：（1）被开方数非负:a≥0；（2）算术平方根结果非负：0。 3.重要结论：=|a| =a.（a≥0） 知识点三、立方根 1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 数学语言：若 x3=a，则x=。 2.性质：（1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0 的立方根是0； 任意实数都有唯一的立方根。 ★重要公式：= 知识点四、平方根与立方根核心差异对比 对比项目 平方根 立方根 被开方数取值范围 a≥0 a为任意实数 结果个数 正数2个、0为1个、负数无 任意数有且仅有1个 符号规律 正数的两个平方根互为相反数 立方根与被开方数同号 表示符号 ± 零的结果 0 的平方根与算术平方根均为 0 0 的立方根为 0 负数是否有意义 无 有，且结果为负数 ★两种运算的互逆关系：平方与开平方互为逆运算；立方与开立方互为逆运算。 易错提醒 1.=4，只表示算术平方根；16 的平方根是±4，二者含义不同。 2.有意义的前提是a≥0，同时≥0，即双重非负性。 3.=|a|，不能直接简写为a。 4.负数没有平方根，但负数存在立方根。 5.解方程x2=a(a>0)，解为x=±，容易遗漏负根；=a仅有一个实数解。 6.根指数3不可省略，不能写成。 ✺题型精讲 题型1.求一个数的算术平方根 1． （     ） A． B． C． D． 2．的算术平方根为___________． 3．计算：． 题型2.利用算术平方根的非负性解题 1．关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最大 C．时最小 D．时最小 2．已知三角形三边为、、，其中，两边满足，最大边是偶数，则三角形的周长是________． 3．已知实数，，满足，请完成下列解答： (1)求，，的值； (2)求代数式的值． 题型3.估计算术平方根的取值范围 1．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 2．若整数满足，则的值是_________． 3．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 题型4.与算术平方根有关的规律探索题 1．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 2．观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 3．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 题型5.算术平方根的实际应用 1．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 2．一间面积为的客厅，若选用相同规格的正方形地砖，正好用50块完整地砖铺满地面，则该款地砖的边长为__________． 3．阅读下列材料，回答问题． 材料1：若一个整数能写成另一个整数的平方，则这个整数就是一个完全平方数． 如：，则n是完全平方数． 完全平方数的排列顺序：，，，，，，……，即0，1，4，9，16，25，……． 材料2：将一个无理数的平方置于两个相邻的完全平方数之间，然后再同时开平方． 如：把的平方，置于两个相邻的完全平方数1和4之间，即，∴，由此我们就知道了无理数的大致位置介于1和2之间． 材料3：若一个无理数q的值，介于两个连续整数之间，即，我们称无理数q的“有理区间”为．如：的“有理区间”为． (1)请你写出三个大于200且小于300的完全平方数：__________． (2)求的“有理区间”． (3)若某个无理数的“有理区间”为，且，是整数，请你直接写出代数式的值． 题型6.平方根概念理解 1．下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和2，则的值是_______． 3．一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的算术平方根． 题型7.求一个数的平方根 1．16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 2．若，则的平方根是__________． 3．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)324． 题型8.求代数式的平方根 1．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 2．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 3．已知与 互为相反数，求的平方根． 题型9.已知一个数的平方根，求这个数 1．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．9 B．3 C．81 D．16 2．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 3．若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 题型10.利用平方根解方程 1．定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 2．已知，则x的值为______________． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 题型11.立方根概念理解 1．下列说法正确的是 （    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的立方根是 D．没有立方根 2．若，则___________；若，则___________． 3．类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 题型12.求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．计算___________． 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型13.已知一个数的立方根，求这个数 1．是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 2．是______的立方根，的平方根是______． 3．已知的算术平方根是，的立方根是2． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 题型14.与立方根有关的规律探索 1．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 2．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 3．阅读素材，完成任务． 素材 素材背景 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 步骤一 ，，，， ∴能确定的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是，， ∴能确定的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去后面的三位数得到数，而，则，可得．由此能确定的立方根的十位上的数是3．因此的立方根是． (1)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根． (2)已知是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是_____位数； ②它的立方根的个位上的数是_____； ③它的立方根是_____． 题型15.立方根的实际应用 1．已知一个正方体的体积为，则它的棱长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 3．升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 1．下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 2．若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 3．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． ✺分层练习 一、单选题 1．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C． D．立方根等于本身的数只有 2．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 3．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2026行从左向右数第2025个数为（     ） A．2026 B．2025 C． D． 4．已知的平方根是，，则的算术平方根为（     ） A． B． C． D． 5．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 二、填空题 6．如果是1024的两个平方根，那么_____． 7．如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 8．已知：，则_________，_________．（保留一位小数） 9．一个长方体的体积为，已知其底面是正方形，且高为，则其底面正方形的边长为________． 三、解答题 10．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 11．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 12．已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平方根、立方根同步培优讲义 ✺知识框架 1.平方根：算术平方根、平方根的定义与性质，开平方运算 2.立方根：立方根的定义与性质，开立方运算 3.平方根、立方根的异同对比 4.综合应用：根式有意义条件、解方程、非负性求值 ✺学习目标 1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，规范根式符号书写，辨析三者含义。 2.掌握平方根、立方根的性质，能完成根式求值与化简。 3.能利用平方根、立方根的意义解方程，体会整体思想。 4.掌握算术平方根的双重非负性，解决几个非负数之和为0的综合题型。 5.对比平方根与立方根的性质差异，规避典型概念误区。 ✺知识梳理 知识点一、平方根 1.定义：如果一个数的平方等于a（a≥0），那么这个数叫做a的平方根。 数学语言：若x2=a(a≥0），则x是a的平方根。 2.表示方法：正数a的平方根记作 ±。其中为算术平方根，-为负的平方根。 3.性质:（1）正数有两个互为相反数的平方根；（2）0 的平方根是0；（3）负数没有平方根（任何数的平方非负）。 知识点二、算术平方根 1.定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。 数学语言：若x2=a(a≥0,x≥0)，则x=。 2.核心双重非负性：（1）被开方数非负:a≥0；（2）算术平方根结果非负：0。 3.重要结论：=|a| =a.（a≥0） 知识点三、立方根 1.定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。 数学语言：若 x3=a，则x=。 2.性质：（1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0 的立方根是0； 任意实数都有唯一的立方根。 ★重要公式：= 知识点四、平方根与立方根核心差异对比 对比项目 平方根 立方根 被开方数取值范围 a≥0 a为任意实数 结果个数 正数2个、0为1个、负数无 任意数有且仅有1个 符号规律 正数的两个平方根互为相反数 立方根与被开方数同号 表示符号 ± 零的结果 0 的平方根与算术平方根均为 0 0 的立方根为 0 负数是否有意义 无 有，且结果为负数 ★两种运算的互逆关系：平方与开平方互为逆运算；立方与开立方互为逆运算。 易错提醒 1.=4，只表示算术平方根；16的平方根是±4，二者含义不同。 2.有意义的前提是a≥0，同时≥0，即双重非负性。 3.=|a|，不能直接简写为a。 4.负数没有平方根，但负数存在立方根。 5.解方程x2=a(a>0)，解为x=±，容易遗漏负根；=a仅有一个实数解。 6.根指数3不可省略，不能写成。 ✺题型精讲 题型1.求一个数的算术平方根 1． （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．的算术平方根为___________． 【答案】 【详解】解：，2的算术平方根是， 所以的算术平方根为． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的意义进行化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型2.利用算术平方根的非负性解题 1．关于代数式的说法正确的是（    ） A．时最大 B．时最大 C．时最小 D．时最小 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性，得到的取值范围，代数式被减数是定值，减数越小，结果越大，结合选项判断即可． 【详解】解：∵算术平方根有非负性，可得，当且仅当，即时，取最小值． 又∵代数式中，被减数是定值， ∴越小时，越大． ∴时，代数式取得最大值． ∵不存在最大值，因此代数式不存在最小值，故A C D错误， B正确． 2．已知三角形三边为、、，其中，两边满足，最大边是偶数，则三角形的周长是________． 【答案】24或26 【分析】利用完全平方公式和算术平方根的非负性得到，，然后利用三角形三边关系和最大边是偶数得到或12，然后分别计算三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 根据三角形三边关系得，， ∴， ∵最大边是偶数， ∴或12， ∴当时，三角形的周长是； 当时，三角形的周长是； 综上所述，三角形的周长是24或26． 3．已知实数，，满足，请完成下列解答： (1)求，，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据绝对值、平方、算术平方根的非负性和非负数的性质即可求解； （2）先化简多项式，再将，，的值代入化简后的式子计算求值． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，． （2）解： 将，，代入得 题型3.估计算术平方根的取值范围 1．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 2．若整数满足，则的值是_________． 【答案】 3 【分析】估算的取值范围，确定其介于哪两个连续整数之间，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵ 整数满足 ， ∴． 3．【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以． 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以． 【尝试探究】用②的形式求的近似值．（结果保留位小数） 【问题解决】用①、②两种形式求的近似值．（结果保留位小数） 【比较分析】用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由． 【答案】尝试探究： ； 问题解决： 方法①；方法②； 比较分析： 用②的形式求的近似值的精确度更高，理由如下： ∵，， ∴用②的形式求的近似值的精确度更高． 【分析】尝试探究：根据例题方法解答即可； 问题解决：根据例题方法解答即可； 比较分析：求出两个近似值的平方，跟原数比较即可判断求解； 本题考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：尝试探究： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得． 所以； 问题解决： 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中； 用①的形式求的近似值： 因为， 所以． 即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 用②的形式求的近似值： 因为， 所以， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得， 所以； 比较分析：略 题型4.与算术平方根有关的规律探索题 1．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知算式推导通用规律，再将原式按规律化简后分组计算，即可得到结果． 【详解】解：∵观察已知算式可得规律：（为正整数）， ∴，，…，， ∴原式， ， 从3到2028共2026个数，可分为组，每组结果为， ∴原式． 2．观察数表： 第1行：，2，； 第2行：，，； 第3行：，4，； …… 根据数表排列的规律，第6行从左向右第2个数是_____________． 【答案】 【分析】将所有数统一改写为算术平方根的形式，归纳出被开方数的排列规律，再根据规律计算求解． 【详解】解：将原数表中所有数改写为算术平方根的形式，可得： 第1行：，， 第2行：，， 第3行：，， …… 归纳规律可得，数表中所有数是从开始的连续偶数的算术平方根，每行有个数， 第行从左向右第个数，是整个序列的第个数，对应被开方数为 将，代入得被开方数 因此第6行从左向右第2个数是． 3．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简； （2）结果中的分母是被开方数中分母的算术平方根，分子是分母减1，据此解答即可； （3）根据发现的规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 题型5.算术平方根的实际应用 1．电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为，时间产生的热量，则通过的电流I为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知数据代入公式，直接求解电流． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴（舍去负值）， ∴ 电流为． 2．一间面积为的客厅，若选用相同规格的正方形地砖，正好用50块完整地砖铺满地面，则该款地砖的边长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式解答即可． 【详解】解：， 即该款地砖的边长为． 3．阅读下列材料，回答问题． 材料1：若一个整数能写成另一个整数的平方，则这个整数就是一个完全平方数． 如：，则n是完全平方数． 完全平方数的排列顺序：，，，，，，……，即0，1，4，9，16，25，……． 材料2：将一个无理数的平方置于两个相邻的完全平方数之间，然后再同时开平方． 如：把的平方，置于两个相邻的完全平方数1和4之间，即，∴，由此我们就知道了无理数的大致位置介于1和2之间． 材料3：若一个无理数q的值，介于两个连续整数之间，即，我们称无理数q的“有理区间”为．如：的“有理区间”为． (1)请你写出三个大于200且小于300的完全平方数：__________． (2)求的“有理区间”． (3)若某个无理数的“有理区间”为，且，是整数，请你直接写出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)3或7 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）由于，且，故得到，即，即可写出的“有理区间”； （3）由题意得，，设（k为非负整数），则，由于，故，故列举求解即可． 【详解】（1）解：， 故三个大于200且小于300的完全平方数可以是； （2）解：，且 故，即 ∴的“有理区间”是； （3）解：由题意得，， 已知是整数， 设（k为非负整数），则， 由于 故 当时，此时，不满足，不符合题意； 当时，此时，满足，符合题意； 当时，此时，满足，符合题意； 当时，，不符合题意 综上：代数式的值为3或7． 题型6.平方根概念理解 1．下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可得到结果. 【详解】解：根据平方根的性质：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根， ∵ ，，， ∴ 只有是负数，因此没有平方根. 2．已知一个正数的两个平方根分别是和2，则的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了平方根的概念，解决本题的关键是根据平方根的概念列式． 一个正数的两个平方根互为相反数，即它们的和为零列式求解即可． 【详解】解：由平方根的性质，得 ， 化简得 ，解得 ． 故答案为： 1． 3．一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义和性质．解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列式求解即可； （2）根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，， 解得， 则． （2）将与的值代入，得 ． 则． 故的算术平方根是6． 题型7.求一个数的平方根 1．16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 2．若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 3．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)324． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，求解即可； （2）根据如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，求解即可； （3）根据如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方根为． （2）解：， 的平方根为． （3）解：， 的平方根为． 题型8.求代数式的平方根 1．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 2．若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 3．已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 题型9.已知一个数的平方根，求这个数 1．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．9 B．3 C．81 D．16 【答案】C 【详解】解：依题意， 解得： ∴这个正数是： 2．若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据这一性质列方程求解即可. 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 合并同类项得， 解得. 3．若一个正数的平方根是与，求的值和这个正数的值． 【答案】 ， 【分析】根据平方根的概念列出方程，然后解方程求出的值，然后把的值代入即可求解． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴. 题型10.利用平方根解方程 1．定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义，根据新定义运算的规则，将已知条件代入，转化为一元二次方程，运用平方根求解即可． 【详解】解：根据定义，运算“*”的规则为， ∵， ∴， 解得： 故选：D． 2．已知，则x的值为______________． 【答案】 【详解】解： 解得． 3．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 题型11.立方根概念理解 1．下列说法正确的是 （    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的立方根是 D．没有立方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念． 根据定义, 正数的平方根有两个, 算术平方根是非负的；任何实数都有唯一的立方根． 【详解】选项A：的平方根是，故A错误，不符合题意； 选项B：的算术平方根是，故B错误，不符合题意； 选项C：的立方根是，故C正确，符合题意； 选项D：的立方根是，故D错误，不符合题意； 故选C． 2．若，则___________；若，则___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了平方根与立方根，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：； ∴ ∴ 解得：或 故答案为：；或． 3．类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 题型12.求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解： ， 的立方根是． 2．计算___________． 【答案】 【详解】解： 3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ 当时，解得； 当时，解得． 题型13.已知一个数的立方根，求这个数 1．是下列哪个数的立方根（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 是的立方根， 故选：D． 2．是______的立方根，的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴是的立方根， ∵， 又∵的平方根为， ∴的平方根为． 3．已知的算术平方根是，的立方根是2． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根和立方根的定义求解； （2）利用平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是2， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴其平方根为． 题型14.与立方根有关的规律探索 1．已知，由以上规律，解决问题：若，，则（     ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】总结出规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，它的立方根的小数点对应向右（或向左）移动1位， ∵， ∴． 2．观察下表规律． a 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 若 ，则 ________ 【答案】2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．阅读素材，完成任务． 素材 素材背景 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 步骤一 ，，，， ∴能确定的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是，， ∴能确定的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去后面的三位数得到数，而，则，可得．由此能确定的立方根的十位上的数是3．因此的立方根是． (1)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根． (2)已知是一个整数的立方，按照上述方法求出它的立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是_____位数； ②它的立方根的个位上的数是_____； ③它的立方根是_____． 【答案】(1)45 (2)三，0，840 【详解】（1）解：∵，，而， ∴立方根是两位数； 立方数的个位是5，只有个位为5的数，立方的个位才是5， ∴立方根的个位是5； 去掉 91125后三位，得到91， ∵，，且， ∴十位是4； 综上，91125的立方根是45； （2）解：∵，，而， ∴立方根是三位数； 立方数的个位是0，只有个位为0的数，立方的个位才是0， ∴立方根的个位是0； 去掉592704000后三位，得到592704； 求592704的立方根：因其个位是4，故其立方根的个位是4； 去掉592704的后三位得到592， ∵，，且， ∴其立方根的十位是8； ∴592704的立方根是84； ∴592704000的立方根是840． 题型15.立方根的实际应用 1．已知一个正方体的体积为，则它的棱长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得：， ∴． 2．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 【答案】 【分析】先求出每个小正方体的边长，再求出魔方侧面的面积，则可得正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵8个同样大小的正方体组成的魔方的体积为8， ∴每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的边长为， ∴魔方侧面正方形的边长为， ∴魔方侧面的面积为， 又∵正方形的面积是魔方侧面面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． 3．升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【答案】 【详解】解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 题型16.算术平方根和立方根的综合应用 1．下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】选项A：， 的立方根是， 选项A错误，不符合题意； 选项B：正数都有平方根，， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C：负数没有算术平方根，是负数， 算术平方根等于它本身的数只有和， 选项C错误，不符合题意； 选项D：， ， 选项D正确，符合题意． 2．若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 3．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的算术平方根是2，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根的性质，解二元一次方程组，利用正数的平方根互为相反数建立方程，结合算术平方根的定义求解参数，再计算表达式的值求立方根． 【详解】解：一个正数的两个平方根互为相反数， ，整理得 又的算术平方根是， 解方程组， 解得 则 的立方根为． ✺分层练习 一、单选题 1．下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C． D．立方根等于本身的数只有 【答案】C 【详解】解：∵ 正数的立方根是正数，，∴ 的立方根是，A错误； ∵ 负数有一个负的立方根，，∴ 的立方根是，B错误； ∵ ，，∴ ，C正确； ∵ ，，，∴ 立方根等于本身的数是，D错误． 2．已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 3．如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2026行从左向右数第2025个数为（     ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2026行从左向右数第2026个数是2026， ∴第2026行从左向右数第2025个数是． 4．已知的平方根是，，则的算术平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平方根的定义求出的值，再算出的值，最后计算的算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 5．已知某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（      ） A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】通过计算原正方体和改造后正方体的棱长，求其比值即可得出答案． 【详解】解：设原正方体棱长为，改造后正方体棱长为． ∵正方体体积， 当时，； 当时，； ∴ ． 故改造后正方体的棱长是原来棱长的倍． 二、填空题 6．如果是1024的两个平方根，那么_____． 【答案】 【详解】解：∵是1024的两个平方根， ∴， ∵1024的平方根是， ∴， ∴． 7．如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 【答案】或 【分析】根据正数平方根的性质，分两个平方根互为相反数和两个平方根相等两种情况，列方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：两个平方根互为相反数， ∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为； 情况2：两个平方根相等，若两个平方根是同一个，则，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为， 综上，这个正数是或． 8．已知：，则_________，_________．（保留一位小数） 【答案】 【详解】解：∵， ∴，． 9．一个长方体的体积为，已知其底面是正方形，且高为，则其底面正方形的边长为________． 【答案】 【分析】已知长方体体积和高，底面为正方形，先利用长方体体积公式求出底面积，再根据正方形面积公式求边长. 【详解】解：由题意，长方体的底面积为， ∵长方体的底面是正方形， ∴正方形的边长为. 三、解答题 10．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 11．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据平方根、立方根的定义解答即可． 求出代数式的值，再利用算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：的平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， ， ． （2）解：， ， 的算术平方根为． 12．已知与互为相反数， (1)求a、b的值； (2)解关于的方程：． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）根据绝对值的非负性和二次根式的非负性解题； （2）根据直接开平方法计算即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 解得； （2）解：原方程可化为， ， ， ， 解得，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $