专题04平方根暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题04平方根暑假预习讲义 ·理解平方根、算术平方根的定义，分清两者区别与联系。 ·掌握平方根的符号表示，会正确读写相关式子。 ·熟记平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根。 ·能熟练求出非负数的平方根与算术平方根。 ·掌握被开方数的取值范围，明确二次根式有意义的条件。 ·梳理预习疑点，完成基础习题，带着问题听课。 知识梳理 1,平方根相关基础概念 2.平方根的性质 3.开平方运算 4.典型运算与读法 5.重要公式与规律 6.常见题型 7.高频易错点 8.解题技巧 常考题型 精讲精炼 1.求一个数的算术平方根 2.由算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4.与算术平方根有关的规律题 5.算术平方根的实际应用 6.平方根的概念理解 7.求一个数的平方根 8.求代数式的平方根 9.由一个数的平方根.求这个数 10.利用平方根解方程 强化题型 解答题6题 知识点01:基础概念 1. 乘方与开方（互逆运算） 求相同因数积的运算叫做乘方；已知幂和指数，求底数的运算叫做开方，平方与开平方互为逆运算。 2. 平方根 (1)定义：如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 (2)符号表示 正数 a 的平方根记作±； 读作：正负根号 a； 其中 a 叫做被开方数。 3. 算术平方根 (1)定义：正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根。 (2)符号表示：记作(a) ；读作：根号 a。 (3)规定：0的算术平方根是0。 4. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02:平方根的性质（重点） 正数：有两个平方根，它们互为相反数； 0：只有一个平方根，就是它本身（0）； 负数：没有平方根（因为任何数的平方都不为负数）。 核心结论：被开方数 a 必须是非负数，即 a0。 知识点03:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点04:典型运算与读法 1. 读法举例 ：16 的算术平方根； ：16 的负的平方根； ：16 的平方根。 2. 基础求值（举例） (1)求一个数的平方根： ∵=16，∴16的平方根是4。 (2)求一个数的算术平方根： ∵ 42=16，∴ 16的算术平方根是4。 知识点05:重要公式与规律 知识点06:常见题型 题型 1：判断式子有无意义 解题依据：被开方数 a0，据此列不等式求解字母取值范围。 题型 2：求一个数的平方根、算术平方根。 题型 3：利用公式=a、=|a| 化简计算。 题型 4：已知平方根，求原数或字母的值（利用 “正数两个平方根互为相反数” 解题）。 知识点07:高频易错点 易错点 错误表现 正确要求 概念混淆 把平方根等同于算术平方根，漏写负号 正数平方根有两个，要写 ；算术平方根只取正数 取值范围 认为负数有平方根 负数没有平方根，被开方数必须 0 公式误用 直接写成 =a，忽略负数情况 结果为绝对值，需分正负讨论 审题不清 题干求算术平方根，却求出两个根 看清题目要求，区分 “平方根” 和 “算术平方根” 0 的理解出错 认为 0 有两个平方根 0 只有一个平方根，就是 0 本身 知识点08:解题小技巧 1.看到±，表示求平方根；只看到 ，表示求算术平方根。 2.题目出现 “平方根互为相反数”，直接利用两数相加和为 0 列方程。 3.遇到含字母的 化简，优先考虑绝对值，再判断字母正负。 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【跟踪专练1】若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【跟踪专练2】的算术平方根是___________． 【跟踪专练3】已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 题型2.由算术平方根的非负性解题 【典例】已知实数x，y满足，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2012 D． 【跟踪专练1】若实数，满足，则的值为__________． 【跟踪专练2】若实数a和b满足，则的算术平方根是________． 【跟踪专练3】已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请估算的值（   ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【跟踪专练1】根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则_____． 【跟踪专练2】估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【跟踪专练3】估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 题型4.与算术平方根有关的规律题 【典例】若 则 _______________． 【跟踪专练1】已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，下面是一个按某种规律排列的数阵： （1）根据数阵排列的规律，第5行的第6个数（从左向右数）是________； （2）第n行的第个数（从左向右数）是__________（用含n的代数式表示）． 【跟踪专练3】如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 题型5.算术平方根的实际应用 【典例】手工课上，每人需要制作一张面积为的正方形卡纸，则它的边长为_____． 【跟踪专练1】如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 【跟踪专练2】曲线围成的图形面积为_____． 【跟踪专练3】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 题型6.平方根的概念理解 【典例】已知有两个平方根分别是与，则为______． 【跟踪专练1】下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】某正数的两个不相等的平方根分别是和，则为__________． 【跟踪专练3】若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 题型7.求一个数的平方根 【典例】16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【跟踪专练1】的平方根是________． 【跟踪专练2】的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【跟踪专练3】若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 题型8.求代数式的平方根 【典例】若，则__________． 【跟踪专练1】如果，求的值为__________． 【跟踪专练2】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【跟踪专练3】若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 题型9.由一个数的平方根.求这个数 【典例】一个正数的平方根是与，则这个正数等于_____． 【跟踪专练1】若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是（   ） A．3 B．1 C．或 D．2 【跟踪专练2】若与是同一个正数的平方根，则的值为______． 【跟踪专练3】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 题型10.利用平方根解方程 【典例】方程的解是_______． 【跟踪专练1】，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【跟踪专练2】如果，那么_____． 【跟踪专练3】将9个棱长为的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高为，底面为正方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 2．先化简，再求值：，其中． 3．小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 4．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 5．计算： (1)． (2)． 6．【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平方根暑假预习讲义 ·理解平方根、算术平方根的定义，分清两者区别与联系。 ·掌握平方根的符号表示，会正确读写相关式子。 ·熟记平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根。 ·能熟练求出非负数的平方根与算术平方根。 ·掌握被开方数的取值范围，明确二次根式有意义的条件。 ·梳理预习疑点，完成基础习题，带着问题听课。 知识梳理 1,平方根相关基础概念 2.平方根的性质 3.开平方运算 4.典型运算与读法 5.重要公式与规律 6.常见题型 7.高频易错点 8.解题技巧 常考题型 精讲精炼 1.求一个数的算术平方根 2.由算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4.与算术平方根有关的规律题 5.算术平方根的实际应用 6.平方根的概念理解 7.求一个数的平方根 8.求代数式的平方根 9.由一个数的平方根.求这个数 10.利用平方根解方程 强化题型 解答题6题 知识点01:基础概念 1. 乘方与开方（互逆运算） 求相同因数积的运算叫做乘方；已知幂和指数，求底数的运算叫做开方，平方与开平方互为逆运算。 2. 平方根 (1)定义：如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 (2)符号表示 正数 a 的平方根记作±； 读作：正负根号 a； 其中 a 叫做被开方数。 3. 算术平方根 (1)定义：正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根。 (2)符号表示：记作(a) ；读作：根号 a。 (3)规定：0的算术平方根是0。 4. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02:平方根的性质（重点） 正数：有两个平方根，它们互为相反数； 0：只有一个平方根，就是它本身（0）； 负数：没有平方根（因为任何数的平方都不为负数）。 核心结论：被开方数 a 必须是非负数，即 a0。 知识点03:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 3.开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点04:典型运算与读法 1. 读法举例 ：16 的算术平方根； ：16 的负的平方根； ：16 的平方根。 2. 基础求值（举例） (1)求一个数的平方根： ∵=16，∴16的平方根是4。 (2)求一个数的算术平方根： ∵ 42=16，∴ 16的算术平方根是4。 知识点05:重要公式与规律 知识点06:常见题型 题型 1：判断式子有无意义 解题依据：被开方数 a0，据此列不等式求解字母取值范围。 题型 2：求一个数的平方根、算术平方根。 题型 3：利用公式=a、=|a| 化简计算。 题型 4：已知平方根，求原数或字母的值（利用 “正数两个平方根互为相反数” 解题）。 知识点07:高频易错点 易错点 错误表现 正确要求 概念混淆 把平方根等同于算术平方根，漏写负号 正数平方根有两个，要写 ；算术平方根只取正数 取值范围 认为负数有平方根 负数没有平方根，被开方数必须 0 公式误用 直接写成 =a，忽略负数情况 结果为绝对值，需分正负讨论 审题不清 题干求算术平方根，却求出两个根 看清题目要求，区分 “平方根” 和 “算术平方根” 0 的理解出错 认为 0 有两个平方根 0 只有一个平方根，就是 0 本身 知识点08:解题小技巧 1.看到±，表示求平方根；只看到 ，表示求算术平方根。 2.题目出现 “平方根互为相反数”，直接利用两数相加和为 0 列方程。 3.遇到含字母的 化简，优先考虑绝对值，再判断字母正负。 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】的算术平方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴求的算术平方根即求4的算术平方根， ∵， ∴的算术平方根是2． 【跟踪专练1】若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【答案】± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 【跟踪专练2】的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．先计算出的值，再对计算结果求算术平方根即可． 【详解】解：，的算术平方根是， 故的算术平方根是， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（   ） A．8 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数. ∴ 解得 则9的算术平方根是3． 题型2.由算术平方根的非负性解题 【典例】已知实数x，y满足，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2012 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 【跟踪专练1】若实数，满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性得到，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 【跟踪专练2】若实数a和b满足，则的算术平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的被开方数的非负性是解题的关键． 根据平方根的定义，被开方数必须非负，由此确定a的值，再代入方程求b，最后计算的算术平方根 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 【跟踪专练3】已知三角形三边长为a，b，c，其中a，b满足，那么这个三角形的最长边c的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题利用非负数的性质求出a，b的值，再结合三角形三边关系确定c的取值范围，即可选出正确选项． 【详解】解：， 则， 解得， 由于是三角形的最长边， 则， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得， 因此c的取值范围是， 只有符合条件， 故选：C． 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请估算的值（   ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】B 【分析】先估算出的值，再估算出的值在1和2之间． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】估计的值在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．根据，即可估计的值． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 即估计的值在2到3之间， 故选：B． 【跟踪专练3】估计的值在（　　） A．7到8之间 B．6到7之间 C．5到6之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】估算的大小即可． 【详解】解：由于，而，即67， 所以的值在6和7之间， 故选：B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，二次根式的乘除法，掌握算术平方根的定义，二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提． 题型4.与算术平方根有关的规律题 【典例】若 则 _______________． 【答案】 【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位，据此解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 【跟踪专练1】已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与算术平方根小数点移动规律探索．熟练掌握被开方数小数点每向左或向右移动两位，算术平方根小数点每向左或向右移动一位，是解题的关键． 根据，各选项被开方数小数点移动情况计算作答，判断即得． 【详解】解：， A、； B、； C. ； D. ． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，下面是一个按某种规律排列的数阵： （1）根据数阵排列的规律，第5行的第6个数（从左向右数）是________； （2）第n行的第个数（从左向右数）是__________（用含n的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：第1行有2个数，第1行的第1个数是， 第2行有4个数，第2行的第2个数是， 第3行有6个数，第3行的第3个数是， ， ∴第n行有个数，第n行的第n个数是， ∴第5行的第5个数是， ∴第6个数为， ∴第n行的第个数是， 故答案为：①；②． 【跟踪专练3】如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 【详解】解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． 题型5.算术平方根的实际应用 【典例】手工课上，每人需要制作一张面积为的正方形卡纸，则它的边长为_____． 【答案】4 【分析】根据正方形的面积公式，求出面积的算术平方根即可得到边长． 【详解】解：由题意得：正方形的边长为． 【跟踪专练1】如图是两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为（   ）． A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为2的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：B． 【跟踪专练2】曲线围成的图形面积为_____． 【答案】 【分析】题目主要考查圆的面积计算及图形的图像，理解题意，作出相应图像是解题关键． 根据题意得出图形为以点为圆心，半径为的半圆与相应三角形的组合图形，作出图形，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴图形为以点为圆心，半径为的半圆与相应三角形的组合图形，如图所示： ∴的面积为：，的面积为：， ∴第一象限的面积为：， 同理，在坐标系中围成的图形如下： ∴曲线围成的图形面积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【详解】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选B． 题型6.平方根的概念理解 【典例】已知有两个平方根分别是与，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的性质是解题关键．根据平方根的性质：两个平方根互为相反数，建立方程求解，再计算的值即可． 【详解】解：有两个平方根分别是与， ，解得， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列说法： ①；②，③4是16的平方根；④的算术平方根是，⑤的平方根是．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根和算术平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：① ∵ ， ∴ ， 故此说法错误； ② ∵ ，且， ∴ ， 故此说法错误； ③ ∵ ， ∴ 4是16的一个平方根， 故此说法正确； ④ ∵ ，且是5的算术平方根， ∴此说法正确； ⑤ ∵ ，负数在实数范围内无平方根， ∴此说法错误； 综上，正确个数为2个． 故选：B． 【跟踪专练2】某正数的两个不相等的平方根分别是和，则为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握平方根的定义． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，由此列出关于 的方程，求解即可． 【详解】解：由题意，得， 整理得， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正数的两个平方根分别是和， 得 解得：， 将代入与中得，两个不同的平方根分别是和，符合题意， ， 故选：B． 题型7.求一个数的平方根 【典例】16的平方根是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：16的平方根是． 【跟踪专练1】的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再求平方根即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 【跟踪专练2】的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 【跟踪专练3】若，则的平方根是（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求平方根，有理数的乘方运算． 根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出x和y的值，再计算并求其平方根即可 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴，， 即，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故选：C． 题型8.求代数式的平方根 【典例】若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 【详解】解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如果，求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 【详解】解：， ， 即， 则， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【跟踪专练3】若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 题型9.由一个数的平方根.求这个数 【典例】一个正数的平方根是与，则这个正数等于_____． 【答案】 【分析】本题考查平方根，解题的关键是理解平方根的概念：一个正数的平方根有两个且互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．据此列出方程求出的值，可得答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴和互为相反数， ∴， 解得：， ∴，， ∴这个正数为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若一个正数的两个平方根分别是与，则m的值是（   ） A．3 B．1 C．或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义． 根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】若与是同一个正数的平方根，则的值为______． 【答案】4或100/100或4 【分析】本题考查平方根．根据平方根的性质，同一个正数的两个平方根互为相反数或相等，据此列出方程求解． 【详解】解：设与是正数的平方根，则有两种情况： 当时， 解得， ， ． 当时， 解得， ， ． 的值为4或100． 故答案为：4或100． 【跟踪专练3】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 题型10.利用平方根解方程 【典例】方程的解是_______． 【答案】 【详解】解： 解得． 【跟踪专练1】，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】该题考查了平方根的性质，根据平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如果，那么_____． 【答案】或 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方根的定义解方程．设，将原方程转化为，利用平方差公式求解． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 所以， 因此， 即或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】将9个棱长为的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高为，底面为正方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程的应用．设长方体的底面边长为，根据橡皮泥的体积不变列方程，再根据平方根的意义解方程即可． 【详解】解：设长方体的底面边长为， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， 即长方体的底面边长为， 故选：B 解答题 1．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果与是同一个正数的两个平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，注意二次根式与平方的联系． （1）先求出的值，再根据列出方程，求出的值； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，和为0，列出方程，求出，然后求出，最后求出这个正数． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 即， ； （2）解：根据题意得：， 即：， ， ， 这个正数为． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，算术平方根和平方的非负性，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算括号内完全平方公式和平方差公式，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式化简，然后根据算术平方根和平方的非负性求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，，且， ∴，， ∴，， ∴原式． 3．小美制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为． (1)求此长方形信封的长和宽； (2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)长为，宽为； (2)能，理由见解析． 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． （1）设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：∵信封的长，宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， （负值已舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）能，理由：， ， ． ∵正方形贺卡的边长是， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 4．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可； （2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：（1） . （2） ， ∴， . 【点睛】本题考查了平方根的定义，平方差公式，利用整体思想求出和是解决本题的关键． 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，解方程即可； （2）根据平方根的定义，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 所以， 解得或． （2）由题意，得， 所以， 所以， 解得或． 6．【实践与探究】 计算：（1） ______， ______， ______， ______． 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与a有怎样的关系？请用数学式子描述出来； （3）利用你总结的规律，计算： ①若，则______；②______． 【答案】（1）3，0.5，0，6；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了算术平方根的定义，实数的绝对值，规律的探索及规律的应用；正确掌握算术平方根的定义是关键． （1）直接计算算术平方根即可； （2）根据（1）中的计算即可得到规律，并可用字母表示出来； （3）①直接利用总结出的规律计算即可； ②直接利用总结出的规律计算即可． 【详解】（1）解：，，，； （2）解：规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； 用数学式子表示为：； （3）解：①当时，， ∴； 故答案为：； ②； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $