第08讲 不等式（组）及其应用 2027年中考数学一轮复习讲义

第08讲 不等式（组）及其应用 内 容 导 航 知识点1 不等式的基本性质 知识点2 一元一次不等式的解法 知识点3 一元一次不等式组的解法 知识点4 一元一次不等式（组）实际应用 知识点5 不等式及其基本性质 知识点6 解一元一次不等式 知识点7 一元一次不等式组的解法 知识点8 一元一次不等式（组）的实际应用 题型1 不等式的解集 题型2 在数轴上表示不等式的解集 题型3 解一元一次不等式 题型4 一元一次不等式的整数解 题型5 由实际问题抽象出一元一次不等式 题型6 一元一次不等式的应用 题型7 解一元一次不等式组 题型8 一元一次不等式组的整数解 题型9 由实际问题抽象出一元一次不等式组 题型10 一元一次不等式组的应用 知 识 点 通 关 知识点1 不等式的基本性质 不等式的基本性质 性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变； 若 性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 若或 性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 若，则或 性质4： 易错点： 1.乘除负数时，忘记改变不等号方向 等式两边乘除任意非零数，等式仍成立；但不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变。 2.盲目对不等式进行相减或相除运算 很多学生类比等式的运算规则，误认为不等式也能直接相减、相除，忽略了性质的适用条件。 知识点2 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的基本步骤 1.去分母 根据不等式的基本性质，两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。 注意：若最小公倍数为负数，不等号方向要改变；若分母中有小数，可先化为整数再计算。 示例：解不等式，两边乘2得。 2.去括号 运用乘法分配律去掉括号，注意符号变化：括号前是“—”时，括号内各项要变号。 示例：接上述不等式，去括号得。 3.移项 把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项要变号(依据不等式加减性质)。 示例：接上述不等式，移项得。 4.合并同类项 分别合并含未知数的项和常数项，化为的形式。 示例：接上述不等式，合并同类项得-3 5.系数化为1 两边同时除以未知数的系数a,转化为最简形式。这是最易出错的关键步骤： 若，不等号方向不变，得(或对应其他符号)； 若，不等号方向必须改变，得(或对应其他符号)。 示例：接上述不等式，系数，两边除以-5，不等号变向，得 知识点3 一元一次不等式组的解法 1.解组内每一个一元一次不等式 按照一元一次不等式的解法步骤(去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1),分别求出不等式组中每个不等式的解集。 注意：系数化为1时，若系数为负数，不等号方向必须改变。 2.利用数轴或口诀确定公共解集 这是解不等式组的关键步骤，有两种常用方法： 方法一：数轴法(直观准确，推荐中考使用) ①画出数轴，标注出每个不等式的解集； ②找出数轴上所有解集重叠的区域，该区域就是不等式组的解集； ③若没有重叠区域，则不等式组无解。 方法二：口诀法（快速判断，适合简单不等式组） 中考常用口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 不等式组解集类型 口诀对应 示例 最终解集 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 无解 3.写出不等式组的最终解集 根据公共区域的判断结果，规范写出解集；若无解，直接注明“不等式组无解”。 注意：解集的书写要符合规范，如，不能写成。 知识点4 一元一次不等式（组）实际应用 一、核心思路：“转化—求解一验证”三步逻辑 1.第一步：实际问题→不等关系转化 这是解题的前提，关键是从题干中提取显性和隐性的不等条件。 ①抓显性关键词：直接锁定表示不等关系的词汇，如“至少(≥)"“至多(≤)"“超过(>)"“不足(<)”“不低于”“不超过“等，根据关键词确定不等号方向。 ②挖隐性限制条件：这类条件题干不会直接说明，但必须满足，如“人数为正整数”物品数量为非负整数”“时间/长度为正数”等，这是后续验证解集的重要依据。 ③设未知数：通常设所求量为x,若有多个相关量，用含x的代数式表示其他量，设未知数时要带单位，表述清晰。 2.第二步：不等关系→不等式（组）求解 这是解题的核心，需要用数学符号语言翻译第一步找到的不等关系。 ①列不等式（组）：用含未知数的代数式表示各量，结合不等关键词列出不等式；若有多个不等条件，需列出不等式组。 ②解不等式（组）：按照一元一次不等式（组）的解法步骤求解，系数化为1时注意判断系数正负，不等号方向是否需要改变；解不等式组时取各不等式解集的公共部分。 3.第三步：数学解集→实际意义验证 这是解题的关键收尾步骤，也是中考的高频丢分点。 验证逻辑：数学解集是理论范围，必须结合实际问题的意义筛选，比如人数、物品件数只能是正整数或非负整数，单价、时间只能是正数。 得出结论：若解集为连续范围，需提取其中符合实际的整数解；若题目要求“设计方案”，需列出所有符合条件的解；若要求“最值”，需在整数解中找到最大或最小值。 知识点5 不等式及其基本性质 利用不等式基本性质判断不等式是否成立，核心是紧扣性质条件，逐一验证变形过程是否符合规则，尤其注意乘除负数变号和性质适用范围两大关键点。 一、核心判断步骤 1.明确已知不等式关系 先确定题干给出的基础不等式(如a>b),以及附加条件(如c>0、c<0或c=0)。 2.分析变形方式 观察待判断不等式是由已知不等式经过加减、乘除、移项中的哪种变形得到的。 3.对照性质验证 结合不等式的基本性质，判断变形过程是否合规： 加减变形：两边同时加减同一个数/式，不等号方向一定不变； 乘除变形：乘除正数，不等号方向不变；乘除负数，不等号方向必须改变；乘除0，不等式变等式； 传递性/同向相加：仅适用于同向不等式，异向不等式无此性质。 4.得出结论 变形符合性质则不等式成立，不符合则不成立。 知识点6 解一元一次不等式 一元一次不等式的解在数轴上表示的核心思路是“先求解集，再规范标注”，本质是将抽象的代数解集转化为直观的数轴图形，关键要把握点的类型（空心/实心）和射线方向两大要素。具体解题思路分为三步： 一、第一步：准确求解一元一次不等式的解集 这是数轴表示的前提，若解集计算错误，后续数轴标注必然出错。 1.按照一元一次不等式的标准解法步骤计算：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2.核心注意点：系数化为1时，必须判断系数的正负—系数为正，不等号方向不变；系数为负，不等号方向改变。 第二步：依据解集，对照选项逐项排除 拿到解集后，从两个关键维度验证选项，不符合任一维度即可直接排除： 维度1：判断关键点的标注类型(空心圆圈/实心圆点) 规则：带等号(≥、≤)→实心圆点；不带等号(>、<)→空心圆圈。 示例：解集x <2→关键点2处是空心圆圈，选项中若标实心圆点，直接排除。 维度2：判断射线的延伸方向 规则：大于(>、≥)→向右画射线；小于(<、≤)→向左画射线。 示例：解集x<2→从2的空心圆圈向左延伸，选项中若向右延伸，直接排除。 第三步（验证）：代入特殊值，确认选项正确性 若排除后仍有模糊选项，可选取选项数轴上的一个点代入原不等式验证： 若点在解集内，代入后不等式应成立；若点不在解集内，代入后应不成立。 解一元一次不等式（计算题） 解一元一次不等式的计算步骤与解一元一次方程类似，但因不等号方向的变化规则，衍生出专属易错点，这些也是中考计算题的主要丢分点，具体归纳如下： 1.漏乘不含分母的项 去分母时，两边需同乘所有分母的最小公倍数，每一项都要乘，包括常数项和不含分母的项，学生易忽略常数项的乘法运算。 错误示例：解不等式，两边乘2，错误得 正确解法：两边乘2，得。 2.分母为负数时，未变不等号方向 若不等式两边同乘负数去分母，不等号方向必须改变，学生常忽略这一规则。 错误示例：解不等式，两边乘-3,错误得x<-6; 正确解法：两边乘一3，不等号变向，得x>－6。 3.为负数时，未改变不等号方向 这是解不等式计算的头号丢分点，学生常照搬解方程的思路，忽略“乘除负数要变号”的规则。 错误示例：解不等式，两边除以-4，错误得； 正确解法：两边除以-4，不等号变向，得。 关键提醒：系数化为1前，先判断系数正负：系数正不等号方向不变；系数负，必须变向。 知识点7 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的核心是“先解单个不等式，再取公共解集”,易错点集中在单个不等式求解错误、公共解集判断偏差和细节规范失误三类，具体梳理如下： 一、解单个不等式时的“连带错误” 这类错误会直接导致后续公共解集判断全部出错，是最基础也最易忽略的问题。 1.系数化为1时，乘除负数忘变号 解组内单个不等式时，若系数为负，不等号方向必须改变，学生常照搬解方程思路，忽略变号规则。○错误示例：解不等式-2x>4,错误得x>-2; 正确结果：x<-2。 2.去分母漏乘常数项、去括号漏变号 去分母时未给不含分母的项乘最小公倍数，或括号前早负号时，括号内部分项未变号，导致单个不等式解集错误。 二、公共解集判断的核心易错点 这是解不等式组的专属易错点，也是中考丢分重灾区。 1.混淆口诀适用场景，错判公共解集 对“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀理解模糊，尤其含等号时易出错。 ○错误示例：解不等式组,错误认为解集是 正确判断：属于“大大小小找不到”,不等式组无解。 关键提醒：判断前先把每个解集整理成或的形式，再对比大小。 2.数轴标注时，空心圆圈与实心圆点混淆 用数轴找公共解集时，把“>、<”对应的空心圆圈，和“≥、≤”对应的实心圆点搞混，导致公共范围判断失误。 错误示例：解集x>3在数轴上标成实心圆点； 正确规则：带等号用实心，不带等号用空心。 3.遗漏“等号”对公共解集的影响 忽略等号是否包含在解集中，导致解集边界错误。 错误示例：不等式组，错误认为无解； 知识点8 一元一次不等式（组）的实际应用 销售利润类应用题是中考的高频题型，核心解题思路是“梳理利润公式一提取不等关系→建立不等式模型→结合实际求解”,关键是理清成本、售价、销量、利润之间的数量关系，再结合题干中的“最多”至少”“不超过“等关键词列出不等式(组)。 一、先掌握核心公式(解题基础) 解决利润问题的前提是熟记以下公式，避免因公式混淆导致列式错误： 1.单件利润=单件售价-单件进价(成本) 2.总利润=单件利润×销售数量 拓展公式：总利润=总销售额-总成本 3.常见限制条件：销售数量为非负整数；售价≥进价(保证不亏本) 二、四步解题法(核心逻辑) 1.审：梳理题干信息，提取关键条件 ●找出已知量：进价、售价、固定销量/销量与售价的关系、利润目标等； ●圈画不等关键词：确定不等关系，常见表述有 ①利润“不低于"/"至少”达到多少元→总利润≥目标利润 ②利润“不超过”多少元→总利润≤目标利润 ③进货量“最多”/“最少”为多少→进货数量≤/≥限定值 ●明确未知量：通常设进货数量或调价后的售价为x。 2.设：合理设未知数，表示相关量 ●若题干涉及两种商品，设其中一种商品的进货量为x,另一种用含x的代数式表示(如两种商品共进货100件，设甲x件，则乙(100-x)件); ●若涉及售价调整，设调价后售价为x,则单件利润为(x—进价)。 3.列：根据不等关系，建立不等式（组） 这是解题的核心步骤，结合总利润公式和不等关键词列不等式： 基本模型：单件利润×销售数量≤/≥目标利润 若有多个限制条件（如进货总量限制+利润限制），则列出不等式组。 考 点 演 练 题型1 不等式的解集 【典例1】已知整式，其中n，an为正整数，a1，a2，…，an﹣1为自然数，整数a0满足|a0|+a1＝8，a0+a1+a2+…+an＝6．定义整式M的“加权值”．下列说法： ①当n＝1时，不等式M≤5的解集为； ②当x＝1，n＝3时，M′的最小值为17； ③满足条件的所有二次三项式的和取最小值时，． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】若关于x的不等式的解集为x＞4，则m的取值范围是（　　） A．m＞4 B．m＜4 C．m≥4 D．m≤4 题型2 在数轴上表示不等式的解集 【典例1】一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．﹣1＜x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1≤x≤2 【变式1】一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示．则下列实数是该不等式组的解的是（　　） A． B． C． D． 题型3 解一元一次不等式 【典例1】不等式x﹣1＜﹣2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，则m的值可以是（　　） A．4 B．3 C．0 D．﹣4 题型4 一元一次不等式的整数解 【典例1】已知整式，其中n为正整数，an为大于1的正整数，an﹣1，…，a0均为非负整数，且满足an＞an﹣1≥an﹣2≥…≥a0，记S＝an+an﹣1+…+a1+a0．下列说法： ①若n＝2，S＝6，则满足条件的二次整式M的和为15x2+10x+5； ②当n＝1时，存在整式M，使得不等式M≤n有正整数解； ③若n≤3，S＝8，则满足条件的n次多项式且恰有n个非零项M共有24个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】若关于x的不等式3（x﹣1）＞2（m+x）只有两个负整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型5 由实际问题抽象出一元一次不等式 【典例1】嘉嘉用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本5元，每支圆珠笔2元，下列说法错误的是（　　） A．设购买圆珠笔x支，依题意得2x+5（30﹣x）≤100 B．设购买笔记本x本，依题意得5x+2（30﹣x）≤100 C．圆珠笔的数量可以是17支 D．笔记本的数量可以是14本 【变式1】2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（　　） A．5x﹣3（20﹣x）≤80 B．5x﹣3（20﹣x）≥80 C．5x﹣3（20﹣x）＜80 D．5x﹣3（20﹣x）＞80 题型6 一元一次不等式的应用 【典例1】如图，小明受《鸟鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，则量筒中至少继续放入　 　 个小球时有水溢出． 【变式1】如图，一个纸杯的高度是9cm，六个纸杯叠放在一起的高度为11.5cm．若干个纸杯按如图所示的方式叠放，且高度不超过20cm，则纸杯的个数最多是　 　 个． 题型7 解一元一次不等式组 【典例1】在平面直角坐标系中，若点P（x+1，2x﹣3）在第四象限，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】不等式组的解集是（　　） A． B． C．x＞﹣3 D． 题型8 一元一次不等式组的整数解 【典例1】若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10 【变式1】如果关于x的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　 　 ． 题型9 由实际问题抽象出一元一次不等式组 【典例1】☆跨学科物理小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个50g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（　　） A．m＞50g B．m＜75g C．50g≤m≤75g D．50g＜m＜75g 【变式1】野生兰草适宜生长在温度为18℃～22℃的山区．已知海拔每升高1000m，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为100m．设野生兰草在海拔高度为xm的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型10 一元一次不等式组的应用 【典例1】近年来，地摊经济备受青睐，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为28元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共90束，计划购买成本不超过1380元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【变式1】“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 （1）求a，b的值； （2）若计划第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 过 关 验 收 1．下列各数中，是不等式2x+1＜3的一个解的是（　　） A．1 B．2 C．4 D．﹣3 2．若x＝5是一元一次不等式组的一个解，则m的取值范围是　 ． 3．数轴上某不等式的解集表示如图所示，则该不等式的解集可能是（　　） A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2 4．不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．不等式3（x﹣2）+4≤5x的解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x≤1 C．x≥1 D．x≤﹣1 6．不等式2x﹣1＞3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．空心圆点在2处，射线向右 B．实心圆点在2处，射线向右 C．空心圆点在﹣2处，射线向右 D．实心圆点在﹣1处，射线向右 7．若x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解，则a可取的最大整数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．不等式的负整数解的个数有（　　） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 9．某校运动会上，九年级男子3000m长跑比赛扣人心弦．小华在距终点100m时暂时领先，他以6.5m/s的平均速度向终点冲刺，身后10m处的小亮也同时发起冲刺，…．若设小亮冲刺时的平均速度为xm/s，根据题意可得，则题中“…”表示的情境为（　　） A．小亮成功超越小华率先到达终点 B．小亮仍未超越小华 C．小亮与小华同时到达终点 D．两人仍保持原有距离 10．某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（　　） A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%） 11．已知m，n为实数，且m﹣n＝4，m≥2n，m＞0，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 12．如图，某农家计划利用已有的一堵长为7.9m的墙，用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子，设AB长为x（m），则下列数据不符合题意的是（　　） A．x＝4 B．x＝2.5 C．x＝2 D．x＝1.5 13．南通蓝印花布印染技艺被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承这一中华优秀传统文化，学校蓝印花布印染社团计划招募新成员．已知该社团现有成员35人，若社团成员总人数不超过80，则新招募的成员人数可以是　 　 ．（写出一个即可） 14．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 15．定义一种新运算， ①若x▷2＝3，则x＝1或x＝5； ②若|x﹣1|▷2≥3，则x≥6； ③若（x﹣1）（x﹣3）＜0，则|（x﹣4）▷（3x﹣2）|+|4x+8|的最小值为14． 以上说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．不等式﹣1≤y＜2的所有整数解的和是（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．0 17．若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 18．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如表，已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（　　） A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 A． B． C． D． 19．小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（　　） A．50＜x＜80 B．50≤x≤80 C．50≤x＜80 D．50＜x≤80 20．学校购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 21．食盐的主要成分是NaCl，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在1%～1.5%时，汤咸淡适中，味道最佳．小明向锅里倒入1000mL水，要想烧出味美的汤，可放入盐（　　）（水的密度是1g/cm3，1mL＝1cm3） A．6g B．12g C．18g D．25g 22．如图，小明设计一组测量实验．①将200mL的水倒入一个容积为600mL的杯子中；②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完全相同的小铁球放入水中，水没有满；④再加入1颗大铁球，水满且溢出来．根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是（　　） A．35cm3 B．45cm3 C．55cm3 D．60cm3 23．某工厂生产一种产品，产品在出厂时已经按照规定数量装入三种型号的集装箱内封装．各型号的集装箱的装货数量、总重量和运输成本如表： 型号 装货数量（件） 总重量（吨） 运输成本（元） A 10 4 15 B 12 5 18 C 14 6 20 工厂备货充足，已封装的每种型号的集装箱均有多个．现需向客户发货，客户要求每次至少收到50件产品．工厂安排一辆最大载重为23吨的货车承担发货任务，只发车一次． （1）若只装载型号A和B这两种集装箱，则为完成发货任务，该货车装载的集装箱总数为 个； （2）在所有能完成发货任务的方案中，运输总成本最少为 元． 24．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 不等式（组）及其应用 内 容 导 航 知识点1 不等式的基本性质 知识点2 一元一次不等式的解法 知识点3 一元一次不等式组的解法 知识点4 一元一次不等式（组）实际应用 知识点5 不等式及其基本性质 知识点6 解一元一次不等式 知识点7 一元一次不等式组的解法 知识点8 一元一次不等式（组）的实际应用 题型1 不等式的解集 题型2 在数轴上表示不等式的解集 题型3 解一元一次不等式 题型4 一元一次不等式的整数解 题型5 由实际问题抽象出一元一次不等式 题型6 一元一次不等式的应用 题型7 解一元一次不等式组 题型8 一元一次不等式组的整数解 题型9 由实际问题抽象出一元一次不等式组 题型10 一元一次不等式组的应用 知 识 点 通 关 知识点1 不等式的基本性质 不等式的基本性质 性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变； 若 性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 若或 性质3：不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 若，则或 性质4： 易错点： 1.乘除负数时，忘记改变不等号方向 等式两边乘除任意非零数，等式仍成立；但不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变。 2.盲目对不等式进行相减或相除运算 很多学生类比等式的运算规则，误认为不等式也能直接相减、相除，忽略了性质的适用条件。 知识点2 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的基本步骤 1.去分母 根据不等式的基本性质，两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。 注意：若最小公倍数为负数，不等号方向要改变；若分母中有小数，可先化为整数再计算。 示例：解不等式，两边乘2得。 2.去括号 运用乘法分配律去掉括号，注意符号变化：括号前是“—”时，括号内各项要变号。 示例：接上述不等式，去括号得。 3.移项 把含未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项要变号(依据不等式加减性质)。 示例：接上述不等式，移项得。 4.合并同类项 分别合并含未知数的项和常数项，化为的形式。 示例：接上述不等式，合并同类项得-3 5.系数化为1 两边同时除以未知数的系数a,转化为最简形式。这是最易出错的关键步骤： 若，不等号方向不变，得(或对应其他符号)； 若，不等号方向必须改变，得(或对应其他符号)。 示例：接上述不等式，系数，两边除以-5，不等号变向，得 知识点3 一元一次不等式组的解法 1.解组内每一个一元一次不等式 按照一元一次不等式的解法步骤(去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1),分别求出不等式组中每个不等式的解集。 注意：系数化为1时，若系数为负数，不等号方向必须改变。 2.利用数轴或口诀确定公共解集 这是解不等式组的关键步骤，有两种常用方法： 方法一：数轴法(直观准确，推荐中考使用) ①画出数轴，标注出每个不等式的解集； ②找出数轴上所有解集重叠的区域，该区域就是不等式组的解集； ③若没有重叠区域，则不等式组无解。 方法二：口诀法（快速判断，适合简单不等式组） 中考常用口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 不等式组解集类型 口诀对应 示例 最终解集 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到 无解 3.写出不等式组的最终解集 根据公共区域的判断结果，规范写出解集；若无解，直接注明“不等式组无解”。 注意：解集的书写要符合规范，如，不能写成。 知识点4 一元一次不等式（组）实际应用 一、核心思路：“转化—求解一验证”三步逻辑 1.第一步：实际问题→不等关系转化 这是解题的前提，关键是从题干中提取显性和隐性的不等条件。 ①抓显性关键词：直接锁定表示不等关系的词汇，如“至少(≥)"“至多(≤)"“超过(>)"“不足(<)”“不低于”“不超过“等，根据关键词确定不等号方向。 ②挖隐性限制条件：这类条件题干不会直接说明，但必须满足，如“人数为正整数”物品数量为非负整数”“时间/长度为正数”等，这是后续验证解集的重要依据。 ③设未知数：通常设所求量为x,若有多个相关量，用含x的代数式表示其他量，设未知数时要带单位，表述清晰。 2.第二步：不等关系→不等式（组）求解 这是解题的核心，需要用数学符号语言翻译第一步找到的不等关系。 ①列不等式（组）：用含未知数的代数式表示各量，结合不等关键词列出不等式；若有多个不等条件，需列出不等式组。 ②解不等式（组）：按照一元一次不等式（组）的解法步骤求解，系数化为1时注意判断系数正负，不等号方向是否需要改变；解不等式组时取各不等式解集的公共部分。 3.第三步：数学解集→实际意义验证 这是解题的关键收尾步骤，也是中考的高频丢分点。 验证逻辑：数学解集是理论范围，必须结合实际问题的意义筛选，比如人数、物品件数只能是正整数或非负整数，单价、时间只能是正数。 得出结论：若解集为连续范围，需提取其中符合实际的整数解；若题目要求“设计方案”，需列出所有符合条件的解；若要求“最值”，需在整数解中找到最大或最小值。 知识点5 不等式及其基本性质 利用不等式基本性质判断不等式是否成立，核心是紧扣性质条件，逐一验证变形过程是否符合规则，尤其注意乘除负数变号和性质适用范围两大关键点。 一、核心判断步骤 1.明确已知不等式关系 先确定题干给出的基础不等式(如a>b),以及附加条件(如c>0、c<0或c=0)。 2.分析变形方式 观察待判断不等式是由已知不等式经过加减、乘除、移项中的哪种变形得到的。 3.对照性质验证 结合不等式的基本性质，判断变形过程是否合规： 加减变形：两边同时加减同一个数/式，不等号方向一定不变； 乘除变形：乘除正数，不等号方向不变；乘除负数，不等号方向必须改变；乘除0，不等式变等式； 传递性/同向相加：仅适用于同向不等式，异向不等式无此性质。 4.得出结论 变形符合性质则不等式成立，不符合则不成立。 知识点6 解一元一次不等式 一元一次不等式的解在数轴上表示的核心思路是“先求解集，再规范标注”，本质是将抽象的代数解集转化为直观的数轴图形，关键要把握点的类型（空心/实心）和射线方向两大要素。具体解题思路分为三步： 一、第一步：准确求解一元一次不等式的解集 这是数轴表示的前提，若解集计算错误，后续数轴标注必然出错。 1.按照一元一次不等式的标准解法步骤计算：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 2.核心注意点：系数化为1时，必须判断系数的正负—系数为正，不等号方向不变；系数为负，不等号方向改变。 第二步：依据解集，对照选项逐项排除 拿到解集后，从两个关键维度验证选项，不符合任一维度即可直接排除： 维度1：判断关键点的标注类型(空心圆圈/实心圆点) 规则：带等号(≥、≤)→实心圆点；不带等号(>、<)→空心圆圈。 示例：解集x <2→关键点2处是空心圆圈，选项中若标实心圆点，直接排除。 维度2：判断射线的延伸方向 规则：大于(>、≥)→向右画射线；小于(<、≤)→向左画射线。 示例：解集x<2→从2的空心圆圈向左延伸，选项中若向右延伸，直接排除。 第三步（验证）：代入特殊值，确认选项正确性 若排除后仍有模糊选项，可选取选项数轴上的一个点代入原不等式验证： 若点在解集内，代入后不等式应成立；若点不在解集内，代入后应不成立。 解一元一次不等式（计算题） 解一元一次不等式的计算步骤与解一元一次方程类似，但因不等号方向的变化规则，衍生出专属易错点，这些也是中考计算题的主要丢分点，具体归纳如下： 1.漏乘不含分母的项 去分母时，两边需同乘所有分母的最小公倍数，每一项都要乘，包括常数项和不含分母的项，学生易忽略常数项的乘法运算。 错误示例：解不等式，两边乘2，错误得 正确解法：两边乘2，得。 2.分母为负数时，未变不等号方向 若不等式两边同乘负数去分母，不等号方向必须改变，学生常忽略这一规则。 错误示例：解不等式，两边乘-3,错误得x<-6; 正确解法：两边乘一3，不等号变向，得x>－6。 3.为负数时，未改变不等号方向 这是解不等式计算的头号丢分点，学生常照搬解方程的思路，忽略“乘除负数要变号”的规则。 错误示例：解不等式，两边除以-4，错误得； 正确解法：两边除以-4，不等号变向，得。 关键提醒：系数化为1前，先判断系数正负：系数正不等号方向不变；系数负，必须变向。 知识点7 一元一次不等式组的解法 解一元一次不等式组的核心是“先解单个不等式，再取公共解集”,易错点集中在单个不等式求解错误、公共解集判断偏差和细节规范失误三类，具体梳理如下： 一、解单个不等式时的“连带错误” 这类错误会直接导致后续公共解集判断全部出错，是最基础也最易忽略的问题。 1.系数化为1时，乘除负数忘变号 解组内单个不等式时，若系数为负，不等号方向必须改变，学生常照搬解方程思路，忽略变号规则。○错误示例：解不等式-2x>4,错误得x>-2; 正确结果：x<-2。 2.去分母漏乘常数项、去括号漏变号 去分母时未给不含分母的项乘最小公倍数，或括号前早负号时，括号内部分项未变号，导致单个不等式解集错误。 二、公共解集判断的核心易错点 这是解不等式组的专属易错点，也是中考丢分重灾区。 1.混淆口诀适用场景，错判公共解集 对“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀理解模糊，尤其含等号时易出错。 ○错误示例：解不等式组,错误认为解集是 正确判断：属于“大大小小找不到”,不等式组无解。 关键提醒：判断前先把每个解集整理成或的形式，再对比大小。 2.数轴标注时，空心圆圈与实心圆点混淆 用数轴找公共解集时，把“>、<”对应的空心圆圈，和“≥、≤”对应的实心圆点搞混，导致公共范围判断失误。 错误示例：解集x>3在数轴上标成实心圆点； 正确规则：带等号用实心，不带等号用空心。 3.遗漏“等号”对公共解集的影响 忽略等号是否包含在解集中，导致解集边界错误。 错误示例：不等式组，错误认为无解； 知识点8 一元一次不等式（组）的实际应用 销售利润类应用题是中考的高频题型，核心解题思路是“梳理利润公式一提取不等关系→建立不等式模型→结合实际求解”,关键是理清成本、售价、销量、利润之间的数量关系，再结合题干中的“最多”至少”“不超过“等关键词列出不等式(组)。 一、先掌握核心公式(解题基础) 解决利润问题的前提是熟记以下公式，避免因公式混淆导致列式错误： 1.单件利润=单件售价-单件进价(成本) 2.总利润=单件利润×销售数量 拓展公式：总利润=总销售额-总成本 3.常见限制条件：销售数量为非负整数；售价≥进价(保证不亏本) 二、四步解题法(核心逻辑) 1.审：梳理题干信息，提取关键条件 ●找出已知量：进价、售价、固定销量/销量与售价的关系、利润目标等； ●圈画不等关键词：确定不等关系，常见表述有 ①利润“不低于"/"至少”达到多少元→总利润≥目标利润 ②利润“不超过”多少元→总利润≤目标利润 ③进货量“最多”/“最少”为多少→进货数量≤/≥限定值 ●明确未知量：通常设进货数量或调价后的售价为x。 2.设：合理设未知数，表示相关量 ●若题干涉及两种商品，设其中一种商品的进货量为x,另一种用含x的代数式表示(如两种商品共进货100件，设甲x件，则乙(100-x)件); ●若涉及售价调整，设调价后售价为x,则单件利润为(x—进价)。 3.列：根据不等关系，建立不等式（组） 这是解题的核心步骤，结合总利润公式和不等关键词列不等式： 基本模型：单件利润×销售数量≤/≥目标利润 若有多个限制条件（如进货总量限制+利润限制），则列出不等式组。 考 点 演 练 题型1 不等式的解集 【典例1】已知整式，其中n，an为正整数，a1，a2，…，an﹣1为自然数，整数a0满足|a0|+a1＝8，a0+a1+a2+…+an＝6．定义整式M的“加权值”．下列说法： ①当n＝1时，不等式M≤5的解集为； ②当x＝1，n＝3时，M′的最小值为17； ③满足条件的所有二次三项式的和取最小值时，． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解答】解：已知|a0|+a1＝8，a0+a1+a2+…+an＝6，且a1，…，an﹣1是自然数，an是正整数，a0是整数． ∵|a0|﹣a0﹣2＝a2+⃯+an≥0，若a0≥0，左边为﹣2＜0不成立， ∴a0＜0，得|a0|＝﹣a0， 化简得：a1＝8+a0，a2+…+an＝﹣2a0﹣2，且﹣8≤a0≤﹣1，a0为整数， 验证①：当n＝1时，M＝a1x+a0，且a0+a1＝6，结合﹣a0+a1＝8， 解得a1＝7，a0＝﹣1， ∴M＝7x﹣1， 不等式M≤5即7x﹣1≤5，解得， ∴①正确； 验证②：当x＝1，n＝3时，M′＝4a3+3a2+2a1+a0，代入a1＝8+a0，a2+a3＝﹣2a0﹣2， 化简得：M′＝﹣3a0+a3+10， 要使M′最小，a3最小取正整数1， 此时a2＝﹣2a0﹣2﹣1≥0，得a0≤﹣2， M′＝﹣3a0+11，a0越大M′越小，最大a0＝﹣2， 代入得M′min＝﹣3×（﹣2）+11＝17， ∴②正确； 验证③：二次三项式为， 由a2＞0，a1≥0得a2＝﹣2a0﹣2＞0，a1＝8+a0≥0， ∴﹣8≤a0≤﹣2，a0为整数， ∴a0可取﹣8、﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2， 则a2＝﹣2a0﹣2对应可取14、12、10、8、6、4、2， a1＝8+a0对应可取0、1、2、3、4、5、6， ∴x的系数为0+1+2+3+4+5+6＝21，x2的系数为14+12+10+8+6+4+2＝56， ∴当时，所有二次三项式的和取得最小值， ∴③正确， 故选：A． 【变式1】若关于x的不等式的解集为x＞4，则m的取值范围是（　　） A．m＞4 B．m＜4 C．m≥4 D．m≤4 【答案】D 【解答】解：∵关于x的不等式组的解集为x＞4， ∴m≤4， 故选：D． 题型2 在数轴上表示不等式的解集 【典例1】一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．﹣1＜x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．﹣1≤x≤2 【答案】B 【解答】解：由数轴知，该不等式组的解集为：﹣1＜x≤2， 故选：B． 【变式1】一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示．则下列实数是该不等式组的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：该不等式组的解集为3≤x≤4， ∵，， ∴只有是该不等式组的解． 故选：C． 题型3 解一元一次不等式 【典例1】不等式x﹣1＜﹣2的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：x﹣1＜﹣2， 移项得x＜﹣2+1， 合并同类项得x＜﹣1， 在数轴上表示不等式的解集如下： ， 故选：B． 【变式1】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y，则m的值可以是（　　） A．4 B．3 C．0 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：， 将①×2﹣②得﹣x＝﹣5+3m，整理得x＝5﹣3m， 将x＝5﹣3m 代入①，得5﹣3m﹣2y＝1+m， 整理得y＝2﹣2m， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足x＜y， 解得m＞3， 故选：A． 题型4 一元一次不等式的整数解 【典例1】已知整式，其中n为正整数，an为大于1的正整数，an﹣1，…，a0均为非负整数，且满足an＞an﹣1≥an﹣2≥…≥a0，记S＝an+an﹣1+…+a1+a0．下列说法： ①若n＝2，S＝6，则满足条件的二次整式M的和为15x2+10x+5； ②当n＝1时，存在整式M，使得不等式M≤n有正整数解； ③若n≤3，S＝8，则满足条件的n次多项式且恰有n个非零项M共有24个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解答】解：根据题干给出的次数系数条件，按每个说法的要求分类枚举所有符合条件的整式如下： ①当n＝2，S＝6时， a2 a1＝2 a0 6 0 0 5 1 0 4 2 0 4 1 1 3 2 1 ∴满足条件的二次整式M的和为22x2+6x+2， 故①错误，不符合题意； ②当n＝1时，M＝a1x+a0，， 不等式a1x+a0≤1，解得， ∵a0≥0，a1≥2， ∴， ∴不等式M≤1没有正整数解， 故②错误，不符合题意； ③若M为n次n项式，则an＞an﹣1≥an﹣2≥…≥a1≥1，a0＝0， 当n＝3时， a3 a2 a1＝2 a0 6 1 1 0 5 2 1 0 4 3 1 0 4 2 2 0 当n＝2时， a2 a1＝2 a0 7 1 0 6 2 0 5 3 0 当n＝1时， a1＝2 a0 8 0 ∴满足条件的n次n项式M共有8个，故③错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】若关于x的不等式3（x﹣1）＞2（m+x）只有两个负整数解，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：3（x﹣1）＞2（m+x）， 3x﹣3＞2m+2x， x＞2m+3， ∵关于x的不等式3（x﹣1）＞2（m+x）只有两个负整数解， ∴﹣3≤2m+3＜﹣2， ∴﹣3≤m． 故选：B． 题型5 由实际问题抽象出一元一次不等式 【典例1】嘉嘉用100元钱去购买笔记本和圆珠笔共30件，已知每本笔记本5元，每支圆珠笔2元，下列说法错误的是（　　） A．设购买圆珠笔x支，依题意得2x+5（30﹣x）≤100 B．设购买笔记本x本，依题意得5x+2（30﹣x）≤100 C．圆珠笔的数量可以是17支 D．笔记本的数量可以是14本 【答案】D 【解答】解：根据所设未知数和总花费不超过100元列出不等式及圆珠笔最少购买的数量分析判断如下： A、设购买圆珠笔x支，则购买笔记本（30﹣x）本， ∵总花费不超过100元 ∴2x+5（30﹣x）≤100，故选项A正确，不符合题意； B、设购买笔记本x本，则购买圆珠笔（30﹣x）支， ∵总花费不超过100元 ∴5x+2（30﹣x）≤100，故选项B正确，不符合题意； 解不等式5x+2（30﹣x）≤100 去括号得5x+60﹣2x≤100， 移项，合并同类项得3x≤40， 系数化为1得， ∵x为非负整数， ∴x的最大值为13， ∴笔记本最多购买13本， ∴圆珠笔最少购买30﹣13＝17支，故C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】2026年，宇树科技人形机器人再登央视春晚舞台．为普及相关科技知识，某校举办了人工智能知识竞答活动，一共20道题，每一题答对得5分，答错或不答扣3分．设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（　　） A．5x﹣3（20﹣x）≤80 B．5x﹣3（20﹣x）≥80 C．5x﹣3（20﹣x）＜80 D．5x﹣3（20﹣x）＞80 【答案】B 【解答】解：由题意可得， 5x﹣3（20﹣x）≥80， 故选：B． 题型6 一元一次不等式的应用 【典例1】如图，小明受《鸟鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，则量筒中至少继续放入　 　 个小球时有水溢出． 【答案】7． 【解答】解：设量筒中继续放入x个小球， 根据题意得：36x＞49， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴x的最小值为7， ∴量筒中至少继续放入7个小球时有水溢出． 故答案为：7． 【变式1】如图，一个纸杯的高度是9cm，六个纸杯叠放在一起的高度为11.5cm．若干个纸杯按如图所示的方式叠放，且高度不超过20cm，则纸杯的个数最多是　 　 个． 【答案】23． 【解答】解：一个纸杯的高度是9cm，六个纸杯叠放在一起的高度为11.5cm． 设每增加一个纸杯，高度增加xcm， 由题意得：， 设纸杯的个数为n个， 根据题意得：9+0.5（n﹣1）≤20，解得：n≤23， 因为n为正整数，所以n的最大值为23，即纸杯的个数最多是23个． 故答案为：23． 题型7 解一元一次不等式组 【典例1】在平面直角坐标系中，若点P（x+1，2x﹣3）在第四象限，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题知， 因为点P（x+1，2x﹣3）在第四象限， 所以， 解得﹣1＜x． 故选：C． 【变式1】不等式组的解集是（　　） A． B． C．x＞﹣3 D． 【答案】B 【解答】解：解不等式2x+6＞0，得x＞﹣3， 解不等式3x＜8，得， 故不等式组的解集是． 故选：B． 题型8 一元一次不等式组的整数解 【典例1】若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10 【答案】A 【解答】解：， 解不等式①，得x， 解不等式②，得x≥3， ∵关于x的不等式组的解集只有3个整数解，（3个整数解是3，4，5）， ∴56， ∴10＜a≤12， 故选：A． 【变式1】如果关于x的不等式组有且只有5个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　 　 ． 【答案】9 【解答】解：由，得x≤5， 由3x+6＞a+4，得x， ∵关于x的不等式组有且只有5个整数解， ∴这5个整数解是1，2，3，4，5， ∴01， 解得2≤a＜5， ∴满足条件的整数a的值为2，3，4， ∴符合条件的所有整数a的和为9， 故答案为：9． 题型9 由实际问题抽象出一元一次不等式组 【典例1】☆跨学科物理小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个50g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（　　） A．m＞50g B．m＜75g C．50g≤m≤75g D．50g＜m＜75g 【答案】D 【解答】解：由图可知：， ∴50g＜m＜75g， 故选：D． 【变式1】野生兰草适宜生长在温度为18℃～22℃的山区．已知海拔每升高1000m，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为100m．设野生兰草在海拔高度为xm的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意得：， 即18≤2422． 故选：D． 题型10 一元一次不等式组的应用 【典例1】近年来，地摊经济备受青睐，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元． （1）求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？ （2）若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为28元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共90束，计划购买成本不超过1380元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案． 【答案】（1）腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束 （2）当购进腊梅40束，百合50束时，销售的最大利润为820元 【解答】解：（1）设腊梅的进价是x元/束，百合的进价是y元/束，根据题意得： ， 解得， 答：腊梅的进价是12元/束，百合的进价是18元/束． （2）设购进腊梅m束，则购进百合（90﹣m）束， 根据题意得：， 解得40≤m≤54， 设两种鲜花全部售完后的总利润为w元， 则w＝（20﹣12）m+（28﹣18）（90﹣m） ＝8m+10（90﹣m） ＝﹣2m+900， ∴w＝﹣2m+900，其中40≤m≤54， ∵﹣2＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m取最小值40时，w取得最大值， 其最大值为w＝﹣2×40+900＝820（元）， 此时90﹣m＝50（束）， 答：当购进腊梅40束，百合50束时，销售的最大利润为820元． 【变式1】“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 （1）求a，b的值； （2）若计划第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】（1）a＝800，b＝1000； （2）该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额为最大，为23200元． 【解答】解：（1）由题意得， 解得：， 所以a的值为800，b的值为1000； （2）设该专卖店第三周售出A型车x辆，B型车（25﹣x）辆，销售总额为W元， 由题意得：W＝800x+1000（25﹣x）＝﹣200x+25000， 由x＜25﹣x≤2x， 解得； x取整数，x＝9，10，11，12， ∵W随着x的增大而减小， ∴当x＝9时，W取得最大值，此时W＝﹣200×9+25000＝23200（元），25﹣x＝16（辆）． 所以该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额为最大，为23200元， 答：该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额为最大，为23200元． 过 关 验 收 1．下列各数中，是不等式2x+1＜3的一个解的是（　　） A．1 B．2 C．4 D．﹣3 【答案】D 【解答】解：2x+1＜3， 2x＜3﹣1， 2x＜2， x＜1， ∵A，B，C选项的数的大于等于1，D选项中的数﹣3＜1， ∴A，B，C选项中的数不是不等式2x+1＜3的一个解，D选项中的数是不等式2x+1＜3的一个解， 故选：D． 2．若x＝5是一元一次不等式组的一个解，则m的取值范围是　 ． 【答案】m＜5． 【解答】解：∵x＝5是不等式组的一个解， ∴m＜5， 故答案为：m＜5． 3．数轴上某不等式的解集表示如图所示，则该不等式的解集可能是（　　） A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2 【答案】D 【解答】解：数轴上某不等式的解集表示如图所示，则该不等式的解集可能是x≥2， 故选：D． 4．不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：不等式组的解集表示为： ，A符合题意， 故选：A． 5．不等式3（x﹣2）+4≤5x的解集为（　　） A．x≥﹣1 B．x≤1 C．x≥1 D．x≤﹣1 【答案】A 【解答】解：3（x﹣2）+4≤5x， 去括号得，3x﹣6+4≤5x， 移项、合并同类项得，﹣2x≤2， x的系数化为1得，x≥﹣1． 故选：A． 6．不等式2x﹣1＞3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．空心圆点在2处，射线向右 B．实心圆点在2处，射线向右 C．空心圆点在﹣2处，射线向右 D．实心圆点在﹣1处，射线向右 【答案】A 【解答】解：由2x﹣1＞3得， x＞2， 所以不等式2x﹣1＞3的解集为x＞2， 在数轴上表示时，空心圆点在2处，大于方向向右， 所以A选项符合题意． 故选：A． 7．若x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解，则a可取的最大整数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：∵x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解， ∴6﹣a+2＞0， ∴a＜8， ∴a是最大整数为7， 故选：B． 8．不等式的负整数解的个数有（　　） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【解答】解：， 3（x﹣5）＜2（3x﹣1）， 3x﹣15＜6x﹣2， 3x﹣6x＜﹣2+15， ﹣3x＜13， x， ∴它的负整数解有：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，共有4个， 故选：C． 9．某校运动会上，九年级男子3000m长跑比赛扣人心弦．小华在距终点100m时暂时领先，他以6.5m/s的平均速度向终点冲刺，身后10m处的小亮也同时发起冲刺，…．若设小亮冲刺时的平均速度为xm/s，根据题意可得，则题中“…”表示的情境为（　　） A．小亮成功超越小华率先到达终点 B．小亮仍未超越小华 C．小亮与小华同时到达终点 D．两人仍保持原有距离 【答案】A 【解答】解：根据题意小华以6.5m/s的平均速度向终点冲刺， 则表示小华冲刺的时间， 设小亮冲刺时的平均速度为xm/s， 则表示小华冲刺时小亮冲刺的路程， 小华在距终点100m时暂时领先，身后10m处的小亮也同时发起冲刺， 则100+10为小亮距终点的距离， ∴表示小华冲刺时小亮冲刺的路程大于小亮距终点的距离，即小亮成功超越小华率先到达终点． 故选：A． 10．某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（　　） A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%） 【答案】B 【解答】解：按标价打x折出售，根据题意得： ：． 故选：B． 11．已知m，n为实数，且m﹣n＝4，m≥2n，m＞0，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵m﹣n＝4， ∴n＝m﹣4， 把n＝m﹣4代入m≥2n得：m≥2（m﹣4）， 整理得m≤8， 把n＝m﹣4代入得：， ∵随m增大而减小， ∴随m增大而增大， 当m取最大值8时，原式取得最大值， 代入得：， 即的最大值为， 故选：A． 12．如图，某农家计划利用已有的一堵长为7.9m的墙，用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子，设AB长为x（m），则下列数据不符合题意的是（　　） A．x＝4 B．x＝2.5 C．x＝2 D．x＝1.5 【答案】D 【解答】解：设AB长为x（m）， 根据题意得：7.9x≥12， 解得：x， ∴x＝1.5不符合题意． 故选：D． 13．南通蓝印花布印染技艺被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承这一中华优秀传统文化，学校蓝印花布印染社团计划招募新成员．已知该社团现有成员35人，若社团成员总人数不超过80，则新招募的成员人数可以是　 　 ．（写出一个即可） 【答案】40（答案不唯一）． 【解答】解：设新招募的成员人数为x， ∵社团现有成员35人，要求总人数不超过80， ∴可得不等式35+x≤80， 解得x≤45， 又∵人数是非负整数， ∴只要选取1到45之间的任意正整数都符合要求，可取40， 故答案为：40（答案不唯一）． 14．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由2x﹣2＜x得，x＜2； 由2（x﹣1）≥x﹣5得，x≥﹣3， 所以不等式组的解集为﹣3≤x＜2， 数轴表示如下： ． 故选：C． 15．定义一种新运算， ①若x▷2＝3，则x＝1或x＝5； ②若|x﹣1|▷2≥3，则x≥6； ③若（x﹣1）（x﹣3）＜0，则|（x﹣4）▷（3x﹣2）|+|4x+8|的最小值为14． 以上说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①∵x▹2＝3，分情况讨论： 当2x≥0，即x≥0时，得x﹣2＝3， 解得x＝5，符合条件； 当2x＜0，即x＜0时，得x+2＝3， 解得x＝1，不符合x＜0，舍去； ∴仅x＝5，结论①错误，不符合题意； ②∵|x﹣1|≥0， ∴2|x﹣1|≥0，符合ab≥0， 得|x﹣1|﹣2≥3，即|x﹣1|≥5， 解得x≥6或x≤﹣4，结论②漏解，错误，不符合题意； ③由（x﹣1）（x﹣3）＜0可得： ∴， 解得1＜x＜3， ∵1＜x＜3时，x﹣4＜0，3x﹣2＞3×1﹣2＝1＞0， ∴（x﹣4）（3x﹣2）＜0，符合ab＜0， ∴（x﹣4）▹（3x﹣2）＝（x﹣4）+（3x﹣2）＝4x﹣6， 原式为|4x﹣6|+|4x+8|， ∵1＜x＜3， ∴4x+8＞0，即|4x+8|＝4x+8， 当1＜x≤1.5时，|4x﹣6|＝6﹣4x，原式＝14； 当1.5＜x＜3时，|4x﹣6|＝4x﹣6，原式＝4x﹣6+4x+8＝8x+2＞8×1.5+2＝14； ∴原式最小值为14，结论③正确，符合题意； 故选：B． 16．不等式﹣1≤y＜2的所有整数解的和是（　　） A．﹣1 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解答】解：不等式的所有整数解有﹣1，0，1， ∴所有整数解的和是﹣1+0+1＝0． 故选：D． 17．若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：， 由①得x＞2a+1， 由②得x≤0， ∴关于x不等式组的解集为2a+1＜x≤0， ∴3个整数解为0，﹣1，﹣2， ∴， 由③得， 由④得a≥﹣2， ∴a的取值范围是． 故选：C． 18．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如表，已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（　　） A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可得： ， 故选：B． 19．小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（　　） A．50＜x＜80 B．50≤x≤80 C．50≤x＜80 D．50＜x≤80 【答案】C 【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80． 故选：C． 20．学校购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 21．食盐的主要成分是NaCl，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在1%～1.5%时，汤咸淡适中，味道最佳．小明向锅里倒入1000mL水，要想烧出味美的汤，可放入盐（　　）（水的密度是1g/cm3，1mL＝1cm3） A．6g B．12g C．18g D．25g 【答案】B 【解答】解：∵水的密度是1g/cm3，1mL＝1cm3， ∴1000mL水的质量为1000g． 设可放入xg盐， 根据题意得：， 解得：x， ∴x的值可以为12． 故选：B． 22．如图，小明设计一组测量实验．①将200mL的水倒入一个容积为600mL的杯子中；②若将5颗完全相同的大铁球放入水中，水刚好到杯口，没有溢出；③若将8颗完全相同的小铁球放入水中，水没有满；④再加入1颗大铁球，水满且溢出来．根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是（　　） A．35cm3 B．45cm3 C．55cm3 D．60cm3 【答案】B 【解答】解：杯子还能装的体积：600﹣200＝400mL＝400cm3． 由②设大铁球体积为V大，则5V大＝400，V大＝80； 设小铁球体积为V小， 由③得8V小＜400， V小＜50． 由④得8V小+80＞400， V小＞40． ∴根据以上的实验过程，推测1颗小铁球的体积可能是45cm3． 故选：B． 23．某工厂生产一种产品，产品在出厂时已经按照规定数量装入三种型号的集装箱内封装．各型号的集装箱的装货数量、总重量和运输成本如表： 型号 装货数量（件） 总重量（吨） 运输成本（元） A 10 4 15 B 12 5 18 C 14 6 20 工厂备货充足，已封装的每种型号的集装箱均有多个．现需向客户发货，客户要求每次至少收到50件产品．工厂安排一辆最大载重为23吨的货车承担发货任务，只发车一次． （1）若只装载型号A和B这两种集装箱，则为完成发货任务，该货车装载的集装箱总数为 个； （2）在所有能完成发货任务的方案中，运输总成本最少为 元． 【答案】（1）5； （2）73． 【解答】解：（1）设装载型号A集装箱x个，型号B集装箱y个，x，y为非负整数且不同时为0， 根据题意得， 对y从小到大取值验证： 当y＝1时，不等式化为， 得3.8≤x≤4.5， 取x＝4，x+y＝5， 当y＝2时，不等式化为， 得2.6≤x≤3.25， 取x＝3，x+y＝5， 当y＝3时，不等式化为， 得1.4≤x≤2， 取x＝2，x+y＝5， 当y≥4时，5y≥20，4x≤3， 没有正整数x满足条件因此该货车装载的集装箱总数为5， 故答案为：5； （2）设装载A、B、C三种型号集装箱分别为x，y，z个， x，y，z为非负整数，满足， 总成本W＝15x+18y+20z，求W的最小值， 按z从大到小验证：z＝3时，已装42件，载重18吨，剩余载重最多5吨，还需至少8件，得到最小W＝3×20+1×15＝75， z＝2时，已装28件，载重12吨，剩余载重最多11吨，还需至少22件， 当x＝1，y＝1时，总件数10+12+28＝50≥50， 总重量4+5+12＝21≤23， 此时W＝15+18+2×20＝73，其余方案W均大于73． z＝1时，所有满足条件的方案中最小W＝74＞73； z＝0时，x＝5，y＝0时，W＝75；x＝2，y＝3时，W＝84；最小W＝75＞73， 同时不存在满足条件的方案使W＜73， 因此运输总成本最少为73元， 故答案为：73． 24．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】（1）A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）共有3种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买方案1． 【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：23≤m≤25， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×27+80×0.8×23＝2714（元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）． ∵2714＜2732＜2750， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1. 学科网（北京）股份有限公司 $