第17讲 全等三角形 2027年中考数学一轮复习讲义

第17讲 全等三角形 内 容 导 航 知识点1 全等三角形的判定证明 知识点2 角平分线与尺规作图综合 知识点3 垂直平分线与尺规作图综合 知识点4 全等三角形的判定 题型1 全等图形 题型2 全等三角形的性质 题型3 全等三角形的判定 题型4 全等三角形的判定与性质 题型5 作图—基本作图 题型6 角平分线的性质 知 识 点 通 关 知识点1 全等三角形的判定证明 判定简称 中文名称 内容（条件） 适用范围 关键提醒 SSS 边边边 三边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 三边全相等 SAS 边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 任意三角形 必须是夹角，SSA 不成立 ASA 角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 边在两角中间 AAS 角角边 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 边不是夹边 HL 斜边直角边 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 仅直角三角形 只能用于 直角三角形 注意：以下两个不能判断三角形全等 SSA：两边及其中一边的对角 ❌ 不能判定 AAA：三个角对应相等 ❌ 只能相似，不能全等 知识点2 角平分线与尺规作图综合 1.角平分线的性质定理 内容：角平分线上的点到角两边的距离相等。 条件：点在角平分线上+到两边作垂线段。 结论：两条垂线段相等。 作用：直接得线段相等，简化证明与计算。 2.角平分线尺规作图 步骤： 1.以顶点为圆心画弧，交两边于两点； 2.分别以这两点为圆心，适当长为半径画弧，交于一点； 3.连接顶点与交点，即为角平分线。 知识点3 垂直平分线与尺规作图综合 一、性质定理 1.文字语言 线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 2.作用 直接得到线段相等 构造等腰三角形，用于求边长、周长、角度 二、判定定理 1.文字语言 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2.证明直线是垂直平分线 需证：直线上有两个点到线段两端点距离相等。 三、尺规作图：作线段的垂直平分线 ①分别以线段两端点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点； ②过这两点作直线，即为线段AB的垂直平分线。 知识点4 全等三角形的判定 添加条件使得三角形全等 一、核心思路 1.先看图，标已知：标出公共边、公共角、对顶角、平行线带来的相等边角。 2.对照5个判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。 3.缺什么补什么，补完刚好3组相等。 4.避开陷阱：不补SSA、不补AAA。 二、解题步骤(直接背) 1.找已有相等条件(边/角)。 2.看已有条件适合哪种判定： ①已有两边→缺夹角(SAS)或第三边(SSS) ②已有两角→缺任意一边(ASA/AAS) ③已有一边一角→优先补角(AAS/ASA) 3.写出最直接、最简单的条件。 4.检查：不能是SSA，必须是SAS。 全等三角形中折叠问题 一、核心结论(先记这一句) 折叠前后的两个图形一定全等→对应边相等、对应角相等。 二、解题四步走(万能思路) 1.找全等：折叠前后重合的部分： 2.标相等 ①对应边相等 ②对应角相等把相等的边、角全部标在图上。 3.转化已知 把要求的线段/角度，通过全等转化成已知长度/角度。 4.列方程计算 多用：①勾股定理；②周长、面积整体代换；③角度和为180° 考 点 演 练 题型1 全等图形 【典例1】如图，在一个大矩形中不重叠放置4个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正确的是（　　） A．只与大矩形的长有关 B．只与大矩形的宽有关 C．与大矩形的长和宽都有关 D．与大矩形的长和宽都无关 【答案】B 【解答】解：设小矩形的长为a，宽为b，大矩形的长为m，宽为n． ∵a+2b＝m． ∵左边阴影矩形的长为a，宽为n﹣2b， ∴左边阴影的周长为2（a+n﹣2b）． 右边阴影矩形的长为2b，宽为n﹣a， ∴右边阴影的周长为2（2b+n﹣a）． ∴阴影部分的周长和为： 2（a+n﹣2b）+2（2b+n﹣a） ＝ 2a+2n﹣4b+4b+2n﹣2a ＝4n； ∴阴影部分的周长和只与大矩形的宽有关． 故选：B． 【变式1】如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（　　） A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180° 【答案】D 【解答】解：如图， 在△ABC与△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（SAS）， ∴∠1＝∠ABC． ∵∠ABC+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝180°． 故选：D． 题型2 全等三角形的性质 【典例1】如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，AB＝6，AC＝4．如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1． （1）求证：BD1＝AC1且BD1∥AC1； （2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于　2　 时，点A与点D1之间的距离最小． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：由图1可知，△ACB≌△DBC， ∴AB＝CD，AC＝BD，∠ABC＝∠DCB， ∴AB∥CD， 由平移的性质可知，CD＝C1D，CD∥C1D， ∴AB＝C1D，AB∥C1D， ∴四边形BD1C1A为平行四边形， ∴BD1＝AC1且BD1∥AC1； （2）解：当点C于点B重合时，点A与点D1之间的距离最小， ∴△DBC沿射线BC方向平移的距离＝BC2， 故答案为：2． 【变式1】如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角． （1）写出相等的线段与角． （2）若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角， ∴EF＝NM，EG＝NH，FG＝MH，∠F＝∠M，∠E＝∠N，∠EGF＝∠NHM， ∴FH＝GM，∠EGM＝∠NHF； （2）∵EF＝NM，EF＝2.1cm， ∴MN＝2.1cm； ∵FG＝MH，FH+HG＝FG，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm， ∴HG＝FG﹣FH＝HM﹣FH＝3.3﹣1.1＝2.2（cm）． 题型3 全等三角形的判定 【典例1】如图，点A，D在直线BC的同侧，∠ABC＝∠DCB，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝DC B．BD＝AC C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC 【答案】B 【解答】解：A、补充AB＝DC，可根据sAs判定△ABC≌△DCB，故选项不符合题意； B、补充BD＝AC，ssA不能判定△ABC≌△DCB，故选项符合题意； C、补充∠A＝∠D，可根据AAs判定△ABC≌△DCB，故选项不符合题意； D、补充∠ACB＝∠DBC，可根据AsA判定△ABC≌△DCB，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF， ∴△ACD≌△BEF（SSS）， ∴∠MBN＝∠PAQ， 故选：B． 题型4 全等三角形的判定与性质 【典例1】如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA，OB于点C，D；以点O为圆心，大于OC长为半径画弧，分别交边OA，OB于点E，F；连接CF，DE，交点为G，作射线OG．则下列结论一定正确的是（　　） A．EC＝EG B．CF⊥OA C．OG＝EG D．∠AOG＝∠BOG 【答案】D 【解答】解：由作图步骤可知：OC＝OD，OE＝OF， ∵在△OCF和△ODE 中， ， ∴△OCF≌△ODE（SAS）； ∴∠OCF＝∠ODE； ∵∠ECG＝180°﹣∠OCF，∠FDG＝180°﹣∠ODE， ∴∠ECG＝∠FDG， ∵OE＝OF，0C＝0D， ∴OE﹣OC＝0F﹣OD，即CE＝DF； ∵在△CEG和△DFG中，∠CGE＝∠DGF， ∠ECG＝∠FDG，CE＝DF， ∴△CEG≌△DFG（AAS）； ∴CG＝DG； ∵在△OCG和△ODG中， ∴△OCG≌△ODG（SSS）； ∴∠C0G＝∠D0G， 即∠AOG＝∠BOG． 其它选项均无法得到． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连结BF． （1）求证：△DEC≌△AEF； （2）判断四边形ADBF的形状并说明理由． 【答案】（1）∵点E是线段AD的中点， ∴DE＝AE， ∵点D在BC上，AF∥BC交CE的延长线于点F， ∴∠DCE＝∠AFE， 在△DEC和△AEF中， ， ∴△DEC≌△AEF（AAS）． （2）四边形ADBF是矩形， 理由：连接DF， 由（1）得△DEC≌△AEF， ∴CE＝FE， ∵DE＝AE， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴AF＝CD，DF＝AC， ∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD，DF＝AB， ∵AF∥CD，且AF＝CD， ∴AF∥BD，且AF＝BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵四边形ADBF是平行四边形，且DF＝AB， ∴四边形ADBF是矩形． 【解答】（1）证明：∵点E是线段AD的中点， ∴DE＝AE， ∵点D在BC上，AF∥BC交CE的延长线于点F， ∴∠DCE＝∠AFE， 在△DEC和△AEF中， ， ∴△DEC≌△AEF（AAS）． （2）解：四边形ADBF是矩形， 理由：连接DF， 由（1）得△DEC≌△AEF， ∴CE＝FE， ∵DE＝AE， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴AF＝CD，DF＝AC， ∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CD，DF＝AB， ∵AF∥CD，且AF＝CD， ∴AF∥BD，且AF＝BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵四边形ADBF是平行四边形，且DF＝AB， ∴四边形ADBF是矩形． 题型5 作图—基本作图 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　） A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0 【答案】C 【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上，点P的坐标为（a，b）， ∴点P到x轴、y轴的距离相等； ∵点P的坐标为（a，b）， ∴a﹣b＝0． 故选：C． 【变式1】观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明AB＞AC的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【解答】解：如图①中，AT＝AC， ∵点T在线段AB上， ∴AB＞AT，即AB＞AC． 如图④中， 由作图可知，EB＝EC， ∵EA+EC＞AC， ∴EA+EB＞AC，即AB＞AC． 故选：B． 题型6 角平分线的性质 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，连接AO，则AO的长度为（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【解答】解：作OF⊥AB于点F，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∴OF＝OD，OE＝OD， ∴OF＝OE， ∴点O在∠BAC的平分线上， ∴AO平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴AO⊥BC， ∴A、O、D三点在同一条直线上， ∵AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D， ∴BD＝CDBC＝6， ∵∠AFO＝∠ADB＝90°， ∴AD8， ∴sin∠BAD， ∴OD＝OFAO， ∴AO+OD＝AOAOAO，且AO+OD＝AD＝8， ∴AO＝8， ∴AO＝5， 故选：A． 【变式1】如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中： ①AD是△ABC的高； ②AD是△ABC的中线； ③ED＝FD； ④AB＝AE+BF． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：∵BC恰好平分∠ABF， ∴∠ABC＝∠FBD， ∵AC∥BF， ∴∠C＝∠FBD， ∴∠C＝∠ABC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，CD＝BD，所以①②正确； 过D点作DH⊥AB于H，如图， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB， ∴DE＝DH， ∵AC∥BF，DE⊥AC， ∴DF⊥BF， ∵BD平分∠ABF，DH⊥AB， ∴DH＝DF， ∴DE＝DF，所以③正确； 在△ADE和△ADH中， ， ∴△ADE≌△ADH（HL）， ∴AH＝AE， 同理可得BH＝BF， ∴AB＝AH+BH＝AE+BF，所以④正确． 故选：A． 过 关 验 收 1．下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：观察发现：只有D选项的图形与已知图形不全等， 故选：D． 2．把正方形ABCD按如图方式切割成由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△CDH，△DAE）和小正方形EFGH，连结AC，交BG于点P，若AE＝2，DE＝3，则PG的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△ABF，△BCG，△CDH，△DAE为四个全等的直角三角形， ∴CG＝AE＝2，AF＝DE＝3， ∵四边形HEFG为正方形， ∴GF＝EF＝AF﹣AE＝3﹣2＝1，HG∥EF， ∵GC∥AF， ∴△CGP∽△AFP， ∴， ∴， ∴PGGF． 故选：A． 3．如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（　　） A．（3）cm B．（3﹣2）cm C．（6）cm D．（6﹣2）cm 【答案】A 【解答】解：如图，过M点作ME⊥AD于E点， ∵四边形ABCD是正方形，边长为6， ∴AD＝CD＝6，∠C＝∠D＝90°， ∵裁剪的两个梯形全等， ∴AN＝MC， ∵ME⊥AD， ∴四边形MCDE是矩形， ∴MC＝ED，ME＝CD＝6， ∴AN＝ED， 根据题意有∠MNE＝60°， ∴在Rt△MNE中，NE2， ∴AN+ED＝AD﹣NE＝6﹣2， ∴AN＝3， 即梯形中较短的底为（3）（cm）． 故选：A． 4．如图所示，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形FGHI，连接DE，BE＞CE．已知正方形ABCD与正方形FGHI面积之比为，若DE∥CH，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得△BIC≌△CHD， ∴设CI＝DH＝a，CH＝b，则IH＝a+b， ∵∠H＝90°， ∴CD2＝CH2+DH2＝a2+b2， ∵正方形ABCD与正方形FGHI面积之比为59， ∴，即， ∴整理得2a2﹣5ab+2b2＝0， ∴2（）2﹣5ab+2＝0， 解得或2（舍去）， ∴b＝2a， ∴BI＝CH＝2a， 如图所示，作BM⊥GH交GH于点M，作NE⊥BM交BM于点P， 由题意可得，△AGD≌△DHC， ∵ED∥CH， ∴四边形BINP，ENHD是矩形， ∴PN＝BI＝2a，EN＝DH＝a， ∴PE＝PN﹣EN＝a， ∴设CN＝m，则IN＝BP＝a+m， ∵BE⊥CE， ∴∠BEP+∠CEN＝90°， ∵BP⊥PN， ∴∠BEP+∠PBE＝90°， ∴∠CEN＝∠PBE， 又∵∠BPE＝∠ENC＝90°， ∴△BPE∽△ENC， ∴，即， ∴整理得a2﹣am﹣m2＝0， ∴（）21＝0， ∴解得或（舍去）， ∴． 故选：A． 5．如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形ABCD，A′B′C′D′的面积均为75cm2，重叠部分的小正方形A′ECF的面积为27cm2，则BE的长为　 　 cm． 【答案】2． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积＝BC2＝75cm2， ∴BC＝5cm， ∵正方形A′ECF的面积＝EC2＝27cm2， ∴EC＝3cm， ∴BE＝BC﹣EC＝2（cm）． 故答案为：2． 6．某中学计划在一块长16m，宽6m的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若a＝1.5m，则草坪总面积为 　　 平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 　　 米． 【答案】（1）30；（2）1． 【解答】解：（1）由图可得， 草坪的总面积是（16﹣4a）（6﹣2a）＝8a2﹣56a+96， 当a＝1.5时， 8a2﹣56a+96 ＝8×1.52﹣56×1.5+96 ＝8×2.25﹣56×1.5+96 ＝18﹣84+96 ＝30， 即a＝1.5m时，草坪总面积为30平方米， 故答案为：30； （2）由图可得， 草坪的总面积是（16﹣4a）（6﹣2a）＝8a2﹣56a+96， 路的总面积是16×6﹣（8a2﹣56a+96）＝56a﹣8a2， ∵草坪总面积恰好等于小路总面积， ∴8a2﹣56a+96＝56a﹣8a2， 解得a1＝1，a2＝6（舍去）， 即此时的路宽a为1米， 故答案为：1． 7．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．72° B．60° C．58° D．50° 【答案】D 【解答】解：∵图中的两个三角形全等， a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ∴∠α＝50°， 故选：D． 8．如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°， ∴∠EDC＝∠A＝70°，CD＝AC， ∴∠ADC＝∠A＝70°， ∴∠BDE＝180°﹣∠EDC﹣∠CDA＝40°． 故选：A． 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（8，2），C（6，8），若△ABD≌△ABC，且点D在第四象限，则点D的坐标是（　　） A．（6，﹣4） B．（6，﹣6） C．（6，﹣8） D．（6，﹣10） 【答案】A 【解答】解：∵△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（8，2），A、B两点的纵坐标相同， ∴AB∥x轴， ∵△ABD≌△ABC，且点D在第四象限， ∴点D和点C关于直线AB对称， ∵C（6，8）， ∴D（6，﹣4）． 故选：A． 10．如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE，设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论： ①；②2a2+2b2＝c2；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解答】解：∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠AEB+∠ABE＝90°， ∵△EAB≌△BCD，AB＝a，BC＝b， ∴CD＝AB＝a，AE＝CB＝b，BE＝BD，∠AEB＝∠CBD，AC＝AB+BC＝a+b， ∴∠CBD+∠ABE＝90°， ∴∠DBE＝180°﹣（∠CBD+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°， 由勾股定理得：， 在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB+AE＞BE， ∴，所以结论①正确； 在Rt△BDE中，BE2+BD2＝DE2，即， ∴2a2+2b2＝c2，所以结论②正确； 又∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠A+∠C＝180°， ∴AE∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴四边形ACDE是直角梯形， ∴， ∴，所以结论③正确； 综上所述，所有正确结论的序号是①②③，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 11．如图，△ABC≌△DEF，点E在BC边上，AC与EF相交于点G，若∠F＝32°，GC＝GE，则∠1＝　　 °． 【答案】64． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠C＝∠F＝32°， ∵GC＝GE， ∴∠GEC＝∠C＝32°， ∴∠1＝∠GEC+∠C＝64°， 故答案为：64． 12．如图，将两个全等的直角三角形纸片（△ABC≌△DEF，∠ACB＝∠EFD＝90°）按如图方式摆放，使得点A与点D重合，点C落在边DE上，连结CF，若∠B＝42°，则∠BCF＝　 　 ． 【答案】156°． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝42°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝48°， ∵△ABC≌△DEF，点A与点D重合，点C落在边DE上， ∴AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝48°， ∴∠AFC＝∠ACF， ∵∠AFC+∠ACF+∠EAF＝180°， ∴2∠ACF+48°＝180°， ∴∠ACF＝66°， ∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°+66°＝156°， 故答案为：156°． 13．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 【答案】（1）AE＝3； （2）∠AED＝80°． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB， ∴BE＝BC＝3， ∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3； （2）∵△ABC≌△DEB， ∴∠DBE＝∠C＝55°， ∴∠AED＝∠DBE+∠D＝55°+25°＝80°． 14．如图，线段AC，BD相交于点O，且△ABO≌△CDO，点E，F在线段AC上，AF＝CE．求证：FD＝EB． 【答案】证明见解析部分． 【解答】证明：∵△ABO≌△CDO， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AF＝CE， ∴OF＝OE， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 15．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．在验证结论时，判定△OPD≌△OPE的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【答案】C 【解答】解：∵角尺两边相同的刻度分别与点D，E重合， ∴PE＝PD， 在△OPD和△OPE中， ， ∴△OPD≌△OPE（SSS）， ∴∠AOP＝∠BOP， ∴射线OP就是∠AOB的平分线， 故选：C． 16．如图，∠AOB＜90°，点M在OB上，且OM＝6，点M到射线OA的距离为a，点P在射线OA上，MP＝x，若△OMP的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是（　　） A．x＝a或x≥6 B．x≥6 C．x＝6 D．x＝6或x＞a 【答案】A 【解答】解：当MP⊥OA时，PM＝x＝a，△OMP是直角三角形，△OMP的形状，大小是唯一确定的； 当a＜x＜6时，如图，有两种情况； 当x≥6时，△OMP的形状，大小是唯一确定的． ∴x＝a或x≥6． 故选：A． 17．如图：△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，试说明△ABC≌△DEF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 18．如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；求证：△AEC≌△BED． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED， 即∠AEC＝∠BED， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 19．如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，若∠BDA＝135°，则∠DBC等于（　　） A．30° B．35° C．45° D．55° 【答案】C 【解答】解：∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD和△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（SAS）， ∵∠BDA＝135°， ∴BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝135°， ∴∠DBC＝∠DCB，∠BDC＝360°﹣2×135°＝90°， ∴， 故选：C． 20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，连结PA、PB、PC，且∠1＝∠2＝∠3．若△ABC的面积为10，则△PBC的面积为（　　） A． B． C． D．4 【答案】D 【解答】解：过点A作AE⊥AP，且使AE＝AP，连接CE，PE，如图所示： ∴∠PAE＝90°， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴设AP＝AE＝a，∠APE＝∠AEP＝45°， 由勾股定理得：EP， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，且面积为10， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，S△ABCAB•ACAC2＝10， ∴AC2＝20，∠PBA+∠2＝∠PCB+∠3＝45°， ∵∠1＝∠2＝∠3， ∴∠PBA+∠1＝∠PCB+∠2＝45°， 在△PAB中，∠APB＝180°﹣（∠PBA+∠1）＝135°， 在△PBC中，∠BPC＝180°﹣（∠PCB+∠2）＝135°， ∴∠APB+∠APE＝135°+45°＝180°， ∴点B，P，E共线， ∴∠EPC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣135°＝45°， ∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝45°+45°＝90°， ∴△APC是直角三角形， ∵∠BAC＝∠PAE＝90°， ∴∠1+∠PAC＝∠PAC+∠CAE， ∴∠1＝∠CAE， 在△PAB和△EAC中， ， ∴△PAB≌△EAC（SAS）， ∴PB＝EC，∠AEC＝∠APB＝135°， ∴∠PEC＝∠AEC﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°， 又∵∠EPC＝45°， ∴△EPC是等腰直角三角形， ∴EC＝EP， ∴PB＝EC， 由勾股定理得：PC2a， ∴PB＝EC， ∴S△PBCPB•ECa2， 在Rt△APC中，由勾股定理得：AP2+PC2＝AC2， ∴a2+（2a）2＝20， 解得：a2＝4， ∴S△PBC＝a2＝4． 故选：D． 21．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝8，BE＝6，则DE的值为（　　） A．10 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵△ABE，△BCF，△CDG，△DAH都是全等三角形， ∴DH＝AE＝8，AH＝BE＝6、∠DHA＝∠AEB＝90°， ∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2， ∵∠DHA＝90°， ∴∠DHE＝180°﹣90°＝90°， 在Rt△DHE中，由勾股定理得：， 故选：C． 22．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论： ①AE＝CD； ②BF＝FG； ③∠AHC＝60°； ④∠AHB＝∠DHB＝60°； ⑤DH＞HE+BH． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：∵△ABC与△BDE为等边三角形， ∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，BD＝BE， ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴∠BAE＝∠BCD，AE＝CD，∠BDC＝∠AEB，故①正确，符合题意； 又∵∠DBG＝∠FBE＝60°， ∴在△BGD和△BFE中， ， ∴△BGD≌△BFE（ASA）， ∴BG＝BF，∠BFG＝∠BGF＝60°， ∴△BFG是等边三角形，则BF＝FG，故②正确，符合题意； 在△ABF和△CGB中， ， ∴△ABF≌△CGB（SAS）， ∴∠BAF＝∠BCG， ∴∠CAF+∠ACB+∠BCD＝∠CAF+∠ACB+∠BAF＝60°+60°＝120°， ∴∠AHC＝60°，故③正确，符合题意； 作BM⊥AH于M，BN⊥DH于N，如图所示： 则∠BMA＝∠BNC＝90°， 在△ABM和△CBN中， ， ∴△ABM≌△CBN（AAS）， ∴BM＝BN， ∴∠AHB＝∠DHB，HB平分∠AHD， 又∵∠AHC＝60°， ∴∠AHD＝120°，则∠AHB＝∠DHB＝60°，故④正确，符合题意； 在DH上取一点I，使得DI＝HE，连接BI， 又∠BDC＝∠AEB， 在△BHE和△BID中， ， ∴△BHE≌△BID（SAS）， ∴BH＝BI， ∴∠BIH＝∠BHD＝60°，则△BHI为等边三角形， ∴BH＝BI，则DH＝DI+HI＝HE+BH，故⑤错误，不符合题意； 故选：C． 23．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A．AF＝BF B．∠AFD+∠FBC＝90° C．DF⊥AB D．∠BAF＝∠CAF 【答案】D 【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC， ∴FA＝FB，DF⊥AB，故选项A，C正确， ∴∠AFD＝∠BFD， ∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°， ∴∠AFD+∠FBC＝90°，故选项B正确． 故选：D． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D， ∴AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴， 故选：B． 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 【答案】B 【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得， ∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线， ∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线， ∵∠C＝90°， ∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°， ∴∠BDE＝∠BAC， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL）， ∴AE＝AC， ∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 26．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项A，作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意； 选项B，作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意； 选项C，作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意； 选项D，作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，能确定∠BAD＝∠CAD，故本选项符合题意； 故选：D． 27．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 28．如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC边于点D．若△ABC的面积为15，则△ABD的面积为（　　） A．9 B．6 C．5 D．5.5 【答案】B 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， 设DE＝DF＝h， ∴， ， ∵， ∴， ∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝15， ∴， ∴， ∴S△ABD＝6． 故选：B． 29．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，则以下结论一定正确的是（　　） A．AD＝CD B．BD＝DE C．BD＝CD D． 【答案】B 【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠ABC＝90°，DE⊥AC， ∴BD＝DE（角平分线上的点到两边的距离相等）． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 全等三角形 内 容 导 航 知识点1 全等三角形的判定证明 知识点2 角平分线与尺规作图综合 知识点3 垂直平分线与尺规作图综合 知识点4 全等三角形的判定 题型1 全等图形 题型2 全等三角形的性质 题型3 全等三角形的判定 题型4 全等三角形的判定与性质 题型5 作图—基本作图 题型6 角平分线的性质 知 识 点 通 关 知识点1 全等三角形的判定证明 判定简称 中文名称 内容（条件） 适用范围 关键提醒 SSS 边边边 三边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 三边全相等 SAS 边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 任意三角形 必须是夹角，SSA 不成立 ASA 角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 边在两角中间 AAS 角角边 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 任意三角形 边不是夹边 HL 斜边直角边 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 仅直角三角形 只能用于 直角三角形 注意：以下两个不能判断三角形全等 SSA：两边及其中一边的对角 ❌ 不能判定 AAA：三个角对应相等 ❌ 只能相似，不能全等 知识点2 角平分线与尺规作图综合 1.角平分线的性质定理 内容：角平分线上的点到角两边的距离相等。 条件：点在角平分线上+到两边作垂线段。 结论：两条垂线段相等。 作用：直接得线段相等，简化证明与计算。 2.角平分线尺规作图 步骤： 1.以顶点为圆心画弧，交两边于两点； 2.分别以这两点为圆心，适当长为半径画弧，交于一点； 3.连接顶点与交点，即为角平分线。 知识点3 垂直平分线与尺规作图综合 一、性质定理 1.文字语言 线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 2.作用 直接得到线段相等 构造等腰三角形，用于求边长、周长、角度 二、判定定理 1.文字语言 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2.证明直线是垂直平分线 需证：直线上有两个点到线段两端点距离相等。 三、尺规作图：作线段的垂直平分线 ①分别以线段两端点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点； ②过这两点作直线，即为线段AB的垂直平分线。 知识点4 全等三角形的判定 添加条件使得三角形全等 一、核心思路 1.先看图，标已知：标出公共边、公共角、对顶角、平行线带来的相等边角。 2.对照5个判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。 3.缺什么补什么，补完刚好3组相等。 4.避开陷阱：不补SSA、不补AAA。 二、解题步骤(直接背) 1.找已有相等条件(边/角)。 2.看已有条件适合哪种判定： ①已有两边→缺夹角(SAS)或第三边(SSS) ②已有两角→缺任意一边(ASA/AAS) ③已有一边一角→优先补角(AAS/ASA) 3.写出最直接、最简单的条件。 4.检查：不能是SSA，必须是SAS。 全等三角形中折叠问题 一、核心结论(先记这一句) 折叠前后的两个图形一定全等→对应边相等、对应角相等。 二、解题四步走(万能思路) 1.找全等：折叠前后重合的部分： 2.标相等 ①对应边相等 ②对应角相等把相等的边、角全部标在图上。 3.转化已知 把要求的线段/角度，通过全等转化成已知长度/角度。 4.列方程计算 多用：①勾股定理；②周长、面积整体代换；③角度和为180° 考 点 演 练 题型1 全等图形 【典例1】如图，在一个大矩形中不重叠放置4个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正确的是（　　） A．只与大矩形的长有关 B．只与大矩形的宽有关 C．与大矩形的长和宽都有关 D．与大矩形的长和宽都无关 【变式1】如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（　　） A．∠2＝2∠1 B．∠2﹣∠1＝90° C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180° 题型2 全等三角形的性质 【典例1】如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，AB＝6，AC＝4．如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1． （1）求证：BD1＝AC1且BD1∥AC1； （2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于　2　 时，点A与点D1之间的距离最小． 【变式1】如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角． （1）写出相等的线段与角． （2）若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度． 题型3 全等三角形的判定 【典例1】如图，点A，D在直线BC的同侧，∠ABC＝∠DCB，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DCB成立的是（　　） A．AB＝DC B．BD＝AC C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DBC 【变式1】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 题型4 全等三角形的判定与性质 【典例1】如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA，OB于点C，D；以点O为圆心，大于OC长为半径画弧，分别交边OA，OB于点E，F；连接CF，DE，交点为G，作射线OG．则下列结论一定正确的是（　　） A．EC＝EG B．CF⊥OA C．OG＝EG D．∠AOG＝∠BOG 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连结BF． （1）求证：△DEC≌△AEF； （2）判断四边形ADBF的形状并说明理由． 题型5 作图—基本作图 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　） A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0 【变式1】观察下列尺规作图的痕迹，其中能说明AB＞AC的是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 题型6 角平分线的性质 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，连接AO，则AO的长度为（　　） A．5 B．3 C． D． 【变式1】如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中： ①AD是△ABC的高； ②AD是△ABC的中线； ③ED＝FD； ④AB＝AE+BF． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 过 关 验 收 1．下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（　　） A． B． C． D． 2．把正方形ABCD按如图方式切割成由四个全等的直角三角形（△ABF，△BCG，△CDH，△DAE）和小正方形EFGH，连结AC，交BG于点P，若AE＝2，DE＝3，则PG的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（　　） A．（3）cm B．（3﹣2）cm C．（6）cm D．（6﹣2）cm 4．如图所示，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形FGHI，连接DE，BE＞CE．已知正方形ABCD与正方形FGHI面积之比为，若DE∥CH，则（　　） A． B． C． D． 5．如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形ABCD，A′B′C′D′的面积均为75cm2，重叠部分的小正方形A′ECF的面积为27cm2，则BE的长为　 　 cm． 6．某中学计划在一块长16m，宽6m的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若a＝1.5m，则草坪总面积为 　　 平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 　　 米． 7．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　） A．72° B．60° C．58° D．50° 8．如图，△ABC≌△DEC，点D在AB上，∠A＝70°，则∠BDE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（8，2），C（6，8），若△ABD≌△ABC，且点D在第四象限，则点D的坐标是（　　） A．（6，﹣4） B．（6，﹣6） C．（6，﹣8） D．（6，﹣10） 10．如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE，设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论： ①；②2a2+2b2＝c2；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．如图，△ABC≌△DEF，点E在BC边上，AC与EF相交于点G，若∠F＝32°，GC＝GE，则∠1＝　　 °． 12．如图，将两个全等的直角三角形纸片（△ABC≌△DEF，∠ACB＝∠EFD＝90°）按如图方式摆放，使得点A与点D重合，点C落在边DE上，连结CF，若∠B＝42°，则∠BCF＝　 　 ． 13．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°． （1）求AE的长度； （2）求∠AED的度数． 14．如图，线段AC，BD相交于点O，且△ABO≌△CDO，点E，F在线段AC上，AF＝CE．求证：FD＝EB． 15．工人师傅经常利用角尺平分一个任意角．如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．在验证结论时，判定△OPD≌△OPE的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 16．如图，∠AOB＜90°，点M在OB上，且OM＝6，点M到射线OA的距离为a，点P在射线OA上，MP＝x，若△OMP的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是（　　） A．x＝a或x≥6 B．x≥6 C．x＝6 D．x＝6或x＞a 17．如图：△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，试说明△ABC≌△DEF． 18．如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；求证：△AEC≌△BED． 19．如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，若∠BDA＝135°，则∠DBC等于（　　） A．30° B．35° C．45° D．55° 20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，连结PA、PB、PC，且∠1＝∠2＝∠3．若△ABC的面积为10，则△PBC的面积为（　　） A． B． C． D．4 21．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝8，BE＝6，则DE的值为（　　） A．10 B． C． D． 22．如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论： ①AE＝CD； ②BF＝FG； ③∠AHC＝60°； ④∠AHB＝∠DHB＝60°； ⑤DH＞HE+BH． 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　） A．AF＝BF B．∠AFD+∠FBC＝90° C．DF⊥AB D．∠BAF＝∠CAF 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC 26．已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　） A． B． C． D． 27．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 28．如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC边于点D．若△ABC的面积为15，则△ABD的面积为（　　） A．9 B．6 C．5 D．5.5 29．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，则以下结论一定正确的是（　　） A．AD＝CD B．BD＝DE C．BD＝CD D． 学科网（北京）股份有限公司 $