第03讲 分式 2027年中考数学一轮复习讲义

第03讲 分式 内 容 导 航 知识点1 分式的基础 知识点2 分式的性质 知识点3 分式的运算 题型1 分式的定义 题型2 分式的值为零的条件 题型3 约分 题型4 最简分式 题型5 分式的乘除法 题型6 分式的混合运算 题型7 分式的化简求值 题型8 零指数幂 题型9 负整数指数幂 题型10 分式方程的解 题型11 解分式方程 题型12 由实际问题抽象出分式方程 题型13 分式方程的应用 知 识 点 通 关 知识点1 分式的基础 分式的概念 ①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母 分式有意义的条件 分母不等于零，即B≠0 分式有意义的条件是x≠-5，x的取值范围为x≥0 分式值为0的条件 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0 使值为0的条件为x=1 分式无意义的条件 分母等于零，即B=0 知识点2 分式的性质 分式的性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 分式符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 约分 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 知识点3 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考 点 演 练 题型1 分式的定义 【典例1】下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：分母中含有字母的式子是分式，只有是分式， 故选：D． 【变式1】请写出一个含有x，并且化简结果为x+1的分式 　　 ． 【答案】（答案不唯一）． 【解答】解：根据题意得，， 故答案为：（答案不唯一）． 题型2 分式的值为零的条件 【典例1】若分式的值为0，则实数x的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，， 解得：x＝3且满足x≠﹣2， ∴x的值为3． 故选：D． 【变式1】已知x＝﹣2时，分式无意义，x＝4时，分式的值为零，则a+b的值是（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解答】解：∵x＝﹣2时，分式无意义， ∴2x+a＝0， 把x＝﹣2代入得，2×（﹣2）+a＝0， 解得：a＝4， ∵x＝4时，分式的值为0， ∴x﹣b＝0且分母不为0， 把x＝4代入分子得，4﹣b＝0， 解得：b＝4， 验证分母：x＝4时，2×4+a＝12≠0，符合要求， ∴a+b＝4+4＝8． 故选：D． 题型3 约分 【典例1】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：原式． 故选：B． 【变式1】化简的结果是（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【解答】解；根据分式的基本性质，先对分子分母因式分解，再约去所有公因式可得： ． 故选：A． 题型4 最简分式 【典例1】关于分式，下列说法正确的是（　　） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是x＝﹣2 C．当x＝2时，分式的值为零 D．当x＝2时，分式无意义 【答案】D 【解答】解：根据分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件逐项分析判断如下： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为0，即x2﹣4＝0，解得x＝2或x＝﹣2，B错误； C选项：当x＝2时，x2﹣4＝0，分母为0，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当x＝2时，x2﹣4＝0，分母为0，分式没有意义，D正确． 故选：D． 【变式1】若分式是最简分式，则△表示的是（　　） A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2 【答案】D 【解答】解：因为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），且分式是最简分式， 所以△中肯定不含有（x+y）或（x﹣y）． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 题型5 分式的乘除法 【典例1】如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 【答案】B 【解答】解：设被遮挡的式子为t， 则， ∵原式的运算结果为整式， ∴t中一定含有xy的单项式， ∴只有B选项符合题意． 故选：B． 【变式1】若运算的结果不是分式，则“（　　）”内的式子可能是（　　） A．ab B．a+b C．a﹣b D． 【答案】A 【解答】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（　　）”内的式子一定有a的单项式， ∴只有A项符合， 故选：A． 题型6 分式的混合运算 【典例1】化简的结果是（　　） A． B．m C．m﹣1 D． 【答案】D 【解答】解：． 故选：D． 【变式1】化简•（a）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 【答案】A 【解答】解：•（a） • • ＝a+b， 故选：A． 题型7 分式的化简求值 【典例1】已知非零实数a，b满足a+3b+2ab＝0，则　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【解答】解： ， ∵a+3b+2ab＝0， ∴a+3b＝﹣2ab， ∴原式， 故答案为：﹣2． 【变式1】先化简，再求值：，其中x． 【答案】原式． 【解答】解：原式• ， 当x时，原式． 题型8 零指数幂 【典例1】下列算式中结果最小的是（　　） A．（2022﹣2025）0 B．（2022﹣2025）1 C．（2022﹣2025）2 D．（2022﹣2025）3 【答案】D 【解答】解：（2022﹣2025）0＝（﹣3）0＝1， （2022﹣2025）1＝（﹣3）1＝﹣3， （2022﹣2025）2＝（﹣3）2＝9， （2022﹣2025）3＝（﹣3）3＝﹣27， ∵﹣27＜﹣3＜1＜9， ∴结果最小的是（2022﹣2025）3， 故选：D． 【变式1】下列四个数中，是负数的是（　　） A．（﹣1）0 B．|﹣1| C．+（﹣1） D．（﹣1）2 【答案】C． 【解答】解：A．（﹣1）0＝1＞0，是正数，不符合题意； B．|﹣1|＝1＞0，是正数，不符合题意； C．+（﹣1）＝﹣1＜0，是负数，符合题意； D．（﹣1）2＝1＞0，是正数，不符合题意； 故选：C． 题型9 负整数指数幂 【典例1】与相等的是（　　） A．﹣（﹣2） B．2﹣1 C．（﹣2）0 D．﹣2﹣1 【答案】D 【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、（﹣2）0＝1，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c，d，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A．a＜b＜d＜c B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b 【答案】A 【解答】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，b＝3﹣2，c9，d1， ∴a、b、c、d的大小关系是：a＜b＜d＜c． 故选：A． 题型10 分式方程的解 【典例1】已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k≠1 B． C．k且k≠1 D．k且k 【答案】D 【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝3k， ∴x＝﹣3k+2， ∵关于x的方程解为正数， ∴﹣3k+2＞0，且x＝﹣3k+2≠1， ∴k且k． 故选：D． 【变式1】若x＝1是分式方程3的解，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：若x＝1是分式方程3的解， 则2+a＝3， 解得：a＝1， 故选：C． 题型11 解分式方程 【典例1】关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 【答案】C 【解答】解：原方程可变形为， x+k﹣4k＝3（x﹣2）， x﹣3k＝3x﹣6， 2x＝6﹣3k， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为0， ∴， 解不等式得，k≤2， 解不等式得，， ∴k的取值范围是k≤2且． 故选：C． 【变式1】分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5 【答案】D 【解答】解：， 去分母得：x﹣3＝2， 移项，合并同类项得：x＝5， 经检验，x＝5是原方程的根， ∴原分式方程的解为x＝5， 故选：D． 题型12 由实际问题抽象出分式方程 【典例1】一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），则可列分式方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时， ∴顺风速度＝（x+36）千米/小时，逆风速度＝（x﹣36）千米/小时， ∴可列方程为：， 故选：B． 【变式1】随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，乘公交车平均每小时走x千米， ∴乘电动汽车平均每小时走2.5x千米． 依题意得：， 即． 故选：D． 题型13 分式方程的应用 【典例1】山西老陈醋是中华老字号的瑰宝，其酿制技艺被列入国家级非物质文化遗产．为提升产能与品质，山西某知名醋企引进了国产先进的智能灌装生产线．已知该智能灌装生产线的灌装效率是一个工人人工灌装效率的50倍．若该生产线灌装30000瓶老陈醋所用的时间，比一个工人手工灌装1200瓶所用的时间少1小时，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋（　　） A．15000瓶 B．25000瓶 C．30000瓶 D．60000瓶 【答案】C 【解答】设人工灌装生产线每小时可以灌装老陈醋x瓶，依题意得， ， 解得：x＝600， 经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意， 该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋50x＝50×600＝30000瓶， 故选：C． 【变式1】《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（　　） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【解答】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为（30﹣x）尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列分式方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 过 关 验 收 1．一组按规律排列的式子：，，，，…．若ab≠0，则第9个式子是　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可知，第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， …， 故第n个式子为， ∴第9个式子为． 故答案为：． 2．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．没有符合要求的值 【答案】A 【解答】解：∵分式的值为0， ∴4x2﹣16＝0且x﹣2≠0． 解得x＝﹣2． 故选：A． 3．【回顾】整式乘法运算： （x+3）（x+8） ＝x2+3x+8x+3×8 ＝x2+（3+8）x+3×8 ＝x2+11x+24． 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：x2+11x+24＝（x+3）（x+8）． 【猜想】具有某种特征的二次三项式x2+px+q能化成两个一次因式乘积的形式，即x2+px+q＝（x+a）（x+b）． 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究． （1）根据x2+px+q＝（x+a）（x+b）的特征，补全下表： p 7 1 ﹣11 … q 6 ﹣12 30 … a 1 　﹣3　 ﹣5 … b 6 4 　﹣6　 … （2）当x2+px+q＝（x+a）（x+b）恒成立时，写出p，q与a，b满足的数量关系，并说明理由． 【应用】若分式能约分，请利用探究得到的结论，求m的值． 【答案】（1）﹣3；﹣6； （2）p＝a+b，q＝ab． 理由如下：∵x2+px+q＝（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab， ∴p＝a+b，q＝ab； （3）4． 【解答】解：（1）x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3），x2﹣11x+30＝（x﹣5）（x﹣6）， 故答案为：﹣3；﹣6； （2）p＝a+b，q＝ab． 理由如下：∵x2+px+q＝（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab， ∴p＝a+b，q＝ab； （3）分式能约分， 设x2+mx﹣12＝（x﹣2）（x+b）， ∴﹣2b＝﹣12，b＝6， ∴m＝b﹣2， ∴m＝4． 4．下列分式中，为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、不能约分，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意， 故选：C． 5．若，则“□”表示的最简分式为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：将未知分式设为变量，根据等式的基本性质转化变形可得： ． 故答案为：． 6．下列计算错误的是（　　） A．2a2•a3＝2a5 B． C．m4+m4＝m8 D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 【答案】C 【解答】解：A.2a2•a3＝2a5，故选项A正确； B.，故选项B正确； C．m4+m4＝2m4，故选项C错误； D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，故选项D正确． 故选：C． 7．计算的结果是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 8．分式化简后的结果为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：原式 ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 9．分式化简：（1）． 【答案】． 【解答】解：（1） • • ． 10．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣1＝0． 【答案】，． 【解答】解：原式 ， ∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1， ∴原式． 11．观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中x＝ 解：原式① ② ③ ④． （1）解答过程中开始出现错误的步骤是　①　 （填序号），这一步错误的原因是　加括号内，括号内的第二项没有变号　 ，请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值． 【答案】（1）①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析； （2）2． 【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知， 开始出现错误的步骤是①，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号， 故答案为：①，加括号时，括号内的第二项没有变号； 正确的解答过程如下所示： （x﹣1） ； （2）当3时， 解得x＝2， 经检验，x＝2是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为3，题目中被墨水遮住的x的值为2． 12．计算结果是2的相反数的是（　　） A．﹣22 B．﹣|﹣2| C．﹣（﹣2） D．（﹣2）0 【答案】B． 【解答】解：2的相反数是﹣2， A、﹣22＝﹣4，本选项错误． B、﹣|﹣2|＝﹣2，本选项正确． C、﹣（﹣2）＝2，本选项错误． D、（﹣2）0＝1，本选项错误． 故选：B． 13．已知（a+1）0＝1，则a的值不可能为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣π 【答案】B 【解答】解：A、当a＝1时，（a+1）0＝（1+1）0＝20＝1，故此选项不符合题意； B、当a＝1时，a+1＝0，（a+1）0≠1，故此选项符合题意； C、当a＝0时，（a+1）0＝（0+1）0＝10＝1，故此选项不符合题意； D、当a＝﹣π时，（a+1）0＝（﹣π+1）0＝1，故此选项不符合题意； 故选：B． 14．计算：（π﹣3.14）0+2﹣2＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：（π﹣3.14）0+2﹣2＝1， 故答案为：． 15．计算：2﹣1﹣（π﹣2025）0＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：， 故答案为：． 16．若关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：将原分式方程变形为， ∵方程两边同乘最简公分母x﹣1（x≠1），得﹣（x+5）+m＝0， 整理得x＝m﹣5， ∵分式方程无解， ∴x＝1是原方程的增根， 将x＝1代入x＝m﹣5，得1＝m﹣5， 解得m＝6， ∴m的值为6． 故选：C． 17．关于x的方程的解为正数．则a的取值范围为（　　） A．a＜10 B．a＜10且a≠7 C．a＜0 D．a＜0且a≠﹣3 【答案】B 【解答】解：原分式方程整理得： ， 2﹣a+5＝x﹣3， x＝10﹣a， 检验，当x＝10﹣a＝3，即a＝7方程无意义，故a≠7， ∵关于x的方程的解为正数， ∴x＝10﹣a＞0，即a＜10． 综上，a的取值范围为a＜10且a≠7． 故选：B． 18．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D． 【答案】C 【解答】解：， 方程两边同乘x﹣4，得：x﹣2（x﹣4）＝﹣m， 整理得：x﹣2x＝﹣m﹣8， 解得：x＝m+8， ∵原方程无解， ∴x＝m+8＝4， m＝﹣4， 故选：C． 19．科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14亿多人的粮食安全得到有效保障．某水稻种植基地首次引入袁隆平团队带来的植株高、穗长粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结果巨型稻收获16.8吨，普通水稻收获13.2吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收3吨．问这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨？设试验田中巨型稻每公顷产量为x吨，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意得：， 故选：D． 20．“某学校改造过程中整修门口2000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成 B．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成 C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成 D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成 【答案】A 【解答】解：∵x表示实际每天整修道路的长度， ∴方程中出现的（x﹣5）表示原计划每天整修道路的长度， ∴在实际施工时，每天比原计划多修5m． ∵工作时间＝工作总量÷工作效率，结合所列方程为， ∴结果提前10天完成， ∴题目中用“…”表示的条件应是：每天比原计划多修5m，结果提前10天完成． 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分式 内 容 导 航 知识点1 分式的基础 知识点2 分式的性质 知识点3 分式的运算 题型1 分式的定义 题型2 分式的值为零的条件 题型3 约分 题型4 最简分式 题型5 分式的乘除法 题型6 分式的混合运算 题型7 分式的化简求值 题型8 零指数幂 题型9 负整数指数幂 题型10 分式方程的解 题型11 解分式方程 题型12 由实际问题抽象出分式方程 题型13 分式方程的应用 知 识 点 通 关 知识点1 分式的基础 分式的概念 ①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母 分式有意义的条件 分母不等于零，即B≠0 分式有意义的条件是x≠-5，x的取值范围为x≥0 分式值为0的条件 分子等于零且分母不等于零，即A=0且B≠0 使值为0的条件为x=1 分式无意义的条件 分母等于零，即B=0 知识点2 分式的性质 分式的性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：（C≠0），(C≠0)，其中A，B，C是整式. 分式符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 即：. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 约分 根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式. 通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，叫做最简公分母. 知识点3 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 考 点 演 练 题型1 分式的定义 【典例1】下列式子中是分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】请写出一个含有x，并且化简结果为x+1的分式 ． 题型2 分式的值为零的条件 【典例1】若分式的值为0，则实数x的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【变式1】已知x＝﹣2时，分式无意义，x＝4时，分式的值为零，则a+b的值是（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 题型3 约分 【典例1】化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】化简的结果是（　　） A． B． C． D．2 题型4 最简分式 【典例1】关于分式，下列说法正确的是（　　） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是x＝﹣2 C．当x＝2时，分式的值为零 D．当x＝2时，分式无意义 【变式1】若分式是最简分式，则△表示的是（　　） A．2x+2y B．（x﹣y）2 C．x2+2xy+y2 D．x2+y2 题型5 分式的乘除法 【典例1】如果的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（　　） A． B．3xy C．5y D．x+y 【变式1】若运算的结果不是分式，则“（　　）”内的式子可能是（　　） A．ab B．a+b C．a﹣b D． 题型6 分式的混合运算 【典例1】化简的结果是（　　） A． B．m C．m﹣1 D． 【变式1】化简•（a）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 题型7 分式的化简求值 【典例1】已知非零实数a，b满足a+3b+2ab＝0，则　 　 ． 【变式1】先化简，再求值：，其中x． 题型8 零指数幂 【典例1】下列算式中结果最小的是（　　） A．（2022﹣2025）0 B．（2022﹣2025）1 C．（2022﹣2025）2 D．（2022﹣2025）3 【变式1】下列四个数中，是负数的是（　　） A．（﹣1）0 B．|﹣1| C．+（﹣1） D．（﹣1）2 题型9 负整数指数幂 【典例1】与相等的是（　　） A．﹣（﹣2） B．2﹣1 C．（﹣2）0 D．﹣2﹣1 【变式1】若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c，d，则a、b、c、d的大小关系是（　　） A．a＜b＜d＜c B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b 题型10 分式方程的解 【典例1】已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k≠1 B． C．k且k≠1 D．k且k 【变式1】若x＝1是分式方程3的解，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 题型11 解分式方程 【典例1】关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 【变式1】分式方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5 题型12 由实际问题抽象出分式方程 【典例1】一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），则可列分式方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 题型13 分式方程的应用 【典例1】山西老陈醋是中华老字号的瑰宝，其酿制技艺被列入国家级非物质文化遗产．为提升产能与品质，山西某知名醋企引进了国产先进的智能灌装生产线．已知该智能灌装生产线的灌装效率是一个工人人工灌装效率的50倍．若该生产线灌装30000瓶老陈醋所用的时间，比一个工人手工灌装1200瓶所用的时间少1小时，则该智能灌装生产线每小时可以灌装老陈醋（　　） A．15000瓶 B．25000瓶 C．30000瓶 D．60000瓶 【变式1】《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（　　） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 过 关 验 收 1．一组按规律排列的式子：，，，，…．若ab≠0，则第9个式子是 ． 2．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．没有符合要求的值 3．【回顾】整式乘法运算： （x+3）（x+8） ＝x2+3x+8x+3×8 ＝x2+（3+8）x+3×8 ＝x2+11x+24． 【观察】发现与整式乘法方向相反的变形：x2+11x+24＝（x+3）（x+8）． 【猜想】具有某种特征的二次三项式x2+px+q能化成两个一次因式乘积的形式，即x2+px+q＝（x+a）（x+b）． 【探究】依据整式乘法与因式分解的互逆关系，完成下列探究． （1）根据x2+px+q＝（x+a）（x+b）的特征，补全下表： p 7 1 ﹣11 … q 6 ﹣12 30 … a 1 　 　 ﹣5 … b 6 4 　 　 … （2）当x2+px+q＝（x+a）（x+b）恒成立时，写出p，q与a，b满足的数量关系，并说明理由． 【应用】若分式能约分，请利用探究得到的结论，求m的值． 4．下列分式中，为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 5．若，则“□”表示的最简分式为 ． 6．下列计算错误的是（　　） A．2a2•a3＝2a5 B． C．m4+m4＝m8 D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 7．计算的结果是 　 ． 8．分式化简后的结果为　 　 ． 9．分式化简：（1）． 10．先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣1＝0． 11．观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中x＝ 解：原式① ② ③ ④． （1）解答过程中开始出现错误的步骤是　 　 （填序号），这一步错误的原因是　 　 ，请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值． 12．计算结果是2的相反数的是（　　） A．﹣22 B．﹣|﹣2| C．﹣（﹣2） D．（﹣2）0 13．已知（a+1）0＝1，则a的值不可能为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣π 14．计算：（π﹣3.14）0+2﹣2＝　 ． 15．计算：2﹣1﹣（π﹣2025）0＝ 　 ． 16．若关于x的分式方程无解，则m的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 17．关于x的方程的解为正数．则a的取值范围为（　　） A．a＜10 B．a＜10且a≠7 C．a＜0 D．a＜0且a≠﹣3 18．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D． 19．科学种植促丰收，我国谷物总产量稳居世界首位，14亿多人的粮食安全得到有效保障．某水稻种植基地首次引入袁隆平团队带来的植株高、穗长粒多的巨型稻，选择两块面积相同的试验田，分别种植巨型稻和普通水稻，结果巨型稻收获16.8吨，普通水稻收获13.2吨，巨型稻比普通水稻每公顷多收3吨．问这次种植试验，巨型稻和普通水稻的产量分别是每公顷多少吨？设试验田中巨型稻每公顷产量为x吨，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 20．“某学校改造过程中整修门口2000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程，则题目中用“…”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修5m，结果提前10天完成 B．每天比原计划多修5m，结果延期10天完成 C．每天比原计划少修5m，结果延期10天完成 D．每天比原计划少修5m，结果提前10天完成 学科网（北京）股份有限公司 $