第19讲 直角三角形 2027年中考数学一轮复习讲义

第19讲 直角三角形 内 容 导 航 知识点1 直角三角形的性质 知识点2 含30°角的直角三角形 知识点3 勾股定理及其应用 知识点4 勾股定理逆定理及其应用 知识点5 含30°角的直角三角形 知识点6 勾股定理 知识点7 勾股定理的逆定理及其应用 题型1 直角三角形的性质 题型2 直角三角形全等的判定 题型3 勾股定理 题型4 勾股定理的证明 题型5 勾股数 题型6 勾股定理的逆定理 题型7 勾股定理的应用 题型8 三角形综合_基本型 知 识 点 通 关 知识点1 直角三角形的性质 一、基本定义 有一个角是直角(90°)的三角形叫做直角三角形。 二、直角三角形的性质 ①角的性质：两锐角互余，和为90°∠A+∠B=90° ②边的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形。 逆定理也成立：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形一定是直角三角形。 知识点2 含30°角的直角三角形 1. 基本结论（必考） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么：30°角所对的直角边等于斜边的一半。 2常用推论 ①已知30°对的直角边→斜边等于它的2倍 ②已知斜边→30°对的直角边等于斜边的一半 ③已知一边，可直接求另外两边。 3.逆命题也成立 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 知识点3 勾股定理及其应用 1.定理内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.几何表示 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则： 3.三个常用变形 求斜边： 求直角边： 知识点4 勾股定理逆定理及其应用 一、勾股定理的逆定理 1.文字语言 如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。 2.几何语言 在△ABC中，若，则∠C=90°，△ABC是直角三角形。 二、作用(核心用途) 判断一个三角形是不是直角三角形。 三、判断步骤(做题模板)1.找出最长边c 2.计算：和 3.比较： ①若→直角三角形 ②若→锐角三角形 ③若→钝角三角形 四、勾股数 满足的三个正整数，叫做勾股数。 常见勾股数(必须记)：3,4,5；5,12,13；6，8，10；7,24,25；8,15,17 知识点5 含30°角的直角三角形 与含30°角的直角三角形相关的折叠问题 一、折叠问题3个不变道理(先给学生讲透) ①折叠前后图形全等：对应边相等，对应角相等。 ②折痕是角平分线、也是对称轴 ③折叠后出现：等腰三角形/直角三角形/30°三角形 二、看到「30°+直角三角形+折叠」 立刻抓住4个“必用”知识点 ①30°对的直角边=斜边的一半 ②折叠前后角相等、边相等 ③直角三角形两锐角互余 ④出现等腰三角形(等边对等角) 三、通用解题思路(五步万能) ①先标图：把已知角度、边长标上去 ②找折叠：写出全等、相等的角和边 ③找30°角：确定谁是30°、谁是60° ④套30°结论：30°对的直角边=斜边一半 ⑤求角度用：互余、等边对等角、三角形内角和 知识点6 勾股定理 利用勾股定理列方程求解 勾股定理是直角三角形的核心边性质，仅适用于直角三角形，即直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方(a²+b²=c²)。解题核心是“找直角→设未知→表三边→列方程→求解验证”，分5步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤 1.找“直角” 先观察题干图形或已知条件，明确直角三角形中哪个角是90°,标注出直角(如∠C=90°)；若题干未明 确，需先根据直角三角形定义或判定(如勾股定理逆定理)判定出直角。 同时确定直角边和斜边：直角所对的边是斜边，另外两条是直角边。 2.设“未知” 设待求线段或与待求线段相关的线段为x（通常设较短的直角边或待求边为x，计算更简便）。 注意：若为折叠问题，常设折叠后重合的线段为x，便于利用“折叠前后对应边相等”的性质。 3.表“三边” 根据题干条件，把直角三角形的三条边都用含x的代数式表示出来： 4.列“方程” 根据勾股定理，列出三边的平方关系方程：(直角边1)²+(直角边2)²=(斜边)²，代入含x的代数式，得到一元二次方程(或一元一次方程)。 5.解“方程”并验证 ①解方程，求出x的值； ②边长必须为正数，舍去负根； ③计算完成后，将x代回三边表达式，验证是否满足勾股定理，确保计算无误。 利用两点坐标求两点距离 核心前提：在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过构造直角三角形，再用勾股定理求解。解题核心是：“找坐标→算横纵差→用勾股→求距离”，分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找“坐标” 明确两点的坐标：设为A(x1，y1)、B(x2，y2)。 在坐标系中画出两点，或在脑中构建直角三角形：过两点分别作x轴、y轴的平行线，形成直角三角形。 2.算“横纵差” ①计算两点在水平方向(x轴)的差：△x=|x1-x2| ②计算两点在竖直方向(y轴的差：△y=|y1-y2| ③注意：差的正负不影响，因为平方后会变为正数。 3.用“勾股” 把△x和△y看作直角三角形的两条直角边，两点间的距离AB看作斜边。 根据勾股定理： 代入坐标差： 4.求“距离” 对勾股定理的结果开平方，得到两点间距离公式： 代入具体坐标，计算出距离值。 勾股定理与网格问题 在方格纸(网格)中，所有小方格的边长通常为1,且网格线互相垂直。解题核心是：“找直角三角形→数格子算边长→用勾股定理→求线段长度/面积/角度”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找“直角三角形” 观察图形，将所求线段(如对角线、斜线)作为斜边，构造直角三角形。 两条直角边分别平行于网格的横线和竖线，这样边长可以直接通过数格子得到。 2.数“格子算边长” 水平方向：数两点之间的格子数，得到直角边长度a。 竖直方向：数两点之间的格子数，得到直角边长度b。 注意：数格子时，从一个点的坐标到另一个点的坐标，差的绝对值就是边长。 3.用“勾股定理” 把a和b看作直角三角形的两条直角边，所求线段c看作斜边。 根据勾股定理：c²=a²+b² 4.求“结果” 对c²开平方，得到线段长度。 若求面积，可先求出相关线段长度，再代入面积公式。 知识点7 勾股定理的逆定理及其应用 网格中判断直角三角形 核心前提:在边长为1的正方形网格中，可通过数格子得到三角形各边的长度平方，再用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。解题核心是：“数格子算三边平方→找最长边→验证勾股逆定理→得出结论”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.数格子，算三边的平方 对三角形的每条边，构造以它为斜边的直角三角形，数出水平和竖直方向的格子数a、b。 用勾股定理计算每条边的平方：边长²=a²+b² 2.找最长边，确定斜边 比较三边的平方值，最大的平方值对应的边就是最长边，即潜在的斜边c。 3.验证勾股定理的逆定理 验证：最长边的平方是否等于另外两边的平方和。c²=a²+b² 若成立，则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角；若不成立，则不是直角三角形。 4.得出结论 明确写出：“因为c²=a²+b²，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。” 考 点 演 练 题型1 直角三角形的性质 【典例1】如图，直线l1∥l2，A，B是直线l1上两点，C，D是直线l2上两点，AD⊥BC于点E，若∠ADC＝35°，则∠ABC的大小为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【变式1】如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 题型2 直角三角形全等的判定 【典例1】如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（　　） A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE 【变式1】在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　） A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上 C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点 题型3 勾股定理 【典例1】如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 【变式1】如图，△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，AC相交于点D，E，连接BE．则线段CE的长为（　　） A．1 B． C． D．3 题型4 勾股定理的证明 【典例1】如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，c2＝a2+b2（c为斜边）． （1）证明：若a、b、c均为整数，则它们不可能都是奇数； （2）如图，若a＝3，c＝5，直线FH交边AB于点M，求的值． 【变式1】三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2． （1）若b＝2a，则S小正方形：S大正方形＝　 　 ； （2）如果大正方形的面积是13，a＝2，求小正方形的面积． 题型5 勾股数 【典例1】若m，n是正整数且m＞n，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，则下列勾股数不能由m，n确定的是（　　） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【变式1】阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，b＝mn，（其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数）．当n＝1时，边长为5的直角三角形的周长为（　　） A．12 B．24 C．30 D．40 题型6 勾股定理的逆定理 【典例1】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 【变式1】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠AFD＝41°，则∠ABE等于（　　） A．139° B．131° C．98° D．136° 题型7 勾股定理的应用 【典例1】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2 【变式1】《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（　　） A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 题型8 三角形综合_基本型 【典例1】如图，△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O，点F是线段AB上的动点，连接DF交线段AC于点E． （1）如图1，若AE＝AF； ①求证：DF平分∠ADB； ②求． （2）如图2，连接OF．若∠BOF＝45°+∠ADF，OF＝2，求DE的长． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，，∠BCD＝∠CAD＝90°． （1）比较大小：S△ABD　 　 S△BCD（填＞，＝，＜）； （2）求线段BC的长； （3）求证：∠EAB＝∠ADB． 过 关 验 收 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，则∠CBD＝（　　） A．15° B．16° C．18° D．20° 2．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠OBA＝60°，OB⊥AD交AC于点B，若OB＝5，则BC＝　 　 ． 3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为　 　 ． 4．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 5．如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，请说明BE＝CD． 6．在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC，小张和小李同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（　　） A．小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 B．小张同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL C．小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 D．小李同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是SAS 7．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝80°，AD是△ABC的高线．若AC＝4，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段CD的长为（　　） A． B． C．6 D． 10．小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH），并拼出一个新图形如图所示，若AE＝1，BE＝2，则DE的长为（　　） A．3 B． C． D．4 11．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作S1，S2，正方形ABCD的面积记作S3，则S1，S2与S3的关系是（　　） A．S1+S2＜S3 B．S1+S2＝S3 C．S1+S2＞S3 D．2S1+S2＝S3 12．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（　　） A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ 13．如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝3米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为（　　） A． B． C． D． 14．现有一个可调节角度的平板支架AOB放在桌面上，如图所示，其支撑臂OA长度固定，当点A到桌面的高度AC＝20cm时，OC＝15cm；当压低支撑臂OA到OA′的位置时，点A′到桌面的高度A′D＝7cm，则此时OD的长度为（　　） A．26cm B．25cm C．24cm D．23cm 15．如图，图1为《天工开物》记载舂（chōng）谷工具“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．操作时，碓杆AC绕支点C转动，使碓头点B抬高．已知AC⊥BD于点A，AC与水平线l的夹角为α（α＜90°）．若AB＝6分米，AC＝15分米，α＝30°，则此时点B到水平线l的距离为（　　） A．6分米 B．分米 C．分米 D．分米 16．如图1，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，点E，F分别为边BC，AB中点，连接AE，DF交于点G，连接DE． （1）求证：∠DEC＝∠FAD； （2）如图2，H是AC边上一点，连接EH，且∠GEH＝∠DEC． （i）求证：CH＝DG； （ii）若，求CH的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 直角三角形 内 容 导 航 知识点1 直角三角形的性质 知识点2 含30°角的直角三角形 知识点3 勾股定理及其应用 知识点4 勾股定理逆定理及其应用 知识点5 含30°角的直角三角形 知识点6 勾股定理 知识点7 勾股定理的逆定理及其应用 题型1 直角三角形的性质 题型2 直角三角形全等的判定 题型3 勾股定理 题型4 勾股定理的证明 题型5 勾股数 题型6 勾股定理的逆定理 题型7 勾股定理的应用 题型8 三角形综合_基本型 知 识 点 通 关 知识点1 直角三角形的性质 一、基本定义 有一个角是直角(90°)的三角形叫做直角三角形。 二、直角三角形的性质 ①角的性质：两锐角互余，和为90°∠A+∠B=90° ②边的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形。 逆定理也成立：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形一定是直角三角形。 知识点2 含30°角的直角三角形 1. 基本结论（必考） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么：30°角所对的直角边等于斜边的一半。 2常用推论 ①已知30°对的直角边→斜边等于它的2倍 ②已知斜边→30°对的直角边等于斜边的一半 ③已知一边，可直接求另外两边。 3.逆命题也成立 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。 知识点3 勾股定理及其应用 1.定理内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.几何表示 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则： 3.三个常用变形 求斜边： 求直角边： 知识点4 勾股定理逆定理及其应用 一、勾股定理的逆定理 1.文字语言 如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角。 2.几何语言 在△ABC中，若，则∠C=90°，△ABC是直角三角形。 二、作用(核心用途) 判断一个三角形是不是直角三角形。 三、判断步骤(做题模板)1.找出最长边c 2.计算：和 3.比较： ①若→直角三角形 ②若→锐角三角形 ③若→钝角三角形 四、勾股数 满足的三个正整数，叫做勾股数。 常见勾股数(必须记)：3,4,5；5,12,13；6，8，10；7,24,25；8,15,17 知识点5 含30°角的直角三角形 与含30°角的直角三角形相关的折叠问题 一、折叠问题3个不变道理(先给学生讲透) ①折叠前后图形全等：对应边相等，对应角相等。 ②折痕是角平分线、也是对称轴 ③折叠后出现：等腰三角形/直角三角形/30°三角形 二、看到「30°+直角三角形+折叠」 立刻抓住4个“必用”知识点 ①30°对的直角边=斜边的一半 ②折叠前后角相等、边相等 ③直角三角形两锐角互余 ④出现等腰三角形(等边对等角) 三、通用解题思路(五步万能) ①先标图：把已知角度、边长标上去 ②找折叠：写出全等、相等的角和边 ③找30°角：确定谁是30°、谁是60° ④套30°结论：30°对的直角边=斜边一半 ⑤求角度用：互余、等边对等角、三角形内角和 知识点6 勾股定理 利用勾股定理列方程求解 勾股定理是直角三角形的核心边性质，仅适用于直角三角形，即直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方(a²+b²=c²)。解题核心是“找直角→设未知→表三边→列方程→求解验证”，分5步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤 1.找“直角” 先观察题干图形或已知条件，明确直角三角形中哪个角是90°,标注出直角(如∠C=90°)；若题干未明 确，需先根据直角三角形定义或判定(如勾股定理逆定理)判定出直角。 同时确定直角边和斜边：直角所对的边是斜边，另外两条是直角边。 2.设“未知” 设待求线段或与待求线段相关的线段为x（通常设较短的直角边或待求边为x，计算更简便）。 注意：若为折叠问题，常设折叠后重合的线段为x，便于利用“折叠前后对应边相等”的性质。 3.表“三边” 根据题干条件，把直角三角形的三条边都用含x的代数式表示出来： 4.列“方程” 根据勾股定理，列出三边的平方关系方程：(直角边1)²+(直角边2)²=(斜边)²，代入含x的代数式，得到一元二次方程(或一元一次方程)。 5.解“方程”并验证 ①解方程，求出x的值； ②边长必须为正数，舍去负根； ③计算完成后，将x代回三边表达式，验证是否满足勾股定理，确保计算无误。 利用两点坐标求两点距离 核心前提：在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过构造直角三角形，再用勾股定理求解。解题核心是：“找坐标→算横纵差→用勾股→求距离”，分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找“坐标” 明确两点的坐标：设为A(x1，y1)、B(x2，y2)。 在坐标系中画出两点，或在脑中构建直角三角形：过两点分别作x轴、y轴的平行线，形成直角三角形。 2.算“横纵差” ①计算两点在水平方向(x轴)的差：△x=|x1-x2| ②计算两点在竖直方向(y轴的差：△y=|y1-y2| ③注意：差的正负不影响，因为平方后会变为正数。 3.用“勾股” 把△x和△y看作直角三角形的两条直角边，两点间的距离AB看作斜边。 根据勾股定理： 代入坐标差： 4.求“距离” 对勾股定理的结果开平方，得到两点间距离公式： 代入具体坐标，计算出距离值。 勾股定理与网格问题 在方格纸(网格)中，所有小方格的边长通常为1,且网格线互相垂直。解题核心是：“找直角三角形→数格子算边长→用勾股定理→求线段长度/面积/角度”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找“直角三角形” 观察图形，将所求线段(如对角线、斜线)作为斜边，构造直角三角形。 两条直角边分别平行于网格的横线和竖线，这样边长可以直接通过数格子得到。 2.数“格子算边长” 水平方向：数两点之间的格子数，得到直角边长度a。 竖直方向：数两点之间的格子数，得到直角边长度b。 注意：数格子时，从一个点的坐标到另一个点的坐标，差的绝对值就是边长。 3.用“勾股定理” 把a和b看作直角三角形的两条直角边，所求线段c看作斜边。 根据勾股定理：c²=a²+b² 4.求“结果” 对c²开平方，得到线段长度。 若求面积，可先求出相关线段长度，再代入面积公式。 知识点7 勾股定理的逆定理及其应用 网格中判断直角三角形 核心前提:在边长为1的正方形网格中，可通过数格子得到三角形各边的长度平方，再用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。解题核心是：“数格子算三边平方→找最长边→验证勾股逆定理→得出结论”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.数格子，算三边的平方 对三角形的每条边，构造以它为斜边的直角三角形，数出水平和竖直方向的格子数a、b。 用勾股定理计算每条边的平方：边长²=a²+b² 2.找最长边，确定斜边 比较三边的平方值，最大的平方值对应的边就是最长边，即潜在的斜边c。 3.验证勾股定理的逆定理 验证：最长边的平方是否等于另外两边的平方和。c²=a²+b² 若成立，则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角；若不成立，则不是直角三角形。 4.得出结论 明确写出：“因为c²=a²+b²，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。” 考 点 演 练 题型1 直角三角形的性质 【典例1】如图，直线l1∥l2，A，B是直线l1上两点，C，D是直线l2上两点，AD⊥BC于点E，若∠ADC＝35°，则∠ABC的大小为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠CED＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠ADC＝55°， ∵l1∥l2， ∴∠ABC＝∠BCD＝55°， 故选：C． 【变式1】如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若∠1＝15°，∠2＝25°，则∠ABC的大小为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】C 【解答】解：如图，作CK∥a． ∵a∥b，CK∥a， ∴CK∥b， ∴∠1＝∠3＝15°，∠4＝∠2＝25°， ∴∠ACB＝∠1+∠2＝15°+25°＝40°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°， 故选：C． 题型2 直角三角形全等的判定 【典例1】如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据HL证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（　　） A．∠A＝∠B B．∠C＝∠E C．AD＝BF D．AC＝BE 【答案】D 【解答】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F， ∴∠ADC＝∠BFE＝90°， ∵CD＝EF， ∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF． 故选：D． 【变式1】在如图中，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　） A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上 C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点 【答案】D 【解答】解：A、∵AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A＝∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确； B、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴DF＝DE故点D在∠BAC的平分线上，正确； C、∵△ABE≌△ACF，AB＝AC∴BF＝CE，∠B＝∠C，∠DFB＝∠DEC＝90°∴△BDF≌△CDE（AAS），正确； D、无法判定，错误， 故选：D． 题型3 勾股定理 【典例1】如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点E，连接AE，则CE的长为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得，∠ADC＝90°，AE＝AB＝3， ∵AD2+DE2＝AE2，AD＝2， ∴22+DE2＝32， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，AC相交于点D，E，连接BE．则线段CE的长为（　　） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC4， 设CE＝x，则AE＝AC﹣CE＝4﹣x， 由题意得：DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB＝4﹣x， 在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2， ∴32+x2＝（4﹣x）2， 解得：x， ∴线段CE的长为， 故选：C． 题型4 勾股定理的证明 【典例1】如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，c2＝a2+b2（c为斜边）． （1）证明：若a、b、c均为整数，则它们不可能都是奇数； （2）如图，若a＝3，c＝5，直线FH交边AB于点M，求的值． 【答案】（1）假设a、b、c均为奇数，则a2、b2、c2均为奇数， ∴a2+b2为偶数， 由勾股定理得c2＝a2+b2， ∴c2为偶数， 与c2为奇数相矛盾，假设不成立， ∴a、b、c不可能都是奇数； （2）． 【解答】（1）证明：假设a、b、c均为奇数，则a2、b2、c2均为奇数， ∴a2+b2为偶数， 由勾股定理得c2＝a2+b2， ∴c2为偶数， 与c2为奇数相矛盾，假设不成立， ∴a、b、c不可能都是奇数． （2）解：过A作AN⊥AH，交HM的延长线于点N， ∴∠NAE＝∠AEB＝90°， ∴AN∥BE， ∴， 在Rt△ADH中，DH＝a＝3，AD＝c＝5， AH2＝AD2﹣DH2＝52﹣32＝16， ∴AH＝b＝4， 在正方形EFGH中，∠EHF＝45°， ∴∠ANH＝45°＝∠EHF， ∴AN＝AH＝4， 又∵BF＝a＝3， ∴． 【变式1】三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2． （1）若b＝2a，则S小正方形：S大正方形＝　 　 ； （2）如果大正方形的面积是13，a＝2，求小正方形的面积． 【答案】（1）1：5； （2）1． 【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∵b＝2a，a2+b2＝c2， ∴a2+（2a）2＝c2＝5a2 ∴S小正方形：S大正方形＝（2a﹣a）2：（5a2）1：5， 故答案为：1：5； （2）∵大正方形的面积＝c2＝13，a＝2， ∴b2＝c2﹣a2＝13﹣22＝13﹣4＝9， ∴b＝3（负值已经舍去）， ∴小正方形的面积＝（b﹣a）2＝（3﹣2）2＝1． 题型5 勾股数 【典例1】若m，n是正整数且m＞n，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2，则下列勾股数不能由m，n确定的是（　　） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【解答】解：A、∵a＝13，b＝12，c＝5，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵a＝15，b＝12，c＝9，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：m2＝3或m2＝12， ∵m、n都是正整数， ∴m2＝3或m2＝12不符合勾股数的条件，故选项B符合题意； C、∵a＝17，b＝8，c＝15，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：， 故选项C不符合题意； D、∵a＝25，b＝24，c＝7，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2， ∴， 解得：，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：，b＝mn，（其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数）．当n＝1时，边长为5的直角三角形的周长为（　　） A．12 B．24 C．30 D．40 【答案】AC 【解答】解：当n＝1，a（m2﹣1）①，b＝m②，c（m2+1）③， ∵直角三角形有一边长为5， ∴分三种情况： ①当a＝5时，（m2﹣1）＝5， ∴m2＝11，此时b不是正整数，舍去； ②当b＝5时，即m＝5， 把m＝5代入①③得，a＝12，c＝13， 此时三角形的周长＝12+13+5＝30； ③当c＝5时，（m2+1）＝5， ∴m2＝9， 解得：m＝±3， ∵m＞0， ∴m＝3， 将m＝3代入①②得，a＝4，b＝3， 此时三角形的周长＝4+3+5＝12， 综上所述，直角三角形的周长为12或30． 故选：AC． 题型6 勾股定理的逆定理 【典例1】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，P是网格线交点，且点P在△ABC的边AC上，则∠PAB+∠PBA＝（　　） A．45° B．30° C．60° D．90° 【答案】A 【解答】解：根据题意得，CP2＝12+22＝5，BC2＝12+22＝5，BP2＝12+32＝10，CP＞0，BP＞0， ∴CP2+BC2＝BP2，CP＝BC， ∴△BCP是直角三角形，∠C＝90°， ∴∠CPB＝∠CBP＝45°， ∵∠CPB＝∠PAB+∠PBA， ∴∠PAB+∠PBA＝45°， 故选：A． 【变式1】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠AFD＝41°，则∠ABE等于（　　） A．139° B．131° C．98° D．136° 【答案】B 【解答】解：如图， 由图可知：GD＝EH＝1，CG＝BH＝4，∠CGD＝∠BHE＝90°， 在△CGD和△BHE中， ， ∴△CGD≌△BHE（SAS）， ∴∠GCD＝∠HBE， ∵CG∥BD， ∴∠CAB＝∠ABD， ∵∠AFD＝∠CAB+∠GCD＝41°， ∴∠ABD+∠HBE＝41°， ∴∠ABE＝∠ABD+∠DBH+∠HBE＝90°+41°＝131°， 故选：B． 题型7 勾股定理的应用 【典例1】如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A．4≤a≤5 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2 【答案】B 【解答】解：设b是圆柱形的高， 当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短， 此时b就是圆柱形的高， 即b＝12； ∴a＝16﹣12＝4， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， b13， ∴此时a＝3， 所以3≤a≤4． 故选：B． 【变式1】《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（　　） A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 【答案】B 【解答】解：设竹竿的长度为x尺，则门宽（x﹣4）尺，门高（x﹣2）尺， 由勾股定理得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2， 解得：x＝10或2（不合题意，舍去）， 即竹竿的长度为10尺， ∴门的高度为：10﹣2＝8（尺）， 故选：B． 题型8 三角形综合_基本型 【典例1】如图，△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O，点F是线段AB上的动点，连接DF交线段AC于点E． （1）如图1，若AE＝AF； ①求证：DF平分∠ADB； ②求． （2）如图2，连接OF．若∠BOF＝45°+∠ADF，OF＝2，求DE的长． 【答案】（1）①∵△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O， ∴∠ADB＝∠DAC＝∠BAC＝45°， ∵AE＝AF， ∴， ∴， ∴∠ADF＝∠BDF， ∴DF平分∠ADB； ②； （2）3． 【解答】（1）①证明：∵△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O， ∴∠ADB＝∠DAC＝∠BAC＝45°， ∵AE＝AF， ∴， ∴， ∴∠ADF＝∠BDF， ∴DF平分∠ADB； ②解：如图，连接DC，则四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CD， ∴△AFE∽△CDE， ∴（相似三角形的对应边成比例），即CE＝CD， 不妨设AB＝CD＝1，则， ∴， ∴； （2）解：∵∠BOF＝45°+∠ADF， 又∵∠BOF+∠AOF＝90°＝45°+∠ADF+∠ODF， ∴∠AOF＝∠ODF（等量代换）， ∵∠EFO＝∠OFD（已知）， ∴△OEF∽△DOF（两角法）， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∵∠BAO＝∠ABO，∠AEF＝∠OED＝45°+∠ADF＝∠BOF， ∴△AEF∽△BOF， ∴， ∴，即， ∵OF＝2， ∴， ∴EF＝1，DF＝4， ∴DE＝DF﹣EF＝4﹣1＝3． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，，∠BCD＝∠CAD＝90°． （1）比较大小：S△ABD　 　 S△BCD（填＞，＝，＜）； （2）求线段BC的长； （3）求证：∠EAB＝∠ADB． 【答案】（1）＝； （2）； （3）过点B作BH⊥AC于点H， 由（2）知∠ACD＝45°，， ∴∠BCH＝∠BCD﹣∠ACD＝45°， ∴△BCH为等腰直角三角形， ∵CH2+BH2＝BC2， ∴， ∵CE＝AE＝1， ∴，， ∴，， ∵，∠EHB＝∠BHA， ∴△EHB∽△BHA， ∴∠EBH＝∠BAH， ∵∠EHB＝∠EAD＝90°， ∴BH∥AD， ∴∠EBH＝∠EDA， ∴∠EAB＝∠ADB． 【解答】解：（1）如图，作AG⊥BD于点G，CF⊥BD于点F， 则∠CFE＝∠AGE＝90°， 在△CEF和△AEG中， ， ∴△CEF≌△AEG（AAS）， ∴CF＝AG， ∵，， ∴S△ABD＝S△BCD； （2）∵AE+CE＝AC，， ∴AC＝AD＝2， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD＝45°，， 如图，作AN⊥CD于N，EM⊥CD于M， ∴△CEM为等腰直角三角形，， ∴CM＝EM， ∵CM2+EM2＝CE2， ∴， ∴， ∵∠EDM＝∠BDC，∠BCD＝∠EMD＝90°， ∴△EDM∽△BDC， ∴， ∴， ∴； （3）过点B作BH⊥AC于点H， 由（2）知∠ACD＝45°，， ∴∠BCH＝∠BCD﹣∠ACD＝45°， ∴△BCH为等腰直角三角形， ∵CH2+BH2＝BC2， ∴， ∵CE＝AE＝1， ∴，， ∴，， ∵，∠EHB＝∠BHA， ∴△EHB∽△BHA， ∴∠EBH＝∠BAH， ∵∠EHB＝∠EAD＝90°， ∴BH∥AD， ∴∠EBH＝∠EDA， ∴∠EAB＝∠ADB． 过 关 验 收 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝28°，则∠CBD＝（　　） A．15° B．16° C．18° D．20° 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵∠A'BC＝28°， ∴∠A'BA＝60°+28°＝88°， 由翻折得∠ABD＝∠A′BD∠A'BA88°＝44°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣44°＝16°， 故选：B． 2．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠OBA＝60°，OB⊥AD交AC于点B，若OB＝5，则BC＝　 　 ． 【答案】5． 【解答】解：如图，连接CD， 在Rt△AOB中，∠OBA＝60°， ∴∠A＝30°， ∵OB＝5， ∴AB＝2OB＝10， ∴OA5， 在Rt△ACD中，∠A＝30°，AD＝2OA＝10， ∴AC＝cos30°×101015， ∴BC＝AC﹣AB＝15﹣10＝5， 故答案为：5． 3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为　 　 ． 【答案】65°． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝40°， ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝50°， 由题意得：AD平分∠CAB， ∴∠CAD∠CAB＝25°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝65°， 故答案为：65°． 4．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴△ADE和△BEC均为直角三角形， ∵∠1＝∠2， ∴DE＝EC， 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）． 5．如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，请说明BE＝CD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：理由：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）． ∴AD＝AE． ∵AC＝AB， ∴AC﹣AD＝AB﹣AE． ∴BE＝CD． 6．在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC，小张和小李同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（　　） A．小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 B．小张同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL C．小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 D．小李同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是SAS 【答案】C 【解答】解：∵小李同学先确定的是直角三角形的两条直角边， ∴确定依据是SAS定理；故D不符合题意； ∵小张同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边， ∴确定依据是HL定理，故B不符合题意； ∵小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长，故A不符合题意； 小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AB的长，故C符合题意， 故选：C． 7．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝80°，AD是△ABC的高线．若AC＝4，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AD是△ABC的高线， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠B＝40°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝50°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D为BA延长线上一点，，，BC的长是（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【解答】解：由题意，过C作CH⊥AB于H， 设AC＝x，则BC＝2x， ∴ABx，则ADABx． ∴根据面积法可得，CHx． ∴AHx． ∴DH＝AD+AHx． ∵CD，DH2+CH2＝CD2， ∴（x）2+（x）2＝（）2， ∴x＝2． ∴BC＝2x＝4． 故选：D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段CD的长为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解答】解：延长AD交BC的延长线于点E， ∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴AC12， 由题意得到：BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°， ∴∠BAD＝∠BED， ∴BE＝BA＝13， ∴CE＝BE﹣BC＝13﹣5＝8， ∵AB＝EB，BD⊥AE， ∴AD＝DE， 由勾股定理得到：AE4， ∵∠ACE＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE， ∴CDAE＝2． 故选：B． 10．小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH），并拼出一个新图形如图所示，若AE＝1，BE＝2，则DE的长为（　　） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【解答】解：∵四个全等三角形纸板（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）， ∴AE＝DH＝1，BE＝AH＝2， ∴HE＝AH+AE＝2+1＝3， ∴DE， 故选：C． 11．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作S1，S2，正方形ABCD的面积记作S3，则S1，S2与S3的关系是（　　） A．S1+S2＜S3 B．S1+S2＝S3 C．S1+S2＞S3 D．2S1+S2＝S3 【答案】B 【解答】解：设正方形ABCD的边长为c， 则其面积． 两个阴影正方形的边长分别对应直角三角形的两条直角边a和b， 故面积分别为：S1＝a2， S2＝b2， 根据勾股定理，直角三角形满足：a2+b2＝c2， 因此，面积关系为：S1+S2＝S3， 故选：B． 12．如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（　　） A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ 【答案】C 【解答】解：由勾股定理可得，AM，CM＝PQ＝DM，BM＝3， 由图可知，DM∥PQ， 过P作PH∥MC， 在△PHQ中，PH＝PQ＝CM，QH， ∴PH2+PQ2＝HQ2， ∴PH⊥PQ， ∴CM⊥PQ， 故选：C． 13．如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝3米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，过点B作BP⊥EF于P，过点O作OQ⊥BP于Q， 则四边形OMPQ为矩形， ∴QP＝OM＝3米，OM∥BP， ∴∠B＝∠AOM＝45°， ∴OQ＝BQ， ∵AB＝3米，AO：OB＝2：1， ∴OB＝1米， 由勾股定理得：OQ2+BQ2＝OB2＝12＝1， ∴BQ， 则点B到水平地面EF的距离为（3）米， 故选：C． 14．现有一个可调节角度的平板支架AOB放在桌面上，如图所示，其支撑臂OA长度固定，当点A到桌面的高度AC＝20cm时，OC＝15cm；当压低支撑臂OA到OA′的位置时，点A′到桌面的高度A′D＝7cm，则此时OD的长度为（　　） A．26cm B．25cm C．24cm D．23cm 【答案】C 【解答】解：由题意得，∠ACO＝∠A′DO＝90°， ∵当点A到桌面的高度AC＝20cm时，OC＝15cm， ∴， ∴OA′＝OA＝25cm， ∵A′D＝7cm， ∴． 故选：C． 15．如图，图1为《天工开物》记载舂（chōng）谷工具“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．操作时，碓杆AC绕支点C转动，使碓头点B抬高．已知AC⊥BD于点A，AC与水平线l的夹角为α（α＜90°）．若AB＝6分米，AC＝15分米，α＝30°，则此时点B到水平线l的距离为（　　） A．6分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】D 【解答】解：延长AB交l于点E，过B作BF⊥l于点F， 在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，AC＝15分米， ∵tan∠ACE， ∴AE＝AC•tan∠ACE＝15×tan30°＝155（分米）， ∴BE＝AE﹣AB＝（56）分米， ∵∠CAE＝90°，∠ACE＝30°， ∴∠AEC＝60°， ∴BF＝BE•sin∠AEC＝（56）分米， 故选：D． 16．如图1，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，点E，F分别为边BC，AB中点，连接AE，DF交于点G，连接DE． （1）求证：∠DEC＝∠FAD； （2）如图2，H是AC边上一点，连接EH，且∠GEH＝∠DEC． （i）求证：CH＝DG； （ii）若，求CH的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）． 【解答】（1）证明：在△DBC 中，∵BD⊥AC， ∴∠CDB＝∠ADB＝90°， ∵E是BC的中点， ∴， ∴∠C＝∠CDE， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠CDE＝∠ABC，∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠CDE，∠FAD＝180°﹣∠C﹣∠ABC， ∴∠DEC＝∠FAD； （2）（i）证明：∵∠CDB＝∠ADB＝90°，F是AB边的中点， ∴， ∴∠FDA＝∠FAD，∠DEC＝∠FAD， ∴∠DEC＝∠FDA， ∴∠GEH＝∠DEC＝∠FDA， ∵∠EHC＝∠GEH+∠EAD，∠EGD＝∠FDA+∠EAD， ∴∠EHC＝∠EGD， ∵∠GEH＝∠DEC， ∴∠GEH﹣∠DEH＝∠DEC﹣∠DEH， 即∠GED＝∠HEC， ∵DE＝CE， ∴△EGD≌△EHC（AAS）， ∴CH＝DG． （ii）解：连接EF， ∵E，F分别为AB，BC的中点，，BC＝8， ∴，EF∥AC， 又∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠FAD， ∴△CED∽△CAB， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵EF∥AD， ∴△GAD∽△GEF， ∴， ∴， 即GD•EF＝AD（DF﹣GD）， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $