第18讲 等腰三角形 2027年中考数学一轮复习讲义

第18讲 等腰三角形 内 容 导 航 知识点1 等腰三角形的定义 知识点2 等腰三角形的性质 知识点3 等腰三角形的判定 知识点4 等边三角形的性质与判定 知识点5 等腰三角形的定义 知识点6 等腰三角形的性质 知识点7 等腰三角形的判定 知识点8 等边三角形的性质与判定 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等边三角形的性质 知 识 点 通 关 知识点1 等腰三角形的定义 一、核心定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 二、关键概念（易错必记） 腰：等腰三角形中，两条相等的边叫做腰； 底边：除两条腰以外的第三条边，叫做底边； 顶角：两条腰的夹角，叫做顶角； 底角：腰与底边的夹角，叫做底角（等腰三角形有两个底角，且两个底角相等）。 三、注意事项 ①等腰三角形的腰和底边没有固定大小关系，需结合题干条件判断； ②定义是等腰三角形的最基础判定方法（有两条边相等即可判定）； ③等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等，满足“两条边相等”的定义）。 知识点2 等腰三角形的性质 一、核心性质 1. 边的性质：等腰三角形的两条腰相等。（易错提醒：腰与底边无固定大小关系，需结合题干判断） 2. 角的性质（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。（易错提醒：仅底角相等，顶角与底角不一定相等；底角必为锐角） 3. 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（易错提醒：仅针对“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的三线不重合） 4. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线。（易错提醒：只有1条对称轴，区别于等边三角形的3条） 二、延伸性质（关联知识点） 1. 等腰三角形顶角的外角等于两个底角的和（等于底角的2倍）。（易错提醒：注意外角与内角的关系，避免混淆“顶角外角”与“底角外角”） 2. 等腰三角形底边上的垂直平分线与顶角平分线、底边中线、底边高重合。（易错提醒：仅底边上的垂直平分线满足，腰上的垂直平分线不与三线重合） 三、常见易错点汇总 主要易错点包括：1. 混淆“三线合一”的适用范围；2. 忽略底角必为锐角，误将钝角当作底角；3. 误认为等腰三角形有多条对称轴；4. 运用“等边对等角”时，混淆腰与底边对应的角。 解题提醒：解题时先明确腰、底边、顶角、底角，再运用性质，避免漏解、错解。 知识点3 等腰三角形的判定 一、核心判定方法（重点） 1. 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。（易错提醒：判定时需明确两条边相等，注意区分腰与底边，无需额外证明角的关系） 2. 判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（易错提醒：相等的两个角对应的边是腰，需对应准确，避免混淆边与角的对应关系） 二、延伸判定方法（关联知识点） 1. 若一个三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，则该三角形是等腰三角形（反向运用“三线合一”）。（易错提醒：需同时满足其中两个条件即可判定，且仅针对底边和顶角相关的线） 2. 若一个三角形的一条边上的中线与这条边上的高重合，则该三角形是等腰三角形（这条边为底边，另外两条边为腰）。（易错提醒：仅当中线和高在同一条边上时成立，腰上的中线与高不重合） 3. 若一个三角形的一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则该三角形是等腰三角形（这个角为顶角，对边为底边）。（易错提醒：区分“顶角平分线”与“底角平分线”，仅顶角平分线满足此判定） 三、常见易错点汇总 主要易错点包括： 1. 运用“等角对等边”时，混淆角与边的对应关系； 2. 反向运用“三线合一”时，忽略适用范围（仅针对底边相关的线）； 3. 判定时未验证三角形成立条件（如两边相等但不满足三边关系）； 4. 误将“有一个角是60°的三角形”当作等腰三角形（需结合等腰三角形定义或判定定理）。 解题提醒：判定时先明确判定方法的适用条件，找准边与角的对应关系，必要时验证三角形成立，避免错判、漏判。 知识点4 等边三角形的性质与判定 一、核心性质（重点，关联等腰三角形） 1. 边的性质：等边三角形的三条边都相等（等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边均可看作腰）。（易错提醒：区别于普通等腰三角形“两条边相等”，等边三角形三边完全相等，无腰与底边之分） 2. 角的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于60°。（易错提醒：三个角均为60°，不存在顶角与底角的区别，同时满足“等边对等角”，且内角和为180°） 3. 三线合一：等边三角形每条边上的中线、高，以及这条边所对内角的平分线互相重合（延伸了等腰三角形的“三线合一”，每条边都满足，而非仅底边）。（易错提醒：避免局限于“底边”，三条边的三线均重合） 4. 对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，分别是每条边上的中线（或高、内角平分线）所在直线。（易错提醒：区别于普通等腰三角形仅1条对称轴） 二、核心判定方法（重点） 1. 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。（易错提醒：直接根据边长判定，无需额外证明角的关系，注意与等腰三角形定义区分） 2. 角判定法：三个角都相等的三角形是等边三角形。（易错提醒：三个角均为60°才可判定，仅两个角相等不能判定） 3. 特殊判定法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（易错提醒：前提是“等腰三角形”，若仅一个角为60°，且三角形非等腰，不能判定为等边三角形） 三、延伸关联知识点 1. 等边三角形的外角等于120°，且每个外角都相等（外角=180°-60°）。 2. 等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形（仅当等腰三角形的顶角为60°或底角为60°时，才是等边三角形）。 知识点5 等腰三角形的定义 利用等腰三角形的定义求线段 易错类型 易错说明 规避方法 未分类讨论腰与底边 题干仅给出两条线段长度（如“等腰三角形两边长为3和6”），未明确腰和底边，直接默认其中一条为腰，导致漏解或错解（如误将3当作腰，忽略3+3=6不满足三边关系）。 看到等腰三角形求边长，先明确“谁是腰、谁是底边”，分两种情况讨论，每种情况均验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）。 忽略三角形成立条件 分类讨论后，未验证三边是否能构成三角形，直接计算边长或周长（如腰为2、底边为5，2+2<5，无法构成三角形，仍计算周长）。 每类讨论完成后，必验证“两腰之和>底边、腰+底边>腰”，不满足条件的情况直接舍去。 混淆“腰”与“底边”的对应关系 已知等腰三角形一边长和周长，求另外两边时，误将已知边统一当作腰（或底边），忽略另一种可能（如周长10，一边长3，误只算腰为3、底边4，漏算底边为3、腰为3.5）。 已知周长和一边长，分“已知边为腰”“已知边为底边”两种情况，分别列方程计算，再验证三边关系。 利用等腰三角形的定义求角度 易错类型 易错说明 规避方法 未分类讨论顶角与底角 题干仅给出一个角的度数（如“等腰三角形一个角为80°”），未明确是顶角还是底角，直接默认一种情况，导致漏解（如仅算底角为80°，漏算顶角为80°）。 看到等腰三角形求角度，先明确“已知角是顶角还是底角”，分两种情况讨论，结合三角形内角和验证。 忽略底角必为锐角 分类讨论时，误将钝角当作底角（如已知角为100°，误当作底角，导致两个底角和超过180°，不符合内角和定理）。 牢记等腰三角形两个底角相等且必为锐角，若已知角为钝角或直角，必为顶角，无需分类。 混淆“顶角”与“底角”的区别 已知顶角求底角、已知底角求顶角时，公式混淆（如误将底角计算为180°顶角，忽略底角有两个且相等）。 牢记公式：底角=(180°-顶角)÷2，顶角=180°-2×底角，计算后验证内角和为180°。 忽略三角形内角和定理 计算角度时，未验证三个角的和是否为180°，导致计算错误（如底角为50°，误算顶角为90°，50°+50°+90°≠180°）。 计算完成后，必验证三个角的和为180°，不满足则说明计算或分类有误。 知识点6 等腰三角形的性质 利用等边对等角求角度 核心前提：“等边对等角”是等腰三角形的核心角性质，仅适用于等腰三角形，即等腰三角形中，两条相等的腰所对的两个底角相等(反之“等角对等边”是判定，不可混淆)。解题核心是“找等边→定等角→结合内角和/外角性质求解”，分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找”等边”：先观察题干图形或已知条件，明确等腰三角形中两条相等的边(腰)，标注出相等的边(如AB=AC,可在图中用相同符号标注)；若题干未明确，需先根据等腰三角形定义判定出等边。 2.定“等角”：根据”等边对等角”，确定相等的两条边所对应的角相等，标注出等角(如AB=AC，则AB所对的∠C与AC所对的∠B相等，即∠B=∠C);注意：边与角的对应关系，避免混淆“腰所对的角”与“底边所对的角”。 3.找“已知角/隐含条件”：提取题干中给出的已知角度，同时牢记两个隐含条件——①三角形内角和为180°；②等腰三角形的顶角与底角的关系(顶角=180°-2×底角，底角=(180°-顶角)÷2);若有外角，结合“三角形外角=不相邻两个内角和”辅助求解。 4.列关系、算角度：设未知角为x(通常设底角为x,计算更简便),根据内角和、等角关系或外角性质，列出等式，求解未知角；计算完成后，验证角度和是否为180°，确保计算无误。 知识点7 等腰三角形的判定 利用等角对等边进行证明 核心前提：“等角对等边”是等腰三角形的核心判定定理，仅适用于三角形，即一个三角形中，若两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等(反之“等边对等角”是性质，不可混淆)。解题核心是“找等角→定对应边→结合已知条件证明等边”，分4步规范证明，同时规避常见易错点，确保证明逻辑严谨。 核心解题步骤(规范可落地) 1.找”等角”：先观察题干图形、已知条件(如角平分线、平行线、垂直、全等、等腰三角形性质等)，通过这些条件推导或直接提取出三角形中两个相等的角，标注出等角(如∠B=∠C,可在图中用相同弧线标注)；若等角未直接给出，需先通过辅助线或几何性质转化角的关系，推导得出等角。 2.定“对应边”：根据”等角对等边”,确定两个相等的角所对应的两条边，明确待证明的两条相等线段(如∠B=∠C,则∠B所对的边AC与∠C所对的边AB相等，即需证明AB=AC);关键是找准”角与边的对应关系”,避免混淆角所对的边。 3.理”已知条件/辅助线”：梳理题干中所有已知条件，明确推导等角的依据(如角平分线定义、平行线的性质、全等三角形的对应角相等、三角形内角和定理等)；若无法直接推出等角，需添加合适的辅助线(如作角平分线、垂线、中线)，转化角的关系，为推导等角创造条件。 4.写“证明过程”：按“已知→推导等角→应用等角对等边→得出结论”的逻辑，规范书写证明步骤，每一步推导都需标注依据，最终证明出两条线段相等，确保逻辑连贯、依据充分。 知识点8 等边三角形的性质与判定 利用等边三角形的性质求角度 核心前提：等边三角形是特殊的等腰三角形，其角的核心性质为三个内角均相等，且每个内角都等于60°,同时具备等腰三角形”等边对等角"“三线合一”的所有性质。解题核心是“利用等边三角形内角特性→结合三角形内角和、外角性质等→求解未知角度”，分4步规范解题，规避常见易错点，确保计算准确。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.定”等边三角形”：先观察题干图形或已知条件，明确所求角度所在的三角形是等边三角形(可通过定义：三边相等；判定：三角相等、有一个角是60°的等腰三角形确认)，标注出等边三角形的三条相等边或三个相等的角。 2.用“核心性质”：直接运用等边三角形的角性质——三个内角均为60°，若所求角是等边三角形的内角，可直接得出角度为60°；若所求角与等边三角形的内角相关，先标注出已知的60°角，为后续推导铺垫。 3.找“关联角度关系”：梳理题干中与所求角相关的条件(如平行线、角平分线、垂直、三角形全等、外角、三线合一等),结合三角形内角和180°、外角等于不相邻两个内角和等性质，将等边三角形的60°角与未知角建立联系。 4.算“未知角度”：根据上述关联关系，列出等式(若有未知角可设为x),计算得出未知角度；计算后验证角度关系是否成立(如内角和、外角与内角的关系),确保计算无误。 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则∠CDH的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠C40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD∠ABC＝20°， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°， 由作图可得：HD⊥BF， ∴∠BDH＝90°， ∴∠CDH＝∠BDC﹣∠BDH＝30°， 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【解答】解：∵将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF， ∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4， ∵BC＝3， ∴CE＝1， ∴AD+CE+AC+DE＝2+1+4+4＝11， 即阴影部分的周长为11， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 题型2 等边三角形的性质 【典例1】已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 【答案】C 【解答】解：过C作CE∥直线m ∵l∥m， ∴l∥m∥CE， ∴∠ACE＝∠α，∠BCE＝∠CBF＝20°， ∵等边△ABC， ∴∠ACB＝60°， ∴∠α+∠CBF＝∠ACB＝60°， ∴∠α＝40°． 故选：C． 【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ACB＝60°， ∵∠1＝40°， ∴∠AED＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵直线a∥直线b， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝80°﹣60°＝20°， 故选：B． 过 关 验 收 1．一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　） A．40° B．70° C．100° D．100°或70° 【答案】B 【解答】解：∵等腰三角形的装饰品的顶角为40°， ∴等腰三角形的装饰品的底角为：（180°﹣40°）＝70°， 故选：B． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，α，β为△ABC的两个外角，则当α减少1°时，β的变化是（　　） A．减少1° B．减小2° C．增大1° D．增大2° 【答案】D 【解答】解：∵∠ACB+α＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣α， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝180°﹣α， ∴β＝∠B+∠ACB＝360°﹣2α， ∴当α减少1°时，β增大2°， 故选：D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以A为圆心，AB长为半径作弧，与AC交于点D，以C为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点E，连结BD，BE，则∠DBE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．与∠A的大小有关 【答案】B 【解答】解：设∠A＝α，则∠C＝90°﹣α， 由作图可知，AB＝AD，BC＝CE， ∴∠ADB，∠CEB， ∴∠DBE45°， 故选：B． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC长为半径作弧，交AC于点C和点D，连接BD，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠DBC内交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝50°，则∠EBC的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠A＝50°， ∴50°+2∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝65°， 由作图可知，BD＝BC，BF平分∠DBC交AC于点E， ∴∠BDC＝∠ACB＝65°， ∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠ACB＝50°， ∴∠EBC∠DBC＝25°， 故选：C． 5．如图，在△ABC中，AC＝BC，P为AB边上一动点（不与A，B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则下列为定值的是（　　） A．线段EF的长 B．PE+PF的大小 C．△PEF的周长 D．△PEF的面积 【答案】B 【解答】解：过B作BD⊥AC，与AC的延长线交于点D，连接PC， 则根据三角形的面积公式得：， ∵AC＝BC， ∴AC•BD＝AC•（PE+PF）， ∴PE+PF＝BD， ∴PE+PF的大小为定值．其余选项均不能得到是定值， 故选：B． 6．如图，在△ABC中，D，E两点均在AB边上，已知AC＝AE，BC＝BD，∠ACB＝a，则∠DCE＝（　　） A． B．90°﹣a C． D．2a﹣90° 【答案】C 【解答】解：由条件可知∠ACE＝∠AEC，∠BCD＝∠BDC， ∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠BDC＝∠A+∠ACD， ∴∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BCE①， ∠BCE+∠DCE＝∠A+∠ACD②， ①+②得：∠ACD+2∠DCE+∠BCE＝∠B+∠BCE+∠A+∠ACD， ∴2∠DCE＝∠B+∠A， ∴2∠DCE＝180°﹣α， ∴． 故选：C． 7．如图，在△ABD和△CDB中，BA＝BD＝BC，连接AC，若∠ABC＝80°，∠CAD＝25°，则∠BDA＝（　　） A．50° B．65° C．70° D．75° 【答案】D 【解答】解：在△ABD和△CDB中，BA＝BD＝BC， ∵BA＝BC，∠ABC＝80°， ∴， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°， ∵BA＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD＝75°． 故选：D． 8．如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°，D是边BC上一点，连接AD，且AD＝AB．若AE平分∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．45° 【答案】D 【解答】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠ADB＝80°， ∴∠BAD＝180°﹣80°﹣80°＝20°， ∴∠DAC＝70°﹣20°＝50°， ∵AE是∠DAC的角平分线， ∴∠DAE∠DAC＝25°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝45°， 故选：D． 9．如图，l1∥l2，点A在直线l2上，点B在直线l1上．若AB＝BC，∠C＝40°，∠BAD＝50°，则∠CBE的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】C 【解答】解：∵∠C＝40°，AB＝BC， ∴∠C＝∠BAC＝40°， ∵∠BAD＝50°， ∴∠DAE＝∠DAB+∠BAE＝90°， ∵l1∥l2， ∴∠CEB＝∠EAD＝90°， ∴若AB＝BC，∠C＝40°，∠BAD＝50°，则∠CBE＝180°﹣∠C﹣∠CEB＝50°． 故选：C． 10．图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中BC∥ED∥FG，且FD＝FG，若∠BCD＝36°，则∠G的度数为（　　） A．36° B．54° C．60° D．72° 【答案】D 【解答】解：∵BC∥ED∥FG， ∴∠F＝∠EDF＝∠BCD＝36°， ∵FD＝FG， ∴（等边对等角）， 则∠G的度数为72°， 故选：D． 11．如图，DE∥BC，AB＝AE，若∠1＝66°，则∠EBC的度数为（　　） A．24° B．33° C．54° D．66° 【答案】B 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ABC＝∠1，∠AEB＝∠EBC， ∵∠1＝66°， ∴∠ABC＝66°， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴． 故选：B． 12．如图，在等腰△ABC中，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，且，点P是BC边上一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接PA， 设AB＝AC＝m， ∵CD⊥AB，， ∴S△ABCAB•CD＝3m， ∵S△ABC＝S△APB+S△APC， ∴m•PMm•PNm（PM+PN）＝3m， ∴PM+PN＝6． 故选：D． 13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点C作CD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，BD交AC于点E．若点F是CD的中点，连接FE，延长交AB于点G，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠BCA（180°﹣120°）＝30°， ∵BD平分∠ABC， ∴BE⊥AC，AE＝CE， ∴∠CED＝90°， ∵CD⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°， ∵F是CD的中点， ∴EFCD， ∴EF＝CF， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝CE，∠CEF＝60°， ∴EF＝AE， ∵AEG＝∠CEF＝60°， ∴∠AGE＝90°， ∵∠A＝30°， ∴GEAEEF， ∴， 故选：B． 14．如图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠DOC＝80°，则∠BAC的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】B 【解答】解：由条件可得， ∵AC∥OD， ∴∠ACD＝∠CDO＝50°， 由平行线性质可知：∠BAC＝∠ACD＝50°； 故选：B． 15．在△ABC中，AB＝AC＝10，AE平分∠BAD，AD是BC边上的高，点E在边BC上，连接AE． （1）若∠B＝36°，求∠EAD的度数． （2）当AD＝6时，求CE的长． 【答案】（1）27°； （2）11． 【解答】解：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∵AE平分∠BAD， ∴； （2）作EF⊥AB于点F，则∠AFE＝∠ADE＝90°， ∵AB＝10，AD＝6， ∴， ∵AE平分∠BAD， ∴DE＝EF， ∵AE＝AE， ∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL）， ∴AF＝AD＝6， ∴BF＝AB﹣AF＝4， 设DE＝EF＝x， 则BE＝8﹣x， ∵BF2+EF2＝BE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴DE＝3， ∵AB＝AC，AE平分∠BAD， ∴CD＝BD＝8， ∴CE＝CD+DE＝11． 16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AC、AB的四等分点，连接BD、CE．求证：∠DBC＝∠ECB． 【答案】∵AB＝AC， ∴∠DCB＝∠EBC， ∵D、E是AC、AB的四等分点， ∴CDAC，BEAB， ∴CD＝BE， ∵BC＝CB ∴△DCB≌△EBC（SAS）， ∴∠DBC ＝∠ECB． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠DCB＝∠EBC， ∵D、E是AC、AB的四等分点， ∴CDAC，BEAB， ∴CD＝BE， ∵BC＝CB ∴△DCB≌△EBC（SAS）， ∴∠DBC ＝∠ECB． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，AD＝ED． （1）若∠B＝40°，求∠DEA的度数； （2）若AE＝CE＝2，求BC的长． 【答案】（1）50°； （2）4． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，D为BC的中点，∠B＝40°， ∴∠C＝∠B＝40°，∠BAD＝∠CAD． ∵∠C+∠B+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝100°， ∴∠CAD∠BAC＝50°， ∵DA＝DE， ∴∠DEA＝∠EAD＝50°； （2）∵AE＝CE＝2， ∴AC＝4， ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AC＝AB＝4，AD⊥BC， ∵AE＝CE， ∴DEAC＝2． ∴DE＝AE＝CE＝2， ∵AD＝ED， ∴AD＝2， ∴CD＝BD2， ∴． 18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形“． 已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°． （1）如图，点D是BC上的一点，过点D作DE⊥AC于点E，交BA的延长线于点F，求证：△BDF是“准互余三角形”； （2）当△ABC是“准互余三角形”时，点P是射线BA上的一点，其中点P不与点A，B重合．连接CP，且△ACP是“准互余三角形”，请直接写出∠APC的度数． 【答案】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°，即∠C+∠CDE＝90°， 又∵∠CDE＝∠B+∠F， ∠B+∠F+∠C＝90°，即2∠B+∠F＝90°， ∴△DEF是准互余三角形； （2）15°或105°． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°，即∠C+∠CDE＝90°， 又∵∠CDE＝∠B+∠F， ∠B+∠F+∠C＝90°，即2∠B+∠F＝90°， ∴△DEF是准互余三角形； （2）∵△ABC是“准互余三角形”且AB＝AC， ∴2∠B+∠C＝90°或2∠BAC+∠B＝90°或2∠B+∠BAC＝90°． 经检验，只有2∠B+∠C＝90°成立（此时∠B＝∠C＝ 30°，∠BAC ＝ 120°）， ∴∠BAC＝120°． 当点P在线段AB上时，∠CAP＝120°，△ACP中不可能有两个角满足2a十β＝90°，故舍去． 当点P在BA的延长线上时，∠CAP＝180°﹣120°＝60°， ∵△ACP是“准互余三角形”， ∴必有一个角为60°作为β，另一个角满足2α十60°＝90°，解得α＝15°． ∴△ACP的内角为60°，15°，105°． ∴∠APC＝ 15°或105°． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是三角形ABC的高，用尺规作图的方法作出射线CP交AB于点E，交BD于点O． （1）判断用尺规作出的CP是 　 ； （2）求证：BE＝CD． 【答案】（1）AB的垂线； （2）证明见解析． 【解答】（1）解：用尺规作出的CP是AB的垂线， 故答案为：AB的垂线； （2）证明：∵CE、BD是△ABC的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠EBC＝∠DCB， ∵BC＝CB， ∴△EBC≌△DCB（AAS）， ∴BE＝CD． 20．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE＝1，则△ABC的边长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE＝1， ∴在直角三角形ADE中，∠A＝60°，∠AED＝90°，∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE＝2， 又∵D为AB的中点， ∴AB＝2AD＝4， ∴等边三角形ABC的边长为4， 故选：B． 21．正三角形是一种具有独特美感的几何图形．它在设计、艺术和自然界中都有广泛的应用．正三角形的美在于它的对称、稳定、简洁与和谐．它不仅是一种数学图形，更是一种美学符号，能够为我们的生活带来更多的美好与乐趣．已知一个正三角形的边长为2，则它的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可知，正三角形底边一半的长度为， ∴正三角形的高为， ∴它的面积为， 故选：C． 22．如图所示，在边长为4的等边△ABC中，P是△ABC内任意一点，若满足PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，则下列为定值的是（　　） A．PD+PE+PF B．∠BPC的大小 C．PA+PB+PC D．四边形BDPF的面积 【答案】A 【解答】解：由题意可得：BC边上的高为， ∴， ∵S△ABC＝S△PBC+S△PAB+S△PAC， ∴， 解得， 故PD+PE+PF为定值，故A正确，符合题意； B：点P的位置改变，∠BPC也会改变，错误，不符合题意； C：PA+PB+PC会随点P的位置变化而变化，错误，不符合题意； D：四边形BDPF的面积会随点P的位置变化而变化，错误，不符合题意； 故选：A． 23．三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，△ABC是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线DE交AB于点E，光线FG交AC于点G．已知△ABC是等边三角形，∠DEA＝29°，则∠FGA的度数为（　　） A．39° B．31° C．29° D．41° 【答案】B 【解答】解：如图，过点A作AM∥DE，则AM∥FG， ∵∠DEA＝29°， ∴∠EAM＝29°（两直线平行，内错角相等）， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠FGA＝∠MAG＝∠BAC﹣∠BAM＝60°﹣29°＝31°， 则∠FGA的度数为31°， 故选：B． 24．中国团扇工艺精巧，寓意团圆美满．如图1，某非遗传承人设计了一把六瓣团扇，其扇面可看作是由六个全等的花瓣形区域组成，局部分解如图2所示．已知中心圆的圆心为点O，A，B是其中一个花瓣形的两端点，连接OA，OB，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝60°，其中一花瓣形轮廓的圆心为点O'，连接O'A，O'B，现要在团扇的轮廓（图中实线部分）包一圈布条，若∠AO'B＝90°，则需要的布条（接头处忽略不计）长为（　　） A．15πcm B． C．16πcm D． 【答案】B 【解答】解：连接AB，如图， ∵OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝10cm， 设花瓣轮廓所在圆的半径为R， ∵∠AO′B＝90°，O′A＝O′B＝R， ∴△AO′B为等腰直角三角形， 由勾股定理可得，， ∴，即， ∴弧长为， ∴需要的布条长为． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 等腰三角形 内 容 导 航 知识点1 等腰三角形的定义 知识点2 等腰三角形的性质 知识点3 等腰三角形的判定 知识点4 等边三角形的性质与判定 知识点5 等腰三角形的定义 知识点6 等腰三角形的性质 知识点7 等腰三角形的判定 知识点8 等边三角形的性质与判定 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等边三角形的性质 知 识 点 通 关 知识点1 等腰三角形的定义 一、核心定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 二、关键概念（易错必记） 腰：等腰三角形中，两条相等的边叫做腰； 底边：除两条腰以外的第三条边，叫做底边； 顶角：两条腰的夹角，叫做顶角； 底角：腰与底边的夹角，叫做底角（等腰三角形有两个底角，且两个底角相等）。 三、注意事项 ①等腰三角形的腰和底边没有固定大小关系，需结合题干条件判断； ②定义是等腰三角形的最基础判定方法（有两条边相等即可判定）； ③等边三角形是特殊的等腰三角形（三条边都相等，满足“两条边相等”的定义）。 知识点2 等腰三角形的性质 一、核心性质 1. 边的性质：等腰三角形的两条腰相等。（易错提醒：腰与底边无固定大小关系，需结合题干判断） 2. 角的性质（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。（易错提醒：仅底角相等，顶角与底角不一定相等；底角必为锐角） 3. 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（易错提醒：仅针对“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的三线不重合） 4. 对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线。（易错提醒：只有1条对称轴，区别于等边三角形的3条） 二、延伸性质（关联知识点） 1. 等腰三角形顶角的外角等于两个底角的和（等于底角的2倍）。（易错提醒：注意外角与内角的关系，避免混淆“顶角外角”与“底角外角”） 2. 等腰三角形底边上的垂直平分线与顶角平分线、底边中线、底边高重合。（易错提醒：仅底边上的垂直平分线满足，腰上的垂直平分线不与三线重合） 三、常见易错点汇总 主要易错点包括：1. 混淆“三线合一”的适用范围；2. 忽略底角必为锐角，误将钝角当作底角；3. 误认为等腰三角形有多条对称轴；4. 运用“等边对等角”时，混淆腰与底边对应的角。 解题提醒：解题时先明确腰、底边、顶角、底角，再运用性质，避免漏解、错解。 知识点3 等腰三角形的判定 一、核心判定方法（重点） 1. 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。（易错提醒：判定时需明确两条边相等，注意区分腰与底边，无需额外证明角的关系） 2. 判定定理（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（易错提醒：相等的两个角对应的边是腰，需对应准确，避免混淆边与角的对应关系） 二、延伸判定方法（关联知识点） 1. 若一个三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，则该三角形是等腰三角形（反向运用“三线合一”）。（易错提醒：需同时满足其中两个条件即可判定，且仅针对底边和顶角相关的线） 2. 若一个三角形的一条边上的中线与这条边上的高重合，则该三角形是等腰三角形（这条边为底边，另外两条边为腰）。（易错提醒：仅当中线和高在同一条边上时成立，腰上的中线与高不重合） 3. 若一个三角形的一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则该三角形是等腰三角形（这个角为顶角，对边为底边）。（易错提醒：区分“顶角平分线”与“底角平分线”，仅顶角平分线满足此判定） 三、常见易错点汇总 主要易错点包括： 1. 运用“等角对等边”时，混淆角与边的对应关系； 2. 反向运用“三线合一”时，忽略适用范围（仅针对底边相关的线）； 3. 判定时未验证三角形成立条件（如两边相等但不满足三边关系）； 4. 误将“有一个角是60°的三角形”当作等腰三角形（需结合等腰三角形定义或判定定理）。 解题提醒：判定时先明确判定方法的适用条件，找准边与角的对应关系，必要时验证三角形成立，避免错判、漏判。 知识点4 等边三角形的性质与判定 一、核心性质（重点，关联等腰三角形） 1. 边的性质：等边三角形的三条边都相等（等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边均可看作腰）。（易错提醒：区别于普通等腰三角形“两条边相等”，等边三角形三边完全相等，无腰与底边之分） 2. 角的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个内角都等于60°。（易错提醒：三个角均为60°，不存在顶角与底角的区别，同时满足“等边对等角”，且内角和为180°） 3. 三线合一：等边三角形每条边上的中线、高，以及这条边所对内角的平分线互相重合（延伸了等腰三角形的“三线合一”，每条边都满足，而非仅底边）。（易错提醒：避免局限于“底边”，三条边的三线均重合） 4. 对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴，分别是每条边上的中线（或高、内角平分线）所在直线。（易错提醒：区别于普通等腰三角形仅1条对称轴） 二、核心判定方法（重点） 1. 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。（易错提醒：直接根据边长判定，无需额外证明角的关系，注意与等腰三角形定义区分） 2. 角判定法：三个角都相等的三角形是等边三角形。（易错提醒：三个角均为60°才可判定，仅两个角相等不能判定） 3. 特殊判定法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（易错提醒：前提是“等腰三角形”，若仅一个角为60°，且三角形非等腰，不能判定为等边三角形） 三、延伸关联知识点 1. 等边三角形的外角等于120°，且每个外角都相等（外角=180°-60°）。 2. 等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形（仅当等腰三角形的顶角为60°或底角为60°时，才是等边三角形）。 知识点5 等腰三角形的定义 利用等腰三角形的定义求线段 易错类型 易错说明 规避方法 未分类讨论腰与底边 题干仅给出两条线段长度（如“等腰三角形两边长为3和6”），未明确腰和底边，直接默认其中一条为腰，导致漏解或错解（如误将3当作腰，忽略3+3=6不满足三边关系）。 看到等腰三角形求边长，先明确“谁是腰、谁是底边”，分两种情况讨论，每种情况均验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）。 忽略三角形成立条件 分类讨论后，未验证三边是否能构成三角形，直接计算边长或周长（如腰为2、底边为5，2+2<5，无法构成三角形，仍计算周长）。 每类讨论完成后，必验证“两腰之和>底边、腰+底边>腰”，不满足条件的情况直接舍去。 混淆“腰”与“底边”的对应关系 已知等腰三角形一边长和周长，求另外两边时，误将已知边统一当作腰（或底边），忽略另一种可能（如周长10，一边长3，误只算腰为3、底边4，漏算底边为3、腰为3.5）。 已知周长和一边长，分“已知边为腰”“已知边为底边”两种情况，分别列方程计算，再验证三边关系。 利用等腰三角形的定义求角度 易错类型 易错说明 规避方法 未分类讨论顶角与底角 题干仅给出一个角的度数（如“等腰三角形一个角为80°”），未明确是顶角还是底角，直接默认一种情况，导致漏解（如仅算底角为80°，漏算顶角为80°）。 看到等腰三角形求角度，先明确“已知角是顶角还是底角”，分两种情况讨论，结合三角形内角和验证。 忽略底角必为锐角 分类讨论时，误将钝角当作底角（如已知角为100°，误当作底角，导致两个底角和超过180°，不符合内角和定理）。 牢记等腰三角形两个底角相等且必为锐角，若已知角为钝角或直角，必为顶角，无需分类。 混淆“顶角”与“底角”的区别 已知顶角求底角、已知底角求顶角时，公式混淆（如误将底角计算为180°顶角，忽略底角有两个且相等）。 牢记公式：底角=(180°-顶角)÷2，顶角=180°-2×底角，计算后验证内角和为180°。 忽略三角形内角和定理 计算角度时，未验证三个角的和是否为180°，导致计算错误（如底角为50°，误算顶角为90°，50°+50°+90°≠180°）。 计算完成后，必验证三个角的和为180°，不满足则说明计算或分类有误。 知识点6 等腰三角形的性质 利用等边对等角求角度 核心前提：“等边对等角”是等腰三角形的核心角性质，仅适用于等腰三角形，即等腰三角形中，两条相等的腰所对的两个底角相等(反之“等角对等边”是判定，不可混淆)。解题核心是“找等边→定等角→结合内角和/外角性质求解”，分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找”等边”：先观察题干图形或已知条件，明确等腰三角形中两条相等的边(腰)，标注出相等的边(如AB=AC,可在图中用相同符号标注)；若题干未明确，需先根据等腰三角形定义判定出等边。 2.定“等角”：根据”等边对等角”，确定相等的两条边所对应的角相等，标注出等角(如AB=AC，则AB所对的∠C与AC所对的∠B相等，即∠B=∠C);注意：边与角的对应关系，避免混淆“腰所对的角”与“底边所对的角”。 3.找“已知角/隐含条件”：提取题干中给出的已知角度，同时牢记两个隐含条件——①三角形内角和为180°；②等腰三角形的顶角与底角的关系(顶角=180°-2×底角，底角=(180°-顶角)÷2);若有外角，结合“三角形外角=不相邻两个内角和”辅助求解。 4.列关系、算角度：设未知角为x(通常设底角为x,计算更简便),根据内角和、等角关系或外角性质，列出等式，求解未知角；计算完成后，验证角度和是否为180°，确保计算无误。 知识点7 等腰三角形的判定 利用等角对等边进行证明 核心前提：“等角对等边”是等腰三角形的核心判定定理，仅适用于三角形，即一个三角形中，若两个角相等，则这两个角所对的两条边也相等(反之“等边对等角”是性质，不可混淆)。解题核心是“找等角→定对应边→结合已知条件证明等边”，分4步规范证明，同时规避常见易错点，确保证明逻辑严谨。 核心解题步骤(规范可落地) 1.找”等角”：先观察题干图形、已知条件(如角平分线、平行线、垂直、全等、等腰三角形性质等)，通过这些条件推导或直接提取出三角形中两个相等的角，标注出等角(如∠B=∠C,可在图中用相同弧线标注)；若等角未直接给出，需先通过辅助线或几何性质转化角的关系，推导得出等角。 2.定“对应边”：根据”等角对等边”,确定两个相等的角所对应的两条边，明确待证明的两条相等线段(如∠B=∠C,则∠B所对的边AC与∠C所对的边AB相等，即需证明AB=AC);关键是找准”角与边的对应关系”,避免混淆角所对的边。 3.理”已知条件/辅助线”：梳理题干中所有已知条件，明确推导等角的依据(如角平分线定义、平行线的性质、全等三角形的对应角相等、三角形内角和定理等)；若无法直接推出等角，需添加合适的辅助线(如作角平分线、垂线、中线)，转化角的关系，为推导等角创造条件。 4.写“证明过程”：按“已知→推导等角→应用等角对等边→得出结论”的逻辑，规范书写证明步骤，每一步推导都需标注依据，最终证明出两条线段相等，确保逻辑连贯、依据充分。 知识点8 等边三角形的性质与判定 利用等边三角形的性质求角度 核心前提：等边三角形是特殊的等腰三角形，其角的核心性质为三个内角均相等，且每个内角都等于60°,同时具备等腰三角形”等边对等角"“三线合一”的所有性质。解题核心是“利用等边三角形内角特性→结合三角形内角和、外角性质等→求解未知角度”，分4步规范解题，规避常见易错点，确保计算准确。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.定”等边三角形”：先观察题干图形或已知条件，明确所求角度所在的三角形是等边三角形(可通过定义：三边相等；判定：三角相等、有一个角是60°的等腰三角形确认)，标注出等边三角形的三条相等边或三个相等的角。 2.用“核心性质”：直接运用等边三角形的角性质——三个内角均为60°，若所求角是等边三角形的内角，可直接得出角度为60°；若所求角与等边三角形的内角相关，先标注出已知的60°角，为后续推导铺垫。 3.找“关联角度关系”：梳理题干中与所求角相关的条件(如平行线、角平分线、垂直、三角形全等、外角、三线合一等),结合三角形内角和180°、外角等于不相邻两个内角和等性质，将等边三角形的60°角与未知角建立联系。 4.算“未知角度”：根据上述关联关系，列出等式(若有未知角可设为x),计算得出未知角度；计算后验证角度关系是否成立(如内角和、外角与内角的关系),确保计算无误。 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD相交于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G；③作直线DG，与边BC相交于点H．则∠CDH的大小为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．12 题型2 等边三角形的性质 【典例1】已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 【变式1】如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 过 关 验 收 1．一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　） A．40° B．70° C．100° D．100°或70° 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，α，β为△ABC的两个外角，则当α减少1°时，β的变化是（　　） A．减少1° B．减小2° C．增大1° D．增大2° 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以A为圆心，AB长为半径作弧，与AC交于点D，以C为圆心，BC长为半径作弧，与AC交于点E，连结BD，BE，则∠DBE的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．与∠A的大小有关 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC长为半径作弧，交AC于点C和点D，连接BD，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠DBC内交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝50°，则∠EBC的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 5．如图，在△ABC中，AC＝BC，P为AB边上一动点（不与A，B重合），PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则下列为定值的是（　　） A．线段EF的长 B．PE+PF的大小 C．△PEF的周长 D．△PEF的面积 6．如图，在△ABC中，D，E两点均在AB边上，已知AC＝AE，BC＝BD，∠ACB＝a，则∠DCE＝（　　） A． B．90°﹣a C． D．2a﹣90° 7．如图，在△ABD和△CDB中，BA＝BD＝BC，连接AC，若∠ABC＝80°，∠CAD＝25°，则∠BDA＝（　　） A．50° B．65° C．70° D．75° 8．如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°，D是边BC上一点，连接AD，且AD＝AB．若AE平分∠CAD，则∠BAE的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．45° 9．如图，l1∥l2，点A在直线l2上，点B在直线l1上．若AB＝BC，∠C＝40°，∠BAD＝50°，则∠CBE的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 10．图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中BC∥ED∥FG，且FD＝FG，若∠BCD＝36°，则∠G的度数为（　　） A．36° B．54° C．60° D．72° 11．如图，DE∥BC，AB＝AE，若∠1＝66°，则∠EBC的度数为（　　） A．24° B．33° C．54° D．66° 12．如图，在等腰△ABC中，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，且，点P是BC边上一点，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为（　　） A． B． C． D． 13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点C作CD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，BD交AC于点E．若点F是CD的中点，连接FE，延长交AB于点G，则的值是（　　） A． B． C． D． 14．如图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠DOC＝80°，则∠BAC的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 15．在△ABC中，AB＝AC＝10，AE平分∠BAD，AD是BC边上的高，点E在边BC上，连接AE． （1）若∠B＝36°，求∠EAD的度数． （2）当AD＝6时，求CE的长． 16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AC、AB的四等分点，连接BD、CE．求证：∠DBC＝∠ECB． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，AD＝ED． （1）若∠B＝40°，求∠DEA的度数； （2）若AE＝CE＝2，求BC的长． 18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形“． 已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°． （1）如图，点D是BC上的一点，过点D作DE⊥AC于点E，交BA的延长线于点F，求证：△BDF是“准互余三角形”； （2）当△ABC是“准互余三角形”时，点P是射线BA上的一点，其中点P不与点A，B重合．连接CP，且△ACP是“准互余三角形”，请直接写出∠APC的度数． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是三角形ABC的高，用尺规作图的方法作出射线CP交AB于点E，交BD于点O． （1）判断用尺规作出的CP是 　 ； （2）求证：BE＝CD． 20．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE＝1，则△ABC的边长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 21．正三角形是一种具有独特美感的几何图形．它在设计、艺术和自然界中都有广泛的应用．正三角形的美在于它的对称、稳定、简洁与和谐．它不仅是一种数学图形，更是一种美学符号，能够为我们的生活带来更多的美好与乐趣．已知一个正三角形的边长为2，则它的面积为（　　） A． B． C． D． 22．如图所示，在边长为4的等边△ABC中，P是△ABC内任意一点，若满足PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，则下列为定值的是（　　） A．PD+PE+PF B．∠BPC的大小 C．PA+PB+PC D．四边形BDPF的面积 23．三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，△ABC是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线DE交AB于点E，光线FG交AC于点G．已知△ABC是等边三角形，∠DEA＝29°，则∠FGA的度数为（　　） A．39° B．31° C．29° D．41° 24．中国团扇工艺精巧，寓意团圆美满．如图1，某非遗传承人设计了一把六瓣团扇，其扇面可看作是由六个全等的花瓣形区域组成，局部分解如图2所示．已知中心圆的圆心为点O，A，B是其中一个花瓣形的两端点，连接OA，OB，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝60°，其中一花瓣形轮廓的圆心为点O'，连接O'A，O'B，现要在团扇的轮廓（图中实线部分）包一圈布条，若∠AO'B＝90°，则需要的布条（接头处忽略不计）长为（　　） A．15πcm B． C．16πcm D． 学科网（北京）股份有限公司 $