第06讲 分式方程及其应用 2027年中考数学一轮复习讲义

第06讲 分式方程及其应用 内 容 导 航 知识点1 解分式方程 知识点2 根据分式方程增解的情况求参数 知识点3 已知分式方程解的正负求参数 知识点4 解分式方程 知识点5 分式方程的解 知识点6 二元一次方程组的解 题型1 分式有意义的条件 题型2 分式的基本性质 题型3 分式的值为零的条件 题型4 最简公分母 题型5 分式的乘除法 题型6 分式的加减法 题型7 分式的混合运算 题型8 分式的化简求值 题型9 分式方程的解 题型10 解分式方程 题型11 由实际问题抽象出分式方程 题型12 分式方程的应用 知 识 点 通 关 知识点1 解分式方程 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，核心区别于整式方程(分母不含未知数)。示例：是分式方程；是整式方程。 2.核心解题思想 转化思想：通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 3.增根的概念 增根是去分母后整式方程的解，但代入原分式方程的最简公分母会使分母为0，导致分式无意义，因此增根不是原分式方程的解。 4.解分式方程步骤（以为例） 1.找最简公分母：分析各分母的因式，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 本题分母为x和x-1,最简公分母为x(x-1)。 若分母是多项式，需先因式分解。 2.去分母，化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘(包括不含分母的常数项)，约去分母得到整式方程。（本题两边同乘，得：） 3.解整式方程：按照一元一次方程(或其他整式方程)的解法求解。 本题展开：→移项得：。 4.验根(必不可少的步骤)：将整式方程的解代入最简公分母检验： ①若最简公分母≠0,则是原分式方程的解； ②若最简公分母=0,则是增根，原方程无解。 本题把x=3代入x(x-1),得,故是原方程的解。 5.写出结论：明确原方程的解或无解的最终结果。 知识点2 根据分式方程增解的情况求参数 题型1：已知分式方程有增根，求参数 核心逻辑：增根的本质是使最简公分母为0的根，且是整式方程的解。 解题步骤 ①找增根：令最简公分母等于0，求出所有可能的增根； ②化整式方程：分式方程两边乘最简公分母，得到整式方程； ③代根求参：将增根代入整式方程，解方程即可求出参数的值。 题型2：已知分式方程无解，求参数 核心逻辑：分式方程无解分两种情况，需分类讨论，缺一不可： 情况1：整式方程的解是增根(即解使最简公分母为0)； 情况2：整式方程本身无解(仅当整式方程是0·x=a且a≠0时成立)。 解题步骤 ①去分母转化为整式方程； ②分两类讨论： ★整式方程有解，但解是增根→按“题型1”求参数； ★整式方程无解→令整式方程的一次项系数为0,常数项不为0,求参数； ③整合两类情况的参数值。 知识点3 已知分式方程解的正负求参数 解分式方程实际应用的一般思路 步骤 具体操作 关键注意事项 ①审题 标注已知量、未知量，梳理各量之间的公式关系（如路程 = 速度 × 时间） 抓住“相等”“多/少“提前”/推迟”“相同” 等关键词，锁定等量关系 ②设未知数 ① 直接设元：求什么设什么（如求速度设为xkm/h） ② 间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量（如求时间设速度为x） 设未知数时要带单位 ③列分式方程 根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程 确保方程两边的量纲统一，避免单位混乱 ④解方程 按照 “找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程” 的步骤求解 去分母时，方程中所有项都要乘最简公分母，常数项不能漏乘 ⑤双重验根 ① 增根检验：将解代入最简公分母，若为 0 则是增根，舍去 ② 实际检验：判断解是否符合实际意义（如速度、单价、时间不能为负或 0） 双重验根是得分关键，缺一不可 ⑥作答 写出最终结论，带单位 结论要与题目所求一致，语言简洁规范 知识点4 解分式方程 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错点类型 具体表现 判断方法 漏乘常数项或整式项 只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项 检查方程中所有项是否都乘了最简公分母，无分母的项也要乘 最简公分母找错 1.分母是多项式时，未因式分解直接找公分母 2. 忽略分母间的公因式 分母是多项式时，先因式分解，再取各因式的最高次幂的积作为最简公分母 符号处理失误 1.分母互为相反数时（如x−2和2−x），未统一符号直接乘 2.去分母时忽略分子的括号，导致符号错误 1. 遇到a−b和b−a，先转化为相同形式（提取负号） 2. 分子是多项式时，去分母后保留括号，再去括号 错用 “约分” 代替去分母 直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构 去分母必须是方程两边同乘最简公分母，不能直接交叉约分；约分仅适用于分式内部的分子分母 忽略分母不为0 的前提 去分母后未考虑最简公分母可能为 0，直接判定整式方程的解是原方程的解 去分母是 “等价变形” 的前提是最简公分母≠0，因此去分母后必须验根，不能直接判定解的有效性 快速避错口诀 ①去分母，遍乘无遗漏，因式分解找公分母；②符号变，分子括起来，互为相反数先转化；③解整式，验根不可少，公分母零就是增根；④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。 知识点5 分式方程的解 已知分式方程的解为正数或负数，求参数的取值范围，是中考分式方程含参问题的高频题型。解题核心是 “先解整式方程，再结合解的符号限制 + 增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法如下： 一、 通用解题步骤（四步法） 去分母，化分式方程为整式方程方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为一元一次整式方程（形如ax=b) 注意：去分母时每一项都要乘，常数项、整式项不能漏乘；分母是多项式先因式分解，分母互为相反数先统一符号。 二、解整式方程，用参数表示解 把参数当作已知数，解出整式方程的解，结果用含参数的代数式表示（如x=m+2，m为参数） 注意：若整式方程的一次项系数含参数，需先讨论系数是否为0： 若系数为 0 且常数项≠0 → 整式方程无解，原分式方程也无解； 若系数为 0 且常数项 = 0 → 整式方程有无数解，结合分母限制判断是否符合题意。 三、列不等式，限制解的符号 若解为正数 → 列不等式：解大于0； 若解为负数 → 列不等式：解大于0； 解不等式，初步确定参数的取值范围。 四、排除增根，补充限制条件 增根是使最简公分母为 0 的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母 ≠ 0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。 已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下： 概念 本质特征 关键区别 增根 1.是去分母后整式方程的解 2.代入原分式方程的最简公分母= 0（使分母无意义） 增根是“整式方程的解，但不是分式方程的解”；有增根≠分式方程无解 无解 分式方程无解分两类情况： 1.整式方程的解都是增根 2.去分母后的整式方程本身无解（仅一元一次方程中 0⋅x=a，a=0时成立） 无解包含 “有增根导致无解” 和 “整式方程无解导致无解” 两种情况 高频易错点规避 1.忽略参数的限定条件 如例题变式中，题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。 规避：审题时圈画参数的限定词（如 “整数”“正整数”“负整数”）。 2.未排除增根直接求参数 只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。 规避：步骤 4 是必做环节，增根一定要排除。 3.解的形式为分式时，不会分析倍数关系 如解为且为整数→m+3必须是2的倍数，即 技巧：若 4.忽略整式方程无解的情况 当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为 0 的情况，直接求解导致漏解或错解。 规避：先讨论系数是否为 0，再分析整数解条件。 知识点6 二元一次方程组的解 分式方程解决行程问题的核心是利用 “路程、速度、时间” 的基本关系，抓住题干中 “时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下： 核心公式与等量关系 1. 基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒ 行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。 2. 常见的等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 速度变化导致时间差 原时间−现时间=提前时间 现时间−原时间=推迟时间 提速后提前到达、减速后迟到 顺逆流 / 顺风逆风航行 顺流时间−逆流时间=时间差 或反之 轮船航行、飞机飞行 不同主体行驶同一路程 甲的时间−乙的时间=时间差 两人同时出发，一人先到 3.特殊场景速度公式 顺流速度=静水速度+水流速度（） 逆流速度=静水速度-水流速度（） 顺风/逆风同理分式方程解决工程问题的核心是 以 “工作总量、工作效率、工作时间” 的基本关系为依托，抓住 “时间差”“合作效率” 等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算， 核心公式与等量关系 1.基本公式 工作总量=工作效率×工作时间 变形公式： 关键技巧：当题目未给出具体工作总量时，常设工作总量为1。此时单人工作效率 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单人效率变化 原工作时间−现工作时间=提前完成时间 提高效率后提前完工 多人合作 甲工作量+乙工作量=总工作量 合作效率=甲效率+乙效率 甲乙合作完成任务 分段工作 先做工作量+后做工作量=总工作量 先单独做，再合作做 分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量” 的基本关系，抓住题干中 “总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。 核心公式与等量关系 1.基本公式：总价=单价×数量 变形公式（列分式方程的关键）：数量=​ 该变形是销售问题列分式方程的核心依据，因为分式方程的分母通常为单价。 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单价变化导致数量差 原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数 降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数 用固定总价买商品，单价变化引发数量变化 两种商品单价对比 甲单价=k×乙单价（k为倍数） 甲购买数量=乙购买数量±差值 已知两种商品单价关系和数量差，求单价 总价相同的两种方案 方案一总价=方案二总价 不同单价和数量组合，总价相等 考 点 演 练 题型1 分式有意义的条件 【典例1】要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3 【答案】D 【解答】解：要使分式有意义，只须x﹣3≠0，即x≠3， 故选：D． 【变式1】若使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣2 B．x≠﹣1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1 【答案】B 【解答】解：∵分式有意义， ∴x+1≠0， 解得x≠﹣1， 故选：B． 题型2 分式的基本性质 【典例1】下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】若，则　 　 ． 【答案】 【解答】解：由，得a， ∴． 故答案为：． 题型3 分式的值为零的条件 【典例1】若分式的值为0，则实数x的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，， 解得：x＝3且满足x≠﹣2， ∴x的值为3． 故选：D． 【变式1】已知x＝﹣2时，分式无意义，x＝4时，分式的值为零，则a+b的值是（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解答】解：∵x＝﹣2时，分式无意义， ∴2x+a＝0， 把x＝﹣2代入得，2×（﹣2）+a＝0， 解得：a＝4， ∵x＝4时，分式的值为0， ∴x﹣b＝0且分母不为0， 把x＝4代入分子得，4﹣b＝0， 解得：b＝4， 验证分母：x＝4时，2×4+a＝12≠0，符合要求， ∴a+b＝4+4＝8． 故选：D． 题型4 最简公分母 【典例1】分式和的最简公分母为 　 　 ． 【答案】2（m﹣n）． 【解答】解：分式和的分母分别是2（m﹣n）、（m﹣n）．则它们的最简公分母是2（m﹣n）． 故答案为：2（m﹣n）． 【变式1】分式和的最简公分母为 　 ． 【答案】2a2b 【解答】解：2ab＝2×a×b， a2＝a×a， 所以分式和的最简公分母为： 2×a×b×a＝2a2b． 故答案为：2a2b． 题型5 分式的乘除法 【典例1】若运算的结果不是分式，则“（　　）”内的式子可能是（　　） A．ab B．a+b C．a﹣b D． 【答案】A 【解答】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（　　）”内的式子一定有a的单项式， ∴只有A项符合， 故选：A． 【变式1】化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ， 故选：C． 题型6 分式的加减法 【典例1】计算的结果是 　 ． 【答案】a+1． 【解答】解：原式 ＝a+1． 故答案为：a+1． 【变式1】化简：　 　 ． 【答案】． 【解答】解：， 故答案为：． 题型7 分式的混合运算 【典例1】化简的结果是（　　） A． B．m C．m﹣1 D． 【答案】D 【解答】解：． 故选：D． 【变式1】化简：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解： • ， 故选：A． 题型8 分式的化简求值 【典例1】已知ab＝1，则的值为（　　） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵ab＝1， ∴原式 ＝2026×1 ＝2026． 故选：A． 【变式1】题目“先化简，再求值：，其中x＝1．”某同学在抄题时，错将分子2x+3抄成了x+3，则他的计算结果与正确结果（　　） A．相等 B．相差 C．和为0 D．积为﹣1 【答案】B 【解答】解： ， 当x＝1时，原式； ∵某同学在抄题时，错将分子2x+3抄成了x+3， ∴ ， 当x＝1时，原式1， ∴﹣1﹣（）． 故选：B． 题型9 分式方程的解 【典例1】已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k≠1 B． C．k且k≠1 D．k且k 【答案】D 【解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝3k， ∴x＝﹣3k+2， ∵关于x的方程解为正数， ∴﹣3k+2＞0，且x＝﹣3k+2≠1， ∴k且k． 故选：D． 【变式1】若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣3得： ax﹣3＝2（x﹣3）， ax﹣3＝2x﹣6， ax﹣2x＝3﹣6， （a﹣2）x＝﹣3， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴3（a﹣2）＝﹣3， 解得：a＝1， ∵分式方程无解， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2， 综上可知：a＝2或1， 故选：D． 题型10 解分式方程 【典例1】下列为解分式方程的其中四个步骤，其中错误的步骤是（　　） A．（a﹣2）（a﹣4）﹣（a﹣7）（a+4）＝（a+4）（a﹣4） B．a2﹣6a+8﹣a2+3a+28＝a2﹣16 C．﹣3a+36＝a2﹣16 D．a2﹣3a+52＝0 【答案】D 【解答】解：A．方程两边同乘最简公分母（a+4）（a﹣4），得（a﹣2）（a﹣4）﹣（a﹣7）（a+4）＝（a+4）（a﹣4），故选项A正确； B．展开多项式并去括号，可得a2﹣6a+8﹣（a2﹣3a﹣28）＝a2﹣16， 即a2﹣6a+8﹣a2+3a+28＝a2﹣16，故选项B正确； C．合并同类项可得﹣3a+36＝a2﹣16，故选项C正确 D．移项整理可得a2+3a﹣52＝0，与a2﹣3a+52＝0不符，故选项D错误． 故选：D． 【变式1】对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，按照这个规定，方程的解为（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．1或2 【答案】C 【解答】解：当时，， 方程两边同乘x（4﹣x），得4﹣x＝3x， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是分式方程的解； 当时，， 方程两边同乘x（4﹣x），得﹣（4﹣x）＝3x， 解得：x＝﹣2， 经检验，x＝﹣2是分式方程的解； 综上所述，方程的解为1或﹣2， 故选：C． 题型11 由实际问题抽象出分式方程 【典例1】一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），则可列分式方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时， ∴顺风速度＝（x+36）千米/小时，逆风速度＝（x﹣36）千米/小时， ∴可列方程为：， 故选：B． 【变式1】随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+60）件， 依题意得：． 故选：A． 题型12 分式方程的应用 【典例1】某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【答案】（1）甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队． 【解答】解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需x天， 由题意列分式方程得：， 整理得，1.5x＝75， 解得：x＝50， 经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意． 则1.5x＝1.5×50＝75（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ∵50＜51＜75， ∴甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， ∴从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：50×1000＝50000（元）， 若乙单独完成，其费用为：75×700＝52500（元）， ∵52500元＞50000元， ∴从资金的角度考虑，学校应选择甲工程队，且甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成． 综上所述，从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队． 【变式1】嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图 设每支圆珠笔为x元． （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵m（0＜m＜6）元，求出整数m的值． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解答】解：（1）由题意可知，每支中性笔为（x+1.2）元． 由题意得：， 解得：x＝1.6， 经检验，x＝1.6是原方程的解， 此时，圆珠笔的数量为12÷1.6＝7.5（支）， ∵圆珠笔的数量为整数， ∴x＝1.6不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）由题意可知，每支中性笔为（x+m）元． 由题意得：， 解得：x， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数， ∴整数m＝3， ∴x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， 答：整数m的值为3． 过 关 验 收 1．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣3 ﹣2 0 2 3 … y … 0 无意义 ☆ 无意义 ☆ … A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据表格信息可得三个条件：①当x＝﹣2时，y无意义，即x＝﹣2时分母为0， ②当x＝2时，y无意义，即x＝2时分母为0， ③当x＝﹣3时，y＝0，即x＝﹣3时分子为0且分母不为0， A、当x＝﹣2时，分母x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，y有意义，不符合条件①，不符合题意； B、当x＝2时，分母x+2＝2+2＝4≠0，y有意义，不符合条件②，不符合题意； C、当x＝﹣3时，分子x﹣3＝﹣3﹣3＝﹣6≠0，y≠0，不符合条件③，不符合题意； D、当x＝﹣2时，分母x2﹣4＝（﹣2）2﹣4＝0，y无意义，符合题意； 当x＝2时，分母x2﹣4＝22﹣4＝0，y无意义，符合条件②，符合题意； 当x＝﹣3时，分子x+3＝﹣3+3＝0，分母x2﹣4＝（﹣3）2﹣4＝5≠0，y＝0，符合条件③，符合题意． 故选：D． 2．要使分式有意义，则x的取值范围是 　 ． 【答案】x≠﹣2 【解答】解：∵分式有意义，分母不等于0， ∴2x+4≠0， 解得：x≠﹣2． 故答案为：x≠﹣2． 3．把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】B 【解答】解：由题意得，， ∴分式的值扩大为原来的3倍． 故选：B． 4．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．±3 【答案】B 【解答】解：由已知可得|x|﹣3＝0且x2+x﹣6≠0， 解得：x＝3． 故选：B． 5．当x＝ 时，分式的值为0． 【答案】8． 【解答】解：∵分式的值为0， ∴x﹣8＝0，且x﹣3≠0， 解得：x＝8， ∴当x＝8时，分式的值为0． 故答案为：8． 6．分式与的最简公分母是（　　） A．6a2b B．6ab C．6a2b2 D．2ab 【答案】A 【解答】解：两个分式最简公分母是6a2b； 故选：A． 7．下列运算正确的是（　　） A．6x5﹣2x3＝4x2 B．（）3 C．（﹣m+2n）2＝m2+4mn+4n2 D．（3n﹣4m）（﹣3n﹣4m）＝16m2﹣9n2 【答案】D 【解答】解：∵6x5和2x3不是同类项，不能加减， ∴选项A不符合题意； ∵（）3， ∴选项B不符合题意； ∵（﹣m+2n）2＝m2﹣4mn+4n2， ∴选项C不符合题意； ∵（3n﹣4m）（﹣3n﹣4m）＝16m2﹣9n2， ∴选项D符合题意， 故选：D． 8．关于式子，下列说法正确的是（　　） A．当x＝1时，其值为2 B．当x＝﹣1时，其值为0 C．当﹣1＜x＜0时，其值为正数 D．当x＜﹣1时，其值为正数 【答案】D 【解答】解： ， ∵x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1， x≠0， ∴A、x≠1，故A说法错误，不符合题意； B、x≠﹣1，故B说法错误，不符合题意； C、当﹣1＜x＜0时，，故C说法错误，不符合题意； D、当x＜﹣1时，，故D说法正确，符合题意， 故选：D． 9．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：原式． 故选：B． 10．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1），（2）x． 【解答】解：（1） ； （2） • • ＝x． 11．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ， 故选：C． 12．计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解答】解：， 故选：D． 13．已知，则常数A，B的值分别是（　　） A．A＝1，B＝2 B．A＝2，B＝1 C．A＝﹣1，B＝﹣2 D．A＝﹣2，B＝﹣1 【答案】A 【解答】解： ， ∵， ∴， ②﹣①得：A＝1， 把A＝1代入①得：B＝2， ∴方程组的解为：， 故选：A． 14．化简：（x+2） 　 ． 【答案】2x+6． 【解答】解：原式＝[]• • ＝2（x+3） ＝2x+6． 故答案为：2x+6． 15．计算：（2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式• • ． 16．化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式＝[]• 解：原式•• （1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）③；②； （2）2x． 【解答】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）若选择甲同学的解法： ＝[]• • • ＝2x； 若选择乙同学的解法： •• •• ＝x﹣1+x+1 ＝2x． 17．如果，那么的值等于（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴（a﹣b）2＝﹣ab，即a2﹣2ab+b2＝﹣ab， ∴a2+b2＝ab， ∴1． 故选：B． 18．已知，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：， ∴ ， 故选：D． 19．已知，则下列判断正确的是（　　） A．A的计算结果为 B．当x＝﹣3时，A＝2 C．当0＜x＜3时，A的值为正数 D．若A是整数，则A＝3或A＝1 【答案】A 【解答】解：A、 ，正确，符合题意； B、x＝﹣3时原算式中两个分母均为0，无意义，原说法错误，不符合题意； C、当0＜x＜3时，x＞0，x﹣3＜0， ∴，A为负数，原说法错误，不符合题意； D、若为整数，只需为整数，例如时，A＝﹣1也为整数，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 20．当x＞1时，式子的值（　　） A．大于0且小于 B．大于0且小于 C．大于 D．大于1 【答案】A 【解答】解：根据异分母分式减法化简可得： ， 当x＞1时，x+1＞2，则， 即当x＞1时，式子的值大于0且小于． 故选：A． 21．已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 【答案】k＜﹣2． 【解答】解：， 方程可化为， 方程两边同乘x﹣3，得x+k+2k＝2（x﹣3）， 解得x＝3k+6， ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴3k+6＜0，3k+6≠3 解得k＜﹣2． 22．若数a使关于x的分式方程3的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，求符合条件的所有整数a的和． 【答案】5． 【解答】解：分式方程的两边都乘以（x﹣1）得：2﹣a＝3（x﹣1）， 解得， ∵x﹣1≠0， ∴， ∴a≠2， ∵方程的解为正数， ∴， ∴a＜5且a≠2； ， 解不等式①得：y＜﹣2， 解不等式②得：y≤a， ∵不等式组的解集为y＜﹣2， ∴a≥﹣2． ∴﹣2≤a＜5且a≠2 ∴整数a的和为（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4＝5． 23．关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 【答案】C 【解答】解：原方程可变形为， x+k﹣4k＝3（x﹣2）， x﹣3k＝3x﹣6， 2x＝6﹣3k， 解得：， ∵方程的解为非负数，且分式分母不为0， ∴， 解不等式得，k≤2， 解不等式得，， ∴k的取值范围是k≤2且． 故选：C． 24．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D． 【答案】C 【解答】解：， 方程两边同乘x﹣4，得：x﹣2（x﹣4）＝﹣m， 整理得：x﹣2x＝﹣m﹣8， 解得：x＝m+8， ∵原方程无解， ∴x＝m+8＝4， m＝﹣4， 故选：C． 25．解分式方程，去分母后的结果是（　　） A．1+（2x+1）＝x﹣3 B．1﹣（2x+1）＝x﹣3 C．1﹣（2x+1）＝1 D．1+（2x+1）＝1 【答案】B 【解答】解：解分式方程， ∵3﹣x＝﹣（x﹣3）， ∴原方程可变形为 ， 方程两边同时乘以最简公分母x﹣3， 得1﹣（2x+1）＝x﹣3． 故选：B． 26．无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为8km；若由无人机飞行配送，路程为6km．已知无人机速度是外卖员速度的3倍，且无人机比外卖员早到24分钟．设外卖员配送速度为xkm/h，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意可列分式方程：． 故选：C． 27．近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：30；乙：． 则甲所列方程中的x表示 　 ，乙所列方程中的x表示　 　 ； （2）从甲，乙两种方法中选择一种进行完整解答； （3）该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个？ 【答案】（1）B型玩具的单价；用520元购进A型玩具的数量； （2）A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； （3）最多可购进A型玩具116个． 【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示用520元购进A型玩具的数量； 故答案为：B型玩具的单价；用520元购进A型玩具的数量； （2）甲：， 解得x＝5， 经检验，x＝5是原方程的解， 5×1.6＝8（元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； 乙：， 解得x＝65， 经检验，x＝65是原方程的解， （元）， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； （3）设可购进A型玩具a个，根据题意得： 8a+5（200﹣a）≤1350， 解得， ∴整数a最大值是116， 答：最多可购进A型玩具116个． 28．下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．（填序号） ①甲种商品每件进价x元 ②乙种商品每件进价x元 ③甲种商品购进x件 （2） 根据以上解法可求出甲种商品的进价为 元/件，乙种商品的进价为 　 元/件． （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价﹣进价） 【答案】（1）①，③； （2）50，30； （3）该商店获得最大的利润为765元． 【解答】解：（1）由甲商品数量＝乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元； 由甲商品进价﹣乙商品进价＝20，可得：20中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）， 去分母得：2000（x﹣20）＝1200x， 整理得：5x﹣100＝3x， 解得：x＝50， 经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意； ∴x﹣20＝50﹣20＝30， 故答案为：50，30； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进（40﹣a）件， ∵商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品， ∴50a+30（40﹣a）≤1420， ∴a≤11， 根据题意得：W＝（80﹣50）a+（45﹣30）（40﹣a）＝30a+600﹣15a＝15a+600， ∵15＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵a≤11， ∴当a＝11时，W最大，最大值为15×11+600＝765， ∴该商店获得最大的利润为765元． 29．宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是（x+30）元， 根据题意得：1.5， 解得：x＝148， 经检验，x＝148是所列方程的解，且符合题意， ∴x+30＝178， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装（30﹣m）套， 根据题意得：148（30﹣m）+178m≤5000， 解得：m≤18， ∴m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 30．甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种3棵树．甲队种60棵树与乙队种66棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？ 【答案】甲队每小时种30棵树． 【解答】解：设甲队每小时种x棵树，则乙队每小时种（x+3）棵树， 根据题意得：， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意， 答：甲队每小时种30棵树． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 分式方程及其应用 内 容 导 航 知识点1 解分式方程 知识点2 根据分式方程增解的情况求参数 知识点3 已知分式方程解的正负求参数 知识点4 解分式方程 知识点5 分式方程的解 知识点6 二元一次方程组的解 题型1 分式有意义的条件 题型2 分式的基本性质 题型3 分式的值为零的条件 题型4 最简公分母 题型5 分式的乘除法 题型6 分式的加减法 题型7 分式的混合运算 题型8 分式的化简求值 题型9 分式方程的解 题型10 解分式方程 题型11 由实际问题抽象出分式方程 题型12 分式方程的应用 知 识 点 通 关 知识点1 解分式方程 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，核心区别于整式方程(分母不含未知数)。示例：是分式方程；是整式方程。 2.核心解题思想 转化思想：通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解。 3.增根的概念 增根是去分母后整式方程的解，但代入原分式方程的最简公分母会使分母为0，导致分式无意义，因此增根不是原分式方程的解。 4.解分式方程步骤（以为例） 1.找最简公分母：分析各分母的因式，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 本题分母为x和x-1,最简公分母为x(x-1)。 若分母是多项式，需先因式分解。 2.去分母，化为整式方程：方程两边同时乘以最简公分母，注意每一项都要乘(包括不含分母的常数项)，约去分母得到整式方程。（本题两边同乘，得：） 3.解整式方程：按照一元一次方程(或其他整式方程)的解法求解。 本题展开：→移项得：。 4.验根(必不可少的步骤)：将整式方程的解代入最简公分母检验： ①若最简公分母≠0,则是原分式方程的解； ②若最简公分母=0,则是增根，原方程无解。 本题把x=3代入x(x-1),得,故是原方程的解。 5.写出结论：明确原方程的解或无解的最终结果。 知识点2 根据分式方程增解的情况求参数 题型1：已知分式方程有增根，求参数 核心逻辑：增根的本质是使最简公分母为0的根，且是整式方程的解。 解题步骤 ①找增根：令最简公分母等于0，求出所有可能的增根； ②化整式方程：分式方程两边乘最简公分母，得到整式方程； ③代根求参：将增根代入整式方程，解方程即可求出参数的值。 题型2：已知分式方程无解，求参数 核心逻辑：分式方程无解分两种情况，需分类讨论，缺一不可： 情况1：整式方程的解是增根(即解使最简公分母为0)； 情况2：整式方程本身无解(仅当整式方程是0·x=a且a≠0时成立)。 解题步骤 ①去分母转化为整式方程； ②分两类讨论： ★整式方程有解，但解是增根→按“题型1”求参数； ★整式方程无解→令整式方程的一次项系数为0,常数项不为0,求参数； ③整合两类情况的参数值。 知识点3 已知分式方程解的正负求参数 解分式方程实际应用的一般思路 步骤 具体操作 关键注意事项 ①审题 标注已知量、未知量，梳理各量之间的公式关系（如路程 = 速度 × 时间） 抓住“相等”“多/少“提前”/推迟”“相同” 等关键词，锁定等量关系 ②设未知数 ① 直接设元：求什么设什么（如求速度设为xkm/h） ② 间接设元：直接设元列方程复杂时，设中间量（如求时间设速度为x） 设未知数时要带单位 ③列分式方程 根据等量关系，用含未知数的代数式表示各量，列出方程 确保方程两边的量纲统一，避免单位混乱 ④解方程 按照 “找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程” 的步骤求解 去分母时，方程中所有项都要乘最简公分母，常数项不能漏乘 ⑤双重验根 ① 增根检验：将解代入最简公分母，若为 0 则是增根，舍去 ② 实际检验：判断解是否符合实际意义（如速度、单价、时间不能为负或 0） 双重验根是得分关键，缺一不可 ⑥作答 写出最终结论，带单位 结论要与题目所求一致，语言简洁规范 知识点4 解分式方程 解分式方程中判断去分母是否正确常见错误点 易错点类型 具体表现 判断方法 漏乘常数项或整式项 只给分式项乘最简公分母，忽略无分母的常数项/整式项 检查方程中所有项是否都乘了最简公分母，无分母的项也要乘 最简公分母找错 1.分母是多项式时，未因式分解直接找公分母 2. 忽略分母间的公因式 分母是多项式时，先因式分解，再取各因式的最高次幂的积作为最简公分母 符号处理失误 1.分母互为相反数时（如x−2和2−x），未统一符号直接乘 2.去分母时忽略分子的括号，导致符号错误 1. 遇到a−b和b−a，先转化为相同形式（提取负号） 2. 分子是多项式时，去分母后保留括号，再去括号 错用 “约分” 代替去分母 直接将两个分式的分子分母交叉约分，破坏等式结构 去分母必须是方程两边同乘最简公分母，不能直接交叉约分；约分仅适用于分式内部的分子分母 忽略分母不为0 的前提 去分母后未考虑最简公分母可能为 0，直接判定整式方程的解是原方程的解 去分母是 “等价变形” 的前提是最简公分母≠0，因此去分母后必须验根，不能直接判定解的有效性 快速避错口诀 ①去分母，遍乘无遗漏，因式分解找公分母；②符号变，分子括起来，互为相反数先转化；③解整式，验根不可少，公分母零就是增根；④遇参数，分类要全面，增根无解两情况。 知识点5 分式方程的解 已知分式方程的解为正数或负数，求参数的取值范围，是中考分式方程含参问题的高频题型。解题核心是 “先解整式方程，再结合解的符号限制 + 增根排除条件，双管齐下确定参数范围”，具体方法如下： 一、 通用解题步骤（四步法） 去分母，化分式方程为整式方程方程两边同乘最简公分母，消去分母，转化为一元一次整式方程（形如ax=b) 注意：去分母时每一项都要乘，常数项、整式项不能漏乘；分母是多项式先因式分解，分母互为相反数先统一符号。 二、解整式方程，用参数表示解 把参数当作已知数，解出整式方程的解，结果用含参数的代数式表示（如x=m+2，m为参数） 注意：若整式方程的一次项系数含参数，需先讨论系数是否为0： 若系数为 0 且常数项≠0 → 整式方程无解，原分式方程也无解； 若系数为 0 且常数项 = 0 → 整式方程有无数解，结合分母限制判断是否符合题意。 三、列不等式，限制解的符号 若解为正数 → 列不等式：解大于0； 若解为负数 → 列不等式：解大于0； 解不等式，初步确定参数的取值范围。 四、排除增根，补充限制条件 增根是使最简公分母为 0 的解，增根不是原分式方程的解，因此需满足：解增根（即解代入最简公分母 ≠ 0）。结合此条件，进一步缩小参数的取值范围。 已知分式方程有增根或无解求参数的值/取值范围，是中考分式方程含参问题的核心题型。解题的核心逻辑是“先转化为整式方程，再结合增根、无解的本质条件分类讨论”，具体思路拆解如下： 概念 本质特征 关键区别 增根 1.是去分母后整式方程的解 2.代入原分式方程的最简公分母= 0（使分母无意义） 增根是“整式方程的解，但不是分式方程的解”；有增根≠分式方程无解 无解 分式方程无解分两类情况： 1.整式方程的解都是增根 2.去分母后的整式方程本身无解（仅一元一次方程中 0⋅x=a，a=0时成立） 无解包含 “有增根导致无解” 和 “整式方程无解导致无解” 两种情况 高频易错点规避 1.忽略参数的限定条件 如例题变式中，题目要求参数如k是正整数，若遗漏此条件，会扩大参数的取值范围。 规避：审题时圈画参数的限定词（如 “整数”“正整数”“负整数”）。 2.未排除增根直接求参数 只考虑解是整数，忘记检验解是否为增根，导致答案错误。 规避：步骤 4 是必做环节，增根一定要排除。 3.解的形式为分式时，不会分析倍数关系 如解为且为整数→m+3必须是2的倍数，即 技巧：若 4.忽略整式方程无解的情况 当整式方程一次项系数含参数时，未讨论系数为 0 的情况，直接求解导致漏解或错解。 规避：先讨论系数是否为 0，再分析整数解条件。 知识点6 二元一次方程组的解 分式方程解决行程问题的核心是利用 “路程、速度、时间” 的基本关系，抓住题干中 “时间差”“速度差”等关键词建立等量关系，再通过分式方程建模求解，具体思路如下： 核心公式与等量关系 1. 基本公式：路程（s）=速度（v）×时间（t）⇒ 行程问题中，时间的表达式是列分式方程的关键（因为分式方程的分母通常为速度）。 2. 常见的等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 速度变化导致时间差 原时间−现时间=提前时间 现时间−原时间=推迟时间 提速后提前到达、减速后迟到 顺逆流 / 顺风逆风航行 顺流时间−逆流时间=时间差 或反之 轮船航行、飞机飞行 不同主体行驶同一路程 甲的时间−乙的时间=时间差 两人同时出发，一人先到 3.特殊场景速度公式 顺流速度=静水速度+水流速度（） 逆流速度=静水速度-水流速度（） 顺风/逆风同理分式方程解决工程问题的核心是 以 “工作总量、工作效率、工作时间” 的基本关系为依托，抓住 “时间差”“合作效率” 等关键词建立等量关系，通过设工作总量为1的技巧简化运算， 核心公式与等量关系 1.基本公式 工作总量=工作效率×工作时间 变形公式： 关键技巧：当题目未给出具体工作总量时，常设工作总量为1。此时单人工作效率 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单人效率变化 原工作时间−现工作时间=提前完成时间 提高效率后提前完工 多人合作 甲工作量+乙工作量=总工作量 合作效率=甲效率+乙效率 甲乙合作完成任务 分段工作 先做工作量+后做工作量=总工作量 先单独做，再合作做 分式方程解决销售问题的核心是依托“总价、单价、数量” 的基本关系，抓住题干中 “总价相同”“数量差”“单价倍数”等关键词建立等量关系，通过分式方程建模求解。 核心公式与等量关系 1.基本公式：总价=单价×数量 变形公式（列分式方程的关键）：数量=​ 该变形是销售问题列分式方程的核心依据，因为分式方程的分母通常为单价。 2.常见等量关系 考法类型 等量关系 适用场景 单价变化导致数量差 原价购买数量−涨价后购买数量=少买的件数 降价后购买数量−原价购买数量=多买的件数 用固定总价买商品，单价变化引发数量变化 两种商品单价对比 甲单价=k×乙单价（k为倍数） 甲购买数量=乙购买数量±差值 已知两种商品单价关系和数量差，求单价 总价相同的两种方案 方案一总价=方案二总价 不同单价和数量组合，总价相等 考 点 演 练 题型1 分式有意义的条件 【典例1】要使分式有意义，x应满足的条件是（　　） A．x＞3 B．x＝3 C．x＜3 D．x≠3 【变式1】若使分式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠﹣2 B．x≠﹣1 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1 题型2 分式的基本性质 【典例1】下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，则　 　 ． 题型3 分式的值为零的条件 【典例1】若分式的值为0，则实数x的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【变式1】已知x＝﹣2时，分式无意义，x＝4时，分式的值为零，则a+b的值是（　　） A．0 B．2 C．4 D．8 题型4 最简公分母 【典例1】分式和的最简公分母为 　 　 ． 【变式1】分式和的最简公分母为 　 ． 题型5 分式的乘除法 【典例1】若运算的结果不是分式，则“（　　）”内的式子可能是（　　） A．ab B．a+b C．a﹣b D． 【变式1】化简的结果为（　　） A． B． C． D． 题型6 分式的加减法 【典例1】计算的结果是 　 ． 【变式1】化简：　 　 ． 题型7 分式的混合运算 【典例1】化简的结果是（　　） A． B．m C．m﹣1 D． 【变式1】化简：（　　） A． B． C． D． 题型8 分式的化简求值 【典例1】已知ab＝1，则的值为（　　） A．2026 B．2027 C． D． 【变式1】题目“先化简，再求值：，其中x＝1．”某同学在抄题时，错将分子2x+3抄成了x+3，则他的计算结果与正确结果（　　） A．相等 B．相差 C．和为0 D．积为﹣1 题型9 分式方程的解 【典例1】已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（　　） A．k≠1 B． C．k且k≠1 D．k且k 【变式1】若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 题型10 解分式方程 【典例1】下列为解分式方程的其中四个步骤，其中错误的步骤是（　　） A．（a﹣2）（a﹣4）﹣（a﹣7）（a+4）＝（a+4）（a﹣4） B．a2﹣6a+8﹣a2+3a+28＝a2﹣16 C．﹣3a+36＝a2﹣16 D．a2﹣3a+52＝0 【变式1】对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}＝3，按照这个规定，方程的解为（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．1或2 题型11 由实际问题抽象出分式方程 【典例1】一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度＝无风速度+风速，逆风速度＝无风速度﹣风速），则可列分式方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 题型12 分式方程的应用 【典例1】某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【变式1】嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图 设每支圆珠笔为x元． （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵m（0＜m＜6）元，求出整数m的值． 过 关 验 收 1．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（　　） x … ﹣3 ﹣2 0 2 3 … y … 0 无意义 ☆ 无意义 ☆ … A． B． C． D． 2．要使分式有意义，则x的取值范围是 　 ． 3．把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小为原来的 4．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．±3 5．当x＝ 时，分式的值为0． 6．分式与的最简公分母是（　　） A．6a2b B．6ab C．6a2b2 D．2ab 7．下列运算正确的是（　　） A．6x5﹣2x3＝4x2 B．（）3 C．（﹣m+2n）2＝m2+4mn+4n2 D．（3n﹣4m）（﹣3n﹣4m）＝16m2﹣9n2 8．关于式子，下列说法正确的是（　　） A．当x＝1时，其值为2 B．当x＝﹣1时，其值为0 C．当﹣1＜x＜0时，其值为正数 D．当x＜﹣1时，其值为正数 9．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 10．（1）计算：； （2）化简：． 11．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 12．计算的结果为（　　） A． B． C．1 D．2 13．已知，则常数A，B的值分别是（　　） A．A＝1，B＝2 B．A＝2，B＝1 C．A＝﹣1，B＝﹣2 D．A＝﹣2，B＝﹣1 14．化简：（x+2） 　 ． 15．计算：（2）． 16．化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式＝[]• 解：原式•• （1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 17．如果，那么的值等于（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 18．已知，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 19．已知，则下列判断正确的是（　　） A．A的计算结果为 B．当x＝﹣3时，A＝2 C．当0＜x＜3时，A的值为正数 D．若A是整数，则A＝3或A＝1 20．当x＞1时，式子的值（　　） A．大于0且小于 B．大于0且小于 C．大于 D．大于1 21．已知关于x的分式方程的解为负数，试求k的取值范围． 22．若数a使关于x的分式方程3的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，求符合条件的所有整数a的和． 23．关于x的方程解为非负数，则k的取值范围是（　　） A．k≤2 B．k≥2 C．k≤2且 D．k≥2且 24．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D． 25．解分式方程，去分母后的结果是（　　） A．1+（2x+1）＝x﹣3 B．1﹣（2x+1）＝x﹣3 C．1﹣（2x+1）＝1 D．1+（2x+1）＝1 26．无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为8km；若由无人机飞行配送，路程为6km．已知无人机速度是外卖员速度的3倍，且无人机比外卖员早到24分钟．设外卖员配送速度为xkm/h，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 27．近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：30；乙：． 则甲所列方程中的x表示 　 ，乙所列方程中的x表示　 　 ； （2）从甲，乙两种方法中选择一种进行完整解答； （3）该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个？ 28．下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：甲商品数量＝乙商品数量 解法二 设… 等量关系：甲商品进价﹣乙商品进价＝20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．（填序号） ①甲种商品每件进价x元 ②乙种商品每件进价x元 ③甲种商品购进x件 （2） 根据以上解法可求出甲种商品的进价为 元/件，乙种商品的进价为 　 元/件． （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润＝售价﹣进价） 29．宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 30．甲、乙两个植树队参加植树造林活动．已知乙队每小时比甲队多种3棵树．甲队种60棵树与乙队种66棵树所用的时间相同．求甲队每小时种多少棵树？ 学科网（北京）股份有限公司 $