2027年上海市中考数学 一模第22题满分讲义 《三角初步应用+新定义题型》 讲与练

该初中数学中考复习讲义聚焦三角初步应用与新定义题型，覆盖仰角俯角、坡度、解直角三角形等中考核心考点，构建“考点梳理-方法提炼-真题精讲-分层精练”的复习体系，帮助学生系统突破中考简答第22题难点。 亮点在于以真实情境问题（如测量教学楼高度、风叶长度）培养数学眼光，通过新定义题型（如“奇异四边形”“最佳视野点”）训练数学思维，设计“精讲+即时练+错题复盘”三步教学法。配套课后巩固题分层设置，教师可通过典型题例把控复习节奏，有效提升学生综合解题能力和应试技巧。

2027年上海市中考数学 一模满分讲义 简答第22题《三角初步应用+新定义题型》 精讲+精练+新考纲题型 核心考点 ·考点精讲 考点1：仰角和俯角（共5小题） 1．（2025秋•杨浦区期末）如图，为了测量学校教学楼AB的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为45°，再沿BD方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为22°（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼AB的高度（精确到0.1米）．（参考数据：sin22°，cos22°，tan22° 2．（2025秋•嘉定区期末）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在A处用测角仪测得塔顶M的仰角为37°，再往塔的方向前进30米至B处（点N为塔底中心，且点A、B、N在同一水平线上），测得此时塔顶M的仰角为60°，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：sin37°1.73，结果精确到0.1米）． 3．（2025秋•徐汇区期末）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚AB长为3.9m，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高AD为5m． （1）求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离； （2）到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板BC（与墙面垂直），示意图如图2所示．已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为70°，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6m．根据以上信息，请你计算档板BC至少要多长才能确保遮阳效果． （结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747．） 4．（2025秋•静安区期末）问题提出 气象部门为研究雷暴生成与发展的规律，优化雷电预警机制，某雷雨天，在地面上点O处，对雷电的发生实施监测（检测仪高度忽略不计，闪电光传播时间忽略不计）：闪电发生瞬间，首先测得闪电始发点A处的仰角为15°，8秒钟后接收到该闪电传出的雷声；接着又在另一闪电的始发点B处，测得仰角为75°，15秒钟后接收到该闪电的雷声，已知点A、B、O在同一个垂直于地面的平面内． 你能依据所提供数据，求出A、B两个闪电之间的距离吗？（雷声在空气中传播的速度为340米/秒） 分析解决 （1）建立模型：小海画出示意图，MN表示地面（如图所示），他将雷声传播速度340米/秒记作a，得到OA＝8a，OB＝15a，请根据他的思路，求出AB之间的距离是多少米． （2）反思质疑：小华提出，除了小海所解的这种情形外，依据题意，点A、B的位置是否还存在其他情况呢？若存在，请在备用图中画出草图，并求出AB之间的距离是多少米；若不存在，请说明理由． 5．（2025秋•崇明区期末）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 考点2：坡度（共4小题） 6．（2025秋•松江区期末）如图，P是在小区入口处安装的摄像头，△PAB是摄像头的监控区域．MN为水平地面，点A、B在直线MN上．已知摄像头离地面的高度PH＝4.8米，∠APH＝37°，∠APB＝39°． （1）求AB的长． （2）一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（CD）进入监控区域到车尾（EF）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4．） 7．（2025秋•长宁区期末）如图，已知水平地面AB上方有一水平的平台CD，该平台上有一个竖直的建筑物EF，满足EF⊥CD．从A到C处的斜坡AC的坡度i＝1：3，且AC＝20米．已知在A处测得建筑物顶端E的仰角为30°，在C处测得E的仰角为60°，假设A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内． （1）求平台CD的高度． （2）求建筑物EF的高度．（结果保留根号） 8．（2025秋•金山区期末） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为1：12，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过75cm，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道OV一休息平台VR一坡道VC′）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为1：10，水平长度最大560cm，休息平台宽度最小150cm，轮椅入口宽度最小150cm． FG＝39cm，DE＝109cm，AC＝250cm． 乙组 NK＝91.2m，NM＝26.6cm． 丙组 C′Q＝9.8cm，PQ＝33.6cm． 休息平台宽为VR，轮椅入口宽为OT，A′T＝30cm，点T到连廊的距离TI为520cm． （1）根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（BC或B′C′），并判断是否安全； （2）为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道OV、坡道VC′）的坡度和坡高以及设计过程． 9．（2025秋•虹口区期末）如图1，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图2所示，BC为地面，AB为斜坡上的传送带，∠B＝26.5°，四边形DEFG是边长为1.8米的正方形．点M为仓库卷帘门打开的最高位置，点M、D、H在同一直线上，点D到地面的距离DH为5米． （1）求BE的长（精确到0.1米）； （2）已知M到地面的距离MH为6.8米，如果正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（AB足够长）． （参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50） 考点3：解直角三角形（共6小题） 10．（2025秋•浦东新区期末）阅读下列材料，回答问题． 拉伸运动的“密钥” 拉伸运动对身体机能的调节起着关键作用．从运动生理学角度来看，科学的拉伸可以改善关节活动范围，提升身体的灵活性和协调性． 拉伸板是一种有效的拉伸工具，其侧面结构可以看作一个三角形（如图）．脚踏板AB可绕底座铰链B转动，支撑杆CD的上端位于脚踏板的点D处．通过移动支撑杆CD下端点C的位置，可以改变脚踏板的倾斜角度，从而调节拉伸强度．当人站在倾斜的脚踏板上时，身体重量会产生一个沿着踏板方向的拉伸力F，这个力的大小决定了拉伸的强度．拉伸力F的大小可用公式表示为F＝mg•sinα，其中m（单位：千克）为体重，g≈10牛/千克．a是脚踏板与水平地面之间的夹角，这个公式可以帮助我们科学地选择档位，避免过度拉伸或拉伸不足． 如图，小海有一款三档可调节拉伸板，三档的夹角α度数分别为20°、25°、30°．已知BD＝30cm．（1）小海的体型是50千克，如果拉伸力F在180牛至220牛可以达到锻炼的目的．结合计算说明，在这三档之中，小海选择哪个档位能达到锻炼的目的． （2）当档位夹角为30°时，支撑杆CD恰好与底座BM垂直，求此时支撑杆下端点C与铰链B点的距离为多少厘米（结果保留根号）？ （3）当档位夹角从30°调到20°，即支撑杆的位置变化到D1C1时，支撑杆CD的端点D在竖直方向下降约为多少厘米？ 参考数据（精确到0.01）： α 20° 25° sinα 0.34 0.42 cosα 0.94 0.91 11．（2025秋•奉贤区期末）如果一个小正方形的一组邻边在大正方形的边上，那么我们就称这个小正方形是大正方形的“内邻正方形”，这个“内邻正方形”的面积与大正方形面积比值叫作“内邻值”． （1）如图1，正方形BEFG是正方形ABCD的一个“内邻正方形”，如果，求此时的“内邻值”； （2）请用两种不同的方法，用无刻度直尺和圆规在图2和3的正方形ABCD中分别作出它的“内邻值”为的“内邻正方形”．（写出结论，并保留作图痕迹） 12．（2025秋•青浦区期末）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.46，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 13．（2025秋•黄浦区期末）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为2：1（如图1﹣1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1﹣2，当遇到转角为直角的地面时（∠MON＝90°），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿OA切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1﹣3，当遇到转角为60度的地面时（∠POQ＝60°），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿OB切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴∠MON的两边，再将乙种地板的长边紧贴∠MON的一边ON推至紧靠甲种地板（如图2﹣1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边ON上的端点即可标记为A，此时OA即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2﹣2），也可在乙种地板上确定切割线OA． （1）在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即tan∠AON＝　 　 ； （2）在场景2中（图1﹣3），求乙种地板切割后产生的锐角∠BOQ的正切值； （3）小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边CF紧贴墙边OP推至其短边CD的一个顶点D落在OQ上为止； 2．将乙种地板的长边GJ紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边DE推至其短边GH的一个顶点H落在OQ上为止，标记此时该顶点H的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边KR紧贴墙边OQ推至其短边TK的一个顶点T落在OP上为止，此时顶点T与前一步标记的点H的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 14．（2025秋•闵行区期末）探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料MOBP中MO∥PB，小条形边角料NOAQ中ON∥AQ，∠MOB＝∠NOA＝135°），如图1拼接到直角地砖（∠MON＝90°）的外边上，发现点A与点B不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2﹣图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】画出QA的延长线，交BP于点C． 【操作说明】联结OC． 【操作说明】沿着射线OB方向，平移小条形边角料NOAQ，使点A与点B重合，得到四边形O′N′Q′B. 【操作说明】画出MO的延长线，交小条形边角料的边 图6 图7 图8 图9 【操作说明】联结BD． 【操作说明】沿着OC、BD切割． 【操作说明】拼接切割后的两根条形边角料． （1）请根据图2﹣图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； （2）如果大条形边角为MOBP的宽度为12cm，小条形边角为NOAQ的宽度为9cm，大条形边角料MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP＝　 　 ； （3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 15．（2025秋•宝山区期末）某辆自行车（图1）放置地面（水平面）时，侧面示意图如图2所示．已知座椅EF、上管AC都平行于地面，下管BC的长为50cm，后叉脚AG的长为40cm，上下管的夹角∠ACB为53°，座管AB与上管AC的夹角∠CAB为64°，与后叉脚AG的夹角∠BAG为56°，车座顶端D到牙盘中心B的距离DB为110cm，车轮半径均为30cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，cot53°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，1.7．） （1）求座管AB的长；（精确到0.1cm） （2）求座椅EF到地面的距离．（精确到1cm） 创新型题型（共5小题） 16．（2025秋•杨浦区期末）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在8×8的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： （1）sin∠BAC＝　 　 ； （2）请仅用无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． ①如图1，在边AB上求作一点P，使∠ACP＝45°； ②如图2，在边AC上求作一点Q，使BQ⊥AC． 17．（2025秋•嘉定区期末）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并回答问题： 怎样用尺规把线段AB黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图， 1．过点B作BC⊥AB，使． 2．联结AC，在线段AC上截取CD＝CB． 3．在线段AB上截取AP＝AD． 则AP2＝AB•PB． （1）请写出图中的值是　 　 ： （2）我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段EF为底边的黄金三角形EFG（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 18．（2025秋•普陀区期末）【发现问题】顺次联结对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图1，在四边形ABCD中，AC≠BD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EH∥BD∥FG，　 　 ，如果四边形EFGH是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与AI的交流中，AI给出了一种解决问题的思考路径： 解决问题的思考路径 从条件中可知EFGH已经是平行四边形，所以要画出这个菱形，只要确定点E在AB上的位置，使EH＝EF即可．根据这个想法，设，通过确定k的值，使EH＝EF． 思考路径中提到的k的值与什么量相关？ k的值主要与四边形的对角线AC和BD的长度相关． 【解决问题】 （1）根据图1，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“　 　 ”）； （2）根据小普同学与AI的对话，设AC＝a，BD＝b，用含a、b的代数式表示k； （3）在图2中，画出符合要求的菱形EFGH，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 19．（2025秋•虹口区期末）【模型探究】 如图1，已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，满足∠MPN∠AOB＝180°．求证：OP2＝OM•ON． 【模型应用】 （1）已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，如果∠AOB＝60°，OM＝6，ON＝4，OP＝2，那么∠MPN的度数为　 　 ； （2）如图2，已知∠AOB＝90°，N是边OB上一点，请在边OA上选择一个合适的点M，并在∠AOB内部求作一个点P，满足∠MPN＝135°且PM＝2PN． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 20．（2025秋•静安区期末）探究活动：“奇异四边形”的特征值 如果一个四边形的四条边和两条对角线这6条线段中只有两种不同的长度，我们把这样的四边形叫做“奇异四边形”，其中较短线段与较长线段长度的比值称为特征值，记作λ． 例如，如图所示，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BD，BC＝DC，我们就可将它称为奇异四边形，它的特征值λ为BC与AB的比值．请解答： （1）正方形是奇异四边形吗？　 　 ；如果是，它的特征值λ为　 　 ；如果不是，请说明理由． （2）请构造一个符合奇异四边形特征的梯形，画出这个梯形的草图，写出在四条边和两条对角线中相等的线段，并求出它的特征值λ． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2024秋•奉贤区期末）桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米． （1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB＝0.75，求这个桔槔支架OM的高度； （2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图3所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【作业2】（2024秋•闵行区期末）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨OA和OB、支伞骨CM和DM以及伞柄OH组成，伞柄OH（OH＞OA）垂直于地面且平分∠AOB，OA＝OB＝l厘米，OC＝ODOA，OH＝h厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点M在伞柄OH上的位置来确定∠AOB的大小．当点C、M、D三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时∠AOB达到最大为150°． （1）当OA＝OB＝120厘米， i）在遮阳伞完全打开时，求A、B之间的距离． ii）在伞打开的过程中（∠AOB从0°变到150°），点M上升了 　 　 厘米． （2）设∠AOB的度数为2α（0＜α＜75°），在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面EF长为 　 　 （用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面EF的长，你的建议是 　 　 ． （参考数据：sin75°，计算结果保留根号） 【作业3】（2024秋•长宁区期末）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点D处，AD与底板BR平行，测得AD＝11.6米，此时在点D处又测得坡道AB上的点C的俯角为26.6°．接着让无人机飞到点E处，DE⊥AD，CE与底板BR平行，测得DE＝1.8米． （1）求坡道AB的坡度； （2）已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等，无人机从点A飞到点P处，AP⊥AD，测得AP＝16.4米，此时在点P处测得点F的俯角为45°，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5） 【作业4】（2024秋•金山区期末）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形纸片，∠A＝∠D＝90°且△ABC与△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）． 是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在：（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代数式表示）． 【作业5】（2024秋•浦东新区期末）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 测量项目 CD α β 方案一 10m 12° 11.5° 方案二 1.3m 12° 11.7° 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰AB的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 12° 0.208 0.978 0.213 4.705 11.5° 0.199 0.980 0.204 4.915 11.7° 0.203 0.979 0.207 4.829 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：　 　 ． 【作业6】（2024秋•杨浦区期末）定义：如图1，已知点Q、R是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，当OP2＝OQ•OR时，称点P是线段QR的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏AB，点A到水平地面的距离AC为5米，在水平地面CD的E处有一个自动扶梯EF，点A、B、C在同一直线上．已知自动扶梯EF的坡度是1：2，点E到点C的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面CE时，发现点H恰好是屏幕AB的最佳视野点，且从点H测得点B的仰角为60°．求AB的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯EF上找到屏幕AB的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕AB的垂直平分线与EF的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【作业7】（2024秋•黄浦区期末）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条AB长40cm，木条CD长60cm，DB长20cm（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树MN的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离BE＝acm，还需要测量得到的相关数据有：　 　 ． 解决问题 利用得到的数据表示树MN的高度：MN＝ 　 　 cm． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据：点B到地面的垂直距离BE＝acm，乙还需要测量得到的相关数据有：　 　 ． 解决问题 利用得到的数据表示树MN的高度．（写出求解过程） 【作业8】（2024秋•普陀区期末）如图，已知小河两岸各有一标大楼AB与CD，由于小河阻碍无法直接测得大楼CD的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼AB顶端A，并分别投射到大楼CD最高一层CG的顶端C和其底部G处，并测得EF＝6m，∠AEB＝26.6°，∠AFB＝22.6°．（点D，B，E，F在同一水平线上） （1）小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼AB的高度，试求出大楼AB的高度； （2）为了能测得大楼CD的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼AB共有五层．据此信息能否测得大楼CD的高度？如果可以，试求出大楼CD的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：sin22.6°，cos26.6°） 【作业9】（2024秋•青浦区期末）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸EPQ1R1），升起的最高点不超过顶部CD．矩形门的高AD＝3.6米，宽AB＝6.6米．矩形闸机的宽AH＝BW＝0.3米，矩形道闸的宽FG＝EP＝1米，道闸底部距地面AB的高度FH＝EW＝0.2米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边MG＝PQ，边MN与QR之间的缝隙可以忽略不计． （1）求道闸升起的最大角的正切值； （2）一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 【作业10】（2024秋•静安区期末）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩AB、CD、EF垂直于地面，且B （1）舞狮人从A跳跃到C，随后再跳跃至E，所成的角∠ACE＝ 　 　 °； （2）求桩AB与桩CD的距离BD的长．（结果精确到0.01米） 【作业11】（2024秋•松江区期末）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，BA垂直于水平桌面l，垂足为点A，点C处有一个摄像头．经测量，AB＝42厘米，BC＝30厘米，∠ABC＝127°． （1）求摄像头C到桌面l的距离； （2）如果摄像头可拍摄的视角∠DCE＝37°，且CD＝CE，求桌面上可拍摄区域的宽度（DE的长）． （参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75．） 【作业12】（2024秋•虹口区期末）根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点A（点A与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段AB为手柄，射线BC为水流，BC与AB的夹角∠ABC为90°，手柄AB与墙EH的夹角∠HAB为淋浴喷头的“调整角”，记为α．已知AB长为20cm． 素材2 图3中的矩形EFGH是淋浴房的截面图，EF＝90cm，EH＝195cm．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在D处，DE＝52cm． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下30cm处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减30cm． 已知小明的身高是130cm，他爸爸和妈妈的身高分别是176cm和160cm．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图3的点A处，“调整角”α为37°，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处（即CD＝爸爸身高﹣30）． 素材4 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73． 问题解决 任务一 求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点A到地面的距离AE． 任务二 爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即AE不变），把淋浴喷头的“调整角”α调整至60°，然后小明进淋浴房洗澡． ①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由； ②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点A′）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离AA′（精确到1cm）． 【作业13】（2024秋•崇明区期末）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面AB的中点C处竖直上升20米到达D处，测得实验楼顶部E的俯角为55°，综合楼顶部F的俯角为37°，已知实验楼BE高度为8米，且图中点A、B、C、D、E、F在同一平面内，求综合楼AF的高度． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精确到0.1米．） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市中考数学 一模满分讲义 简答第22题《三角初步应用+新定义题型》 精讲+精练+新考纲题型 核心考点 ·考点精讲 考点1：仰角和俯角（共5小题） 1．（2025秋•杨浦区期末）如图，为了测量学校教学楼AB的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为45°，再沿BD方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为22°（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼AB的高度（精确到0.1米）．（参考数据：sin22°，cos22°，tan22° 【分析】设AB＝x米，利用三角函数求解即可． 【解答】解：设AB＝x米， ∵∠ADB＝45°， ∴BD＝AB＝x米， ∴BC＝x+16（米）， ∵∠C＝22°， ∴tanC， ∴x≈10.7米， 经检验，是原方程的解， ∴教学楼AB的高度为10.7米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 2．（2025秋•嘉定区期末）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在A处用测角仪测得塔顶M的仰角为37°，再往塔的方向前进30米至B处（点N为塔底中心，且点A、B、N在同一水平线上），测得此时塔顶M的仰角为60°，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：sin37°1.73，结果精确到0.1米）． 【分析】先利用矩形的判定与性质求出AC、CD的长，再利用直角三角形的边角间关系用含ME的代数式表示出ED、CE，最后利用线段的和差关系得方程，求解方程后得结论． 【解答】解：由题意可知，四边形ENAC、ENBD、DBAC都是矩形， ∴AC＝BD＝EN＝1.5米，AB＝CD＝30米，∠MEC＝90°． 在Rt△MEC中， ∴tan∠MCE， ∴ECME． 在Rt△MED中， ∴tan∠MDE， ∴EDME． ∵EC＝CD+ED， ∴ME＝30． ∴ME≈39.65（米）． ∴MN＝ME+EN≈39.65+1.5＝41.15≈41.2（米）． 答：法华塔的高度约为41.2米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握矩形的性质与判定、直角三角形的边角间关系等知识点是解决本题的关键． 3．（2025秋•徐汇区期末）某餐厅在门外走廊安装了遮阳棚，通过实地测得相关数据，并画出了侧面示意图（如图1），遮阳棚AB长为3.9m，其与墙面的夹角为，靠墙端离地面高AD为5m． （1）求出遮阳棚前端B到墙面AD的距离； （2）到了旺季客流激增，走廊也要摆放餐桌加大供应量．为了加强遮阳效果，要在遮阳棚前端加装一块挡板BC（与墙面垂直），示意图如图2所示．已知旺季当地正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）为70°，为了走廊上用餐的顾客不受阳光照射，走廊的遮阳宽度DF至少要2.6m．根据以上信息，请你计算档板BC至少要多长才能确保遮阳效果． （结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747．） 【分析】（1）依据题意，过B点作BM⊥AD于M，在Rt△ABM中，cosα，则sinα，故BM＝ABsinα＝3.93.6（m），从而得解； （2）依据题意，在Rt△ABM中，AM＝AB•cosα＝1.5m，则MD＝AD﹣AM＝5﹣1.5＝3.5（m），又C作CN⊥AD于N，过C作CP⊥AB于P，故BE＝MD＝3.5m，DF＝2.6m，则EF＝ED﹣FD＝3.6﹣2.6＝1（m），在Rt△CEF中，CE＝EF•tan70°≈1×2.747＝2.747（m），可得BC＝BE﹣CE＝3.5﹣2.747＝0.753（m），要确保DF≥2.6m，求得BC＝0.76． 【解答】解：（1）过B点作BM⊥AD于M， 在Rt△ABM中，cosα， ∴sinα， ∴BM＝ABsinα＝3.93.6（m）． 答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离为3.6m； （2）如图，在Rt△ABM中，AM＝AB•cosα＝1.5m， ∴MD＝AD﹣AM＝5﹣1.5＝3.5（m）， 过C作CN⊥AD于N，过C作CP⊥AB于P， ∴BE＝MD＝3.5m，DF＝2.6m， ∴EF＝ED﹣FD＝3.6﹣2.6＝1（m）． 在Rt△CEF中，CE＝EF•tan70°≈1×2.747＝2.747（m）， ∴BC＝BE﹣CE＝3.5﹣2.747＝0.753， ∵DF≥2.6m， ∴BC至少要0.76m才能确保遮阳效果． 答：档板BC至少要0.76m才能确保遮阳效果． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 4．（2025秋•静安区期末）问题提出 气象部门为研究雷暴生成与发展的规律，优化雷电预警机制，某雷雨天，在地面上点O处，对雷电的发生实施监测（检测仪高度忽略不计，闪电光传播时间忽略不计）：闪电发生瞬间，首先测得闪电始发点A处的仰角为15°，8秒钟后接收到该闪电传出的雷声；接着又在另一闪电的始发点B处，测得仰角为75°，15秒钟后接收到该闪电的雷声，已知点A、B、O在同一个垂直于地面的平面内． 你能依据所提供数据，求出A、B两个闪电之间的距离吗？（雷声在空气中传播的速度为340米/秒） 分析解决 （1）建立模型：小海画出示意图，MN表示地面（如图所示），他将雷声传播速度340米/秒记作a，得到OA＝8a，OB＝15a，请根据他的思路，求出AB之间的距离是多少米． （2）反思质疑：小华提出，除了小海所解的这种情形外，依据题意，点A、B的位置是否还存在其他情况呢？若存在，请在备用图中画出草图，并求出AB之间的距离是多少米；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）证明∠AOB＝90°，利用勾股定理即可求出答案； （2）根据题意可画出图形，如图，过点A作AH⊥OB于点H，求出AH，BH，再利用勾股定理即可求出AB之间的距离． 【解答】解：（1）由题意可知，∠AON＝15°，∠BOM＝75°， ∴∠AOB＝180°﹣∠AON﹣∠BOM＝90°， 在Rt△ABO 中，OA＝8a，OB＝15a， ∴， ∵雷声传播速度340米/秒记作a， ∴AB＝17a＝17×340＝5780（米）， 即AB之间的距离是5780米； （2）如图，过点A作AH⊥OB于点H，则∠AHO＝∠AHB＝90°， 在Rt△AHO中，∠AOB＝∠BON﹣∠AON＝75°﹣15°＝60°， ∴，OH＝OAcos∠AOH＝8a×cos60°＝4a， ∴BH＝OB﹣OH＝15a﹣4a＝11a， ∴， ∵雷声传播速度340米/秒记作a， ∴AB＝13a＝13×340＝4420（米）， 即AB之间的距离是4420米． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．（2025秋•崇明区期末）长兴岛风电基地的巨型风电机将源源不断的清洁风能转化为电能，实现海岛能源的绿色转型（如图1）．某校初三数学兴趣小组在完成解直角三角形应用知识的学习后，围绕“风叶长度的实地测算”这一课题开展数学实践活动．已知三片风叶OA、OB、OC两两所成的角为120°，在实地测量中（如图2），当其中一片风叶OC与塔干OD叠合时（即O、C、D在一直线上），在与塔底D水平距离为200米的E处，测得塔干顶部O的仰角为37°，风叶OA的端点A的仰角为59°，点A，B，C，D，E，O，在同一平面内． （参考数据sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，tan59°≈1.7，1.7） （1）求塔干OD的长度； （2）求风叶OA的长度．（精确到1米） 【分析】（1）根据题意可得：OD⊥DE，然后在Rt△ODE中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，即可解答； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G，根据题意可得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°，从而可得∠AOG＝30°，然后设DF＝OG＝x米，则EF＝（200﹣x）米，分别在Rt△AOG和Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AG和AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：OD⊥DE， 在Rt△ODE中，∠OED＝37°，DE＝200米， ∴OD＝DE•tan37°≈0.75×200＝150（米）， ∴塔干OD的长度约为150米； （2）过点A作AF⊥DE，垂足为F，过点O作OG⊥AF，垂足为G， 由题意得：FG＝OD＝150米，OG＝DF，∠DOG＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， 设DF＝OG＝x米，则EF＝DE﹣DF＝（200﹣x）米， 在Rt△AOG中，AG＝OG•tan30°x（米）， 在Rt△AEF中，∠AEF＝59°， ∴AF＝EF•tan59°≈1.7（200﹣x）米， ∵AF﹣AG＝FG， ∴1.7（200﹣x）x＝150， 解得：x≈82.6， ∴OG≈82.6米， 在Rt△AOG中，AO97（米）， ∴风叶OA的长度约为97米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 考点2：坡度（共4小题） 6．（2025秋•松江区期末）如图，P是在小区入口处安装的摄像头，△PAB是摄像头的监控区域．MN为水平地面，点A、B在直线MN上．已知摄像头离地面的高度PH＝4.8米，∠APH＝37°，∠APB＝39°． （1）求AB的长． （2）一辆高2米、长4.4米的厢式货车（图中的矩形），以每小时5.4千米的速度进入小区，那么从车头（CD）进入监控区域到车尾（EF）驶出监控区域需要几秒？ （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4．） 【分析】（1）利用正弦函数求解即可； （2）先将速度的单位进行转化，求出ED的长，记住计算经过监控区的距离等于ED+车长． 【解答】解：（1）∵PH⊥MN， ∵∠APH＝37°，∠APB＝39°， ∴∠BPH＝∠APH+∠APB＝37°+39° ＝76°， ∴在 Rt△PHA 中，tan37° ， ∵PH＝4.8 米，tan37°≈0.75， ∴AH＝PH×tan37° ＝4.8×0.75＝3.6 （米）， 在 Rt△PHB 中，tan76° ＝ ， ∵tan76°≈4， ∴BH＝PH×tan76° ＝4.8×4 ＝19.2 （米）， ∴AB＝BH﹣AH ＝19.2﹣3.6 ＝15.6 （米）， ∴AB的长是15.6米； （2）∵货车速度为 5.4 千米/小时， ∴5.4 千米/小时＝1.5 米/秒， ∵货车高 2 米， ∴CD＝EF＝2米， ∵CD∥PH， ∴∠BCD＝∠BPH＝76°， ∴tan76° ， ∴BD＝CD×4＝8（米）， ∵EF∥PH， ∴∠AFE＝∠APH＝37°， ∵tan37° ， ∴AE＝2×0.75＝1.5， ∴ED＝EA+（AB﹣BD） ＝1.5+（15.6﹣8） ＝1.5+7.6 ＝9.1（米）， ∵货车长 4.4 米， ∴车头（CD）进入监控区域到车尾（EF）驶出监控区域需要的时间是： （9.1+4.4）÷1.5 ＝9 （秒）， ∴从车头（CD）进入监控区域到车尾（EF）驶出监控区域需要9秒． 【点评】本题考查了正弦函数的应用，注意单位的转换，能结合图形分析实际问题中的距离与时间关系是解题的关键． 7．（2025秋•长宁区期末）如图，已知水平地面AB上方有一水平的平台CD，该平台上有一个竖直的建筑物EF，满足EF⊥CD．从A到C处的斜坡AC的坡度i＝1：3，且AC＝20米．已知在A处测得建筑物顶端E的仰角为30°，在C处测得E的仰角为60°，假设A、B、C、D、E、F在同一竖直平面内． （1）求平台CD的高度． （2）求建筑物EF的高度．（结果保留根号） 【分析】（1）如图，过点C作CN⊥AB于M，由斜坡AC的坡度为1：3，得到，求得AM＝3CM，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，延长EF交AB于N，则EN⊥AB，根据矩形的性质得到FN＝CM＝20米，CF＝MN，设EF＝x米，则EN＝（x+20）米，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，过点C作CN⊥AB于M， ∵斜坡AC的坡度为1：3， ∴， ∴AM＝3CM， 在Rt△ACM中，AC2＝AM2+CM2，即（20）2＝CM2+（3CM）2， 解得：CM＝20， 答：平台CD的高度为20米； （2）如图，延长EF交AB于N， 则EN⊥AB， ∴四边形CMBD为矩形， ∴FN＝CM＝20米，CF＝MN， 设EF＝x米，则EN＝（x+20）米， 在Rt△AEN中，∠EAM＝30°， ∵tan∠EAM， ∴， ∴AN（x+20）米， 在Rt△ECF中，∠ECF＝60°， 则CFx米， 由（1）可知：AM＝3CM＝60米， ∴（x+20）x＝60， 解得：x＝3030， 答：建筑物EF的高度为（3030）米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度的概念是解题的关键． 8．（2025秋•金山区期末） 坡道改良：某教学楼门口的坡道上下坡困难，乘坐轮椅的学生无法独立通过，由同伴推行也比较吃力．为确保轮椅能够安全、自如的通行，坡道设计需满足以下关键要求：最大坡度为1：12，这是国际通用标准．每段坡道垂直升高不宜超过75cm，超过时需设置休息平台．为此，几个学习小组经过测量，收集了坡道的相关数据，如图1、图2、图3． 同学发现坡道左侧有连廊，为了安全又不影响连廊通行，可将坡道设计为折返形，如图4．折返形坡道（坡道OV一休息平台VR一坡道VC′）设计需满足以下关键要求：折返形坡道单段坡道最大坡度为1：10，水平长度最大560cm，休息平台宽度最小150cm，轮椅入口宽度最小150cm． FG＝39cm，DE＝109cm，AC＝250cm． 乙组 NK＝91.2m，NM＝26.6cm． 丙组 C′Q＝9.8cm，PQ＝33.6cm． 休息平台宽为VR，轮椅入口宽为OT，A′T＝30cm，点T到连廊的距离TI为520cm． （1）根据三组同学收集的数据，求原坡道的坡度和坡高（BC或B′C′），并判断是否安全； （2）为了安全又不影响连廊通行，请您设计一种折返形坡道的方案，写出折返形坡道单段坡道（坡道OV、坡道VC′）的坡度和坡高以及设计过程． 【分析】（1）根据题意可知DH＝39cm，BC＝70cm，由勾股定理可得AB＝240cm，即可求出坡度，再跟通用标准作比较，即可求解； （2）当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点V作VJ⊥B′C′，可知四边形VWB′J为矩形，先求出OW、VW，即可求出坡道OV的坡高和坡度，再求出VJ、C′J，即可求出坡道VC′的坡高和坡度． 【解答】解：（1）由图1可知DH＝FG＝39cm，BC＝EH＝DE﹣DH＝109﹣39＝70（cm）， 在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝250cm， 由勾股定理得：AB240（cm）， 故原坡道的坡度为i＝BC：AB＝70：240＝7：24， ∵最大坡度为1：12，且， ∴原坡道不安全； （2）如平面示意图4，当休息平台位于连廊最左段，即点I和点S重合时，过点C′作C′B′⊥OT，过点V作VJ⊥B′C′，可知四边形VWB′J为矩形， 根据题意可知：OT＝150cm，RV＝SW＝150cm， ∵TI＝520cm， ∴OW＝IT﹣OT﹣SW＝520﹣150﹣150＝220（cm）， 当坡道OV的坡度为1：10时，VW＝22022（cm）， 由（1）可知A′B′＝240cm，B′C′＝70cm， ∵四边形VWB′J为矩形，A′T＝30cm， ∴B′J＝VW＝22cm，VJ＝WB′＝OW+OT﹣A′T+A′B′＝220+150﹣30+240＝580（cm）， ∴C′J＝B′C′﹣B′J＝70﹣22＝48（cm）， 故坡道VC′的坡度为C′J：VJ＝48：580， ∵， 故坡道VC′符合题目要求． 答：坡道OV的坡高为22cm，坡度为1：10，坡道VC′的坡高为48cm，坡度为48：580． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 9．（2025秋•虹口区期末）如图1，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图2所示，BC为地面，AB为斜坡上的传送带，∠B＝26.5°，四边形DEFG是边长为1.8米的正方形．点M为仓库卷帘门打开的最高位置，点M、D、H在同一直线上，点D到地面的距离DH为5米． （1）求BE的长（精确到0.1米）； （2）已知M到地面的距离MH为6.8米，如果正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（AB足够长）． （参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.90，tan26.5°≈0.50） 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到∠EDN＝∠B＝26.5°，根据正切的定义求出EN，根据余弦的定义求出DN，进而求出NH，再根据正弦的定义求出BN，计算即可； （2）根据正弦的定义求出D′N，进而求出D′H，比较大小得出结论． 【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠DNE＝∠BNH， ∴∠EDN＝∠B＝26.5°， 在Rt△EDN中，∠EDN＝26.5°，DE＝1.8米， 则EN＝DE•tan∠EDN≈1.8×0.50＝0.9（米），MN2（米）， ∴NH＝DH﹣DN＝5﹣2＝3（米）， ∴BN6.67（米）， ∴BE＝EN+BN＝0.9+6.67≈7.6（米）， 答：BE的长约为7.6米； （2）不能继续利用该传送带运输， 当正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍时，D′E′＝3.6米， 则D′N4（米）， ∴D′H＝4+3＝7（米）， ∵7＞6.8， ∴正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 考点3：解直角三角形（共6小题） 10．（2025秋•浦东新区期末）阅读下列材料，回答问题． 拉伸运动的“密钥” 拉伸运动对身体机能的调节起着关键作用．从运动生理学角度来看，科学的拉伸可以改善关节活动范围，提升身体的灵活性和协调性． 拉伸板是一种有效的拉伸工具，其侧面结构可以看作一个三角形（如图）．脚踏板AB可绕底座铰链B转动，支撑杆CD的上端位于脚踏板的点D处．通过移动支撑杆CD下端点C的位置，可以改变脚踏板的倾斜角度，从而调节拉伸强度．当人站在倾斜的脚踏板上时，身体重量会产生一个沿着踏板方向的拉伸力F，这个力的大小决定了拉伸的强度．拉伸力F的大小可用公式表示为F＝mg•sinα，其中m（单位：千克）为体重，g≈10牛/千克．a是脚踏板与水平地面之间的夹角，这个公式可以帮助我们科学地选择档位，避免过度拉伸或拉伸不足． 如图，小海有一款三档可调节拉伸板，三档的夹角α度数分别为20°、25°、30°．已知BD＝30cm．（1）小海的体型是50千克，如果拉伸力F在180牛至220牛可以达到锻炼的目的．结合计算说明，在这三档之中，小海选择哪个档位能达到锻炼的目的． （2）当档位夹角为30°时，支撑杆CD恰好与底座BM垂直，求此时支撑杆下端点C与铰链B点的距离为多少厘米（结果保留根号）？ （3）当档位夹角从30°调到20°，即支撑杆的位置变化到D1C1时，支撑杆CD的端点D在竖直方向下降约为多少厘米？ 参考数据（精确到0.01）： α 20° 25° sinα 0.34 0.42 cosα 0.94 0.91 【分析】（1）由题意可得180≤50×10•sinα≤220，则0.36≤sinα≤0.44，即可得出答案； （2）由题意可知∠CBD＝30°，CD⊥BC，根据含30°角的直角三角形的性质可得答案； （3）过点D1作D1G⊥BC1于点G，根据解直角三角形求出D1G＝BD1•sin20°＝10.20cm，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵拉伸力F在180牛至220牛之间， ∴180≤50×10•sinα≤220， ∴0.36≤sinα≤0.44， ∴小海选择25°档位能达到锻炼的目的； （2）由题意可知，∠CBD＝30°，CD⊥BC， ∴CDBD＝15cm， ∴BCCD15＝15（cm）， ∴此时支撑杆下端点C与铰链B点的距离为； （3）如图，过点D1作D1G⊥BC1于点G， ∴D1G＝BD1•sin20°＝30×0.34＝10.20（cm）， ∴15﹣10.20＝4.80（cm）， ∴支撑杆CD的端点D在竖直方向下降约为4.80cm． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，含30°角的直角三角形，掌握相关知识是解题的关键． 11．（2025秋•奉贤区期末）如果一个小正方形的一组邻边在大正方形的边上，那么我们就称这个小正方形是大正方形的“内邻正方形”，这个“内邻正方形”的面积与大正方形面积比值叫作“内邻值”． （1）如图1，正方形BEFG是正方形ABCD的一个“内邻正方形”，如果，求此时的“内邻值”； （2）请用两种不同的方法，用无刻度直尺和圆规在图2和3的正方形ABCD中分别作出它的“内邻值”为的“内邻正方形”．（写出结论，并保留作图痕迹） 【分析】（1）在Rt△BCG中，根据tan∠BCG设BG＝a，BC＝3a，进而得正方形BEFG的面积S1＝BG2＝a2，正方形ABCD的面积S2＝BC2＝9a2，由此得1，据此即可得出答案； （2）方法一：①连接BD，②以点B为圆心，以BC的长为半径画弧交BD于点F，③作线段BF的垂直平分线交AB于点G，交BC于点F，交BF于点P，④连接FG，FE，则四边形BEFG为所求，由作图可知BG＝FG，BE＝FE，∠BPG＝∠BPE＝90°，BC＝BF，证明△BGP和△BEP全等得BG＝FG＝BE＝FE，再根据∠GBE＝90°得四边形BEFG是正方形，设BG＝FG＝BE＝FE＝a，则正方形BEFG的面积S1＝a2，再由勾股定理求出BC＝BF得正方形ABCD的面积S2＝2a2，由此得正方形BEFG与正方形ABCD的“内邻值”为； 方法二：①连接BD，②作∠CBD的平分线交CD于点H，③过点H作FH⊥BD，垂足为F，④作线段BF的垂直平分线交AB于点G，交BC于点F，⑤连接FG，FE，则四边形BEFG为所求，根据角平分线的性质得FH＝CH，同理方法一可证明四边形BEFG是正方形，再依据“HL”判定Rt△BFH和Rt△BCH全等得BF＝BC，同方法一可得正方形BEFG与正方形ABCD的“内邻值”为． 【解答】解：（1）如图1所示： ∵正方形BEFG是正方形ABCD的一个“内邻正方形”， ∴∠B＝90°， 在Rt△BCG中，tan∠BCG， ∴设BG＝a，BC＝3a， ∴正方形BEFG的面积S1＝BG2＝a2，正方形ABCD的面积S2＝BC2＝9a2， ∴1， ∴此时的“内邻值”为； （2）方法一：①连接BD， ②以点B为圆心，以BC的长为半径画弧交BD于点F， ③作线段BF的垂直平分线交AB于点G，交BC于点F，交BF于点P， ⑤连接FG，FE，则四边形BEFG为所求，如图2所示： 由作图可知：BG＝FG，BE＝FE，∠BPG＝∠BPE＝90°，BC＝BF， ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴∠GBP＝∠EBP＝45°，∠GBE＝90°， 在△BGP和△BEP中， ， ∴△BGP≌△BEP（ASA）， ∴BG＝BE， ∴BG＝FG＝BE＝FE， ∴四边形BEFG是菱形， 又∵∠GBE＝90°， ∴菱形BEFG是正方形， ∴正方形BEFG是正方形ABCD的“内邻正方形”， ∴设BG＝FG＝BE＝FE＝a，∠BEF＝90°， ∴正方形BEFG的面积S1＝BG2＝a2， 在Rt△BEF中：由勾股定理得：BF， ∴BC＝BF， ∴正方形ABCD的面积S2＝BC22a2， ∴1， ∴正方形BEFG和正方形ABCD的“内邻值”为； 方法二：①连接BD， ②作∠CBD的平分线交CD于点H， ③过点H作FH⊥BD，垂足为F， ④作线段BF的垂直平分线交AB于点G，交BC于点F， ④连接FG，FE，则四边形BEFG为所求，如图3所示： 由作图可知：BG＝FG，BE＝FE，∠BPG＝∠BPE＝90°，∠BFH＝∠DFH＝90°， BH是∠CBD的平分线， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°， ∴△AFH和△BCH都是直角三角形， 根据角平分线的性质得：FH＝CH， 同理方法一可证明四边形BEFG是正方形， ∴正方形BEFG是正方形ABCD的“内邻正方形”， 在Rt△BFH和Rt△BCH中， ， ∴Rt△BFH≌Rt△BCH（HL）， ∴BF＝BC， 同方法一得正方形BEFG和正方形ABCD的“内邻值”为． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握尺规作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 12．（2025秋•青浦区期末）某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位ABCD，车位的三面围墙及墙DE均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为70°，当前车门与车身夹角不小于25°时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度100厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为215厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙BC保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有10厘米的安全距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.76，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.46，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．） 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位ABCD区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由． （2）已知车库门前有一条平行于CD且与CD距离270厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．（精确到1厘米） 【分析】（1）作MN垂直车身于点N，求得点M到车库边BC的安全距离，与260比较即可判断能够顺畅地从车中出来； （2）设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，MQ⊥DE于点M，求得FG的长度，与270比较即可判断汽车是否占用到人行道． 【解答】解：（1）驾驶员能够顺畅地从车中出来． 理由：如图，作MN垂直车身于点N，则∠MNP＝90°， 由题意得：∠MPN＝25°，MP＝100cm， ∴MN＝100×sin25°≈42（cm）， ∴驾驶员那的车门打开需要的距离为：42+10185＝252cm， ∵252＜260， ∴驾驶员能够顺畅地从车中出来； （2）汽车不会占用到人行道． 理由：如图，设车门打开为MQ，作MP垂直于车身于点P，DN⊥MP于点N，MQ⊥DE于点M，则∠DNM＝∠MPQ＝∠QMD＝90°，四边形DFPN是矩形，MQ为点Q到DE的最短距离， ∴FP＝DN，NP＝DF， ∵FC＝10185＝210cm， ∴DF＝260﹣210＝50cm， ∴NP＝50cm， ∵∠ADM＝143°， ∴∠DMN＝53°， ∴∠PMQ＝90°﹣53°＝37°， ∴∠MQP＝90°﹣37°＝53°， 由题意得：MQ＝100cm， ∴PQ＝100×cos53°≈60cm，MP＝100×sin53°≈80cm， ∴MN＝MP﹣NP＝30cm， ∴DN＝30×tan53°≈40cm， ∴FP＝40cm， ∴FG＝FP+PQ+QG＝40+60+160＝260cm， ∵260＜270， ∴汽车不会占用到人行道． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．构造合适的直角三角形解决相关问题是解决本题的关键． 13．（2025秋•黄浦区期末）在铺设地板时，为了使地面转角处的拼接式样显得美观，工人通常会采用先对地板进行切割后再拼接的方法．现有甲乙两种规格的木质地板，其宽度之比为2：1（如图1﹣1），工人准备用这两种地板的组合来铺设室内某区域的地板（假设每块地板均无正反面之分）． 场景1：如图1﹣2，当遇到转角为直角的地面时（∠MON＝90°），可分别对甲乙两种地板按图中方法沿OA切割后拼接铺入该转角处； 场景2：如图1﹣3，当遇到转角为60度的地面时（∠POQ＝60°），可分别对甲乙两种地板采用类似方法沿OB切割后拼接铺入该转角处． 在场景1中，小明观察到工人采用了以下确定地板切割线的方法：先将甲种地板推至转角并紧贴∠MON的两边，再将乙种地板的长边紧贴∠MON的一边ON推至紧靠甲种地板（如图2﹣1），此时两种地板的接触面即为一条线段，该线段不在边ON上的端点即可标记为A，此时OA即为甲种地板的切割线；用类似方法（如图2﹣2），也可在乙种地板上确定切割线OA． （1）在场景1中，写出乙种地板切割后产生的锐角的正切值，即tan∠AON＝　　 ； （2）在场景2中（图1﹣3），求乙种地板切割后产生的锐角∠BOQ的正切值； （3）小明注意到，工人在场景2中确定甲乙两种地板的切割线时，依然没有采用任何刻度尺、量角器、圆规等工具，那么工人是如何确定两种地板的切割线位置的呢？于是小明就将这个问题带给了数学学习小组的同学们，很快小华给出了一种确定乙种地板切割线的方案： 步骤 示意图 1．将甲种地板的长边CF紧贴墙边OP推至其短边CD的一个顶点D落在OQ上为止； 2．将乙种地板的长边GJ紧贴由第一步所固定的甲种地板的长边DE推至其短边GH的一个顶点H落在OQ上为止，标记此时该顶点H的位置； 3．将前两步中的地板都取走，重新拿一块乙种地板，将长边KR紧贴墙边OQ推至其短边TK的一个顶点T落在OP上为止，此时顶点T与前一步标记的点H的连线即为切割线． 请问：此方案所作的乙种地板的切割线是否符合场景2的要求？请说明你的理由． 【分析】（1）先延长GA，交ON于点D，可知∠ODA＝90°，再根据可得答案； （2）先作OC⊥BG，作BD⊥OQ，BC，OD交于点E，再设BD＝a，则OC＝2a，然后根据勾股定理分别表示出，，进而求出，最后根据得出答案； （3）先根据题意可知∠POQ＝60°，CD＝2a，GH＝TK＝a，再表示出，即可得出，然后再表示出，接着求出，则此题可解． 【解答】解：（1）如图所示，延长GA，交ON于点D，可知∠ODA＝90°， ∴OD＝2AD， 在Rt△AOD中，， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点O作OC⊥BG延长线于点C，过点B作BD⊥OQ于点D，BC、OD交于点E， 设BD＝a，则OC＝2a， ∴∠POQ＝60°， ∴∠COE＝30°，∠CEO＝60°＝∠BED， 可知∠EBD＝30°， ∴2CE＝OE，2DE＝BE， 根据勾股定理，得OC2＝OE2﹣CE2，BD2＝BE2﹣DE2， 解得CE，， 则， ∴， ∴； （3）解：符合场景2的要求，理由如下： 根据题意可知∠POQ＝60°，CD＝2a，GH＝TK＝a， 在Rt△OCD中，， 则． 在Rt△DHG中，∠GDH＝60°， ∴， 则， ∴， 在Rt△OEF中，， ∴， ∴， 在Rt△TKH中，， ∴． 所以此方案所作的乙种地板的切割线符合场景2的要求． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．（2025秋•闵行区期末）探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料MOBP中MO∥PB，小条形边角料NOAQ中ON∥AQ，∠MOB＝∠NOA＝135°），如图1拼接到直角地砖（∠MON＝90°）的外边上，发现点A与点B不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2﹣图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】画出QA的延长线，交BP于点C． 【操作说明】联结OC． 【操作说明】沿着射线OB方向，平移小条形边角料NOAQ，使点A与点B重合，得到四边形O′N′Q′B. 【操作说明】画出MO的延长线，交小条形边角料的边 图6 图7 图8 图9 【操作说明】联结BD． 【操作说明】沿着OC、BD切割． 【操作说明】拼接切割后的两根条形边角料． （1）请根据图2﹣图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； （2）如果大条形边角为MOBP的宽度为12cm，小条形边角为NOAQ的宽度为9cm，大条形边角料MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP＝　　 ； （3）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 【分析】（1）依据操作步骤画图即可； （2）过O作OL⊥BP于点L，作OK⊥BQ于点K，易得CL＝OK＝9cm，OL＝12cm，据此求解即可； （3）延长QA与PB交于点E，连接OE，过点A作OE平行线，交NO于点F，沿着OE、AF切割，易证四边形AEOF是平行四边形，即可得解． 【解答】解：（1）操作图形如图所示； （2）如图，过O作OL⊥BP于点L，作OK⊥BQ于点K， 则四边形OLCK为矩形， ∴CL＝OK＝9cm，OL＝12cm， ∴tan∠OCP， 故答案为：； （3）延长QA与PB交于点E，连接OE，过点A作OE平行线，交NO于点F，沿着OE、AF切割． 理由：∵AF∥OE、AE∥OF， ∴四边形AEOF是平行四边形，∠AOE＝∠DAF， ∴OE＝AF，∠AFN+∠MOE＝∠AON+∠OAF+∠MOB﹣∠AOE＝∠AON+∠MOB＝270°， 则切割后OE与AF重合，且角度能拼接成90°． 【点评】本题主要考查了锐角三角形比、矩形的判定和性质、复杂作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．（2025秋•宝山区期末）某辆自行车（图1）放置地面（水平面）时，侧面示意图如图2所示．已知座椅EF、上管AC都平行于地面，下管BC的长为50cm，后叉脚AG的长为40cm，上下管的夹角∠ACB为53°，座管AB与上管AC的夹角∠CAB为64°，与后叉脚AG的夹角∠BAG为56°，车座顶端D到牙盘中心B的距离DB为110cm，车轮半径均为30cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，cot53°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，1.7．） （1）求座管AB的长；（精确到0.1cm） （2）求座椅EF到地面的距离．（精确到1cm） 【分析】（1）依据题意，过B作BH⊥AC于H，则可得，又∠BAH＝64°，可得，进而得解； （2）依据题意，过A作AP⊥地面于P，过B作BM⊥AP于M，GN⊥AP于N，DQ⊥BM于Q，则DQ＝DBsin64°＝110×0.90≈99.0（cm），AM＝AB•sin64°≈44.4×0.90≈40.0（cm），AN＝AGsin60°＝4020×1.7＝34.0（cm），故可得解． 【解答】解：（1）由题意，过B作BH⊥AC于H， 在Rt△BCH中，． 在Rt△ABH中，∠BAH＝64°， ∴； （2）过A作AP⊥地面于P，过B作BM⊥AP于M，GN⊥AP于N，DQ⊥BM于Q， ∴DQ＝DBsin64°＝110×0.90≈99.0（cm），AM＝AB•sin64°≈44.4×0.90≈40.0（cm），AN＝AGsin60°＝4020×1.7＝34.0（cm）． ∴总高度座椅EF到地面的距离＝DQ+NP﹣（AM﹣AN）＝99.0+30﹣（40.0﹣34.0）＝123（cm）． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数的定义，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 创新题型（共5小题） 16．（2025秋•杨浦区期末）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在8×8的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题： （1）sin∠BAC＝　　 ； （2）请仅用无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）． ①如图1，在边AB上求作一点P，使∠ACP＝45°； ②如图2，在边AC上求作一点Q，使BQ⊥AC． 【分析】（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于点H，求出AC，CH再根据正弦函数的定义求解； （2）①构造等腰直角三角形ACJ，CJ交AB于点P，点P即为所求； ②取格点J，连接BJ，延长BJ交AC于点Q，点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图1中，过点C作CH⊥AB于点H， ∵AC2，CH＝3， ∴sin∠BAC． 故答案为：； （2）①如图1中，点P即为所求； ②如图②中，点Q即为所求． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，解直角三角形，等腰三角形三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 17．（2025秋•嘉定区期末）如何用尺规把一条线段进行黄金分割呢？教材54页的阅读材料给出了一种方法，请阅读材料并回答问题： 怎样用尺规把线段AB黄金分割呢？下面给出一种方法． 作法：如图， 1．过点B作BC⊥AB，使． 2．联结AC，在线段AC上截取CD＝CB． 3．在线段AB上截取AP＝AD． 则AP2＝AB•PB． （1）请写出图中的值是　　 ： （2）我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金分割数．请利用无刻度直尺和圆规，作出以线段EF为底边的黄金三角形EFG（不必写出作法，保留作图痕迹并写出结论）． 【分析】（1）根据所给作图步骤，得出AP与AB的关系即可解决问题； （2）根据黄金三角形的定义，作出图形即可． 【解答】解：（1）由题知， 令AB＝2x， 则CD＝BC＝x， 所以AC， 则AD＝（）x， 所以AP＝AD＝（）x， 所以． 故答案为：； （2）如图所示， ①作出EF的垂直平分线，得出EF的中点O， ②过点F作EF的垂线，并截取FA＝FO， ③连接EA并延长，在延长线上截取AB＝AF， ④分别以E，F为圆心，EB长为半径画圆弧，两弧的交点即为G点． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、黄金分割及含30度角的直角三角形，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 18．（2025秋•普陀区期末）【发现问题】顺次联结对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图1，在四边形ABCD中，AC≠BD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG ，如果四边形EFGH是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与AI的交流中，AI给出了一种解决问题的思考路径： 解决问题的思考路径 从条件中可知EFGH已经是平行四边形，所以要画出这个菱形，只要确定点E在AB上的位置，使EH＝EF即可．根据这个想法，设，通过确定k的值，使EH＝EF． 思考路径中提到的k的值与什么量相关？ k的值主要与四边形的对角线AC和BD的长度相关． 【解决问题】 （1）根据图1，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“EF∥AC∥HG ”）； （2）根据小普同学与AI的对话，设AC＝a，BD＝b，用含a、b的代数式表示k； （3）在图2中，画出符合要求的菱形EFGH，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【分析】（1）根据EFGH是平行四边形，添加条件即可； （2）由题意得，，计算即可解答； （3）延长AC，利用圆规在AC延长线上截取CQ＝BD，连接BQ；作EC∥BQ，即可解答． 【解答】解：（1）根据题意可知EFGH是平行四边形， 则需添加EF∥AC∥HG； 故答案为：EF∥AC∥HG； （2）∵EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，， ∴AE＝k•BE，AB＝AE+BE＝（k+1）BE， ∴，， ∵EH＝EF，AC＝a，BD＝b， ∴，， ∴， ∴k； （3）如图所示EFGH即为所求： 延长AC，利用圆规在AC延长线上截取CQ＝BD，连接BQ； 作EC∥BQ，交AB边于点E即可． 【点评】本题考查平行线分线段成比例，平行四边形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．（2025秋•虹口区期末）【模型探究】 如图1，已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，满足∠MPN∠AOB＝180°．求证：OP2＝OM•ON． 【模型应用】 （1）已知M、N分别是∠AOB边OA、OB上的点，P是∠AOB的平分线上一点，如果∠AOB＝60°，OM＝6，ON＝4，OP＝2，那么∠MPN的度数为　150°　 ； （2）如图2，已知∠AOB＝90°，N是边OB上一点，请在边OA上选择一个合适的点M，并在∠AOB内部求作一个点P，满足∠MPN＝135°且PM＝2PN． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】【模型探究】由OP平分∠AOB，可得又由，可得∠MPO＝∠PNO，从而△ONP∽△OPM，即可得结论； 【模型应用】（1）由OM＝6，ON＝4，，可得，从而可证△ONP∽△OPM，则∠MPO＝∠PNO，再由∠MPN＝∠MPO+∠NPO，∠NPO＝180°﹣∠PNO﹣∠NOP，可得.，即可求解； （2）先作∠AOB的平分线OC，则有，在OC截取OP＝2ON，再在OA截取OM＝2OP，则，从而△ONP∽△OPM，则，即PM＝2PN，同时∠MPO＝∠PNO，则∠MPN＝∠MPO+∠OPN＝∠MPO+（180°﹣∠PNO﹣∠NOP）＝∠MPO+180°﹣∠PNO﹣2∠AOB＝180°﹣×90°＝135°，则点P、M即为所求． 【解答】【模型探究】证明：∵OP平分∠AOB， ∴， ∵， ∴∠MPO+∠NPO+∠NOP＝180°， ∴∠MPO＝180°﹣（∠NPO+∠NOP）＝∠PNO， ∴△ONP∽△OPM， ∴， ∴OP2＝OM•ON； 【模型应用】解：（1）∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°， ∴， ∵OM＝6，ON＝4，， ∴，， ∴， ∴△ONP∽△OPM， ∴∠MPO＝∠PNO， ∴∠MPN＝∠MPO+∠OPN＝∠MPO+（180°﹣∠PNO﹣∠NOP）＝∠MPO+180°﹣∠PNO﹣2∠AOB＝180°60°＝150°， 故答案为：150°； （2）如图，点P、M即为所求． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，尺规作图﹣作角平分线，作线段，灵活运用所学知识是解题的关键． 20．（2025秋•静安区期末）探究活动：“奇异四边形”的特征值 如果一个四边形的四条边和两条对角线这6条线段中只有两种不同的长度，我们把这样的四边形叫做“奇异四边形”，其中较短线段与较长线段长度的比值称为特征值，记作λ． 例如，如图所示，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BD，BC＝DC，我们就可将它称为奇异四边形，它的特征值λ为BC与AB的比值．请解答： （1）正方形是奇异四边形吗？　是　 ；如果是，它的特征值λ为　　 ；如果不是，请说明理由． （2）请构造一个符合奇异四边形特征的梯形，画出这个梯形的草图，写出在四条边和两条对角线中相等的线段，并求出它的特征值λ． 【分析】（1）根据奇异四边形的定义结合正方形的性质判断求解即可； （2）由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，由平行线的性质推出∠CBD＝∠ADB，得到∠ABD＝∠CBD∠ABC，同理：∠BCA＝∠DCA∠BCD，由等腰梯形的性质推出∠ABC＝∠BCD，得到∠ACB＝∠CBD，由AC＝BC，得到∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，由三角形内角和定理得到2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°，求出∠CBD＝36°，得到∠ABC＝2∠CBD＝72°，由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，求出∠BAD＝108°，由等腰梯形的性质得到∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°，据此求解即可． 【解答】解：（1）正方形的四边形相等，对角线相等， 则正方形是奇异四边形， λ； 故答案为：是；； （2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC， 同理：∠BCA＝∠DCA∠BCD， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠CBD， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD， ∠ABC+∠CAB+∠BCA＝180°， ∴2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°， ∴∠CBD＝36°， ∴∠ABC＝2∠CBD＝72°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝108°， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°， 则△AOB∽△ABC， ∴， ∵， ∴，即点C为AC黄金分割点， ∴λ； ∴两种长度的线段是AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC，． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、梯形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2024秋•奉贤区期末）桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米． （1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB＝0.75，求这个桔槔支架OM的高度； （2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图3所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【分析】（1）过点A作AG⊥BH于点G，交OM于点N，根据三角函数求出ON和MN的长度，即可得到OM的长； （2）过点O作OH'⊥BD于点H'，延长HO交CA延长线于点N，根据，求出BH'的长度，即可得到重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【解答】解：（1）过点A作AG⊥BH于点G，交OM于点N， ∵cotB＝0.75，OH＝1.6m， ∴BH＝1.2m，cosB， ∵cosB，AB＝6m， ∴BG＝3.6m， ∴HG＝BG﹣BH＝3.6﹣1.2＝2.4（m）， ∴ON＝HG＝2.4m， 又∵AT＝AC﹣CT＝3﹣0.5＝2.5（m）＝MN， ∴OM＝ON+MN＝2.4+2.5＝4.9（m）， 答：这个桔槔支架OM的高度为4.9m； （2）过点O作OH'⊥BD于点H'，延长HO交CA延长线于点N， 由（1）知：BO＝2m，AO＝4m，OM＝NT＝4.9m， ∴AN＝4.9﹣3﹣0.6＝1.3（m）， ∵， ∴， ∴BH'＝0.65m， ∴BH﹣BH'＝1.2﹣0.65＝0.55（m）， 答：重物D相对于（1）中的位置下降的高度为0.55m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用三角函数进行计算是解题的关键． 【作业2】（2024秋•闵行区期末）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨OA和OB、支伞骨CM和DM以及伞柄OH组成，伞柄OH（OH＞OA）垂直于地面且平分∠AOB，OA＝OB＝l厘米，OC＝ODOA，OH＝h厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点M在伞柄OH上的位置来确定∠AOB的大小．当点C、M、D三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时∠AOB达到最大为150°． （1）当OA＝OB＝120厘米， i）在遮阳伞完全打开时，求A、B之间的距离． ii）在伞打开的过程中（∠AOB从0°变到150°），点M上升了 　　 厘米． （2）设∠AOB的度数为2α（0＜α＜75°），在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面EF长为 　2lsinα　 （用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面EF的长，你的建议是 　增大主伞骨OA的长度　 ． （参考数据：sin75°，计算结果保留根号） 【分析】（1）i）连接AB，由题意得：CD∥AB，根据三角函数求出CM的长度，再利用△COD∽△AOB，求出AB的长； ii）分别求出∠AOB＝0°时和∠AOB＝150°时OM的长度，作差即可得到点M上升的高度； （2）用l和α表示AB的长度，即可得到EF的长；如可以通过增大主伞骨OA的长度，来增大遮阳伞遮住地面EF的长． 【解答】解：（1）i）连接AB，由题意得：CD∥AB， ∵OA＝OB＝120cm，OC＝ODOA， ∴OC＝OD＝24cm， ∵∠AOB＝150°， ∴∠AOM＝75°， ∴CM＝OCsin∠AOM＝24（cm）， ∴CD＝2CM（cm）， ∵CD∥AB， ∴△COD∽△AOB， ∴， ∴， ∴AB（cm）； ii）当∠AOB＝0°时，OM1＝OC+CM＝24（cm）， 当∠AOB＝150°时，（cm）， ∴上升的高度为：OM1﹣OM2（cm）， 故答案为：； （2）∵AB∥EF，AE∥BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴EF＝AB＝2AM＝2OAsin∠AOM＝2lsinα； 如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面EF的长，我的建议是增大主伞骨OA的长度， 故答案为：2lsinα；增大主伞骨OA的长度． 【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，解直角三角形等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【作业3】（2024秋•长宁区期末）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点D处，AD与底板BR平行，测得AD＝11.6米，此时在点D处又测得坡道AB上的点C的俯角为26.6°．接着让无人机飞到点E处，DE⊥AD，CE与底板BR平行，测得DE＝1.8米． （1）求坡道AB的坡度； （2）已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等，无人机从点A飞到点P处，AP⊥AD，测得AP＝16.4米，此时在点P处测得点F的俯角为45°，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5） 【分析】（1）作CH⊥AD，求出tan∠CAH的值，即可得到坡道AB的坡度； （2）作FI⊥AB，求出FI的长度即可判断． 【解答】解：（1）作CH⊥AD，则CH＝DE＝1.8m，， ∴DH＝3.6m， ∴AH＝11.6﹣3.6＝8m， ∴tan∠CAH， ∴坡道AB的坡度为； （2）∵AP＝16.4m，∠PAF＝90°，∠APF＝45°， ∴AF＝16.4m， 作FI⊥AB， ∵tan∠CAH， ∴sin∠CAH， ∴FI＝AF， ∴货车可以进入该车库． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键． 【作业4】（2024秋•金山区期末）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形纸片，∠A＝∠D＝90°且△ABC与△DEF不相似．其中AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n（n＞b＞a＞m）． 是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在：（1）请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； （2）按照你写出的分割方案，求出S的值（可以用a或b或m或n的代数式表示）． 【分析】（1）根据锐角的正切值可以得到tan∠DEF＞tanB＞tanC＞tanF，故过点E的直线交边DF于点G，使得∠DEG＝∠B，即可； （2）根据相似的性质，求出DG的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：存在，分割方案：（答案不唯一）， 如图： 过点E的直线交边DF于点G，使得∠DEG＝∠B， 证明：∠A＝∠D＝90°AB＝a，AC＝b，DE＝m，DF＝n， ∴，，tan∠DEF，， ∵n＞b＞a＞m， ∴， 即tan∠DEF＞tanB＞tanC＞tanF， ∴∠E＞∠B＞∠C＞∠F， ∵∠A＝∠D＝90°，∠DEG＝∠B， ∴△ABC∽△DEG； （2）∵△ABC∽△DEG， ∴， ∵AB＝a，AC＝b，DE＝m， ∴， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业5】（2024秋•浦东新区期末）上海世博文化公园的双子山是近期游客的热门打卡地．某校实践小组利用所学知识测量双子山主峰的高度，他们设计了两个测量方案，并利用课外时间完成了实地测量．下面是两个方案的示意图及测量数据． 测量项目 CD α β 方案一 10m 12° 11.5° 方案二 1.3m 12° 11.7° 任务一：请选择其中一种方案，求出双子山主峰AB的高度（结果保留1位小数）．参考数据见下表： 三角比角度 sin cos tan cot 12° 0.208 0.978 0.213 4.705 11.5° 0.199 0.980 0.204 4.915 11.7° 0.203 0.979 0.207 4.829 任务二：上海世博文化公园官网上显示：双子山主峰的高度为48米．请你用一句话简单说明你求出的高度与48米不一致的原因：　测量有误差（答案不唯一）　 ． 【分析】（1）选择方案一，设BC长x米，根据α的正切值表示出AB的长，进而根据β的正切值为相等关系列出方程求解即可；选择方案二，设BC为x米，根据β的正切值表示出AE的长，进而根据α的正切值为相等关系列出方程求解即可； （2）可从测量的角度出发回答问题． 【解答】解：（1）选择方案一： 由题意得：AB⊥BD， ∴∠B＝90°， 设BC长x米，则BD长（x+10）米， ∵∠α＝12°， ∴AB＝x•tanα≈0.213x米， ∵∠β＝11.5°， ∴（x+10）•tan11.5°＝0.213x， 即0.204（x+10）＝0.213x， 解得：x≈226.67， ∴AB≈48.3米； 选择方案二： 由题意得：∠AED＝∠ABC＝90°． 设BC为x米，则DE为x米． ∵β＝11.7°， ∴AE＝x•tanβ≈0.207x米， ∵α＝12°， ∴AB＝x•tanα≈0.213x米， 由题意得：BE＝CD＝1.3米， ∴0.207x+1.3＝0.213x， 解得：x≈216.67， ∴AB≈46.2米． （2）测量有误差（答案不唯一）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．应用所给角的正切值表示出相应线段的长度或得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键． 【作业6】（2024秋•杨浦区期末）定义：如图1，已知点Q、R是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，当OP2＝OQ•OR时，称点P是线段QR的最佳视野点． 【作业6】（2024秋•杨浦区期末）定义：如图1，已知点Q、R是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，当OP2＝OQ•OR时，称点P是线段QR的最佳视野点． 如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏AB，点A到水平地面的距离AC为5米，在水平地面CD的E处有一个自动扶梯EF，点A、B、C在同一直线上．已知自动扶梯EF的坡度是1：2，点E到点C的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面CE时，发现点H恰好是屏幕AB的最佳视野点，且从点H测得点B的仰角为60°．求AB的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯EF上找到屏幕AB的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕AB的垂直平分线与EF的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【分析】（1）连接BH，由题意得∠BHC＝60°，∠BCH＝90°，AC＝5m，设CH＝xm，则CBxm，根据点H恰好是屏幕AB的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作AB的垂直平分线交AB于点M，交EF于点N，分别求出NG，GA，GB，计算得出NG2≠GA•GB，从而判断点N不是屏幕AB的最佳视野点． 【解答】解：（1）连接BH，由题意得∠BHC＝60°，∠BCH＝90°，AC＝5m， 设CH＝xm，则CBxm， ∵点H恰好是屏幕AB的最佳视野点， ∴CH2＝CA•CB， ∴x， 解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝5， ∴CB15（m）， ∴AB＝CB﹣CA＝10（m）， 答：AB的长为10米； （2）不同意． 理由如下： 如图，作AB的垂直平分线交AB于点M，交EF于点N，分别延长FE，BC，交于点G， 由题意得AM＝5m，∠MNG＝∠CEG＝∠NED， ∵CE＝10m，自动扶梯EF的坡度是1：2， ∴GC＝5m， ∴GA＝GC+CA＝10（m），GB＝GC+BC＝20（m），MG＝GC+CA+AM＝15（m）， ∴MN＝30m， 在Rt△MNG中，NG2＝MN2+MG2＝1125， ∵GA•GB＝10×20＝200， ∴NG2≠GA•GB， ∴点N不是屏幕AB的最佳视野点． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【作业7】（2024秋•黄浦区期末）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条AB长40cm，木条CD长60cm，DB长20cm（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树MN的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离BE＝acm，还需要测量得到的相关数据有：BH的长度　 ． 解决问题 利用得到的数据表示树MN的高度：MN＝ 　（a+b+40）　 cm． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据：点B到地面的垂直距离BE＝acm，乙还需要测量得到的相关数据有：　还需要测量出AB1的长度　 ． 解决问题 利用得到的数据表示树MN的高度．（写出求解过程） 【分析】第一次实践：还需要测量出BH的长度．设BH＝bcm，证明△ABC∽△AHM，根据相似三角形的性质求出HM即可求出答案； 第二次实践：还需要测量出BB的长度．设AB1＝c，△ABC∽△AHM，△A1B1D1∽△A1HM，由相似三角形的性质求得HM＝BH+40（80+BH+c），求出BH，即可求得答案． 【解答】解：第一次实践：还需要测量出BH的长度． 由题意知，四边形BENH是矩形，BC⊥AH，HM⊥AH， ∴HN＝BE＝acm，BC∥HM， ∴△ABC∽△AHM， ∴， 设BH＝bcm， AB＝40cm，CD＝60cm，DB＝20cm， ∴BC＝40cm，AH＝（b+40）cm， ∴， ∴HM＝（b+40）cm， ∴MN＝（a+b+40）cm， 故答案为：BH的长度，（a+b+40）； 第二次实践：还需要测量出AB1的长度． 设AB1＝c， 由题意知，BC⊥AH，HM⊥AH，B1D1⊥AH， ∴BC∥B1D1∥MH， ∴△ABC∽△AHM，△A1B1D1∽△A1HM， 由第一次实践得HM＝BH+40； ∵△A1B1D1∽△A1HM， ∴， ∴， ∴HM（80+BH+c）， ∴BH+40（80+BH+c）， ∴BH＝c， ∴HM＝80+40， ∴MN＝（a+c+40）cm． 故答案为：还需要测量出AB1的长度． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【作业8】（2024秋•普陀区期末）如图，已知小河两岸各有一标大楼AB与CD，由于小河阻碍无法直接测得大楼CD的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼AB顶端A，并分别投射到大楼CD最高一层CG的顶端C和其底部G处，并测得EF＝6m，∠AEB＝26.6°，∠AFB＝22.6°．（点D，B，E，F在同一水平线上） （1）小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼AB的高度，试求出大楼AB的高度； （2）为了能测得大楼CD的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼AB共有五层．据此信息能否测得大楼CD的高度？如果可以，试求出大楼CD的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：sin22.6°，cos26.6°） 【分析】（1）设AB为xm，利用26.6°的正切值可得BE的长，进而表示出BF的长，那么根据22.6°的正切值可得AB的长； （2）设DG为ym，那么可得CD的长，利用26.6°的正切值可得DE的长，进而表示出DE的长，那么根据22.6°的正切值可得DG的长，加上CG的长即为大楼CD的高度． 【解答】解：（1）设AB为xm， 由题意得：AB⊥DE， ∴∠ABF＝90°， ∵∠AEB＝26.6°， ∴BEx×2＝2x（m）， ∵EF＝6m， ∴BF＝（2x+6）m， ∵∠AFB＝22.6°， ∴， 解得：x＝15． 答：大楼AB的高度约为15m； （2）能测得大楼CD的高度． 每层楼的高度为：15÷5＝3（m）， ∴CG＝3（m）， 设DG为ym， ∴CD＝（y+3）m， 由题意得：CD⊥DE， ∴∠D＝90°， ∴DE（y+3）×2＝（2y+6）m， ∴DF＝（2y+12）m， ∵∠AFB＝22.6°， ∴， 解得：y＝30， ∴CD＝33m． 答：大楼CD的高度约为33m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．合理应用直角三角形中所给锐角的正切值解决相关问题是解决本题的关键． 【作业9】（2024秋•青浦区期末）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸EPQ1R1），升起的最高点不超过顶部CD．矩形门的高AD＝3.6米，宽AB＝6.6米．矩形闸机的宽AH＝BW＝0.3米，矩形道闸的宽FG＝EP＝1米，道闸底部距地面AB的高度FH＝EW＝0.2米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边MG＝PQ，边MN与QR之间的缝隙可以忽略不计． （1）求道闸升起的最大角的正切值； （2）一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 【分析】（1）道闸升起，最大角为∠R1EN，最高点Q1应在CD上，延长Q1R1交EF于点X，分别计算出ER1和R1X的值，利用勾股定理求得EX的值，即可求得最大角∠R1EN的正切值； （2）设汽车为矩形A′B′NC′，一个道闸升起时，画出相关图形，求得EB′的长，利用∠R1EN的正切值可得R1X的值，加上0.2即为可通过的汽车的最高高度，与1.8比较即可判断一个道闸升起能否通过． 【解答】解：（1）如图：道闸升起，最大角为∠R1EN，最高点Q1应在CD上， 延长Q1R1交EF于点X，则∠R1XE＝90°， ∵FG＝EP＝1米，道闸升起过程中对边始终保持平行， ∴Q1R1＝1米， ∵AD＝3.6米，FH＝EW＝0.2米， ∴R1X＝3.6﹣1﹣0.2＝2.4米， ∵AB＝6.6米，AH＝BW＝0.3米， ∴ER13米， ∴EX1.8米， ∴tan∠R1EN． 答：道闸升起的最大角的正切值为； （2）需要同时升起两个道闸．理由如下： 设汽车为矩形A′B′NC′，一个道闸升起时，汽车应从如图位置进入． ∴B′N＝1.9米， 由（1）得：ER＝3米， ∴EB′＝3﹣1.9＝1.1米， ∵tan∠R1EN， ∴A′B′＝1.1米， ∴点A′到地面的距离为：0.2米， ∵1.8， ∴需要同时升起两个道闸． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．画出相关图形，得到一个道闸升到最高点时点Q1的位置是解决本题的关键． 【作业10】（2024秋•静安区期末）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩AB、CD、EF垂直于地面，且B、D、F在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为1米，两桩的距离BF为2米．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07） （1）舞狮人从A跳跃到C，随后再跳跃至E，所成的角∠ACE＝ 　98　 °； （2）求桩AB与桩CD的距离BD的长．（结果精确到0.01米） 【分析】（1）过C作MN∥BF交AB于M，交EF于N，由题意得到∠ACM＝35°，∠ECN＝47°，根据平角的定义即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到CM＝BD，MN＝BF＝2米，BM＝CD＝FN，设AM＝x米，得到EN＝（x+1）米，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）过C作MN∥BF交AB于M，交EF于N， 由题意得，∠ACM＝35°，∠ECN＝47°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACM﹣∠ECN＝98°， 故答案为：98； （2）∵MN∥BF，AB∥CD∥EF，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF， ∴四边形MBFN，四边形BDCM是矩形， ∴CM＝BD，MN＝BF＝2米，BM＝CD＝FN， 设AM＝x米， ∴EN＝（x+1）米， 在Rt△AMC中，CM（米）， 在Rt△ENC中CN（米）， ∴CM+CN2， 解得x≈0.451， ∴BD＝CM＝0.64（米）， 答：桩AB与桩CD的距离BD的长约为0.64米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【作业11】（2024秋•松江区期末）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，BA垂直于水平桌面l，垂足为点A，点C处有一个摄像头．经测量，AB＝42厘米，BC＝30厘米，∠ABC＝127°． （1）求摄像头C到桌面l的距离； （2）如果摄像头可拍摄的视角∠DCE＝37°，且CD＝CE，求桌面上可拍摄区域的宽度（DE的长）． （参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75．） 【分析】（1）作CH⊥AE于点H，BF⊥CH于点F，可得四边形ABFH是矩形，易得∠CBF的度数，根据∠CBF的正弦值可得CF的长，加上AB的长，即为摄像头C到桌面l的距离； （2）作EM⊥CD于点M，则∠CME＝∠DME＝90°，CE为x厘米，则CD＝x厘米，根据37°的正弦值和余弦值可得CM和ME的值，进而可得DM的值，那么根据勾股定理可得ED的值，根据△CDE面积的不同表示方法可得x的值，即可求得DE的长． 【解答】解：（1）作CH⊥AE于点H，BF⊥CH于点F， ∴∠CHA＝∠BFH＝∠BFC＝90°， ∵BA⊥l， ∴∠BAE＝90°， ∴四边形ABFH是矩形， ∴FH＝AB＝42厘米，∠ABF＝90°， ∵∠ABC＝127°， ∴∠DBF＝37°， ∵BC＝30厘米， ∴CF＝30×sin37°≈30×0.6＝18（厘米）， ∴CH＝18+42＝60（厘米）． 答：摄像头C到桌面l的距离约为60cm； （2）作EM⊥CD于点M， ∴∠CME＝∠DME＝90°， 设CE为x厘米，则CD＝x厘米， ∵∠DCE＝37°， ∴ME＝0.6x厘米，CM＝0.8x厘米， ∴DM＝0.2x厘米， ∴DEx厘米， ∵S△DECDE•CHDC•ME， ∴x×60＝x•0.6x， 解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝20， ∴ED2040（厘米）． 答：桌面上可拍摄区域的宽度约为40cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所给函数值的角度整理到直角三角形中是解决本题的关键． 【作业12】（2024秋•虹口区期末）根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点A（点A与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段AB为手柄，射线BC为水流，BC与AB的夹角∠ABC为90°，手柄AB与墙EH的夹角∠HAB为淋浴喷头的“调整角”，记为α．已知AB长为20cm． 素材2 图3中的矩形EFGH是淋浴房的截面图，EF＝90cm，EH＝195cm．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在D处，DE＝52cm． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下30cm处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减30cm． 已知小明的身高是130cm，他爸爸和妈妈的身高分别是176cm和160cm．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图3的点A处，“调整角”α为37°，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处（即CD＝爸爸身高﹣30）． 素材4 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73． 问题解决 任务一 求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点A到地面的距离AE． 任务二 爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即AE不变），把淋浴喷头的“调整角”α调整至60°，然后小明进淋浴房洗澡． ①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由； ②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点A′）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离AA′（精确到1cm）． 【分析】（1）作BN⊥AH于点N，延长DC交BN于点M，利用37°的正弦值和余弦值可得BN和AN的长度，进而可得BM的长度，那么根据37°的正切值可得CM的长度，那么AE的长度即为DM的长度减去AN的长度； （2）①利用60°的正弦值和余弦值可得BN和AN的长度，进而可得BM的长度，那么根据60°的正切值可得CM的长度，那么CD的长度即为NE的长度减去CM的长度； ②设点A移动到了点A′，易得C′M′＝CM≈59.96cm，A′N′＝AN＝10cm，进而求得A′E的长度，取AE的长度，减去A′E的长度，即为固定器下降的距离AA′． 【解答】解：作BN⊥AH于点N，延长DC交BN于点M，则∠ANB＝∠M＝90°， ∵爸爸身高是176cm，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴CD＝176﹣30＝146（cm）， ∵AB＝20cm，α＝37°， ∴BN＝20×sin37°≈20×0.60＝12（cm），AN＝AB×cos37°≈20×0.80＝16（cm），∠ABN＝53°， ∵DE＝52cm，∠ABC＝90°， ∴BM＝40（cm），∠CBM＝37°， ∴CM＝40×tan37°≈40×0.75＝30（cm）， ∴DM＝146+30＝176（cm）， ∴EN＝176（cm）， ∴AE＝176﹣16＝160（cm）． 答：点A到地面的距离AE约为160cm； （2）①当α＝60°时，∠ABN＝30°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBM＝60°， ∵AB＝20cm， ∴AN＝10（cm），BN＝10（cm）， ∴BM＝（52﹣10）（cm）， ∴CM＝（52﹣10）5230≈59.96（cm）， ∴CD＝AE+AN﹣CM＝160+10﹣59.96≈110.04（cm）， ∵小明的身高是130cm， ∴小明的舒适距离CD＝130﹣30＝100（cm）， ∵110.04＞100， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处； ②设点A移动到了点A′，此时在小明的“舒适喷淋点”， ∴C′D＝100cm， 由题意得：C′M′＝CM≈59.96cm，A′N′＝AN＝10cm， ∴A′E＝C′D+C′M′﹣A′N′＝100+59.96﹣10≈150（cm）， ∴AA′＝AE﹣A′E≈10（cm）． 答：固定器下降的距离AA′约为10cm． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．把所给的角度整理到直角三角形中并进行解答是解决本题的关键． 【作业13】（2024秋•崇明区期末）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面AB的中点C处竖直上升20米到达D处，测得实验楼顶部E的俯角为55°，综合楼顶部F的俯角为37°，已知实验楼BE高度为8米，且图中点A、B、C、D、E、F在同一平面内，求综合楼AF的高度． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，cot55°≈0.70，精确到0.1米．） 【分析】延长BE交DG于点N，延长AF交DG于点M，根据题意可得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米，从而可得EN＝12米，然后在Rt△DEN中，利用锐角三角函数的定义求出DN的长，再根据线段中点的定义可得AC＝BC，从而可得DM＝DN＝8.4米，最后在Rt△DFM中，利用锐角三角函数的定义求出FM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：如图：延长BE交DG于点N，延长AF交DG于点M， 由题意得：AM⊥DG，BN⊥DG，AC＝DM，DN＝BC，AM＝CD＝BN＝20米， ∵BE＝8米， ∴EN＝BN﹣BE＝20﹣8＝12（米）， 在Rt△DEN中，∠EDN＝55°， ∴DN＝EN•cot55°≈12×0.7＝8.4（米）， ∵点C是AB的中点， ∴AC＝BC， ∴DM＝DN＝8.4米， 在Rt△DFM中，∠MDF＝37°， ∴MF＝DM•tan37°≈8.4×0.75＝6.3（米）， ∴AF＝AM﹣FM＝20﹣6.3＝13.7（米）， ∴综合楼AF的高度约为13.7米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $