精品解析：辽宁省沈阳市回民中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

沈阳市回民中学2027届高三上学期10月月考 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知内角A，B，C满足，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 7. 已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得部分分，有选错得得0分. 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知在中，，，，，点P为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，，，且M，N，D三点共线，则 11. 已知数列满足（），且，为数列的前n项和，为数列的前n项积，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列是递减数列 B. 存在，使得，，成等差数列 C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，且，则的值为______. 13. 已知数列满足，则数列的前项的和等于______. 14. 已知，曲线与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知，，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若，求的值域； （3）若锐角，满足，，求. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，若且． （1）求的值； （2）若且的面积为，求的周长． 17. 设函数. （1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； （2）若有两个零点，求的取值范围. 18. 记为等差数列的前项和.已知且. （1）求的通项公式； （2）设函数，，求数列的前项和. 19. 已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. （1）判断是否为上的非负函数，并说明理由. （2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. （3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2027届高三上学期10月月考 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算，即可求得答案. 【详解】由， 得， 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 则. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解. 【详解】由， 故， 故，故，即. 4. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数函数以及对数函数的性质求出集合，根据二者的关系，即可判断出答案. 【详解】由可得，则； 由，得，故， 由于是的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题设分析得到，函数的周期为2，进而结合时，，代值计算即可. 【详解】由是定义在上的偶函数，得， 由，则， 所以函数的周期为2， 因为当时，， 则， ， 所以. 6. 已知内角A，B，C满足，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和为，把转化为，把转化为，利用两角和的正余弦公式展开整理，再进行弦切互化，结合两角和的正切公式求解即可. 【详解】在中，, 故有， ， 又， ，两边同除以， 可得; , ， 可得 根据两角和的正切公式可得 因为在中，， 故， 则， 故选：. 7. 已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意推出，利用导数判断函数的单调性，由此将化为，利用函数单调性即可求解. 【详解】由题意知函数的定义域为R， 则，则， 又， 故在R上单调递增， 故，即，即， 则，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C 8. 已知，则的大小关系不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断. 【详解】，，, ，，； 即转化为函数与，与，与图象的交点问题. 分别画出，，，，，的图象，如图所示： 由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时. 对于A，时，满足，故A正确； 对于B，，不满足，故B错误； 对于C，，满足，故C正确； 对于D，，满足，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得部分分，有选错得得0分. 9. 已知，，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数函数的性质判断A的真假；利用指数函数的性质判断B的真假；利用基本不等式判断CD的真假. 【详解】对A：因为，，所以，所以，故A错误； 对B：因为，所以，故B正确； 对C：因为，当且仅当即，时取等号.故C正确； 对D：因为，故D正确. 10. 已知在中，，，，，点P为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，，，且M，N，D三点共线，则 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据题设结合余弦定理及勾股定理得到，，再结合勾股定理求解判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D. 【详解】因为， 由余弦定理，， 即，所以，则， 因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图： 对于A，，由勾股定理，故A错误； 对于B，由题意知， 所以，故B正确； 对于C，由B知， 则， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，则， 由B知，则， 又三点共线，所以，所以，故D错误. 11. 已知数列满足（），且，为数列的前n项和，为数列的前n项积，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列是递减数列 B. 存在，使得，，成等差数列 C. D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据递推式写出前几项，结合，判断符号，验证单调性；对于B，利用等差中项列方程求解，检验根是否落在区间；对于C，代入特殊验证求和公式，判断正误；对于D，构造新数列求，分组求和后比较大小. 【详解】已知， 则， 对于A：当时，， ， ，所以，即， ，数学归纳法可证，数列单调递减，故A正确； 对于B：若成等差数列，则， 代入：， ， ， ，存在这样的，故B正确； 对于C：， ，是等比数列求和公式，不适用本数列， 取验证：右边， ，显然不等，故C错误； 对于D：， 取对数： ， ， 是首项为，公比的等比数列， ， 即， ， ， ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量满足，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用向量的数量积的运算律得，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可. 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 13. 已知数列满足，则数列的前项的和等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，由，得， 因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，， 即，于是， 所以数列的前项的和等于. 故答案为： 14. 已知，曲线与相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个顶点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，并得到三个交点的坐标，结合直角三角形条件列出方程求解即可. 【详解】设三个交点分别为. 因为， 整理得， 即 ， 令，解得， 令，得到，， ， 代入中得到，， ，， 因此三个交点为. 由勾股定理可得，代入得， 化简，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知，，函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若，求的值域； （3）若锐角，满足，，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示及三角恒等变换化简函数，进而求出周期. （2）求出指定区间内相位的范围，再利用正弦函数性质求出值域. （3）由（1）中函数，利用平方关系、差角的余弦公式，结合诱导公式求解. 【小问1详解】 依题意， ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 则当，即时，，当，即时，， 所以所求值域为. 【小问3详解】 由，得，又是锐角，则， 是锐角，得，而，则， 因此， 所以. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，若且． （1）求的值； （2）若且的面积为，求的周长． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据，由正弦定理结合两角和的正弦公式得到，则，然后由求解. （2）由3得到，从而，又的面积为，结合（1）求得a，c，再利用余弦定理求得b即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以，即． 因为且， 所以 所以 （2）因为3， 所以，即， 所以 又， 所以，则． 由余弦定理，得， 即． 所以的周长为． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理和面角公式的应用以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17. 设函数. （1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）证明：因为，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，即， 所以曲线在点处的切线过定点； （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数几何意义计算可得曲线在点处的切线方程，再求出该切线所过定点即可得； （2）求导后分及讨论该函数单调性，结合零点存在性定理可得不符， 时需满足，解出即可得. 【小问1详解】 证明略；定点为； 【小问2详解】 ，， 当时，，则在上单调递减， 此时最多有一个零点，不满足题意； 当时，令，解得，令，解得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 又因为有两个零点， 所以，即， 解得或， 因此，的取值范围为. 18. 记为等差数列的前项和.已知且. （1）求的通项公式； （2）设函数，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据前项和的定义，以及等差数列的性质，转化为的方程组，即可求解； （2）根据等比数列的求和公式，以及导数公式求得，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设数列的公差为，由可知 ，则 又，令可得 联立解得，，则 【小问2详解】 当，时， ，当，时，成立， 所以 ，则， 19. 已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数. （1）判断是否为上的非负函数，并说明理由. （2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列. （3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：. 【答案】（1）是上的非负函数.理由如下：因为，，所以.当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，故是上的非负函数. （2） 由，，得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则. 因为为上的非负函数，所以，解得，则. 因为，所以为等差数列. （3） 由，，得. 因为且，所以由得，，解得， 由得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，故. 由为上的非负函数，得，则，. 令，，则在上恒成立， 故在上单调递增，则，从而在上恒成立. 令，得，则，从而在上恒成立， 故，当且仅当时，等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）通过求导分析函数单调性可得，即可判断结论. （2）通过分析函数单调性得，根据得，即可证明结论. （3）通过分析函数单调性结合得，通过构造函数，利用放缩法可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是分析函数单调性得到，结合非负函数的定义得到，即可证明结论.解决第（3）问的关键是通过分析函数单调性得到，根据为上的非负函数得到，通过构造函数，利用放缩法证明结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $