辽宁葫芦岛市第一高级中学2026-2027学年高三上学期10月限时训练（一）数学试题

市一高中2026-2027学年度上学期10月限时训练（一） 数学答案 1．A 【知识点】补集的概念及运算 【分析】运用集合补集运算即可. 【详解】，， . 故选：A. 2．A 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数代数形式的运算性质、共轭复数模的定义等即可解出. 【详解】依题意，， 所以． 故选：A． 3．B 【知识点】二倍角的余弦公式、正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】由，可得，即，解得， 所以. 故选：B. 4．C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】设为的中点，将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】如图，设为的中点，连接，则点在上，且， 故， 所以. 故选：C. 5．D 【知识点】判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 6．D 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】求出的范围，根据题意得到不等式，求出答案 【详解】时，， 因为在上有最大值没有最小值， 所以，解得 7．B 【知识点】向量与几何最值、向量加法的法则、数量积的运算律、向量减法的法则 【详解】由题意知，动点，关于圆心对称，圆半径为， 则，. 所以 . 又正六边形边长为1，则圆心到六边形各顶点距离为， 圆心到正六边形各边的垂直距离为， 因为点在正六边形上，所以， 所以， 故只有B选项符合题意. 8．C 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，不等式可化为，通过求导证明在上单调递增，从而得到，令，求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为在上恒成立， 即在上恒成立，即， 令，不等式可化为， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即在恒成立， 令，即， 又因为， 由可得在上单调递减， 由可得在上单调递增， 所以最小值为，即， 所以实数的最大值为． 9．ABD 【知识点】复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的除法运算得到，据此逐项判断即可． 【详解】解：由复数z满足，得， 所以，故A正确； 复数的共轭复数是，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确； 复数对应的点为，绕原点按顺时针方向旋转，得到的点为， 所以所得向量对应的复数应为，故C错误； 由是关于x的方程的一个根，得另一个根为， 所以，解得，所以，故D正确． 10．AC 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D. 【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确； 由及正弦定理，可得, 化简可得. 因为，所以，所以，即. 因为，所以，故B错误； 因为，所以且，代入， 可得，解得，. 因为，，， 所以由正弦定理可得， 由，可得， 化简可得，解得或（舍），故C正确； . 故选:AC. 11．ACD 【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 12．1 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 13．/ 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合数量积的运算律及投影向量的定义求解. 【详解】在中，，，为与的交点， 设，即，即， 则， 因为、、三点共线，设，即， 所以， 因为、不共线，所以， 于是，解得，因此， 又，则向量在上的投影向量的模长 ， 当且仅当时取等号，故此时. 14． 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于的方程恰有个不相等的实数根，令，则关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，则，所以当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，，且时，当时， 当时，函数在上单调递增， 所以的图象如下所示：        对于函数，令，即， 令，则， 要使恰有个不相等的实数根， 即关于的有两个不相等的实数根，且，， 令，则有两个不相等的零点均位于之间， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是利用导数说明函数的单调性，得到函数的大致图象，将函数的零点问题转化为一元二次方程根的分布问题. 15．(1). (2)最大值为 ，最小值为 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，进一步利用点斜式表示切线方程； （2）先通过导数判断函数在的单调性，再根据单调性求最值. 【详解】（1），所以， 因此在处的切线方程为，即； （2）定义域为，令，解得（舍负）， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为； 又因为， 所以最大值为. 16．(1)， ∴由正弦定理可得，； ，即. ，； ； . ∴由正弦定理可得，， ，. ； ，，即为钝角. 为钝角三角形． (2)4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、正、余弦定理判定三角形形状 【详解】（1）略 （2）在中，，，. 的面积为， ，解得. ，，解得． 17．(1) (2)最大值为 【知识点】求含cosx的二次式的最值、正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可； （2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解. 【详解】（1）由题意知. 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 由角，所以. （2）由（1）知，所以，， 因为，所以， 由正弦定理得：，所以， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，且，则有，得，所以， 由二次函数的性质可得，当时，取得最大值， 所以的最大值为. 18．(1)， (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）把函数化成的形式，再根据函数的周期确定函数的解析式，再求函数的对称中心. （2）先确定的解析式，结合的图象，可求的取值范围. （3）把问题转化为两个函数的值域的包含关系，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）因为. 由恒成立，可知：函数的周期满足：， 所以，由. 所以. 由，，，所以函数的对称中心为，. （2）因为. 由 所以或，. 所以或，. 又，所以. 所以.所以. 函数的草图如下：    由函数在（且），上恰好有个零点， 所以. 即的取值范围为：. （3）问题转化为，当时，函数的值域是的值域的子集. 对：因为，所以，所以，又，所以； 对：因为，所以，所以，所以. 由，. 即的取值范围是： 【点睛】方法点睛：任意，存在，使得成立，转化为函数的值域是的值域的子集. 19．(1) (2) 要证明，即证明， ，则，，， 原问题可转化为证明即可， ①若时，， 在时成立， ②时，令， 则，， ， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， 当时，成立，即， 综上，当，当时，， 时，成立. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义将问题转化为直线与的图象有两个交点，利用导数研究的大致图象，从而数形结合即可得解； （2）根据题意，可将原问题转化为证明，再分类讨论和两种情况，结合不等式性质与导数研究函数的性质，从而得证. 【详解】（1）当时，， 设过点与函数相切于点， 则， 化简为，易知，化为， 令， 当时，；当时， 则函数在区间上均单调递减，在区间上单调递增，， 又时，时，， 过点与函数相切的直线有两条， 直线与的图象有两个交点， 可得，即的取值范围是. （2）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2，利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3，适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论； 4，构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $市一高中2026-2027学年度上学期10月限时训练（一） 数学试题 考试范围：集合、逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.设全集U={x∈N-2<x≤4}，A={0,2,3},则CA等于() A.{1,4 B.{0,1,4} C.{-11,4} D.{-1,0,1,4} 2.已知2=+2(i为虚数单位)，则同=（） 2-i A.1 B.√2 C.2 D.4 3.若ma+到=7，则cos2a的值为() A B. c号 D. 4.设G为△ABC的重心，AB=3,AC=4,则AG.CB=（) A.3 B.月 c. D.3 5.已知函数f()=e-e,若正实数m,n满足f(2m)+f(-5)=f0),则2+】 的最小值是() m n+l A.日 B.5 D.2 6.若函数/(=smar+@>0在0 上有最大值没有最小值，则ω的取值范围为() 311 B. ·55 D. 7.青花瓷（blue and white porcelain).,又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之 一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图 一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆O的 圆心为正六边形的中心，半径为)，若点M在正六边形的边上运动，动点A,B在圆O上运动且 关于圆心O对称，则MAMB的取值可以是() 图 高三数学 第1页，共4页 B. 2 c.3 D.1 8.已知f(x)=e2-(a-2)x,g(x)=ln(a),若f(x)≥g(x)在(0，+o)上恒成立，则实数a的最大值为 B. D.28 1 A.e C.2e 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.已知复数z满足(1+)z=2i,则下列说法正确的是() A.22=2i B.复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C.将复数：对应的向量绕原点按顺时针方向旋转交，所得向量对应的复数为-2 D.若复数z是关于x的方程x2+a+b=0(其中a,beR)的一个根，则a+b=0 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB+bsinA=c,a=2W10,a2+b2-c2=absinC,则 () A.tanC=2 B.A=π C.b=62 D.△ABC的面积为12√2 11.已知函数f(的定义域为R，且满足f(3x+)为奇函数，f(x+2)为偶函数，且∑f)=2,则 下列说法正确的是() A.f(x)为偶函数 B.2是f(x)的一个周期 C.f(x)图象关于(3,0)对称 D.f(2026)=2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)=x3(a2-2)是偶函数，则a= 13.如图，在△ABC中，AD=3DB,AE=2EC,AC.AB=2,F为BE与CD的交点，则向量AF在AB 上的投影向量的模长最小时，AB的长为 B D 高三数学 第2页，共4页 -x2+x+2,x<0 14.已知函数f(x)= 2x e,t≥0 若函数g(x)=2eP(x)-af(x)+2恰有6个零点，则实数a的取 值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15.已知函数f(x)=2x2-lnx+2 (1)求f(x)在（山，f()处的切线方程： (②求f在区间]上的最值。 16.在aC中，角，B,C的对边分别为a,b,c.已知cos8++o4+)-,0=2b (I)证明：△ABC为钝角三角形： (2)若△ABC的面积为3V15,求b的值 17.已知锐角aMBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin(A-B)_sim4-Q cos B ()若角4=牙，求角B: ②岩amC=1,求子+2的最大位 高三数学 第3页，共4页 18.已知时量a-(2na+}》6-(2max+)-2小，函数f=a6,其中a>0 ()若f()sf(sf(3)恒成立，内-。=？，求函数f(y的对称中心： (Q)若2<0<4，函数f()图象向右平移石个单位，得到函数g()的图象，x-是g()的一个零点， 若函数g(x)在[m,n(m,n∈R且m<n),上恰好有8个零点，求n-m的取值范围； 6已知函数)=am2x--2a(a<0),在第(2)向条件下，若对任意x∈0，存在0引 6 使得h(x)=g(x)成立，求实数a的取值范围 19.已知函数f(x)=xn(x+a-1),g(x)=e+cosx-1,其中e=2.718…为自然对数的底数. (I)当a=1时，若过点(m,m)与函数f(x)相切的直线有两条，求m的取值范围： (2)若0≤a≤1，当x>1-a时，证明：f(x)<g(x) 高三数学 第4页，共4页 市一高中2026-2027学年度上学期10月限时训练（一） 数学试题 考试范围：集合、逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数 一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知（为虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D．4 3．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．设为的重心，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 6．若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 8．已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（     ） A． B． C． D． 二 、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9．已知复数z满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C．将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D．若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 10．在中，角的对边分别是，若，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 11．已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数是偶函数，则______. 13．如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模长最小时，的长为__________． 14．已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求在区间上的最值． 16．在中，角，，的对边分别为，，.已知，. (1)证明: 为钝角三角形; (2)若的面积为，求的值. 17．已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)若角，求角； (2)若，求的最大值 18．已知向量，，函数，其中. (1)若恒成立，，求函数的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且），上恰好有个零点，求的取值范围； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 19．已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，若过点与函数相切的直线有两条，求的取值范围； (2)若，当时，证明：. 高三数学 第1页，共4页 高三数学 第2页，共4页 高三数学 第1页，共4页 高三数学 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $