精品解析：天津市武清区杨村第一中学2026-2027学年高三第一学期第一次学业质量检测数学试题

杨村一中2026～2027学年度第一学期第一次学业质量检测 高三数学 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得,又因， 则. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断. 【详解】由题意， 由题意及图得，函数为奇函数，且当时，， 对A选项，当时，，与图象不符，故A错误； 对B选项，当时，，与图象不符，故B错误； 对D选项，当时，，与图象不符，故D错误； 对C选项，在中， ，即该函数为奇函数， ，与图象相符，故C正确. 4. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式展开待求式，构造关于、的二次齐次分式，代入的值计算. 【详解】 ， 由可得：分子为， 分母为， 因此原式. 6. ，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据正弦函数的值域，对数函数的单调性，对数的运算公式求出的范围即可判断. 【详解】由正弦函数的值域可知：， 由对数函数单调性可知， ，故. 7. 如图，在中，，，与交于点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，，利用平面向量的基本定理知：，，将其转化为的线性关系，可求，再由已知条件，应用数量积的运算律求即可. 【详解】令，， 而， ， ∴，得， ∴，又， ∴，，， ∴. 8. 已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求导可得在R上单调递增，求的解集，等价于求的解集，接着利用在R上单调递增，可得到答案. 【详解】设，则，， 在R上单调递增，又，求的解集，等价于求的解集，在R上单调递增，，且，，故选D. 【点睛】本题主要考查利用导函数解不等式，构造一个新函数是解决本题的关键. 9. 已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的一条对称轴为，一个对称中心为，结合已知区间的单调性得到，进而求得、，根据图象变换得，由单调性列不等式求参数范围即可得. 【详解】由，则的一条对称轴为，一个对称中心为， 又在上单调递减，则，故，可得， 所以，可得，，则， 所以，则， 又在区间上单调递增，则， 所以，显然，故t的最大值为. 故选：C 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数，则__________． 【答案】1 【解析】 【详解】复数， 所以． 11. 在中，，，的面积为，则的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的面积，即，可得， 由余弦定理可得，即. 12. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知上、中、下每层均有9圈（共27圈），则下层比上层多______块石板． 【答案】1458 【解析】 【详解】设第圈的石板数为，由条件可知数列是等差数列，且上层的第一圈为，且， 所以， 则上层的石板数为，下层的石板数为． 所以下层比上层多块石板． 13. 若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 14. 已知向量，且满足，求__________；若非零向量满足，求的最大值为__________. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】利用向量的数量积求模长；第二空利用几何意义，转化为圆上的点到坐标轴的距离问题. 【详解】①因为，且， 所以， 故. ②因为，不妨设，. 设非零向量， 则. 整理得，， 于是点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，且不包括原点. ，由圆的性质可知， 所以当时，取得最大值. 15. 已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论： ①的最小值为0； ②的最大值为3； ③若在上单调递减，则的取值范围为； ④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个； 则全部正确命题的序号为__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】把给定函数按a的取值情况化成分段函数，再逐段分析求出的表达式并判断AB；由在上单调性确定a值判断C；由函数图象具有对称性求出a值判断D作答. 【详解】当时，，函数在上递减，在上递增，； 当时，， 若，函数在上递减，在上递增，， 若，函数在上递减，在上递增，当时，， 若，函数在上递减，在上递增，； 当时，， 若，函数在上递减，在上递增，， 若，函数在上递减，在上递增，当时，， 若，函数在上递减，在上递增，； 当时，，函数在上递减，在上递增，； 当时，， 函数在上递减，在上递增，， 因此，于是，即的最小值为0，最大值为3，①②正确； 显然当时，函数在上也递减，③错误； 当或时，函数的图象关于直线对称， 当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称， 当时，当且仅当，即时，函数的图象关于直线对称， 当时，不存在直线，使得函数的图象关于直线对称， 则当时，对于任意的，成立，此时，④正确， 所以正确命题的序号为①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知函数. （1）求函数的最大值，并求出取得最大值时的取值集合； （2）设，求函数的最小正周期和单调递减区间. 【答案】（1） 最大值为，取得最大值时的取值集合为. （2） 最小正周期为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二倍角的正弦和余弦公式化简函数，根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据题意，先化简函数，根据余弦函数的性质即可求解； 【小问1详解】 已知函数，利用二倍角公式：，， 代入得： ， 当，即时，，所以取得最大值. 【小问2详解】 已知， 最小正周期，令，解得， 因此的单调递减区间为. 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． （1）求A的值； （2）求b的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化及三角恒等变形化简得，结合三角形内角即可求A的值； （2）由面积公式可得，利用余弦定理得，结合即可求b的值； （3）由（2）知，利用余弦定理的推论可求，根据倍角公式求出，最后用和差公式求值即可． 【小问1详解】 由正弦定理得， ， ，， 又，所以． 【小问2详解】 ，即①， 又，即②， 由①②解得或， 又， 所以b的值为8． 【小问3详解】 由（2）知， 所以， ， 又，所以，， 则， 所以 ， 即的值为． 18. 已知是等差数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）25 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列通项公式和求和公式可得，即可得通项公式； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而分析最值； （3）分和两种情况，讨论的符号，结合运算求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 因为，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， 当时，取到最大值为25． 【小问3详解】 由（1）可知：， 时，当时， 当时，则； 当时，则； 综上所述：. 19. 已知函数 （1）若函数在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围. （3）当时，求证：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得函数在处的切线斜率，可得关于的方程，从而可得结果； （2）函数在区间上存在单调增区间，等价于在区间上有解，分离参数求出函数范围，即得结果； （3）先利用导数证明即，只需证明对任意的恒成立即可，再构造函数，两次求导，利用单调性可得结果. 【详解】（1）由得， 因为函数在处的切线方程为， 曲线在点处的切线斜率为， 解得； （2）函数， ， 因为函数在区间上存在单调增区间， 所以在区间上有解， 即在区间上有解， 因为在区间上递增， 所以， 可得 故； （3） ， ，函数递减， 因为，所以 即， 只需 对任意的恒成立即可， 令， 当时，，， 因此，对任意等价于， 由，， 因此，当时，单调递增， 时，单调递减， 的最大值为， 故， 设，， 时，单调递增，， 故时，，即， 故， 因此对任意的恒成立， 【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 20. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【解析】 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 （i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村一中2026～2027学年度第一学期第一次学业质量检测 高三数学 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. ，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，与交于点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在区间上单调递减，且将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则t的最大值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数，则__________． 11. 在中，，，的面积为，则的长为________． 12. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知上、中、下每层均有9圈（共27圈），则下层比上层多______块石板． 13. 若，且，则的最小值为___________． 14. 已知向量，且满足，求__________；若非零向量满足，求的最大值为__________. 15. 已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论： ①的最小值为0； ②的最大值为3； ③若在上单调递减，则的取值范围为； ④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4 个； 则全部正确命题的序号为__________. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知函数. （1）求函数的最大值，并求出取得最大值时的取值集合； （2）设，求函数的最小正周期和单调递减区间. 17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． （1）求A的值； （2）求b的值； （3）求的值． 18. 已知是等差数列的前项和，且． （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）求数列的前项和． 19. 已知函数 （1）若函数在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围. （3）当时，求证：. 20. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $