专题24 三角形的内切圆专项训练（11大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题24 三角形的内切圆 题型01 三角形内切圆的认识 题型02 求三角形内切圆的半径 题型03 通过三角形内切圆求半径 题型04 通过三角形内切圆求角度 题型05 通过三角形内切圆求最值 题型06 三角形的内切圆与外接圆综合 题型07 通过圆内切四边形求角度 题型08 通过圆内切四边形求周长 题型09 通过内切三角形进行证明 题型10 三角形内心有关的证明 题型11 尺规作图 ▌题型01 三角形内切圆的认识 【典例1】下列有关圆中的结论，错误的是（　　） A．同圆或等圆的半径相等 B．一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合 C．任意三点都能确定一个圆 D．任意三角形都有内切圆 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形 【变式1-2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【变式1-3】下面命题是假命题的是（　　） A．圆内接四边形的对角互补 B．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 C．长度相等的两条弧是等弧 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 ▌题型02 求三角形内切圆的半径 【典例1】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【变式1-3】（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 ▌题型03 通过三角形内切圆求面积 【典例1】（25-26九年级下·全国·随堂练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，⊙O是的内切圆，D，E，F分别为切点，且．已知，，则四边形OFCE的面积为（    ） A．1 B．15 C． D．4 【变式1-2】如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，则花圃的面积为______． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． ▌题型04 通过三角形内切圆求角度 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的内切圆，若，则的度数为___________． 【变式1-1】如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． ▌题型05 通过三角形内切圆求最值 【典例1】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式1-1】如图，在扇形中，，点C是弧上一点，，垂足为D，点P是的内心，连接，则的最小值为 _____． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是______． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）【给出定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】如图1，2，3，小莹发现任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，从而得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 (1)结合以上三个图形，你同意小莹的观点吗？若不同意请写出你的发现． (2)在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______． (3)如图4，在四边形中，，，，且 ， ， ，若点是四边形最小覆盖圆上的一点，求的最小值． ▌题型06 三角形内切圆与外接圆综合 【典例1】已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径与内切圆半径的比为________． 【变式1-1】若直角三角形的两直角边为、，则其外接圆和内切圆半径之差为 ． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． ▌题型07 通过圆内切四边形求角度 【典例1】如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__________． 【变式1-3】如图，是四边形的内切圆，连接，，，．若，，则的度数是______________． ▌题型08 通过圆内切四边形求周长 【典例1】（2026·青海西宁·一模）如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 【变式1-1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【变式1-2】如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 【变式1-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，四边形的内切圆为，若，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 ▌题型09 通过内切三角形进行证明 【典例1】阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【变式1-2】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【变式1-3】（2026·湖南长沙·三模）与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． (1)如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． (2)如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． (3)如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． ▌题型10 三角形内心有关的证明 【典例1】（2026·广西柳州·二模）如图，点是的内心（内切圆的圆心），连接并延长交的外接圆于点，与交于点，连接 (1)设，则________；（用含的式子表示） (2)求证： (3)若，，求的长 【变式1-1】（2026·湖北武汉·一模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【变式1-2】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图内接于圆O，I是的内心，的延长线交圆O于点D． (1)求证：； (2)若，求的值． 【变式1-3】（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)求证：直线为的切线； (3)若，求的长． ▌题型11 尺规作图 【典例1】已知，按要求完成作答 (1)用直尺和圆规作如图的内切圆⊙O． (2)若，则______； (3)若面积为6，周长为10，则的内切圆半径为________． 【变式1-1】如图，一块直角三角尺形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大. （1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积． 【变式1-2】如图，已知△ABC． (1)求作△ABC的内切圆（保留作图的痕迹，不要求写出作法）； (2)填空：设△ABC的内心为O，边BC，CA，AB上的切点依次为D，E，F，连接DE，DF，若，则________． 【变式1-3】（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四边形叫作“美外四边形”．如图1，与四边形的各边都相切，，则四边形叫作“美外四边形”． 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是__▲___（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题2：如图1，若四边形是“美外四边形”，与四边形的各边相切的切点分别为E，F，G，H，．求的半径． 解：如图2，连接． ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（依据），． ∵，∴，…… 任务： (1)问题1中的“▲”处应填写______；问题2中的“依据”是指______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)如图3，已知锐角，请在边上求作点G，H，使得四边形为“美外四边形”，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 三角形的内切圆 题型01 三角形内切圆的认识 题型02 求三角形内切圆的半径 题型03 通过三角形内切圆求半径 题型04 通过三角形内切圆求角度 题型05 通过三角形内切圆求最值 题型06 三角形的内切圆与外接圆综合 题型07 通过圆内切四边形求角度 题型08 通过圆内切四边形求周长 题型09 通过内切三角形进行证明 题型10 三角形内心有关的证明 题型11 尺规作图 ▌题型01 三角形内切圆的认识 【典例1】下列有关圆中的结论，错误的是（　　） A．同圆或等圆的半径相等 B．一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合 C．任意三点都能确定一个圆 D．任意三角形都有内切圆 【答案】C 【分析】根据圆的基本性质，三角形的内切圆，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、同圆或等圆的半径相等，故本选项正确，不符合题意； B、一个圆绕圆心旋转任意角度后，都能与原来的图形重合，故本选项正确，不符合题意； C、任意不在同一条直线上三点都能确定一个圆，故本选项错误，符合题意； D、任意三角形都有内切圆，故本选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，三角形的内切圆，熟练掌握圆的基本性质，三角形的内切圆是解题的关键． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．任何三角形有且只有一个内切圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．正多边形一定是中心对称图形 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件、三角形的内切圆、圆心角化和弧的关系、中心对称图形的概念判断． 【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； B、任何三角形有且只有一个内切圆，正确； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； D、边数是偶数的正多边形一定是中心对称图形，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式1-2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 【变式1-3】下面命题是假命题的是（　　） A．圆内接四边形的对角互补 B．三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 C．长度相等的两条弧是等弧 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆 【答案】C 【详解】对于选项A，圆内接四边形的对角互补是圆内接四边形的固有性质，是真命题； 对于选项B，三角形内心的定义就是三角形三条角平分线的交点，是真命题； 对于选项C，等弧的定义是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，仅长度相等 的两条弧不一定在同圆或等圆中，因此不一定是等弧，故该命题是假命题； 对于选项D，不在同一条直线上的三个点确定一个圆是确定圆的基本定理，是真命题． ▌题型02 求三角形内切圆的半径 【典例1】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）在中，，，且，则这个三角形的内切圆半径为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设的三边分别与相切于点、、，连接，，，，，，然后利用等面积法进行计算即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴， 设的三边分别与相切于点D、E、F，连接，，，，，， ∴，，， 设的半径为， ∴， ∵的面积的面积的面积的面积， ∴， ， ∴． 【变式1-1】（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果. 【详解】设该直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，由勾股定理得： ， ∵三角形的面积， ∴直角三角形的内切圆半径公式为，代入得：． 【变式1-2】如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 【变式1-3】（2026·湖南长沙·二模）如图，是的内切圆，若的周长为8，面积为4，则的半径是（  ） A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】连接圆心与三角形三个顶点，将大三角形分割为三个小三角形，利用三角形面积公式（其中为周长，为内切圆半径）建立等量关系求解． 【详解】解：设的半径为， 连接， ∵是的内切圆， ∴点到的距离都等于， ∴ ， ∵的周长为8，面积为4， ∴， 解得． ▌题型03 通过三角形内切圆求面积 【典例1】（25-26九年级下·全国·随堂练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出等边与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出，再观察发现的内切圆半径，恰好是内三个三角形的高，因而可以通过面积来计算半径，根据面积公式计算即可． 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】解：设与相切于D，E，F，连接， ∵是等边三角形， ∴过点O，， ∴， ∴， 设内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴内切圆面积 ． 故选：B． 【变式1-1】如图，⊙O是的内切圆，D，E，F分别为切点，且．已知，，则四边形OFCE的面积为（    ） A．1 B．15 C． D．4 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，再连接，设半径为，再根据切线长定理，，，，得到关于的方程，解方程，即可求出四边形的面积． 【详解】解：如图，连接，设半径为，则，，，， ∵，，， ∴, ∴，， ∴， ∴， ∵，分别为切点，且，， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及切线长定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1-2】如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，则花圃的面积为______． 【答案】 【分析】根据，，，得出，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，于是得到的内切圆半径，问题随之得解． 【详解】∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的内切圆半径为：， 则花圃的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半．解题的关键是根据勾股定理的逆定理作答． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的内切圆，切点为．若，，，求的面积． 【答案】的面积 【分析】利用切线长定理求出三角形的三边长，再用勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，进而求得三角形的面积． 【详解】解： 是的内切圆，切点为， ， ， ， ， ， ． ▌题型04 通过三角形内切圆求角度 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，为的内切圆，若，则的度数为___________． 【答案】/123度 【分析】根据三角形的内心的性质求出，，再由三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵为的内切圆， ∴点O是的内心，即为三个内角的角平分线的交点， ∴， ， ∴． 【变式1-1】如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OD、OF，根据切线的性质及圆周角定理可得，然后问题可求解． 【详解】解：连接OD、OF，如图所示： ∵的内切圆与分别相切于点D，E，F，， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【变式1-2】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接，再根据切线的性质得，然后根据等边三角形的性质得，接下来根据四边形内角和定理求出，最后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ▌题型05 通过三角形内切圆求最值 【典例1】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】取点，连接，，，根据三角形中位线定理得到，当，，三点共线时最大，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． 【变式1-1】如图，在扇形中，，点C是弧上一点，，垂足为D，点P是的内心，连接，则的最小值为 _____． 【答案】 【分析】连接PB，先证明，以为斜边向下作等腰直角，以点M为圆心，为半径作圆M，点P的运动轨迹为，连接AM交于点，此时最小，求出其最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点P是的内心， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 以为斜边向下作等腰直角， ∴， 以点M为圆心，为半径作圆M， 点P的运动轨迹为， 连接交于点，此时最小， 过点M作,垂点为点N，可得等腰直角， ∴， ∴ ∴的最小值为： 【点睛】本题考查了轨迹、圆周角定理、三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用三角形的内心、圆周角定理的性质． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】利用已知条件以及三角形内心的性质，将转化为定角，进而通过作的外接圆，利用圆内接四边形的性质找到当点P与点重合时，CP的值最小，最后通过求解即可． 【详解】解：， ， ， 点P是的内心， 分别是和的平分线， ， ， ∵，，， ∴， 点P在以为弦，所对的圆周角为的圆上运动，作的外接圆，如图所示： 圆心记作点O，连接，在优弧上取一点Q，连接，则， ， ， 连接，交于点，当点P与点重合时，的值最小，分别过点O作于点M，交的延长线于点N，如图所示： ∴，， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， 即的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，涉及到正方形的性质、三角形的内心、三角形外接圆以及圆内接四边形的性质等知识，根据已知条件作出适当的辅助线以及借助圆的相关性质是解决本题的关键． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）【给出定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【观察发现】如图1，2，3，小莹发现任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，从而得到“三角形的外接圆就是覆盖该三角形的最小覆盖圆”的结论． 【问题解决】 (1)结合以上三个图形，你同意小莹的观点吗？若不同意请写出你的发现． (2)在矩形中，，，则该矩形的最小覆盖圆的直径为______． (3)如图4，在四边形中，，，，且 ， ， ，若点是四边形最小覆盖圆上的一点，求的最小值． 【答案】(1)不同意小莹的观点，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆,若钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆； (2) (3) 【分析】（1）根据外接圆的性质，分别证明即可； （2）连接，交于点O，由矩形的性质得到，，点A、B、C、D四点共圆，由勾股定理求出即可； （3）作的外接圆，则四边形最小覆盖圆是，连接并延长交于点，则此时取得最小值，勾股定理求得的长，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：不同意小莹的观点， 在图1中设锐角外接圆圆心为点O，连接， ∴锐角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆； 如图，设直角外接圆圆心为点O，连接， 则，且为外接圆的直径， ∴直角的外接圆是该三角形的最小覆盖圆； 在图3中设钝角中， 作以最长边为直径的圆，则由下图可知，点C在此圆内， 故钝角三角形的外接圆不是覆盖该三角形的最小覆盖圆，以最长边为直径的圆是钝角三角形的最小覆盖圆； 综上所述，若三角形是锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆,若钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边为直径的圆.故小莹的说法不正确. （2）连接，交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点A、B、C、D四点共圆， ∴， ∴该矩形的最小覆盖圆的直径为； （3）解：如图，作的外接圆， ∵， ∴在的内部， ∴四边形最小覆盖圆是， 连接并延长交于点，则此时取得最小值， ∵，，， ∴ ∴， 过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中， ∴ ▌题型06 三角形内切圆与外接圆综合 【典例1】已知的两直角边的长分别为和，则它的外接圆的半径与内切圆半径的比为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形外接圆的性质得到外接圆半径，接着利用三角形面积与内切圆半径的关系求出内切圆半径，最后计算两者的比即可. 【详解】解：在中，，两直角边分别为和， ， 直角三角形的外接圆直径等于斜边，因此的外接圆半径， 设的内切圆半径为， 由三角形面积公式可得：， 代入得， 解得， ∴外接圆半径与内切圆半径的比为. 【变式1-1】若直角三角形的两直角边为、，则其外接圆和内切圆半径之差为 ． 【答案】 【分析】先利用勾股定理计算出直角三角形的斜边长，再根据直角三角形外接圆的直径为斜边求出外接圆半径，利用直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径，最后计算两者的半径差即可． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为，，斜边为， 由勾股定理得，直角三角形的斜边， ∴此直角三角形的外接圆半径为，内切圆半径为， ∴外接圆和内切圆半径之差为． 【变式1-2】（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． ▌题型07 通过圆内切四边形求角度 【典例1】如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【变式1-1】如图，四边形内接于，点在的延长线上，点是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形、三角形内心、三角形内角和定理等知识，理解并掌握圆内接四边形的性质以及三角形内心的定义和性质是解题关键．首先根据邻补角的定义以及圆内接四边形的性质确定的值，结合三角形内心的定义可知平分，平分，进而可得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-2】如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝__________． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【变式1-3】如图，是四边形的内切圆，连接，，，．若，，则的度数是______________． 【答案】 【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出． 【详解】如图所示：连接圆心与各切点， 在和中， ∴（HL）， ∴， 同理可得：， ，， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质定理、全等三角形的判定和性质，正确应用切线的性质定理是解题的关键． ▌题型08 通过圆内切四边形求周长 【典例1】（2026·青海西宁·一模）如图，内切于四边形，且，则四边形的周长_______． 【答案】26 【分析】利用切线长定理进行求解． 【详解】解：如图所示，与相切于点，与相切于点，与相切于点，与相切于点， ∵内切于四边形， 即是的切线， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式1-1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 【变式1-2】如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 【变式1-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，四边形的内切圆为，若，则四边形的周长为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据切线长定理得到，，，，再根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：四边形外切于，设切点分别为、、、， ，，，， ， 四边形的周长为：， 故选：C． ▌题型09 通过内切三角形进行证明 【典例1】阅读材料： 已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ． ． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径； (2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）已知给出示例，我们仿照例子，连接，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得． （2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，进一步易得的长，但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据切线长定理及勾股定理，先求的长，三角形各边长可知，则的值易得． 【详解】（1）解：如图2，连接．   ， ； （2）， ， ， ． 是的内切圆， ，，， ， ∴设，则， ， ，即（， 解得， ， ，，． 【变式1-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，四边形的各边与分别相切于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形的各边与分别相切于点， 根据切线长定理：， ∴ ， ∴． 【分析】利用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．把四边形四条边拆成多组相等的线段，再进行等量代换，即可证明等式． 【变式1-2】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2) 证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意得， ，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为． （2）略 【变式1-3】（2026·湖南长沙·三模）与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． (1)如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． (2)如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． (3)如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】(1)2 (2)5 (3)①证明：如图3，连接， ∵四边形的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H， ∴，，，，，，，，， ∴， 即， 设， 则，，，， ∴，， ∴； ②，的长为 【分析】（1）设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、，根据勾股定理可得，根据三角形面积公式可得，根据三角形内切圆的性质得到，，，，再利用等积法列出关于长的方程，即可求解； （2）过点作于点，连接、、，根据三线合一性质得到，平分，根据勾股定理可得，根据外接圆圆心的性质可得，点在直线上，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的长；根据内切圆圆心的性质可得平分，平分，进而证明，得到，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的长，再利用线段的和差求出的长，即可解答； （3）①连接，根据切线长定理得到，，，，进而证出，再利用三角形的面积公式即可证明结论；②先证明得到，同理可得，，，根据四边形拥有外接圆得到，，通过证明，得到，在利用勾股定理列出方程，求出的值，进而利用勾股定理求出长，再证明即可求出的长． 【详解】（1）解：如图1，设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、， 根据题意，，，， ∴，， ∵的内切圆与的切点分别为， ∴，，，， ∵， ∴， 即， 解得， 即的内切圆半径为2； （2）解：如图2，过点作于点，连接、、， ∵，是边上的中线， ∴，平分， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∵点是的外接圆圆心， ∴点在的垂直平分线上，， ∴点在直线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵点是的内切圆圆心， ∴平分，平分， ∴， ∵平分，平分， ∴点在上， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为5； （3）①略 ②解：由①得，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∵四边形拥有外接圆， ∴，， ∴，， 即，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，即， 解得； 综上，内切圆的半径，的长为． ▌题型10 三角形内心有关的证明 【典例1】（2026·广西柳州·二模）如图，点是的内心（内切圆的圆心），连接并延长交的外接圆于点，与交于点，连接 (1)设，则________；（用含的式子表示） (2)求证： (3)若，，求的长 【答案】(1) (2)证明：连接， 点是的内心（内切圆的圆心）， 平分， ， 点是的内心（内切圆的圆心）， 平分， ， 根据圆周角定理，得， ， ， ， ； ； (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，，，根据，列式解答即可． 【详解】（1）解：点是的内心（内切圆的圆心）， 平分， ， 根据圆周角定理，得， ， ， ； （2）略 （3）解：设， ，， 根据题意，得，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 【变式1-1】（2026·湖北武汉·一模）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由内心的性质可得，，，结合圆周角定理可得，利用三角形外角的性质可得，因此； （2）连接、、，与交于点，判断点是的中点，则，，进而得到，使用勾股定理可计算出．设圆的半径为，则，，利用勾股定理构造方程可计算出，从而得到．根据圆周角定理可得，因此． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、、，与交于点， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∵， 又∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图内接于圆O，I是的内心，的延长线交圆O于点D． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 如图，连接， ∵I是的内心， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）连接，由三角形的内心性质和圆周角定理得到，，进而利用三角形的外角性质和等量代换得到，然后根据等角对等边可得结论； （2）连接、、，设与相交于E，先证明，利用垂径定理的推论得到，则，过I作于G，于H，于P，利用三角形的内切圆性质，结合切线长定理推导出，再证明得到，进而等量代换可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接、、，设与相交于E， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴，则， 过I作于G，于H，于P，则H、P、G分别为的内切圆与边、、相切的切点， 由切线长定理，，，， ∴， ∴； ∵， ∴，又，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的内心性质、垂径定理、切线长定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 【变式1-3】（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接． (1)求证：； (2)求证：直线为的切线； (3)若，求的长． 【答案】(1) 证明：点I为的内心， ， 又∵， ∴， ； ； (2) 证明：连接，如图所示． 由（1）得：， 则， ， ， ∵为的直径， ∴， ∴， ，即， 又∵为的直径， 直线为的切线； (3) 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、三角形内心与外心的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握切线的性质与判定、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键； （1）由三角形内心的性质可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解； （2）连接，由（1）可得，然后可得，则有，进而根据切线的判定定理可进行求证； （3）过点I作交于点H，连接，由题意易得，然后根据三角函数可得，进而通过证明进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：为的直径 为直角三角形 ∴ 过点I作交于点H，连接，如图所示． ∵点I为的内心， ∴点I到三边的距离相等， ∵， ∴， ∴， 由（2）得：， ， 同理可得： ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ▌题型11 尺规作图 【典例1】已知，按要求完成作答 (1)用直尺和圆规作如图的内切圆⊙O． (2)若，则______； (3)若面积为6，周长为10，则的内切圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先分别作和的角平分线，以为圆心，大于长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交点与点的连接即为的角平分线，同理得到的角平分线，两条角平分线相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即为所求； （2）点是内心，得到，求出，得到，再根据，即可求出答案； （3）根据内切圆半径，周长，三角形面积的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：点是内心， 平分，平分， ． （3）解：根据内切圆的性质得到， 且， ， ， ， ， ． 【变式1-1】如图，一块直角三角尺形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大. （1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积． 【答案】（1）如图所示： （2）100πcm 2． 【分析】（1）可作出任意两个内角的平分线，交点即为所求的圆心，交点到任意边的距离为半径画圆即可； （2）设三角形内切圆半径为r，由勾股定理得出AB=50，再根据三角形的面积等于周长乘以半径的一半，从而得出三角形内切圆半径． 【详解】（1）略 （2）设三角形内切圆半径为r，则•r•（50+40+30）=×30×40，解得r=10（cm）， 故此圆凳面的面积为：π×102=100π（cm 2）． 【点睛】本题考查了复杂作图以及三角形内切圆的半径求法；用到的知识点为：内切圆的圆心为三角形内角平分线的交点． 【变式1-2】如图，已知△ABC． (1)求作△ABC的内切圆（保留作图的痕迹，不要求写出作法）； (2)填空：设△ABC的内心为O，边BC，CA，AB上的切点依次为D，E，F，连接DE，DF，若，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作∠ABC、∠ACB的角平分线，两条角平分线交于O点，过O点作OD⊥BC于D，以O点为圆心，以OD为半径画圆，⊙O就是△ABC的内切圆． （2）连接OE、OF，由切线的性质可知∠OFA=∠OEA=，根据四边形的内角和等于求出∠EOF的度数．根据圆周角定理即可求出∠EDF的度数． 【详解】（1） 如图，⊙O就是△ABC的内切圆； （2） 如图连接OE、OF， ∵F、E分别是⊙O 与AB、AC边的切点， ∴∠OEA=∠OFA=， 在四边形AFOE中，∠A=， ∴∠EOF=， ∵∠EOF与∠EDF是EF弧所对的圆心角和圆周角， ∴∠EDF=∠EOF=， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的尺规作图法，切线的性质及圆周角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-3】（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 美外四边形 【定义理解】如果一个四边形的各边与圆都相切，且这个四边形有一个内角是直角，那么把这样的四边形叫作“美外四边形”．如图1，与四边形的各边都相切，，则四边形叫作“美外四边形”． 【问题解决】问题1：下列四边形中，一定是“美外四边形”的是__▲___（填序号） ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题2：如图1，若四边形是“美外四边形”，与四边形的各边相切的切点分别为E，F，G，H，．求的半径． 解：如图2，连接． ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H，∴（依据），． ∵，∴，…… 任务： (1)问题1中的“▲”处应填写______；问题2中的“依据”是指______． (2)补全问题2中剩余的解答过程． (3)如图3，已知锐角，请在边上求作点G，H，使得四边形为“美外四边形”，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)④；切线长定理 (2)∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 即的半径为13； (3)作出的“美外四边形”如图所示： 【分析】（1）根据“美外四边形”和切线长定理解答即可； （2）证明四边形是正方形，即可解答； （3）作的角平分线交于点O，过点O作于点D，以点O为圆心，长为半径作圆O，以点D为圆心，长为半径，画弧交于点H，以点H为圆心，长为半径，画弧交圆O于点K，延长交于点G，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：①平行四边形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”； ②矩形不一定有内切圆，故不一定是“美外四边形”；     ③菱形的内角不一定为直角，故不一定是“美外四边形”；      ④正方形一定是“美外四边形”； ∵四边形与分别相切于点E，F，G，H， ∴（切线长定理） （2）略 （3）解：理由：如图，连接， 由作法得：圆O为的内切圆，则， ∴四边形为正方形， ∴， ∴与圆O相切， ∴四边形为“美外四边形”，且． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $