专题21 直线与圆的位置关系专项训练（6大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题21 直线与圆的位置关系 题型01 判断直线与圆的位置关系 题型02 已知直线与圆的位置关系求半径 题型03 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型04 圆平移到直线相切时有关计算 题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型06 新定义问题 ▌题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【答案】相交 【详解】解： 的直径为， 的半径， 圆心与直线的距离， ， 直线与的位置关系是相交． 【变式1-1】如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】 相切 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 【变式1-2】如图，，M为上一点，．判断直线与以点M为圆心，下列r为半径的圆的位置关系： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)相离 (2)相交 (3)相切 【分析】（1）过点M作，根据题意，得，再利用法则求解即可； （2）利用法则求解即可； （3）利用法则求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点M作，垂足为E， 根据题意，得， 故， ， 故直线与以点M为圆心，的圆相离； （2）解：， 故直线与以点M为圆心，的圆相交； （3）解：， 故直线与以点M为圆心，的圆相切． 【变式1-3】如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系． 【答案】与相离，与相切 【分析】过圆心D分别作的垂线，垂足分别为，则的长分别为圆心D到的距离，然后根据三角形中位线定理求出圆心到直线的距离，再与半径比较即可． 【详解】解：如图，过圆心D分别作的垂线，垂足分别为， 则的长分别为圆心D到的距离， 连接， ∵D为的中点， ∴， ∴E，F分别为的中点 ∴ ∵, ∴ ∴与相离，与相切． ▌题型02 已知直线与圆的关系求半径 【典例1】已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 【变式1-1】已知的斜边，直角边． （1）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是_________； （2）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是_________； （3）如果以C为圆心的圆和相切，则半径长为_________． 【答案】 相离 相交 【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么直线与⊙O相交；直线与⊙O相切；直线与⊙O相离．先求出另一条直角边和斜边上的高，可得答案． 【详解】解：如图，， ∵的斜边，直角边 ∴， 所以，斜边上的高， （1）因为， 所以，以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是相离； （2）因为， 所以，以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是相交； （3）如果以C为圆心的圆和相切，则半径长为． 【变式1-2】如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（　　） A．3 B．4 C．7 D．10 【分析】根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=5，r＞d=5即可得到问题的选项． 【解答】解：∵直线l与半径r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为7， ∴r＞7， 故选：D． 【变式1-3】已知点A坐标为（1，-3），如果半径为r的与x轴无公共点，与y轴有公共点，那么r的取值范围是 . 【分析】根据直线与圆的位置关系作答． 【解答】解：∵点A坐标为（1，-3）， ∴点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为1． ∵半径为r的⊙A与x轴无公共点，与y轴有公共点， ∴1≤r＜3． 故答案为：1≤r＜3． ▌题型03 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例1】若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一条直线与一个圆相离，那么该圆的圆心到该直线的距离大于该圆的半径，据此可得答案． 【详解】解：∵直线与半径为5的相离， ∴圆心与直线的距离． 【变式1-1】已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 【变式1-2】以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 【变式1-3】如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 【答案】当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时， 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、含30度的直角三角形，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点作于点，则，根据三角形内角和定理可得，则有，由题意得，再分所在直线与相切或相离两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为边上一点，， ∴， ∵的半径为1， ∴当所在直线与相切时，则，即，解得； 当所在直线与相离时，则，即，解得， ∴； ∴综上所述，当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时，． ▌题型04 圆平移到直线相切时有关计算 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 分圆心在轴的左侧和轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当位于轴的左侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为； 当位于轴的右侧且与轴相切时，此时圆心到轴的距离是，的坐标为，所以平移的距离为． 故选：B． 【变式1-1】如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 【变式1-2】如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 【变式1-3】设边长为的正方形的中心在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的的圆心在直线上运动，点、间距离为．如图1，当时，在运动过程中，通过观察，由与、之间关系，可得与正方形的公共点个数如下： 、、之间关系 公共点的个数 0 1 2 1 0 则与正方形的公共点个数可能是：、、 (1)如图2，当时，根据与、之间关系，将与正方形的公共点个数填入下表： 、、之间关系 公共点的个数 (2)如图3，当与正方形有5个公共点时，请说明； (3)当时，请根据与、之间关系，直接写出与正方形的公共点可能的个数． 【答案】(1)0，1，2，4 (2)解：连接，由题得，，， ，化简得． (3)0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个 【分析】（1）当时，的直径等于正方形的边长，此时会出现与正方形相离，与正方形一边相切，相交，与正方形四边相切，四种情况，故可确定与正方形的交点个数； （2）如图③，当与正方形有5个公共点时，连接，用a、r表示的各边长，在中，由勾股定理求a、r的关系； （3）结合（2）中结论，画出与正方形的大致位置关系，进而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，填表如下： 、、之间关系 公共点的个数 0 1 2 4 （2）略 （3）解：当时，如图，与正方形的位置关系大致有： 故与正方形的公共点可能的个数有0个、1个、2个、3个、4个、6个、8个． ▌题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例1】已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握． 根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案． 【详解】解：如图，当直线l经过点B时，， 当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时； 当l移动到，且切点为点C时，则； 综上所述，与相切时，平移的距离是或． 故选D． 【变式1-1】如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 【变式1-2】如图1，在矩形中，边长，，其中a、b分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． (1)______； (2)如图2，当点O运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆O与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时t的值； (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，请直接写出t的取值范围______． 【答案】(1)5 (2) ①与相切， 理由：如图，过点O作，垂足为点E， ∵在矩形中，， ， 是的平分线， ， 是的切线， 即与相切； ② (3)或 【分析】（1）先求出的根，从而可得，的长，再根据矩形的性质，结合勾股定理求得； （2）①运用角平分线性质定理得，可得是圆O的切线； ②利用三角形面积公式，得到关于关于的方程求解，求出，从而可求此时t的值； （3）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：由，即， 解得：，， 边长，，其中a，分别是方程的两个根， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 故答案为：5； （2）①略 ②， ， ， 即， ， ； （3）如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， 由知， 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ， 当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点； 连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ， ， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或 故答案为：或 【变式1-3】已知RtABC和⊙O如图放置，已知AB=，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设ABC移动的时间为t（s）． （1）当ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值； （2）若在ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值； （3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围． 【答案】（1）；（2）6；（3）4﹣＜t＜4+ 【分析】(1)先得到∠A=30°，∠ACB=60°，作OD⊥BC，则OD=1，当△ABC的边AC与圆第一次相切时，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，得到∠OC′D=60°，算出C′D=，进而得到2t+1+=5即可求解； (2)△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q，由切线的性质得O′Q=1，则D′B′=1，然后利用线段之间的关系得到5+t+1=2t，再解一次方程即可； (3)当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d=1，如图3，由（1）得C1D=，则DB1=，进而得=2t，即；当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d=1，如图3，作O′H⊥A2C2于H，得到∠O′C2D′=30°，则C2D′=O′D′=，进而得=2t，解得，由此求解 ． 【详解】解：(1)∵AB=，BC=1，∠ABC=90°， ∴， ∴∠A=30°，∠ACB=60°， 作OD⊥直线BC，则OD=1， 当△ABC的边AC与圆第一次相切时，如图1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′C′与⊙O相切，作OE⊥A′C′，连接OC′，则OC′平分∠DC′E， ∵∠A′C′B′=∠ACB=60°， ∴∠OC′D=60°， 在Rt△ODC′中，∵OD=1，∠DOC′=30°， ∴C′D=， ∵BB′=2t，B′C′=BC=1，BD=5， ∴2t+1+=5， ∴， 故答案为：； (2)如图2，△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，即△ABC平移到△A′B′C′的位置，A′B′与⊙相切，作O′Q⊥A′B′于Q， 则O′Q=1，∴D′B′=1， ∵BD=5，DD′=t，BB′=2t， ∴5+t+1=2t， ∴t=6， 故答案为：t=6； (3)当△ABC平移到△A1B1C1的位置，A1C1与⊙O相切，d=1，如图3， 由(1)得C1D=， ∵BD=5，DD′=t，BB1=2t， ∴DB1=DD′﹣B1C1﹣C1D′= ， ∴， ∴； 当△ABC平移到△A2B2C2的位置，A2C2与⊙O相切，d=1，如图3， 作O′H⊥A2C2于H， ∵O′C2平分∠A2C2B2， ∴∠O′C2D′=30°， ∴C2D′=O′D′=， ∵CD+DD′+D′C2=CC2， ∴， ∴， ∴当d＜1时，t的取值范围为＜t＜． ▌题型06 新定义问题 【典例1】对于平面直角坐标系xOy中的点与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”． (1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点． ①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______． ②点为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围． (2)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①2；4 ②2≤m≤6 (2)xC≤-2或xC≥-1 【分析】（1）①连接PA，PB，求出PA=5，PB=4，证PB⊥x轴，则PA是最大值，PB是最小值，即可由“宽距”定义求解第一空；作直线OP交 ⊙O于G、H，线段PH长度最大，PG长度最小，即可由“宽距”定义求解第二空； ②当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，当m≥2时，则点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，所当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，则求得m=6，即可得出答案； （2）分两种情况：当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，分别求解即可． 【详解】（1）解：①如图1，连接PA，PB， 由图可知：A（-2，0），B（2，0）， ∴AB=4， ∵P（2，3）， ∴PB⊥x轴， ∴PB=3，PA==5， ∴线段AB关于点P的“宽距”为5-3=2； 作直线OP交 ⊙O于G、H， 则点这与⊙O上各点连接的所有线段中，线段PH长度最大，PG长度最小， ∴⊙O关于点P的“宽距”为PH-PG=GH=4； 故答案为：2，4； ②∵点为x轴正半轴上的一点， ∴m>0， 当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意， 当m≥2时， ∵P（2，3）， ∴点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3， 又∵线段AM关于点P的“宽距”为2， ∴当PM长度是最大时，最大值为2+3=5， ∴PM最大==5， 解得m=6或m=-2， ∴2≤m≤6． （2）解：如图2，在直线y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1， ∴D（-1，0），E（0，1）， ∴OD=OE=1， ∴∠ODE=45°， 当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时， ∵⊙C半径为1， ∴xC=-2， 由（1）①第二空可知，当xC≤-2时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2； 当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，则CN⊥DE， ∴CN=1， ∵∠ODE=45°， ∴∠DCN=90°-∠ODE=45°， ∴DN=CN=1， ∴CD==， ∴OC=CD-OD=-1， 由（1）①第二空可知，当xC≥-1时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2； 综上，圆心C的横坐标的取值范围为xC≤-2或xC≥-1． 【变式1-1】在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为． 当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． (1)已知点，B为轴上的一个动点． ①若点与点的“差距离”为1，写出所有满足条件的点B的坐标； ②直接写出点与点的“差距离”的最大值； (2)已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，求点的坐标； (3)已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，为线段上一动点，是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“完美距离”的取值范围． 【答案】(1)①或；②2 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，圆的切线，一次函数的图象，等腰直角三角形的判定与性质，熟练根据题意确定“差距离”和“完美距离”的定义是解题的关键． （1）①设点，根据“差距离”的定义即可求解； ②设点，分别讨论，，即可解答． （2）设点，根据定义可得，求解即可； （3）分别过点，向轴，轴作垂线，两垂线相交于点，可得，则完美距离为以为斜边的等腰直角三角形的直角边，即．证明，则为上一点到直线的距离．当平行于的直线l与相切时，可以出现相应的最小值和最大值（直线l与直线在圆心同侧时，有最小值．直线l与直线在圆心异侧时，有最大值），求解范围即可． 【详解】（1）解：（1）①设点， ∵点与点的“差距离”为1，， ， 解得， 点或． ②设点， 当时，， 当时，， 当时，， 点与点的“差距离”的最大值是2． （2）解：∵是直线上的一个动点， ∴设点， ∵点与点的“差距离”是“完美距离”，， 则， 解得或， 当点与点的“差距离”是“完美距离”时，点的坐标为或； （3）解：如解图①，分别过点，向轴，轴作垂线，两垂线相交于点， 当时，， 完美距离为以为斜边的等腰直角三角形的直角边， ． 一次函数的图象与轴，轴分别交于点，， 点，点，， ． ， ． 又， ， 为上一点到直线的距离． 当平行于的直线l与相切时，可以出现相应的最小值（如解图②）和最大值（如解图③），（直线l与直线在圆心同侧时，有最小值．直线l与直线在圆心异侧时，有最大值） 过点作， 可知， ， ， ， ． 【变式1-2】阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； (2)问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 【答案】(1)；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 (2) 如图所示， (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查了尺规作图、切线的性质和判定定理、正方形的性质与判定、勾股定理，理解等距圆的定义是解题的关键． （1）利用切线的性质定理、垂直平分线的判定定理即可解答； （2）利用尺规过点作直线的垂线，以及的垂直平分线，两条直线交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求； （3）①在直线l上点F左侧截取点M使得，再分别以点E、点M为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画圆，则和点M即为所求；②作于点，根据等距圆的定义可得，，通过证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） 故答案为：；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （2）解：如图所示， 由作图可得，，点在的垂直平分线上， 与直线相切，， 经过直线外一点， 为点和直线关于点的等距圆， 点D和直线m关于点C的等距圆即为所求． （3）解：①如图所示， 由作图可得，， 又， 四边形是正方形， ， 与直线相切， 为点和直线关于点的等距圆， 和直线l上一点M即为所求． ②如图，作于点，则， 是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，且的半径为， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 由①中的结论得，， ． 故答案为：． 【变式1-3】阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点A为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到______． （3）如图3，，求证：． 【深入理解】 （4）如图4，平行四边形ABCD中，，，，P是边的中点，Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则的长度的最小值为______． （5）如图5，在平面直角坐标系中，点N是y轴上一点．若点，，当最大时，点N的坐标为______． 【答案】 （1）证明：取的中点O，连接，如图， ，， ， ，B，C三点在以的中点为圆心，为半径圆上； （2）32     （3）证明：以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交于点E，连接，如图， ， 点C、D必在上， ， 为圆的直径， ， ， ； （4）     （5） 【分析】（1）取的中点，连接，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； （2）以点A为圆心，为半径作辅助圆，利用圆周角定理解答即可； （3）以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交于点E，连接，利用直径所对的圆周 角为直角的性质解答即可； （4）利用折叠的性质得到点M在以P为圆心，为半径的圆上运动，以P为圆心，为半径作圆P，则点P，M，D在一条直线上时，的长度取得最小值，连接，过点P作，交的延长线于点E，利用平行四边形的性 质，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可； （5）由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作辅助圆， ， 点C、D必在上， 是的圆周角，且是圆心角， ， 故答案为：32； （3）略 （4）解：将沿所在直线翻折得到， ， ， 点M在以P为圆心，为半径的圆上运动， 以P为圆心，为半径作圆P，如图， 则点P，M，D在一条直线上时，的长度取得最小值， 连接，过点P作，交的延长线于点E， 四边形为平行四边形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 的长度的最小值为， 故答案为：； （5）解：如图，利用三角形外角的性质得， ∵， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，连接，过点C作于点E，连接，则， ，， ，， ， ， ， 与y轴相切于点N， ， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 点N的坐标为， 故答案为：． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 直线与圆的位置关系 题型01 判断直线与圆的位置关系 题型02 已知直线与圆的位置关系求半径 题型03 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型04 圆平移到直线相切时有关计算 题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型06 新定义问题 ▌题型01 判断直线与圆的位置关系 【典例1】的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【变式1-1】如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【变式1-2】如图，，M为上一点，．判断直线与以点M为圆心，下列r为半径的圆的位置关系： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】如图，在中，，，．以边的中点D为圆心，以r为半径作．若，分别判断，与的位置关系． ▌题型02 已知直线与圆的关系求半径 【典例1】已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知的斜边，直角边． （1）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是_________； （2）以C为圆心，长为半径的圆和的位置关系是_________； （3）如果以C为圆心的圆和相切，则半径长为_________． 【变式1-2】如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（　　） A．3 B．4 C．7 D．10 【变式1-3】已知点A坐标为（1，-3），如果半径为r的与x轴无公共点，与y轴有公共点，那么r的取值范围是 . ▌题型03 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 【典例1】若直线l与半径为5的相离，则圆心O与直线l的距离d为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【变式1-2】以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． ▌题型04 圆平移到直线相切时有关计算 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿轴正方向平移，使与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．1或5 C．3 D．5 【变式1-1】如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【变式1-2】如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【变式1-3】设边长为的正方形的中心在直线上，它的一组对边垂直于直线，半径为的的圆心在直线上运动，点、间距离为．如图1，当时，在运动过程中，通过观察，由与、之间关系，可得与正方形的公共点个数如下： 、、之间关系 公共点的个数 0 1 2 1 0 则与正方形的公共点个数可能是：、、 (1)如图2，当时，根据与、之间关系，将与正方形的公共点个数填入下表： 、、之间关系 公共点的个数 (2)如图3，当与正方形有5个公共点时，请说明； (3)当时，请根据与、之间关系，直接写出与正方形的公共点可能的个数． ▌题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【典例1】已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1-1】如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【变式1-2】如图1，在矩形中，边长，，其中a、b分别是方程的两个根，连接．点O从点C出发，沿向点B运动（到达点B停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒，在运动过程中，以O为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点． (1)______； (2)如图2，当点O运动到的角平分线上时， ①判断此时半圆O与有怎样的位置关系，并说明理由； ②求此时t的值； (3)如图3，当半圆O与的边有两个交点时，请直接写出t的取值范围______． 【变式1-3】已知RtABC和⊙O如图放置，已知AB=，BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现ABC以每秒2个单位的速度向右移动，设ABC移动的时间为t（s）． （1）当ABC的边AC与圆第一次相切时，求t的值； （2）若在ABC移动的同时，圆O也以每秒1个单位的速度向右移动，则ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切时，求t的值； （3）在（2）的条件下的移动过程中，圆心O到AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d，当d＜1时，求t的取值范围． ▌题型06 新定义问题 【典例1】对于平面直角坐标系xOy中的点与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”． (1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点． ①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______． ②点为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围． (2)已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 【变式1-1】在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为． 当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． (1)已知点，B为轴上的一个动点． ①若点与点的“差距离”为1，写出所有满足条件的点B的坐标； ②直接写出点与点的“差距离”的最大值； (2)已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，求点的坐标； (3)已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，为线段上一动点，是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“完美距离”的取值范围． 【变式1-2】阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 点和直线的等距圆在学习了圆的有关知识后，老师给出了“等距圆”的定义：经过已知直线外一点且和这条直线相切的圆称为该点和这条直线关于切点的等距圆． 概念理解：如图1，已知点B是直线l外一点，经过点B，且与直线l相切于点A，则为点B和直线l关于点A的等距圆．对等距圆圆心的位置分析如下：在图1的基础上连接，，，得到图2． ∵为点B和直线l关于点A的等距圆， ∴与直线l相切于点A， ∴①________， ∴点O在过点A且与直线l垂直的直线上． ∵与直线l相切于点A，且经过点B， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上．（依据：②________） 任务： (1)分析论证：补全上述分析过程中空缺的部分：①________；②________； (2)问题解决：如图3，已知直线m上一点C和直线m外一点D，求作：点D和直线m关于点C的等距圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)联系拓广：如图4，已知直线l和直线l外一点E，于点F、． ①求作和直线l上一点M，使是点E和直线l关于点M的等距圆，点M在点F左侧，且的半径为d．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若是点E和直线l关于直线l上另一点N的等距圆，点N在点E右侧，且的半径为，则两点之间的距离用含d的式子表示为______． 【变式1-3】阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点A为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到______． （3）如图3，，求证：． 【深入理解】 （4）如图4，平行四边形ABCD中，，，，P是边的中点，Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则的长度的最小值为______． （5）如图5，在平面直角坐标系中，点N是y轴上一点．若点，，当最大时，点N的坐标为______． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $