27.2 反比例函数的图象和性质 同步分层练习 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.2 反比例函数的图象和性质 同步分层练习 （人教版数学九年级上册） 班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 一、基础巩固（选择题每小题3分，填空题每小题3分，共36分） 1. 下列函数中，图象是双曲线且位于第一、三象限的是（ ） A. y = 2x + 1 B. y = C. y = - D. y = x² 2. 已知反比例函数 y = (k≠0) 的图象经过点(1, -2)，那么这个反比例函数的表达式为（ ） A. y = B. y = - C. y = D. y = - 3. 对于反比例函数 y = ，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点(2, -3) B. 图象位于第二、四象限 C. 当x＜0时，y随x的增大而减小 D. 当x＞0时，y随x的增大而增大 4. 反比例函数 y = 的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 5. 已知点 A(1, y₁)、B(2, y₂) 都在反比例函数 y = 的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. y₁＜y₂＜0 B. y₂＜y₁＜0 C. 0＜y₁＜y₂ D. 0＜y₂＜y₁ 6. 如图，点P是反比例函数 y = (x＞0) 图象上一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B。若矩形OAPB的面积为6，则k的值为（ ） A. 3 B. 6 C. -6 D. 12 7. 若反比例函数的图象过点(-2, 3)，则其函数表达式为________。 8. 若反比例函数 y = 的图象经过点(2, -3)，则当x＜0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）。 9. 在平面直角坐标系xOy中，点(x₁, y₁)、(x₂, y₂)在反比例函数 y = - 的图象上，当x₁＜0＜x₂时，则y₁________y₂（填 “＞”、 “＜”或 “＝”）。 10. 若反比例函数 y = 的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是________。 11. 若正比例函数 y = 2x 与反比例函数 y = 图象的一个交点坐标为(1, 2)，则它们的另一个交点坐标为________。 12. 已知反比例函数 y = 的图象位于第二、四象限，则k的一个可能取值为________（写出一个即可）。 二、综合运用（共44分） 13. 已知反比例函数 y = 的图象上有两点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，当x₁＞x₂＞0时，y₁＜y₂，则m的取值范围是（ ） A. m＜0 B. m＜-1 C. m≤-1 D. m＞-1 14. 已知点 A(-1, y₁)、B(m, y₂)、C(m+1, y₃) 三点都在反比例函数 y = 的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. 当m＜-1时，0＜y₃＜y₂＜y₁ B. 当-1＜m＜0时，y₃＜0＜y₁＜y₂ C. 当0＜m＜1时，y₃＜y₂＜0＜y₁ D. 当m＞1时，y₃＜y₂＜y₁＜0 15.一次函数 y₁ = ax+b 与反比例函数 y₂ = 的图象相交于A(-3, -2)、B(2, 3)两点，则不等式 ＞ax+b 的解集为（ ） A. x＜-3 B. -3＜x＜0或x＞2 C. x＜-3或0＜x＜2 D. -3＜x＜2 16. 如图，在菱形ABCD中，点A在y轴正半轴上，边AD与x轴平行，OA=1，点B的坐标为(3, 5)。若点C在反比例函数 y = (x＞0) 的图象上，则k的值为________。 17. 已知双曲线 y = 与直线 y = mx 相交于A、B两点，若点A的坐标为(-2, 3)，则点B的坐标为________。 18. 已知反比例函数 y = （k为常数，k≠1）。 (1) 若在其图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； (2) 若点P(2, 3)在该反比例函数的图象上： ①求该反比例函数的解析式； ②当-3≤x≤-1时，求y的取值范围。 19. 已知反比例函数 y = 的图象经过点 A(2, 3)。 (1) 求这个反比例函数的解析式； (2) 判断点 B(-1, 6)、C(3, 2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3) 当 -3＜x＜-1 时，求y的取值范围。 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y = -x+1 的图象与反比例函数 y = (k≠0) 的图象交于P(-1, a)、Q两点，连接OP、OQ。 (1) 求反比例函数的表达式和点Q的坐标； (2) 求△POQ的面积。 三、拓展题（共20分） 21. 如图，双曲线 y = 和 y = 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交两条双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 22. 如图，已知点A是反比例函数 y = (k≠0) 图象上的一点，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3。若图象位于第一象限，则k的值为________。 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A（m，-2），B（6，1）两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接AO，BO。 (1) 求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 若时，求点C的坐标 参考答案与解析 一、基础巩固 1.【答案】B 【解析】A是一次函数，C中k=-3＜0，图象位于第二、四象限，D是二次函数；只有B是反比例函数且k=2＞0，图象位于第一、三象限。 2.【答案】D 【解析】将x=1，y=-2代入 y=，得 -2=，解得 k=-2，所以反比例函数表达式为 y=-。 3.【答案】C 【解析】k=6＞0，图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小。当x＜0时y＜0且随x增大而减小；当x＞0时y＞0且随x增大而减小，故C正确。A中2×(-3)=-6≠6；B应为第一、三象限；D应为减小。 4.【答案】C 【解析】k=-4＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限。 5.【答案】D 【解析】y= 中k=3＞0，在第一象限内y随x增大而减小。因为0＜1＜2，所以y₁==3，y₂=，故0＜y₂＜y₁。 6.【答案】B 【解析】过反比例函数图象上一点向两坐标轴作垂线，所围成矩形的面积等于|k|。图象在第一象限，k＞0，所以k=S矩形=6。 7.【答案】y = - 【解析】设 y=，代入(-2,3)，得 3=，即 k=-6，所以 y=-。 8.【答案】增大 【解析】由点(2,-3)得 k=2×(-3)=-6＜0，双曲线在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，因此当x＜0时y随x的增大而增大。 9.【答案】＞ 【解析】y=- 中k=-1＜0，图象在第二、四象限。当x₁＜0时y₁＞0；当x₂＞0时y₂＜0，所以 y₁＞y₂。 10.【答案】m＞1 【解析】图象位于第一、三象限，则比例系数大于0，即 m-1＞0，解得 m＞1。 11.【答案】(-1, -2) 【解析】正比例函数与反比例函数的图象关于原点对称，两交点关于原点对称。已知一个交点为(1,2)，另一个交点为(-1,-2)。 12.【答案】-2（答案不唯一，k＜0即可） 【解析】图象位于第二、四象限，说明k＜0，取 k=-2 即可（也可取-1、-3等负数）。 二、综合运用 13.【答案】D 【解析】当x₁＞x₂＞0时，y₁＜y₂，即x增大时y减小，说明在第一象限内y随x的增大而减小，因此比例系数m+1＞0，解得 m＞-1。 14.【答案】B 【解析】y=- 中k=-2＜0，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大。当-1＜m＜0时，A(-1,y₁)在第二象限y₁==2＞0；B(m,y₂)也在第二象限，m＞-1所以y₂＞y₁＞0；C(m+1,y₃)横坐标m+1∈(0,1)，在第四象限y₃＜0。故 y₃＜0＜y₁＜y₂，B正确。 15.【答案】C 【解析】不等式 ＞ax+b 的几何意义是反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围。由图象知：在x＜-3和0＜x＜2两段区间内反比例函数图象在上方，故选C。 16.【答案】40 【解析】由OA=1且A在y轴正半轴上，得A(0,1)。∵AD∥x轴，∴D点纵坐标为1。在菱形ABCD中，AB=√((3-0)²+(5-1)²)=√(9+16)=5，∴AD=AB=5，即D(5,1)。由向量BC=AD=(5,0)，得C=B+(5,0)=(8,5)。将C(8,5)代入y=，得k=8×5=40。 17.【答案】(2, -3) 【解析】正比例函数与反比例函数的图象关于原点中心对称，两交点关于原点对称，故另一个交点B为(2,-3)。 18.【解析】 (1) 在每一支上y随x增大而增大，说明k-1＜0，即 k＜1。 (2) ①将P(2,3)代入 y=，得 3=，解得 k-1=6，即k=7。故反比例函数解析式为 y=。 ②y= 中k=6＞0，当x＜0时y＜0且y随x增大而减小。当x=-3时y=-2；当x=-1时y=-6。所以当-3≤x≤-1时，-6≤y≤-2。 19.【解析】 (1) 将A(2,3)代入 y=，得 3=，解得 k=6。所以反比例函数解析式为 y=。 (2) y= 即 xy=6。点B(-1,6)：(-1)×6=-6≠6，所以B不在函数图象上；点C(3,2)：3×2=6，所以C在函数图象上。 (3) 当x=-3时，y==-2；当x=-1时，y==-6。k=6＞0，当x＜0时y随x增大而减小。所以当 -3＜x＜-1 时，-6＜y＜-2。 20.【解析】 (1) 将P(-1,a)代入y=-x+1，得 a=-(-1)+1=2，所以P(-1,2)。将P(-1,2)代入 y=，得 k=(-1)×2=-2，反比例函数表达式为 y=-。 联立 y=-x+1 和 y=-，得 -x+1=-，即 x²-x-2=0，解得x₁=-1，x₂=2。当x=2时y=-1，所以Q(2,-1)。 (2) 设直线PQ与x轴交于点C。令y=0，得-x+1=0，x=1，即C(1,0)。 S△POQ = S△POC + S△QOC = ×OC×|y_P| + ×OC×|y_Q| = ×1×2 + ×1×1 = 1 + = 。 三、拓展题 21.【答案】A 【解析】设直线x=t(t＞0)交y=于A(t,)，交y=于B(t,)。则AB=-=。S△AOB=×AB×t=××t=1。故选A。（也可用k的几何意义：S△AOC=×4=2，S△BOC=×2=1，S△AOB=2-1=1。） 22.【答案】6 【解析】S△AOB=|k|=3，所以|k|=6。图象位于第一象限k＞0，故k=6。 23.【解析】 (1) 解： 反比例函数 经过点B(6，1)， ， ， 反比例函数的表达式为 ， 点A(m，-2)在反比例函数 的图象上， ， 解得：， ， 把A(-3，-2)，B(6，1)代入 得： 解得： 一次函数的表达式为 ； （2）解：设 ，过点C作y轴的平行线交直线AB于E，如图1，设直线AB交y轴于点F，则 ，F(0，-1)， ，， ， ， 即 ， 整理得： 或 ，或或 ， 点C在第一象限， 或 ， 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $