精品解析：内蒙古赤峰第四中学2026～2027学年高三上学期9月份第一次测验数学试题

赤峰四中2026～2027学年上学期高三9月份第一次测验 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程与不等式、函数的概念与性质、指数函数与对数函数、一元函数的导数及其应用． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，的个位数字等于7”的否定是（ ） A. ，的个位数字大于7 B. ，的个位数字不等于7 C. ，的个位数字大于7 D. ，的个位数字不等于7 【答案】D 【解析】 【详解】因为存在命题的否定是全称命题， 所以命题“，的个位数字等于7”的否定是，的个位数字不等于7. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，当时，可得一定成立，即充分性成立； 反之：当时，不一定成立，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. －3 B. 3 C. －2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求出，利用已知条件结合求出，利用奇函数的定义求出. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为当时，， 所以当时，， 因为，所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以． 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的定义域是， 而. 令，则 . 由于，故. 故单调递增区间为. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，即得， 则得， 所以不等式的解集为． 6. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 【答案】B 【解析】 【详解】设训练个单位数据的时间为​，训练个单位数据的时间为​， 由已知，得. 根据对数运算性质，可得：. 由题意，，因此时间之比为：， 即前者所需时间是后者的3倍. 7. 在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 8. 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算可得原式等于，利用基本不等式可求出的最大值，即可求得答案. 【详解】由可知， ， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 结合，则，故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】先解不等式，得出，再根据元素与集合的关系建立不等式组求解，选择符合范围的选项即可. 【详解】.因为， 所以，解得． 所以的值可以是. 10. 若函数的极大值点为负数，则的值可以为（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. －1 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数法求出单调性，利用单调性求出极大值点，利用极大值点为负数求出的值. 【详解】因为， 所以， 当时，，无极值，不符合题意． 当，即时，的解为或， 的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递增函数， 在上是单调递减函数， 则在处取极大值， 则的极大值点为1，不符合题意． 当，即时，的解为或， 的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递增函数， 在上是单调递减函数， 则在处取极大值， 则的极大值点为， 因为函数的极大值点为负数， 所以，解得． 11. 已知是定义在R上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. C. 在上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，由为奇函数得到的图像关于点对称；对于B选项，根据奇偶性得到函数周期为16，进而得到；对于C选项，根据单调性定义可得在上单调递增，再根据周期性与奇偶性得到在上单调递减，进而得到在上单调递减；对于D选项，根据的周期为16得到. 【详解】A选项，由为奇函数，得， 得， 所以的图象关于点对称，A正确． B选项，由是偶函数，得， 结合， 得，即， 即，所以， 所以的周期为16，，B正确． C选项，由题意得在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递减． 又的周期为16，所以在上单调递减，C错误． D选项，由的图象关于点对称，所以 ，，， ，， . 由为偶函数可得，，， ，，， ，， 结合上述条件可得， 因为的周期为16，所以 ，D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】（或） 【解析】 【详解】由，得． 当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即． 13. 已知函数，则______，的零点个数为______． 【答案】 ①. 27 ②. 2 【解析】 【详解】因为，所以． 令，得．函数的部分图象如图所示． 由图可知的图象与的图象有两个公共点，所以有两个零点． 14. 已知函数若，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】两段函数均为严格单调递增函数，若 且 ，则两点必然不在同一区间，分情况（1），（2），进行求解. 【详解】当 时，，一次函数单调递增，值域为 ,当 时，，对数函数单调递增，值域为, 两段函数均为严格单调递增函数，若 且 ，则两点必然不在同一区间，下面分类讨论， （1），由 ，得，整理得 ，由，可得， 由得 ， 令 ， ， 当 时，单调递减； 时 ，单调递增， 所以的最小值是，因为，所以，所以 ； （2），由 ，得，即 ，,因为，因此 ，即 ， 由得，, 令 ，求导得 , 当 时，单调递增； 时 ，单调递减， 所以的最大值是 ，因为，所以，所以 ， 综上,则的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知均为正数，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可求解； （2）利用乘“1”法将化为，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为均为正数，且,故， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 【小问2详解】 由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为． 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求得集合和，结合集合交集的运算，即可求解； （2）根据补集的运算，求得，结合题意，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由不等式，解得，即， 当时，集合，所以； 【小问2详解】 解：由（1）知：集合，可得或， 又由集合 当时，，所以， 若，则满足，解得， 所以实数的取值范围是． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为，求的最大值． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，可求得的单调性； （2）利用（1）可得的最小值为，利用导数可求得的最大值． 【小问1详解】 由，得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由（1）可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值； 当时，在处取得最小值，， 所以， 求导得， 当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递减， 所以. 18. 已知函数的定义域均为，且的图像均为连续不断的曲线，对任意，经过两点的直线的斜率为，经过两点的直线的斜率为，且，则称与同向． （1）判断函数与是否同向，并说明理由； （2）若函数与的定义域均为，且与同向，求的取值范围． 【答案】（1）函数与不同向． 理由如下：因为与的定义域为，在直线与上各自任取两点连线的斜率也即为这两条直线的斜率， 直线与的斜率分别为，即且， 所以函数与不同向． （2） 【解析】 【分析】（1）根据与同向的定义即可判断； （2）由可推出在上是减函数，结合复合函数的单调性判断在上是增函数，由此分类讨论a，列不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，， 则， 设．则，故，得， 即，所以在上是减函数． 对于，可看作由，复合而成， 因为函数是减函数，所以在上是增函数，且． 当时，在上是增函数，且，不符合题意． 当时，需满足， 得． 故的取值范围为． 19. 已知函数（）． （1）当时，证明：的导函数是增函数． （2）证明：． （3）证明：对任意的，，有． 【答案】（1）当时，，， 的导函数， 所以的导函数是增函数． （2）． 令，则，所以是增函数． ，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ． 因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以． （3）令， 则． 因为，所以．因为在上单调递增，所以，则，在上单调递增． 因为，所以，即． 因为，所以． 【解析】 【分析】（1）使用导函数的正负证明函数单调性； （2）使用导数计算函数的最小值，证明的最小值大于； （3）构造函数，使用导数分析函数的单调性求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰四中2026～2027学年上学期高三9月份第一次测验 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程与不等式、函数的概念与性质、指数函数与对数函数、一元函数的导数及其应用． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，的个位数字等于7”的否定是（ ） A. ，的个位数字大于7 B. ，的个位数字不等于7 C. ，的个位数字大于7 D. ，的个位数字不等于7 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. －3 B. 3 C. －2 D. 2 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 7. 在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若，则的值可以是（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 若函数的极大值点为负数，则的值可以为（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. －1 11. 已知是定义在R上的偶函数，为奇函数，，且对任意，当时，恒成立，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知函数，则______，的零点个数为______． 14. 已知函数若，且，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知均为正数，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 16. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若的最小值为，求的最大值． 18. 已知函数的定义域均为，且的图像均为连续不断的曲线，对任意，经过两点的直线的斜率为，经过两点的直线的斜率为，且，则称与同向． （1）判断函数与是否同向，并说明理由； （2）若函数与的定义域均为，且与同向，求的取值范围． 19. 已知函数（）． （1）当时，证明：的导函数是增函数． （2）证明：． （3）证明：对任意的，，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $