江西九江市同文中学2026-2027学年八年级上学期数学第一次学情自测数学试卷

九江市同文中学2026—2027学年上学期阶段I学情自测卷 八年级数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一．选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 1．下列各式中，属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．在数、、、、、…（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数的个数有（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 4．《醉翁亭记》中写道：“…射者中…”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） A． B． C． D． 5．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（ ） A． B． C． D． 6．第届数学教育大会会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（ ） A． B． C． D． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7．计算：________． 8．对于任意两个正数、，新定义一种运算“”如下，，则________． 9．若，则的取值范围是________． 10．已知，，，，则的立方根是________． 11．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为________． 12．如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若为直角三角形，则的长是________． 三．解答题 13．（12分）计算： （1）； （2） （3） （4） 14．（6分）如图，在中，，点是延长线上的点，连接．若，，，求的长． 15．（6分）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画线段，使，且点在格点上； （2）在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 16．（6分）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． （1）实数的值为________； （2）在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 17．（6分）已知一个正数的两个不同平方根分别是和． （1）求的值； （2）若为的算术平方根，为的立方根，求的立方根． 18．（6分）如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求课桌的高度； （2）在图中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 19．（8分）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： （1）请仿照上例化简：__________，__________． （2）请运用上述方法化简．（写出计算过程） （3）若，且、、均为整数，求的值． 20．（8分）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． （1）请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为____________； （2）请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数____________； （3）若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 21．（8分）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略． （1）【初步探究】如图，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．观察图形可发现，用两种不同的方式表示大正方形的面积即可完成勾股定理的证明．请你结合图形尝试证明：； （2）【结论运用】如图，已知是直角三角形，．若，的长比的长大，求的长； （3）【应用拓展】学校校内有一块如图所示的三角形花圃，其中米，米，米，计划在这块花圃中起一道栅栏，将其分隔成两块花圃，并使得栅栏与三角形边互相垂直，预计栅栏每米的造价为元，学校修建这道栅栏需要投资多少元？ 22．（8分）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，和，为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． （1）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； （2）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 23．（10分）在矩形纸片中，，． （1）如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长； （2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长； （3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点），请直接写出的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $