第二十五章 一元二次方程单元测试卷 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章 一元二次方程单元测试卷 时间：90分钟 满分：100分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程3x2﹣2x＝1的常数项是（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．﹣1 2．若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（　　） A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3 3．若x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 4．一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 5．用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11＝0时，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝5 B．（x+4）2＝5 C．（x﹣4）2＝27 D．（x+4）2＝27 6．已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 7．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床症状以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形边长和圆的直径，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+3）2﹣x2＝32 D． 9．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．4 10．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+kb+4＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．一元二次方程（x+2）2＝2x+1化为一般式为______________ ． 12．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，设有x人参加这次聚会，则列出方程是 ____________________ ． 13．已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为_____ ． 14．已知方程：x2﹣5x﹣36＝0的两根为m、n，则代数式m2﹣4m+n的值为_______ ． 15．把关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0称为“同构二次方程”．比如2（x﹣2）2﹣4＝0与3（x﹣2）2﹣4＝0就是“同构二次方程”．已知两个关于x的一元二次方程2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同构二次方程”，则a﹣b＝_______ ． 三．解答题（共6小题，共55分） 16．（6分）解方程： （1）2x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 17．（8分）如图，某小区计划用18m的铁栅栏，再借助两面外墙（墙足够长）围成一个矩形车棚ABCD，为了方便存车，在CD（CD＞2）边上开了一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当车棚的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为96m2的车棚？ 18．（8分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和4.84万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递0.4万件，那么该公司现有10名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 19．（10分）已知关于x的方程x2﹣4kx+4k2﹣1＝0． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两个实数根x1，x2，且满足2x1＝x2（x1＜x2），求k的值． 20．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加 _______ 件，每件商品，盈利 ___________ 元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 21．（13分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m+2，n＝1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由． 第二十五章 一元二次方程单元测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．解：3x2﹣2x＝1， 移项，化为一般形式为：3x2﹣2x﹣1＝0， 则常数项是﹣1． 故选：D． 2．解：∵关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程， ∴3﹣a≠0， 解得a≠3． 故选：B． 3．解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a＝0的一个解， ∴22+2a﹣a＝0， ∴4+a＝0， ∴a＝﹣4． 故选：D． 4．解：由题意，∵x2﹣x+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0， ∴原方程无实数根． 故选：C． 5．解：x2﹣8x＝11， x2﹣8x+16＝27， 所以（x﹣4）2＝27， 故选：C． 6．解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1． ∴2 故选：D． 7．解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 8．解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：π（3）2﹣x2＝72． 故选：B． 9．解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴m2﹣3m﹣1＝0， ∴m2﹣3m＝1， ∴2m2﹣6m＝2（m2﹣3m）＝2×1＝2， 故选：B． 10．解：由条件可知Δ＝42﹣4（kb+4）＞0， 解得kb＜0， A．由函数图象可得k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．由函数图象可得k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．由函数图象可得k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．由函数图象可得k＜0，b＝0，即kb＝0，故D不正确． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．解：（x+2）2＝2x+1， 展开完全平方得x2+4x+4＝2x+1， 移项、合并同类项得x2+2x+3＝0． 故答案为：x2+2x+3＝0． 12．解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）． 根据题意，得15． 故答案为：15． 13．解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 14．解：由条件可知m2﹣5m﹣36＝0， 即 m2﹣5m＝36， 由根与系数的关系可知m+n＝5， ∴m2﹣4m+n＝（m2﹣5m）+（m+n）＝36+5＝41． 故答案为：41． 15．解：∵关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0称为“同构二次方程”，2（x﹣1）2﹣1＝0与（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0是“同构二次方程”， ∴方程（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝0可化为方程（a+1）（x﹣1）2﹣1＝0， ∴（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝（a+1）（x﹣1）2﹣1， ∴（a+1）x2+（b﹣2）x﹣2＝（a+1）x2﹣2（a+1）x+（a+1）﹣1， ∴， 解得：， a﹣b＝﹣2﹣4＝﹣6． 故答案为：﹣6． 三．解答题（共6小题） 16．解：（1）2x2﹣2x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 则x， 即x1，x2； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6， 整理得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， 即（x﹣2）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝2，x2＝5． 17．解：设AB＝x米，则BC＝（18+2﹣x）米， 根据题意得：x（18+2﹣x）＝96， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， 当x＝8时，18+2﹣x＝18+2﹣8＝12（米）； 当x＝12时，18+2﹣x＝18+2﹣12＝8（米）． 答：当车棚的长为12米，宽为8米时，能围成一个面积为96m2的车棚． 18．解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得 4（1+x）2＝4.84 解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意舍去）． 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%； （2）∵今年6月份的快递投递任务是4.84×（1+10%）＝5.324（万件）， ∴10名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.4×10＝4＜5.324， ∴该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务： ∵平均每人每月最多可投递0.4万件， ∴需要增加业务员（5.324﹣4）÷0.4＝3.31≈4（人）， 即该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加4名业务员． 19．（1）证明：∵Δ＝[﹣4k]2﹣4×1×（4k2﹣1）＝16k2﹣16k2+4＝4＞0， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意，x1+x2＝4k，x1x2＝4k2﹣1， ∵2x1＝x2， ∴3x1＝4k， ∴x1k， ∴x2k， ∴x1x2kk＝4k2﹣1， 解得k＝±， 当k时，x12，x2＝2x1＝4，满足x1＜x2， 当k时，x1（﹣）2，x2＝2x1＝﹣4，不满足x1＜x2， ∴k． 20．解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）． 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元． （2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元． 故答案为：2x；（50﹣x）． （3）根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000， 整理，得：x2﹣35x+250＝0， 解得：x1＝10，x2＝25， ∵商城要尽快减少库存， ∴x＝25． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 21．解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数， ∴x≥0且x≠1， 又∵x0，且1， ∴解得k≥﹣1且k≠1， 又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0中2﹣k≠0， ∴k≠2， 综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2； （2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0有两个整数根x1、x2，且k＝m+2，n＝1时， ∴把k＝m+2，n＝1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）＝0，即：mx2﹣3mx+m﹣1＝0， ∴△≥0，即Δ＝（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴Δ＝9m2﹣4m（m﹣1）＝m（5m+4）≥0， 则m＞0或m； ∵x1、x2是整数，k、m都是整数， ∵x1+x2＝3，x1•x21， ∴1为整数， ∴m＝1或﹣1， 由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1 ∴把m＝1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1＝0得：x2﹣3x+1﹣1＝0， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x1＝0，x2＝3； （3）|m|≤2成立，理由是： 由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k＝﹣1， （2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0且方程有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2m，x1x2n， x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k）， x1kx2k＝x1x2﹣x1k﹣x2k+k2， x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝k2， （x1+x2）2﹣3x1x2＝k2， （﹣m）2﹣3n＝（﹣1）2， m2﹣4n＝1，n①， Δ＝（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n＝9m2﹣48n≥0②， 把①代入②得：9m2﹣480， m2≤4， 则|m|≤2， ∴|m|≤2成立． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/13 23:00:31；用户：高凌；邮箱：yyhyzx20@xyh.com；学号：23684392 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $