第二十五章 一元二次方程 单元测试卷2026～2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十五章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）解方程5x2﹣9x+1＝0最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 【答案】C 【解答】解：由5x2﹣9x+1＝0的特点可知，求根公式法最适当，故选：C． （来源：2025春•重庆校级月考） 2．（3分）一元二次方程x2+6x﹣7＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【解答】解：∵a＝1，b＝6，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×（﹣7）＝64＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B． （来源：2026秋•清水县校级月考） 3．（3分）若代数式x2﹣6x+5的值是12，则x的值为（　　） A．7或﹣1 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：x2﹣6x+5＝12x2﹣6x+5﹣12＝0x2﹣6x﹣7＝0∴x=解得：x1＝﹣1，x2＝7故选：A． （来源：2021秋•娄星区校级月考） 4．（3分）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【答案】A 【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0，故选：A． （来源：2024秋•高陵区期末） 5．（3分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 【答案】B 【解答】解：设AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′＝xcm，则阴影部分的底长为xcm，高A′D＝（2﹣x）cm∴x•（2﹣x）＝1∴x＝1即AA′＝1cm．故选：B． （来源：2020•望花区模拟） 6．（3分）定义新运算a⊗b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3⊗4＝3×42﹣3×4﹣1，已知关于x的方程m⊗x＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．4 【答案】B 【解答】解：由m⊗x＝0得：mx2﹣mx﹣1＝0，由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝m2+4m＝0，且m≠0，解得：m＝﹣4，故选：B． （来源：2026•宝丰县二模） 7．（3分）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．4 C．2 D．5 【答案】A 【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD==，故选：A． （来源：2021•潍坊） 8．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（　　） A．10cm B．12 cm C．16cm D．12cm或16cm 【答案】C 【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，即AB＝3或4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，故选：C． （来源：2021•襄阳模拟） 9．（3分）方程x2+6x+9＝0的解为 ． 【答案】见解析 【解答】解：∵x2+6x+9＝0，∴（x+3）2＝0，∴x1＝x2＝﹣3． （来源：2023春•淮安区校级期末） 10．（3分）多项式a2+4a﹣10的值等于11，则a的值为 ． 【答案】﹣7或3 【解答】解：∵多项式a2+4a﹣10的值等于11，∴a2+4a﹣10＝11，a2+4a﹣21＝0，（a﹣3）（a+7）＝0，a﹣3＝2或a+7＝0，解得：a＝﹣7或a＝3，故答案为：﹣7或3． （来源：2024秋•中山市月考） 11．（3分）把方程（x﹣1）（x+7）＝16﹣x2化为一般形式后，它的一次项系数为 ． 【答案】6 【解答】解：（x﹣1）（x+7）＝16﹣x2化为一般形式是2x2+6x﹣23＝0，其中一次项系数是6，故答案为：6． （来源：2024春•济宁期末） 12．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 ． 【答案】x2﹣x﹣1＝0 【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝2x﹣5，整理，得：x2﹣x﹣1＝0，故答案为：x2﹣x﹣1＝0． （来源：2024秋•济宁期中） 13．（3分）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝ ． 【答案】0 【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x﹣5＝0是一元二次方程，∴，解得m＝0．故答案为：0． （来源：2025•青岛模拟） 14．（3分）一元二次方程3（x﹣1）2＝5（x+2）的一般形式为 ． 【答案】3x2﹣11x﹣7＝0 【解答】解：3（x﹣1）2＝5（x+2），3（x2﹣2x+1）＝5x+10，3x2﹣6x+3＝5x+10，3x2﹣11x﹣7＝0．故答案为：3x2﹣11x﹣7＝0． （来源：2024秋•埇桥区校级期中） 15．（3分）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 ． 【答案】1m 【解答】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224，整理得：x2﹣24x+23＝0，解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去），即图中x的值为1m，故答案为：1m． （来源：2023秋•安州区期末） 16．（3分）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则= 【答案】-12 【解答】解：∵方程有实根，∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b=-，所以=-．故答案为-． （来源：2020•黄州区校级模拟） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1-． （来源：2023•宽城区模拟） 18．（6分）解方程：x2﹣3x+1＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣3x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x1=，x2=． （来源：2021•饶平县校级模拟） 19．（6分）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0． （1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？ 【答案】见解析 【解答】解：（1）根据题意，m2﹣4≠0，解得：m≠±2，当m≠±2时，该方程是一元二次方程；（2）根据题意，m2﹣4＝0且m+2≠0，解得：m＝2，故当m＝2时，该方程是一元一次方程． （来源：2024秋•龙华区月考） 20．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）该方程是“联合方程”，理由如下：在一元二次方程2x2+9x+7＝0中，a＝2，b＝9，c＝7，∵a﹣b+c＝2﹣9+7＝0，∴一元二次方程2x2+9x+7＝0是“联合方程”；（2）由条件可知3﹣（﹣m）+n＝0，∵﹣2是此“联合方程”的一个根，∴3×（﹣2）2﹣m×（﹣2）+n＝0，即，解得，∴m的值为﹣9，n的值为6． （来源：2025秋•杜尔伯特县期末） 21．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”． （1）下面方程是“完美方程”的是 ．（填序号）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0． （2）已知3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值． 【答案】③ 【解答】解：（1）①x2﹣4x+3＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴a+c＝4≠b，则方程x2﹣4x+3＝0不是“完美方程”；②2x2+x+3＝0，∵a＝2，b＝1，c＝3，∴a+c＝5≠b，则方程2x2+x+3＝0不是“完美方程”； ③2x2﹣x﹣3＝0，∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3，∴a+c＝b，则方程2x2﹣x﹣3＝0是“完美方程”；故答案为：③．（2）∵3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，∴m＝3+n，∴n＝m﹣3，∴原方程为3x2+mx+m﹣3＝0．∵m是此“完美方程”的一个根，∴3m2+m2+m﹣3＝0，即4m2+m﹣3＝0，解得：m＝﹣1或m=． （来源：2023秋•东莞市期中） 22．（6分）根据以下素材，探索完成任务素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝100米，BC＝160米．准备在它的四周铺设道路，上下两条纵向道路宽度都为2x米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是13552m2，则路面设置的宽度是否符合要求．任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润＝总销售额﹣收购总成本﹣冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【答案】见解析 【解答】解：（1）依题意得：（100﹣4x）（160﹣2x）＝13552，整理得：x2﹣105x+306＝0，解得：x1＝3，x2＝102（2.5≤x≤6，不符合题意，舍去），答：小路的宽为3米符合要求；（2）设草莓存放了m天，依题意得：（8+0.4m）（1000﹣10m）﹣8000﹣200m＝800，整理得：m2﹣30m+200＝0，解得，m1＝10，m2＝20（超出最大保存期限，不合题意，舍去），答：在第10天出售． （来源：2026春•蜀山区校级期末） 23．（8分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵矩形花圃，设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，篱笆长80m，围成的矩形面积为Sm2，∴AB+BC+CD＝80m，AB＝CD＝xm，BC＝ym，∴x+y+x＝80，∴y＝80﹣2x，∵墙长42m，∴0＜80﹣2x≤42，解得：19≤x＜40，∴y＝80﹣2x（19≤x＜40）；又∵矩形面积S＝BC•AB＝y•x＝（80﹣2x）x＝﹣2x2+80x；（2）围成的矩形花圃面积能为750m2；理由如下：当S＝750时，得：﹣2x2+80x＝750，整理得：x2﹣40x+375＝0，此时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×375＝1600﹣1500＝100＞0，∴一元二次方程x2﹣40x+375＝0有两个不相等的实数根，∴围成的矩形花圃面积能为750m2；∴x=，解得：x1＝25，x2＝15，∵19≤x＜40，∴x＝25；（3）∵S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，且﹣2＜0，∴S有最大值，又∵19≤x＜40，∴当x＝20时，S取得最大值，此时S＝800，即当x＝20时，S的最大值为800． （来源：2025秋•湄潭县期末） 24．（8分）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】见解析 【解答】解：（1）若x＝2，则DE＝2，∴S△AEF=AE×AF＝2，S△DEG=DG×DE=×1×2＝1，∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝16-×4﹣2+×1＝13．∴所需费用为：20×2+20×1+10×13＝190（元）；（2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．∴S△AEF=AE×AF=x2，S△DEG=DG×DE=×1×（4﹣x）＝2-x，∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝16-x2﹣2+x=-x2+x+14，（3）根据题意得4×[20×x2+20×（2-x）+10×（-x2+x+14）]＝715，整理得4x2﹣4x+1＝0，解得x1＝x2=．答：当AE＝AF=米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． （来源：2025秋•榕城区期末） 25．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长． （1）m取何值时，方程有两个正实数根． （2）当矩形的对角线长为时，求m的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，∵关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，∴△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，a+b＝m+1＞0，ab=m2+1＞0，解得m＞﹣1，∴m≥时，方程有两个正实数根；（2）∵矩形的对角线长为，∴a2+b2＝（）2，∴（a+b）2﹣2ab＝5，∴（m+1）2﹣2（m2+1）＝5，即m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥，∴m＝2，所以当矩形的对角线长为时，m的值为2． （来源：2021•成都自主招生） 26．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】见解析 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． （来源：2025春•宿迁校级期末） 27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，∴AB＝8．∴BQ＝x，PB＝8﹣2x；（2）由题意，得8﹣2x＝x，∴x=．∴当x=时，△PBQ为等腰三角形；（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2，则×6×8-x(8-2x)=20，解得x1＝x2＝2．假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC的面积等于20cm2． （来源：2026春•合肥校级期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十五章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）解方程5x2﹣9x+1＝0最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 2．（3分）一元二次方程x2+6x﹣7＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（3分）若代数式x2﹣6x+5的值是12，则x的值为（　　） A．7或﹣1 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．不能确定 4．（3分）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 5．（3分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 6．（3分）定义新运算a⊗b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3⊗4＝3×42﹣3×4﹣1，已知关于x的方程m⊗x＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．4 7．（3分）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．4 C．2 D．5 8．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（　　） A．10cm B．12 cm C．16cm D．12cm或16cm 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）方程x2+6x+9＝0的解为 　　　　 ． 10．（3分）多项式a2+4a﹣10的值等于11，则a的值为 　　　　 ． 11．（3分）把方程（x﹣1）（x+7）＝16﹣x2化为一般形式后，它的一次项系数为 　　　　 ． 12．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 　　　　 ． 13．（3分）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　　　　 ． 14．（3分）一元二次方程3（x﹣1）2＝5（x+2）的一般形式为 　　　　 ． 15．（3分）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　　　　 ． 16．（3分）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则=　　　　 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17． （6分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0． 18． （6分）解方程：x2﹣3x+1＝0． 19．（6分）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0． （1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？ 20．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 21．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”． （1）下面方程是“完美方程”的是 　　　　 ．（填序号）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0． （2）已知3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值． 22．（6分）根据以下素材，探索完成任务素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝100米，BC＝160米．准备在它的四周铺设道路，上下两条纵向道路宽度都为2x米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1） 若中间部分种植面积是13552m2，则路面设置的宽度是否符合要求．任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润＝总销售额﹣收购总成本﹣冷库总费用） （2） 该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 23．（8分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 24．（8分）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 25．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长． （1）m取何值时，方程有两个正实数根． （2）当矩形的对角线长为时，求m的值． 26．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十五章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十五章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）解方程5x2﹣9x+1＝0最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 【答案】C 【解答】解：由5x2﹣9x+1＝0的特点可知，求根公式法最适当，故选：C． （来源：2025春•重庆校级月考） 2．（3分）一元二次方程x2+6x﹣7＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【解答】解：∵a＝1，b＝6，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝62﹣4×1×（﹣7）＝64＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：B． （来源：2026秋•清水县校级月考） 3．（3分）若代数式x2﹣6x+5的值是12，则x的值为（　　） A．7或﹣1 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：x2﹣6x+5＝12x2﹣6x+5﹣12＝0x2﹣6x﹣7＝0∴x=解得：x1＝﹣1，x2＝7故选：A． （来源：2021秋•娄星区校级月考） 4．（3分）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【答案】A 【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0，故选：A． （来源：2024秋•高陵区期末） 5．（3分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 【答案】B 【解答】解：设AC交A′B′于H，∵∠A＝45°，∠D＝90°∴△A′HA是等腰直角三角形设AA′＝xcm，则阴影部分的底长为xcm，高A′D＝（2﹣x）cm∴x•（2﹣x）＝1∴x＝1即AA′＝1cm．故选：B． （来源：2020•望花区模拟） 6．（3分）定义新运算a⊗b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3⊗4＝3×42﹣3×4﹣1，已知关于x的方程m⊗x＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．4 【答案】B 【解答】解：由m⊗x＝0得：mx2﹣mx﹣1＝0，由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝m2+4m＝0，且m≠0，解得：m＝﹣4，故选：B． （来源：2026•宝丰县二模） 7．（3分）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．4 C．2 D．5 【答案】A 【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD==，故选：A． （来源：2021•潍坊） 8．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（　　） A．10cm B．12 cm C．16cm D．12cm或16cm 【答案】C 【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，即AB＝3或4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，故选：C． （来源：2021•襄阳模拟） 9．（3分）方程x2+6x+9＝0的解为 ． 【答案】见解析 【解答】解：∵x2+6x+9＝0，∴（x+3）2＝0，∴x1＝x2＝﹣3． （来源：2023春•淮安区校级期末） 10．（3分）多项式a2+4a﹣10的值等于11，则a的值为 ． 【答案】﹣7或3 【解答】解：∵多项式a2+4a﹣10的值等于11，∴a2+4a﹣10＝11，a2+4a﹣21＝0，（a﹣3）（a+7）＝0，a﹣3＝2或a+7＝0，解得：a＝﹣7或a＝3，故答案为：﹣7或3． （来源：2024秋•中山市月考） 11．（3分）把方程（x﹣1）（x+7）＝16﹣x2化为一般形式后，它的一次项系数为 ． 【答案】6 【解答】解：（x﹣1）（x+7）＝16﹣x2化为一般形式是2x2+6x﹣23＝0，其中一次项系数是6，故答案为：6． （来源：2024春•济宁期末） 12．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 ． 【答案】x2﹣x﹣1＝0 【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝2x﹣5，整理，得：x2﹣x﹣1＝0，故答案为：x2﹣x﹣1＝0． （来源：2024秋•济宁期中） 13．（3分）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝ ． 【答案】0 【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x﹣5＝0是一元二次方程，∴，解得m＝0．故答案为：0． （来源：2025•青岛模拟） 14．（3分）一元二次方程3（x﹣1）2＝5（x+2）的一般形式为 ． 【答案】3x2﹣11x﹣7＝0 【解答】解：3（x﹣1）2＝5（x+2），3（x2﹣2x+1）＝5x+10，3x2﹣6x+3＝5x+10，3x2﹣11x﹣7＝0．故答案为：3x2﹣11x﹣7＝0． （来源：2024秋•埇桥区校级期中） 15．（3分）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 ． 【答案】1m 【解答】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224，整理得：x2﹣24x+23＝0，解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去），即图中x的值为1m，故答案为：1m． （来源：2023秋•安州区期末） 16．（3分）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则= 【答案】-12 【解答】解：∵方程有实根，∴△≥0，即Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b=-，所以=-．故答案为-． （来源：2020•黄州区校级模拟） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1-． （来源：2023•宽城区模拟） 18．（6分）解方程：x2﹣3x+1＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣3x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x1=，x2=． （来源：2021•饶平县校级模拟） 19．（6分）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0． （1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？ 【答案】见解析 【解答】解：（1）根据题意，m2﹣4≠0，解得：m≠±2，当m≠±2时，该方程是一元二次方程；（2）根据题意，m2﹣4＝0且m+2≠0，解得：m＝2，故当m＝2时，该方程是一元一次方程． （来源：2024秋•龙华区月考） 20．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）该方程是“联合方程”，理由如下：在一元二次方程2x2+9x+7＝0中，a＝2，b＝9，c＝7，∵a﹣b+c＝2﹣9+7＝0，∴一元二次方程2x2+9x+7＝0是“联合方程”；（2）由条件可知3﹣（﹣m）+n＝0，∵﹣2是此“联合方程”的一个根，∴3×（﹣2）2﹣m×（﹣2）+n＝0，即，解得，∴m的值为﹣9，n的值为6． （来源：2025秋•杜尔伯特县期末） 21．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”． （1）下面方程是“完美方程”的是 ．（填序号）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0． （2）已知3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值． 【答案】③ 【解答】解：（1）①x2﹣4x+3＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴a+c＝4≠b，则方程x2﹣4x+3＝0不是“完美方程”；②2x2+x+3＝0，∵a＝2，b＝1，c＝3，∴a+c＝5≠b，则方程2x2+x+3＝0不是“完美方程”； ③2x2﹣x﹣3＝0，∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3，∴a+c＝b，则方程2x2﹣x﹣3＝0是“完美方程”；故答案为：③．（2）∵3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，∴m＝3+n，∴n＝m﹣3，∴原方程为3x2+mx+m﹣3＝0．∵m是此“完美方程”的一个根，∴3m2+m2+m﹣3＝0，即4m2+m﹣3＝0，解得：m＝﹣1或m=． （来源：2023秋•东莞市期中） 22．（6分）根据以下素材，探索完成任务素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝100米，BC＝160米．准备在它的四周铺设道路，上下两条纵向道路宽度都为2x米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是13552m2，则路面设置的宽度是否符合要求．任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润＝总销售额﹣收购总成本﹣冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 【答案】见解析 【解答】解：（1）依题意得：（100﹣4x）（160﹣2x）＝13552，整理得：x2﹣105x+306＝0，解得：x1＝3，x2＝102（2.5≤x≤6，不符合题意，舍去），答：小路的宽为3米符合要求；（2）设草莓存放了m天，依题意得：（8+0.4m）（1000﹣10m）﹣8000﹣200m＝800，整理得：m2﹣30m+200＝0，解得，m1＝10，m2＝20（超出最大保存期限，不合题意，舍去），答：在第10天出售． （来源：2026春•蜀山区校级期末） 23．（8分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵矩形花圃，设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，篱笆长80m，围成的矩形面积为Sm2，∴AB+BC+CD＝80m，AB＝CD＝xm，BC＝ym，∴x+y+x＝80，∴y＝80﹣2x，∵墙长42m，∴0＜80﹣2x≤42，解得：19≤x＜40，∴y＝80﹣2x（19≤x＜40）；又∵矩形面积S＝BC•AB＝y•x＝（80﹣2x）x＝﹣2x2+80x；（2）围成的矩形花圃面积能为750m2；理由如下：当S＝750时，得：﹣2x2+80x＝750，整理得：x2﹣40x+375＝0，此时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×375＝1600﹣1500＝100＞0，∴一元二次方程x2﹣40x+375＝0有两个不相等的实数根，∴围成的矩形花圃面积能为750m2；∴x=，解得：x1＝25，x2＝15，∵19≤x＜40，∴x＝25；（3）∵S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，且﹣2＜0，∴S有最大值，又∵19≤x＜40，∴当x＝20时，S取得最大值，此时S＝800，即当x＝20时，S的最大值为800． （来源：2025秋•湄潭县期末） 24．（8分）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】见解析 【解答】解：（1）若x＝2，则DE＝2，∴S△AEF=AE×AF＝2，S△DEG=DG×DE=×1×2＝1，∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝16-×4﹣2+×1＝13．∴所需费用为：20×2+20×1+10×13＝190（元）；（2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米．∴S△AEF=AE×AF=x2，S△DEG=DG×DE=×1×（4﹣x）＝2-x，∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝16-x2﹣2+x=-x2+x+14，（3）根据题意得4×[20×x2+20×（2-x）+10×（-x2+x+14）]＝715，整理得4x2﹣4x+1＝0，解得x1＝x2=．答：当AE＝AF=米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． （来源：2025秋•榕城区期末） 25．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长． （1）m取何值时，方程有两个正实数根． （2）当矩形的对角线长为时，求m的值． 【答案】见解析 【解答】解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，∵关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+m2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，∴△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，a+b＝m+1＞0，ab=m2+1＞0，解得m＞﹣1，∴m≥时，方程有两个正实数根；（2）∵矩形的对角线长为，∴a2+b2＝（）2，∴（a+b）2﹣2ab＝5，∴（m+1）2﹣2（m2+1）＝5，即m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，∵m≥，∴m＝2，所以当矩形的对角线长为时，m的值为2． （来源：2021•成都自主招生） 26．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】见解析 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． （来源：2025春•宿迁校级期末） 27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，∴AB＝8．∴BQ＝x，PB＝8﹣2x；（2）由题意，得8﹣2x＝x，∴x=．∴当x=时，△PBQ为等腰三角形；（3）假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2，则×6×8-x(8-2x)=20，解得x1＝x2＝2．假设成立，所以当x＝2时，四边形APQC的面积等于20cm2． （来源：2026春•合肥校级期中） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十五章 一元二次方程 单元测试卷（2026~2027学年） 第二十五章 一元二次方程 单元测试卷 人教版（2024）九上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）解方程5x2﹣9x+1＝0最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 2．（3分）一元二次方程x2+6x﹣7＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（3分）若代数式x2﹣6x+5的值是12，则x的值为（　　） A．7或﹣1 B．1或﹣5 C．﹣1或﹣5 D．不能确定 4．（3分）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 5．（3分）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 6．（3分）定义新运算a⊗b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3⊗4＝3×42﹣3×4﹣1，已知关于x的方程m⊗x＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．4 7．（3分）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　） A． B．4 C．2 D．5 8．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长等于（　　） A．10cm B．12 cm C．16cm D．12cm或16cm 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）方程x2+6x+9＝0的解为 　　　　 ． 10．（3分）多项式a2+4a﹣10的值等于11，则a的值为 　　　　 ． 11．（3分）把方程（x﹣1）（x+7）＝16﹣x2化为一般形式后，它的一次项系数为 　　　　 ． 12．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 　　　　 ． 13．（3分）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　　　　 ． 14．（3分）一元二次方程3（x﹣1）2＝5（x+2）的一般形式为 　　　　 ． 15．（3分）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　　　　 ． 16．（3分）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则=　　　　 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17． （6分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0． 18． （6分）解方程：x2﹣3x+1＝0． 19．（6分）已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0． （1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？（2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？ 20．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足a﹣b+c＝0，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程2x2+9x+7＝0是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“联合方程”，若﹣2是此“联合方程”的一个根，求m和n的值． 21．（6分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”． （1）下面方程是“完美方程”的是 　　　　 ．（填序号） ①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0． （2）已知3x2+mx+n＝0是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值． 22．（6分）根据以下素材，探索完成任务素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝100米，BC＝160米．准备在它的四周铺设道路，上下两条纵向道路宽度都为2x米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是13552m2，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润＝总销售额﹣收购总成本﹣冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 23．（8分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 24．（8分）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 25．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长． （1）m取何值时，方程有两个正实数根． （2）当矩形的对角线长为时，求m的值． 26．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 / 共 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