第52讲 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质及轨迹方程、离心率等题型，按“基础回顾-题型突破-真题演练”逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导和例题精讲，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 讲义以题型分类为特色，针对离心率等高频考点设计“方程法”“定义法”等突破策略，如通过焦点三角形边角关系培养数学思维，结合真题训练提升运算能力与模型意识。分层例题与即时反馈设计，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第52讲 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质 题型一 利用双曲线的定义求轨迹方程 2 题型二 双曲线的标准方程 10 题型三 双曲线的实轴、虚轴、焦距 14 题型四 双曲线的渐近线 19 题型五 双曲线的离心率 23 题型六 利用双曲线定义求距离和差最值 32 【真题回顾】 39 【基础回顾】 知识点1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 知识点2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【必备知识】 1．双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b，顶点到两条渐近线的距离为常数． 2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． 3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a． 4．离心率e＝＝＝． 5．双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形． (1)△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a； (2)设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－，S△PF1F2＝r1r2sinθ＝·b2＝． 题型一 利用双曲线的定义求轨迹方程 利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 提示：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 【例题精讲】 1．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 2．（2026·河南·一模）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，延长交于点，分析可知，且为的中点，再利用双曲线的定义可得结果. 【详解】易知点不在轴上，由知动点在单位圆上， 设点在轴右侧，如图，延长交于点． 因为点在的平分线上，且， 所以为等腰三角形，则，且为的中点，所以， 因此． 同理，当点在轴左侧时，． 故点在以、为焦点的双曲线上， 则该双曲线实轴长为，焦距，虚轴长为， 所以双曲线方程为． 4．（25-26高三·天津·二轮复习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以. 已知，， 根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得. 对于直线的方程，可得. 所以，或， 又因为，所以，即. 故选：D. 5．（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对点的位置进行分类讨论，推导出，可知点的轨迹为双曲线，求出、的值，即可得出点的轨迹方程. 【详解】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 6．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知点到直线和的距离之积为3，记的轨迹为曲线，则（   ） A．是两条互相垂直的直线 B．是焦点在轴上的椭圆 C．是离心率为2的双曲线 D．上的点与原点之间的距离不小于2 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式，结合已知条件，得到轨迹方程，对各选项分析即可. 【详解】设点，由题意知，即， 故点的轨迹为和， 这两个方程分别表示焦点在轴和轴上的双曲线，离心率分别为和2，故A，B，C均错误； 因为双曲线上的点到原点的距离不小于双曲线的顶点到原点的距离， 两个双曲线的顶点坐标分别为和，所以C上的点与原点之间的距离不小于2，D正确． 故选：D． 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 8．（多选）（2026·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，P是异于，两点的动点，若直线，斜率的乘积为定值，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点在某双曲线上 B．当时，面积的最大值为4 C．存在，存在点使得为锐角 D．任意，对任意点都有的斜率小于 【答案】ACD 【分析】设点 ，根据题意得 ，时根据求出的P的轨迹方程可判断A；时，得点在椭圆，当时，取最大，最大，通过计算可判断B、C；当时，则P的轨迹方程为 ，从而，进而得到的范围即可判断D. 【详解】设 ，由题意得 ，即 . 对于A，时，P的轨迹方程为 ，点在双曲线上，故A正确； 对于B，时，P的轨迹方程为 ， 所以点在椭圆，则，仅当时等号成立，所以， ，的最大值为，故B不正确； 对于C，若，令，则P的轨迹方程为 ， 取，则， ，,即为锐角，故C正确； 对于D，若，则P的轨迹方程为 ， 由，得，，即，故D正确. 9．（多选）（2026·安徽合肥·二模）已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（   ） A．点的轨迹方程为 B．当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C．当时， D．过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A：借助垂直平分线性质可得，再利用可得，即可由双曲线定义得到点的轨迹方程；对B：设，可得，再表示出并计算即可得；对C：借助三角形内角和及诱导公式可得，再借助B中所得结合斜率与倾斜角的关系，利用两角和的余弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得；对D：取点关于对称点，可得的轨迹方程，则可得中点的轨迹方程，再利用三角换元法及辅助角公式计算即可得解. 【详解】又：，则，半径， 由为线段的垂直平分线，故， 又为上的任意一点，故， 由，则， 则或，则， 故点的轨迹为以、为焦点，的双曲线， 由、，故，则， 即点的轨迹方程为，故A正确； 对B：设在左侧，由点的轨迹方程为，故、， 设，则有，故， 则，故B错误； 对C：由，故， 则， 即， 由B知，又， ， 故， 即， 则， 即，故C正确； 对D：取点关于对称点，则， 故点的轨迹方程为， 由在上且，则为中点，则有，， 故，，即有， 化简得，故可设，，， 则，其中， 即的最大值为，故D正确. 10．（多选）（2024·安徽·模拟预测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．是的轨迹的一条渐近线 D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 【答案】BC 【分析】对A，设点，，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B，由点的轨迹方程求出焦点坐标可判断；对C，点的轨迹方程求出渐近线方程可判断；对D，点在轴上，过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点不合题意. 【详解】对于A，设点，，则，， 所以，化简得，所以点的轨迹方程为.故A错误； 对于B，由A选项，点的轨迹的焦点为与椭圆共焦点，故B正确； 对于C，点的轨迹对应曲线的渐近线为，故C正确； 对于D，点在轴上，则，， 所以直线，与渐近线平行，但点不在点的轨迹上， 故过点只能作点的轨迹两条切线，如图所示，故D错误. 故选：BC. 题型二 双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程的方法 定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a，2b或2c，从而求得双曲线方程 待定系数法 能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值 焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解 与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0) 【例题精讲】 1．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知点和在双曲线上，则，解得， 故其渐近线方程为． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 3．（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以 4．（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 5．（2026·云南曲靖·一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线即，焦点坐标为，则双曲线的上焦点为， 可设双曲线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为， 所以，，解得， 所以双曲线的标准方程是. 6．（2026·云南昆明·模拟预测）以直线为渐近线且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的渐近线为直线，设该双曲线方程为， 由该双曲线过点，得，解得， 所以所求双曲线方程为，即. 7．（25-26高三上·江西赣州·期末）双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程. 【详解】由题意可得，解得， 故双曲线的方程为. 故选：B. 8．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行，，得. 又双曲线的焦距为，，得. 又，可得. 故双曲线的方程为. 9．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 【答案】 【分析】根据椭圆方程，求出焦点坐标，可得c值，根据离心率公式，可得双曲线中a值，根据关系，求出，即可得答案. 【详解】由题设知椭圆中，则，则焦点为， 所以双曲线中c=1，且焦点在x轴上， 又离心率，解得， 故， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 10．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知双曲线的焦距为，且的渐近线与圆相切，则的方程为________． 【答案】 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，得， 故得，又双曲线C的渐近线方程为， 整理为一般式为，圆的圆心为，半径， 由于的渐近线与圆相切，故圆心到渐近线的距离等于半径， 由点到直线的距离公式可得：，结合，解得， 进而 ，因此双曲线C的标准方程为. 题型三 双曲线的实轴、虚轴、焦距 求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系． 【例题精讲】 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即， 由，代入， 得 ，即， 虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为. 故选项C正确. 2．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 3．（2026·河南·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则C的右焦点到C的两条渐近线距离之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意先求出双曲线方程，然后求出右焦点坐标，利用点到直线的距离公式分别计算右焦点到两条渐近线的距离，然后求和即可. 【详解】由题意，. 双曲线的渐近线方程为，，，. ，，双曲线的右焦点坐标为. 右焦点到渐近线的距离. 右焦点到渐近线的距离. 右焦点到双曲线的两条渐近线距离之和为. 4．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线斜率得到的值，再结合双曲线中的关系计算离心率. 【详解】对于焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为. 由题意可知一条渐近线斜率为，因此，即. 根据双曲线参数的基本关系，将代入得： ， 即. 由离心率定义，代入得 5．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以 ， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 6．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据通径长公式求，再根据直线的斜率和三角形外接圆半径列式，结合双曲线中的关系可求的值，最后双曲线的虚轴长为，可得结论. 【详解】如图： 因为为的中点，为的中点，所以， 根据通径的长度公式，可得. 又因为直线的斜率为，所以，. 由 . 又的外接圆半径为4，所以 . 由 . 所以双曲线的虚轴长为：. 故选：C 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）若双曲线的离心率为，则的虚轴长与焦距之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用离心率得，进而得，即可求解. 【详解】设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为， 由题知，，于是，则. 故选：A. 8．（2026·天津宝坻·三模）双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为，直线过的右顶点，且与一条渐近线平行，以为直径的圆与直线交于M，N两点，则______． 【答案】/ 【详解】由题可知，所以， 又，所以，所以双曲线方程为， 设双曲线的右顶点为，则，双曲线的渐近线方程为， 圆与双曲线都具有对称性，不妨取直线的斜率为， 则直线的方程为：，即， 又，所以，即以为直径的圆半径为，圆心为， 则到直线的距离为，所以. 9．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 【答案】 【分析】根据对称性可得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，则， 而，，由对称性得四边形是平行四边形， 其面积，解得， 设，由的倾斜角为，得，， 于是，即，又，则，解得， 所以的虚轴长为. 10．（2026·河南新乡·三模）已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义和性质，结合的周长得出a，再应用离心率公式计算求解． 【详解】由椭圆的定义 则，， 则的周长为，即得， 且是双曲线的右顶点，所以，即得， 所以椭圆的离心率为. 题型四 双曲线的渐近线 求双曲线渐近线方程的方法 方法一 若双曲线－＝1(a>0，b>0)，令－＝0，得渐近线方程±＝0； 方法二 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为k2＝＝e2－1 提示：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求双曲线的渐近线，再应用点到直线距离及几何法求弦长即可. 【详解】双曲线:的渐近线方程为， 圆，圆心，半径， 因为双曲线、圆的对称性，故取其中一条渐近线， 圆心到的距离， 故所求的弦长为. 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知圆 与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 3．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 4．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 5．（25-26高二下·广东广州·期末）双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意， 不妨设双曲线，，，，，， 则对于，其半焦距为，实半轴为，则； 对于，其半焦距为，实半轴为，则， 所以，又，所以，所以，所以 . 6．（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及双曲线定义列式求解. 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 7．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线过点，的右顶点为，直线与交于两点，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，将直线与联立求解可得 ，利用斜率公式求解即可. 【详解】将点代入，得． 联立，得， 不妨取 ， 又，所以. 8．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 【答案】/2.25 【分析】利用双曲线的渐近线求解. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 由题意知，，，， 所以，即，整理得，解得. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 【答案】 【详解】已知双曲线，则双曲线的两条渐近线方程分别为和， 双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点， 由圆关于轴对称，而双曲线的两条渐近线均关于轴对称， 因此，无论选择哪一条渐近线，其与圆相交所得弦长都相等. 由圆可知，圆心坐标为，半径， 将其中一条渐近线化为一般式：， 则圆心到渐近线的距离， 则弦长. 10．（2026·北京东城·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 【答案】（答案不唯一） 【详解】可知双曲线的渐近线为， 可知双曲线的渐近线为， 当渐近线相同时，可得或，即， 所以数对可以为. 题型五 双曲线的离心率 求双曲线离心率的方法 直接法 求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e 方程法 列出含有a，b，c的齐次方程，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解 【例题精讲】 1．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解. 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 3．（25-26高二下·云南大理·期中）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在双曲线中，虚轴端点和焦点构成等腰三角形，利用等腰三角形底角的正切与顶角余弦的关系（二倍角公式），代入已知的顶角余弦值，解出与的比例即可求得离心率． 【详解】 设，则， 由， 整理得，所以，整理得，所以． 4．（2026·天津滨海新区·三模）设双曲线的左右焦点分别为，取双曲线上一点（在第一象限），点在以为直径的圆上，且，若直线斜率为，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，证明为等腰三角形，得到以及为的中点，结合双曲线的定义得到，又根据是的中位线得到和，最后在中运用余弦定理得到关于的方程，求解即可得离心率. 【详解】因为点在以为直径的圆上，所以，延长交于点， 在中，已知且即平分， 故为等腰三角形，有，且为的中点， 同时根据双曲线的定义以及在第一象限，有， 所以，又因为分别为的中点， 所以且，已知直线斜率为， 则直线的斜率也为，所以，可得， 由可得， 在中，根据余弦定理有， 即， 整理得，于是有，解得. 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得，由几何关系可得，且，利用余弦定理以及勾股定理化简即可求解. 【详解】、为双曲线右支上两点且， 所以， 设，可得， 由于且，所以，且 在直角三角形中，， 在中由余弦定理，， 由可得，即， 化简得，可得 可得， 所以， 化简得，即， 所以， 解得：或（舍去） 所以双曲线的离心率为. 6．（2026·山东东营·模拟预测）已知双曲线（，）的左右顶点分别为A，B，右焦点为F．点是双曲线右支上异于点B的任意一点，直线与直线的交点为Q，若，则双曲线的离心率（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题直接计算的话，计算量比较大，由题意，可利用点取特殊位置（点在双曲线右支上且在第一象限且使得直线垂直于轴），进一步求出各点坐标，根据已知条件，结合双曲线的基本性质和离心率公式，建立关于和的方程，解得，即离心率. 【详解】由题意得，、、，. 因为点是双曲线右支上异于点B的任意一点， 当点在第一象限且直线垂直于轴时，有. ，直线的方程为：. 将代入直线的方程，得，即. 所以，，. ， ， ， 由得， ， ， ， ，化简得，，因为，所以，，即. 【点睛】方法归纳： 双曲线离心率问题可以通过取特殊值（比如：顶点、焦点垂线与曲线的交点）简化运算，再利用几何条件转化为代数方程，再结合双曲线的、、的关系求解. 易错归纳： 计算时容易出错，需要准确代入坐标，利用变形时要避免符号出错，注意利用双曲线的离心率验证所求结果是否符合题意. 7．（2026·山东日照·模拟预测）已知双曲线：（，），圆：与的两条渐近线交于，，，四点，若四边形的面积为，则的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】联立圆与直线方程求出交点坐标，进而表示四边形面积，根据离心率定义即可求解. 【详解】双曲线 ，) 的渐近线方程为， 联立圆与渐近线方程，， 由双曲线的基本关系， ，则， 对应的坐标为， 因此，四个交点的坐标为：，，，， 由于双曲线和圆都关于轴、轴对称，四边形是矩形，其长为，宽为， 矩形面积公式， 因此，，化简得，，则， 将代入上式，， 则， ，， 双曲线的离心率，所以. 8．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______． 【答案】 / 【分析】双曲线上的点到直线距离无最小值时，直线与双曲线的一条渐近线平行，由此确定的值，再计算离心率． 【详解】方程 表示双曲线，故 ，可化为 ， 其渐近线为，直线 即 ， 若点到直线的距离不存在最小值，则直线与双曲线不相交且平行于渐近线， 故，解得 ， 此时双曲线为 ，即 ，离心率 ． 9．（25-26高二下·上海·期末）设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【详解】过 平行于轴的直线，代入双曲线方程得，，因此弦长， 而，所以， 不妨取,，则， 所以，故，即， 而，所以，而，所以， 所以. 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线 与圆相切，切点为，延长交的右支于点，且，则的离心率为_________． 【答案】/ 【分析】取中点为，由题意易得，，，在中由勾股定理列出方程，即可得到，再由解出答案. 【详解】 不妨设点在轴上方，如图所示：取中点为，连接， 因为直线与圆相切，即， 所以在中，， 又 所以，， 由双曲线的定义知： 所以， 在中分别为的中点， 所以为的中位线， 所以，且， 又，所以， 在中，， 所以， 化简得：， 所以双曲线的离心率. 题型六 利用双曲线定义求距离和差最值 【例题精讲】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为 ， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 2．（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2， 由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 令， 得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即， 所以的最小值为． 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离及两点间的距离公式，结合函数单调性逐项确定范围即可． 【详解】对于， 不妨取，右焦点， 设，则，即， ， 在上单调递增， 当， ，故A错误； ， ，，故B错误； 而，， 即的取值范围为，故C正确； 设焦点到渐近线的距离为， ，，故D错误． 4．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以 ， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 5．（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 6．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据直线斜率之积确定点的轨迹方程，然后结合双曲线的定义计算即可. 【详解】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 7．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 8．（多选）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，， 则，解得，于是，双曲线的方程为， 而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确； 双曲线C的渐近线方程为，B正确； ，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得， 即，因此， 当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确； 设点，，则， ，当且仅当时取等号，D错误. 9．（多选）（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（   ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】首先结合焦距求出半焦距，利用双曲线中求解参数，即可得到渐近线方程，判断A、B的正误；再结合直线与双曲线仅有一个公共点的两类情况（与双曲线相切、与渐近线平行），结合点的位置判断C的正误；最后利用双曲线的定义转化所求距离和，结合两点之间线段最短求最值，判断D的正误. 【详解】由可知半焦距，则 ，故A错误； 双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于C，易知不在双曲线及其渐近线上， 当过的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于D， ， 因为在双曲线渐近线的上方， 则， 当且仅当在线段上时，取得等号，故D正确． 10．（多选）（2026·安徽滁州·三模）已知双曲线C：(，)的一条渐近线经过点，左、右焦点分别为，，且，点为的右支上任意一点，则下列结论中正确的是（    ） A．的离心率为 B． C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题意求出即可判断；对于B，结合双曲线的定义即可判断；对于C，分为直线斜率存在和不存在两种情况分别讨论，结合方程解的情况即可判断；对于D，结合双曲线的定义可得，即可判断. 【详解】因为渐近线经过点，， 所以，，结合,解得，，， 所以的离心率为，故A正确； 根据双曲线的定义可知，故B错误； 当过点的直线斜率不存在时，直线为，此时与双曲线只有一个交点， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得， 当时，解得.若，方程无解；若，方程有且只有一解，此时直线方程为； 当时，若方程有且仅有一解， 则，方程无解， 综上所述，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条，故C正确； 由双曲线的定义得， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 【真题回顾】 【例题精讲】 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 2．（2008·山东·高考真题）设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率和长轴长计算得到，，判断曲线为焦点在轴上的双曲线，根据双曲线的定义计算得到答案. 【详解】椭圆的离心率为，，，故， 故椭圆的两个焦点为，， 曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于8，， 故曲线为焦点在轴上的双曲线， ，，，，故双曲线方程为. 故选：A 3．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选：A 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 5．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 6．（多选）（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第52讲 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质 题型一 利用双曲线的定义求轨迹方程 2 题型二 双曲线的标准方程 4 题型三 双曲线的实轴、虚轴、焦距 5 题型四 双曲线的渐近线 6 题型五 双曲线的离心率 8 题型六 利用双曲线定义求距离和差最值 9 【真题回顾】 11 【基础回顾】 知识点1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距． 知识点2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【必备知识】 1．双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b，顶点到两条渐近线的距离为常数． 2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数． 3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a． 4．离心率e＝＝＝． 5．双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形． (1)△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a； (2)设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－，S△PF1F2＝r1r2sinθ＝·b2＝． 题型一 利用双曲线的定义求轨迹方程 利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 提示：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． 【例题精讲】 1．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·一模）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知定点、，平面内两个动点、满足，，且点在的平分线上，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·天津·二轮复习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知点到直线和的距离之积为3，记的轨迹为曲线，则（   ） A．是两条互相垂直的直线 B．是焦点在轴上的椭圆 C．是离心率为2的双曲线 D．上的点与原点之间的距离不小于2 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2026·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，P是异于，两点的动点，若直线，斜率的乘积为定值，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点在某双曲线上 B．当时，面积的最大值为4 C．存在，存在点使得为锐角 D．任意，对任意点都有的斜率小于 9．（多选）（2026·安徽合肥·二模）已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（   ） A．点的轨迹方程为 B．当点不在轴上时，直线与的斜率之积为 C．当时， D．过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为 10．（多选）（2024·安徽·模拟预测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹与椭圆共焦点 C．是的轨迹的一条渐近线 D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点 题型二 双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程的方法 定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a，2b或2c，从而求得双曲线方程 待定系数法 能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值 焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解 与双曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0) 【例题精讲】 1．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西九江·模拟预测）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．5 B．10 C．25 D．50 4．（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·云南曲靖·一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）以直线为渐近线且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·江西赣州·期末）双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 9．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 10．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知双曲线的焦距为，且的渐近线与圆相切，则的方程为________． 题型三 双曲线的实轴、虚轴、焦距 求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系． 【例题精讲】 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京大兴·三模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 3．（2026·河南·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则C的右焦点到C的两条渐近线距离之和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 （    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河南·阶段检测）若双曲线的离心率为，则的虚轴长与焦距之比为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津宝坻·三模）双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为，直线过的右顶点，且与一条渐近线平行，以为直径的圆与直线交于M，N两点，则______． 9．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为______. 10．（2026·河南新乡·三模）已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 题型四 双曲线的渐近线 求双曲线渐近线方程的方法 方法一 若双曲线－＝1(a>0，b>0)，令－＝0，得渐近线方程±＝0； 方法二 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±x的斜率k＝±与离心率e的关系为k2＝＝e2－1 提示：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知圆 与双曲线（，）的渐近线相切，则双曲线的离心率（     ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 4．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东广州·期末）双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线过点，的右顶点为，直线与交于两点，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 10．（2026·北京东城·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 题型五 双曲线的离心率 求双曲线离心率的方法 直接法 求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e 方程法 列出含有a，b，c的齐次方程，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解 【例题精讲】 1．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二下·云南大理·期中）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·天津滨海新区·三模）设双曲线的左右焦点分别为，取双曲线上一点（在第一象限），点在以为直径的圆上，且，若直线斜率为，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 6．（2026·山东东营·模拟预测）已知双曲线（，）的左右顶点分别为A，B，右焦点为F．点是双曲线右支上异于点B的任意一点，直线与直线的交点为Q，若，则双曲线的离心率（     ） A． B．2 C． D．3 7．（2026·山东日照·模拟预测）已知双曲线：（，），圆：与的两条渐近线交于，，，四点，若四边形的面积为，则的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 8．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______． 9．（25-26高二下·上海·期末）设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线 与圆相切，切点为，延长交的右支于点，且，则的离心率为_________． 题型六 利用双曲线定义求距离和差最值 【例题精讲】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 2．（2026·江西赣州·二模）已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 4．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 5．（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 8．（多选）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 9．（多选）（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为的右支上任意一点，点，则（   ） A． B．双曲线的渐近线方程为 C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D．的最小值为 10．（多选）（2026·安徽滁州·三模）已知双曲线C：(，)的一条渐近线经过点，左、右焦点分别为，，且，点为的右支上任意一点，则下列结论中正确的是（    ） A．的离心率为 B． C．过点且与双曲线只有一个公共点的直线有2条 D．的最小值为 【真题回顾】 【例题精讲】 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2008·山东·高考真题）设椭圆的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 6．（多选）（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $