第06讲 双曲线及其性质（16核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦双曲线及其性质，覆盖定义、标准方程、几何性质等高考核心考点，按“定义-方程-性质-应用”逻辑梳理知识体系。通过考情分析明确课标要求，知识归纳夯实基础，16个重难考点结合典例与预测突破瓶颈，分层集训实现基础到真题的系统训练。 资料以“多想少算”为策略，如离心率问题通过构建齐次方程简化运算，焦点三角形面积公式强化几何直观，培养数学思维与运算能力。分层练习与真题实战精准对接高考，助力学生高效掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第06讲 双曲线及其性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 双曲线的定义 知识点2 双曲线的标准方程 知识点3 双曲线的简单几何性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 双曲线的定义及应用 考点10 焦点三角形的问题 考点02 求双曲线的标准方程 考点11 两线段的和与差的最值问题 考点03 方程表示双曲线的充要条件 考点12 双曲线中的最值与范围问题 考点04 双曲线的几何性质（焦距、轴） 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 考点05 双曲线的离心率及范围 考点13 双曲线中的定点定值问题 方法技巧 离心率问题的求解技巧 方法技巧 定点、定值问题的求解策略 考点06 双曲线的渐近线问题 考点14 双曲线中的定直线问题 考点07 直线与双曲线的位置关系 考点15 双曲线中的向量问题 考点08 弦长问题 考点16 双曲线中的新定义问题 考点09 中点弦问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 3.了解双曲线的简单应用． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 双曲线的方程与性质 全国Ⅰ卷T12、全国Ⅱ卷T4、北京卷T3、天津卷T9 全国Ⅰ卷T3、全国Ⅱ卷T11、北京卷T3、天津卷T9 全国Ⅰ卷T12、天津卷T8 直线与双曲线的位置关系 上海卷T20 全国Ⅱ卷T19、北京卷T13、上海卷T20 考情解读 近三年高考双曲线考查频次高，多出现在选择与填空题，整体难度适中。核心考点聚焦于离心率计算、定义与标准方程以及顶点、渐近线等基础几何性质。命题趋势上，试题逐渐反套路，强调知识交汇（如与向量、数列结合），倡导“多想少算”，注重利用图形对称性和平面几何性质优化计算。 备考策略 针对双曲线部分，备考策略应注重夯实基础与提升思维并重。首先，必须牢固掌握双曲线的标准方程、离心率、渐近线等核心概念与几何性质，这是解题的基石，尤其要熟练运用定义处理焦点三角形问题。其次，要强化代数运算与几何性质的结合能力，避免陷入“死算”的误区，学会利用图形的对称性、向量的几何意义以及平面几何定理来简化计算，践行“多想少算”的理念。此外，要重视知识交汇题型的训练，特别是双曲线与向量、数列、不等式等模块的综合应用，提升在陌生情境下的分析与转化能力。最后，建议定期总结错题，梳理常见题型的通法通解，同时关注高考真题中的创新设问，培养灵活选择最优解题策略的能力，以不变应万变． 知识・归纳梳理 知识1 双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线； (3)当a＞c时，集合P是 空集. 知识2 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 知识3 双曲线的几何性质 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1 (－a,0)， A2 (a,0) 顶点坐标： A1 (0，－a)， A2 (0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b； a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的 虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 必记结论 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （3）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （4）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 重难・核心突破 考点01 双曲线的定义及应用 典例1．（25-26高二上·北京·期中）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【考法预测1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【考法预测2】已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·山西大同·一模）已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 考点02 求椭圆的标准方程 典例1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 典例2．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·河南·一模）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 考点03 方程表示双曲线的充要条件 典例1．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【考法预测1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【考法预测2】（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【考法预测3】（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点04 双曲线的几何性质（焦距、轴） 典例1．（2026·广西河池·三模）双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 典例2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【考法预测1】（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·江苏南京·一模）已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【考法预测3（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 考点05 双曲线的离心率及范围 典例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 典例2．（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【考法预测2】（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解双曲线离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用双曲线的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 考点06 双曲线的渐近线问题 典例1．（2026·河北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2026·河南许昌·三模）若直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．4 C． D． 【考法预测1】（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 考点07 直线与双曲线的位置关系 典例1．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，则直线与双曲线的左，右两支都相交的充要条件是（   ） A． B． C．或 D． 典例2．（2026·陕西榆林·三模）已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·云南·模拟预测）若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（   ） A． B．或 C．或 D． 【考法预测2】（多选）（2026·山东临沂·二模）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【考法预测3】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 考点08 弦长问题 典例1．（2026·甘肃金昌·三模）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 典例2．（2026·北京·三模）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）已知与向量平行的直线与双曲线相交于，两点，则的最小值为________． 【考法预测2】（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【考法预测3】已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. 考点09 中点弦问题 典例1．（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 典例2．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（2026·天津河东·二模）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【考法预测2】（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 【考法预测3】（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 考点10 焦点三角形问题 典例1．（多选）（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 【考法预测1】（多选）（2026·河北沧州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 【考法预测2】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．小于 D．的内切圆半径为 【考法预测3】（2026·山东潍坊·三模）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 【考法预测4】（2026·天津河东·三模）是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点A、B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为____________． 考点11 两线段的和与差的最值问题 典例1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【考法预测1】（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（多选）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【考法预测3】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 考点12 椭圆中的最值与范围问题 典例1．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 【考法预测1】（多选）（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【考法预测2】（25-26高二上·上海普陀·期末）已知点、依次为双曲线的左、右焦点，且，，． (1)若，以为法向量的直线经过，求到l的距离； (2)若双曲线上存在点，使得，求实数b的取值范围． 【考法预测3】已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 考点13 双曲线中的定值、定点问题 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解双曲线最值与范围问题，核心策略分为几何法与代数法。 1. 常用思路：若题目涉及焦点、渐近线或距离差，优先利用双曲线定义及平面几何性质（如三角形三边关系、共线特征）求解；若无明显几何特征，则建立目标函数，通过配方法、基本不等式或求导来求最值。 2. 范围突破：重点抓住三个抓手：一是双曲线自身的隐含范围（如 ∣x∣≥a）；二是联立直线与双曲线方程，利用判别式及二次项系数构造不等式；三是利用参数间的等量关系，将多变量转化为单变量求解。 3. 易错提醒：解题切忌盲目硬算。务必注意双曲线左右支对横坐标的限制，同时讨论直线斜率不存在的情况，并在联立方程后检验判别式，以防遗漏关键条件。 典例1．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 典例2．已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. (1)求的方程； (2)若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【考法预测1】设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（   ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【考法预测2】（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【考法预测3】（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 方法技巧 定点、定值问题的求解策略 双曲线定点、定值问题核心在于“动中有静”，常用策略如下： 定点问题：首选“参数法”，即设直线与交点，联立方程利用韦达定理，将几何条件转化为含参等式，令参数系数为零求解。也可先“特殊探路”猜测定点，再作一般性证明。若涉及斜率之和/积为定值，推荐“齐次化”技巧，通过平移坐标系构造齐次式，直接利用韦达定理，大幅简化运算。 定值问题：多用“直接消参法”，引入核心变量表示目标几何量，通过代数化简消去变量得到常数；或采用“先猜后证”，由特殊情况求出定值后，再进行一般性证明。 注意事项：务必讨论直线斜率不存在的情况；联立时须保证判别式 Δ>0Δ>0 ；善用“设而不求”与“整体代换”思想，避免繁琐硬算。 考点14 双曲线中的定直线问题 典例1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【考法预测1】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【考法预测2】已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【考法预测3】已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 考点15 双曲线中的向量问题 典例1．（2026·海南·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 【考法预测1】（25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知双曲线，点，，直线交双曲线于，两点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·山西晋城·三模）如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求实数的值； (3)设，若点满足，求点的轨迹方程． 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； 考点16 双曲线中的新定义问题 典例1．（2026·上海·一模）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； (2)若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 【考法预测1】（2026·云南昆明·模拟预测）曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________． 【考法预测2】（2026·辽宁抚顺·二模）已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为. (1)求C的方程. (2)对于C上的任意两点，定义：. （i）若A，B是C右支上两个不同的点，证明：. （ii）若，，是C右支上三个不同的点，且存在常数t，使得，证明为定值，并求该定值（用t表示）. 拔高・分层集训 基础演练 1．已知，，，动点P满足，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．射线 D．双曲线的一支 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·三模）已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2026·河北·三模）已知双曲线则（   ） A． B．双曲线C的焦距为定值 C．若双曲线C为等轴双曲线，则 D．若双曲线C的渐近线方程为，则 6．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，则下列结论正确的有（    ） A． B．双曲线与双曲线有相同的渐近线 C．双曲线与双曲线有相同的离心率 D．直线与双曲线有且只有一个公共点 7．（多选）（2026·湖南怀化·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到渐近线的距离等于 B．内切圆的圆心在直线上 C．为定值 D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 8．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 9．（2026·湖南长沙·一模）已知双曲线 过点，且焦距为 (1)求双曲线的方程； (2)过定点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的方程. 能力进阶 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 3．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 4．（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·天津·二模）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆（圆心为坐标原点）．记轴上的两个焦点为，在第一象限端点为，若点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（    ） A．的渐近线为 B．的焦距是虚轴长的倍 C．若的焦点到其渐近线的距离为，则 D．若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 7．（多选）（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 8．（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 9．（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 真题实战 1．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 5．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 7．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 9．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 11．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 12．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 14．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 双曲线及其性质 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 双曲线的定义 知识点2 双曲线的标准方程 知识点3 双曲线的简单几何性质 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 双曲线的定义及应用 考点10 焦点三角形的问题 考点02 求双曲线的标准方程 考点11 两线段的和与差的最值问题 考点03 方程表示双曲线的充要条件 考点12 双曲线中的最值与范围问题 考点04 双曲线的几何性质（焦距、轴） 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 考点05 双曲线的离心率及范围 考点13 双曲线中的定点定值问题 方法技巧 离心率问题的求解技巧 方法技巧 定点、定值问题的求解策略 考点06 双曲线的渐近线问题 考点14双曲线中的定直线问题 考点07 直线与双曲线的位置关系 考点15 双曲线中的向量问题 考点08 弦长问题 考点16 双曲线中的新定义问题 考点09 中点弦问题 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 3.了解双曲线的简单应用． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 双曲线的方程与性质 全国Ⅰ卷T12、全国Ⅱ卷T4、北京卷T3、天津卷T9 全国Ⅰ卷T3、全国Ⅱ卷T11、北京卷T3、天津卷T9 全国Ⅰ卷T12、天津卷T8 直线与双曲线的位置关系 上海卷T20 全国Ⅱ卷T19、北京卷T13、上海卷T20 考情解读 近三年高考双曲线考查频次高，多出现在选择与填空题，整体难度适中。核心考点聚焦于离心率计算、定义与标准方程以及顶点、渐近线等基础几何性质。命题趋势上，试题逐渐反套路，强调知识交汇（如与向量、数列结合），倡导“多想少算”，注重利用图形对称性和平面几何性质优化计算。 备考策略 针对双曲线部分，备考策略应注重夯实基础与提升思维并重。首先，必须牢固掌握双曲线的标准方程、离心率、渐近线等核心概念与几何性质，这是解题的基石，尤其要熟练运用定义处理焦点三角形问题。其次，要强化代数运算与几何性质的结合能力，避免陷入“死算”的误区，学会利用图形的对称性、向量的几何意义以及平面几何定理来简化计算，践行“多想少算”的理念。此外，要重视知识交汇题型的训练，特别是双曲线与向量、数列、不等式等模块的综合应用，提升在陌生情境下的分析与转化能力。最后，建议定期总结错题，梳理常见题型的通法通解，同时关注高考真题中的创新设问，培养灵活选择最优解题策略的能力，以不变应万变． 知识・归纳梳理 知识1 双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是 双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是 两条射线； (3)当a＞c时，集合P是 空集. 知识2 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 知识3 双曲线的几何性质 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　　　对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1 (－a,0)， A2 (a,0) 顶点坐标： A1 (0，－a)， A2 (0，a) 渐近线 y＝ ±x y＝ ±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 实轴，它的长|A1A2|＝ 2a；线段B1B2叫做双曲线的 虚轴，它的长|B1B2|＝ 2b； a叫做双曲线的 实半轴长，b叫做双曲线的 虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 必记结论 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （3）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （4）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 重难・核心突破 考点01 双曲线的定义及应用 典例1．（25-26高二上·北京·期中）已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线的一支 D．一条射线 【答案】C 【分析】根据双曲线的概念，判断结果； 【详解】因为，则动点轨迹为双曲线的右支. 故选：C. 【考法预测1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 【考法预测2】已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 【考法预测3】（2026·山西大同·一模）已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线右支上的动点，过作平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角平分线的性质及双曲线的定义得，即可确定轨迹方程，注意范围. 【详解】设点的坐标为，延长与交于点，连接， 因为平分，且，所以，， 又因点是双曲线右支上的动点，所以， 所以，所以，即点在以为圆心，为半径的圆上， 因为当点沿双曲线右支运动到无穷远处时，趋近于双曲线的渐近线， 所以点的轨迹是圆弧，除去点和， 所以方程为. 考点02 求椭圆的标准方程 典例1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 典例2．已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 【考法预测1】动圆过定点，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆与圆的位置关系及双曲线的定义写出动圆圆心的轨迹方程. 【详解】由题设，圆的半径为，则， 所以，点的轨迹是以，为焦点， 所以，的双曲线的左支， 又，则，故， 动圆圆心的轨迹方程为. 【考法预测2】（2026·湖南长沙·三模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 【考法预测3】（2026·河南·一模）已知是一个动点，过点分别作直线，的垂线，垂足分别为，.若的面积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设动点坐标，利用点到直线距离公式表示垂线段长度，结合两直线夹角与三角形面积公式建立方程，化简后得到轨迹方程. 【详解】不妨设， 设动点，直线与的一般式为、， 由点到直线的距离公式，得，. 直线与的夹角为，由， 得与两直线夹角互补，故. 由， 即， 化简得，即. 当时，整理为； 当时，整理为. 因此动点的轨迹方程为或. 考点03 方程表示双曲线的充要条件 典例1．（2026·山西忻州·模拟预测）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程的成立条件列不等式，求解得到实数的取值范围. 【详解】已知方程表示双曲线，则， 解得或. 因此实数的取值范围是. 典例2．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【详解】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 【考法预测1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）“曲线C：（）为双曲线”是“”的（     ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】曲线C：（）为双曲线，则，解得或， m可能取的值，无法推出一定成立，故充分性不成立； 若成立，则，，方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可推出“曲线C为双曲线”成立，故必要性成立， 综上，“曲线C：（）为双曲线”是“”的必要不充分条件. 【考法预测2】（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 【考法预测3】（25-26高三下·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 考点04 双曲线的几何性质（焦距、轴） 典例1．（2026·广西河池·三模）双曲线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得， 所以有，双曲线焦点在轴上， 其中，，则，所以， 所以焦点坐标为. 典例2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】首先判断双曲线的焦点在轴，再由两曲线有共同的焦点得到，即可得解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴， 又椭圆与双曲线有共同的焦点， 所以，所以. 故选：B. 【考法预测1】（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线平行，求得与之间的等量关系，再根据点在曲线上得到与之间的另一个等量关系，解方程组. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为其中一条与直线平行，且直线的斜率为， 所以2，即， 因为双曲线过点，所以，即， ，， 所以双曲线的实轴长． 【考法预测2】（2026·江苏南京·一模）已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由题意可知，得， 因双曲线的渐近线方程为， 即 ​，代入得， 所以（为半焦距），即， 故焦距为. 【考法预测3（2026·广东茂名·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【分析】通过设等轴双曲线的通用方程，代入已知点求出参数，转化为标准方程后计算实轴长. 【详解】由等轴双曲线的性质，设曲线的方程为， 将点代入方程，得， 可得， 因此，双曲线的标准方程为， 可得，即， 因此，实轴长. 考点05 双曲线的离心率及范围 典例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 典例2．（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先根据点到轴，轴的距离之比为得到点横纵坐标的关系，再结合双曲线方程，通过分析得到离心率的取值范围. 【详解】设点，因为点到轴，轴的距离之比为，所以，即. 因为点为双曲线上一动点，将代入双曲线方程可得：，即， 通分可得：，即，因为，所以，即； ，所以，离心率， 因为，故，则，所以，因此，双曲线的离心率范围为. 【考法预测1】（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可得，由几何关系可得，且，利用余弦定理以及勾股定理化简即可求解. 【详解】、为双曲线右支上两点且， 所以， 设，可得， 由于且，所以，且 在直角三角形中，， 在中由余弦定理，， 由可得，即， 化简得，可得 可得， 所以， 化简得，即， 所以， 解得：或（舍去） 所以双曲线的离心率为. 【考法预测2】（2026·甘肃·模拟预测）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，内切圆的面积是内切圆的面积的4倍，则的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分别记和的内切圆为，其半径分别为，则；由双曲线的定义及切线的性质，可得和的内切圆圆心的连线与垂直，且，从而求得，由二倍角的正切公式可求得，即直线的斜率，与渐近线斜率比较，并结合，求得关系式，进而得到离心率的取值范围. 【详解】设双曲线的焦距为，则. 分别记和的内切圆为，其半径分别为，则，所以. 设与切于点， 则 又，所以. 即点坐标为， 同理，与切于点，即三点共线，且. 所以， 所以. 又 所以， 所以，所以，. 所以， 即直线的斜率为. 所以，即，即，所以， 所以的离心率的取值范围是. 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解双曲线离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用双曲线的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 考点06 双曲线的渐近线问题 典例1．（2026·河北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为M，设，结合双曲线定义与正弦定理计算可得，再利用余弦定理可列出与、、有关齐次等式，即可得其渐近线方程. 【详解】设的中点为M，又O是的中点，则，则， 设，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得， 则，即， 结合，整理得， 所以C的渐近线方程为. 典例2．（2026·河南许昌·三模）若直线是双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线中，则渐近线方程为， 已知直线是该双曲线的一条渐近线，则，解得． 【考法预测1】（2026·河南新乡·模拟预测）设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及双曲线定义列式求解. 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 【考法预测2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，右顶点为A，过点A作斜率为的直线l，点M在直线l上，若∠MF1F2＝120°，△MF1F2为等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先写出直线的方程，然后根据平面几何知识求出点，最后把点的坐标代入直线的方程，进而求得的关系即可求解. 【详解】双曲线左焦点，右焦点，右顶点，， 直线的方程为， 因为为等腰三角形， 为钝角， 因此等腰三角形中只能是， 直线的倾斜角为，斜率为， 设，，， 即，在直线上，代入直线方程， 整理得 . . 所以双曲线的渐近线方程为. 考点07 直线与双曲线的位置关系 典例1．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的右焦点为，直线过焦点，且斜率为，则直线与双曲线的左，右两支都相交的充要条件是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】双曲线渐近线斜率为，只有直线斜率落在两条渐近线之间时， 才会同时穿过左右两支，故． 典例2．（2026·陕西榆林·三模）已知为双曲线：的左焦点，直线过点与的右支有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质，得到渐近线方程，据此可得直线的斜率的取值范围为，再得到直线的倾斜角的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，双曲线的渐近线方程为， 又直线过点与的右支有公共点， 则直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为. 【考法预测1】（2026·云南·模拟预测）若直线与双曲线有且只有一个公共点，那么双曲线的离心率为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】由可得，故， 当，则，方程只有一个实数解，满足题设要求， 此时双曲线方程为，，； 当时，，此时， 此时双曲线方程为，，. 【考法预测2】（多选）（2026·山东临沂·二模）已知曲线与直线只有一个公共点，则m，n可能的取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件联立曲线和直线方程，结合判别式判断根的个数，即可确定. 【详解】A选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； B选项，，时，联立与得 ，解得，故与只有一个公共点，满足要求； C选项，，时，联立与得 ，，故有两个不相等的实根， 即与有两个公共点，C错误； D选项，，时，联立与得 ，，故有两个相等的实根， 即与只有一个公共点，D正确. 【考法预测3】（2026·北京石景山·二模）设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需比较直线的斜率与渐近线的斜率即可. 【详解】双曲线C：的一条渐近线的斜率为， 若直线与双曲线C无公共点，只需. 故b的一个取值可以为，（只要满足即可，答案不唯一）. 考点08 弦长问题 典例1．（2026·甘肃金昌·三模）双曲线的右焦点为，右顶点为是的一条渐近线，点到的距离为，点到的距离为，直线与交于点，则__________. 【答案】30 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式列式求得，求得双曲线的标准方程，将直线与双曲线方程联立，结合弦长公式求得答案. 【详解】设，渐近线的方程为， 则到的距离，到的距离， 所以，又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 由，得， 设，则， ，所以， 所以. 典例2．（2026·北京·三模）过点的直线交双曲线于，两点，若弦的长为，则满足条件的直线有（     ） A．2条 B．4条 C．3条 D．6条 【答案】B 【分析】先考虑斜率不存在的情况弦长的值；再考虑斜率存在时，联立方程，根据斜率的取值情况判断有几种情况． 【详解】斜率不存在时：，与双曲线交于一点，不满足题意； 斜率必然存在，设直线方程，，； 联立方程：可得：； 则，即， 且恒成立； 即，； 则； 两边平方可得：，即； 解得或；则的取值为四个， 故满足题意的直线有４条． 【考法预测1】（2026高三·全国·专题练习）已知与向量平行的直线与双曲线相交于，两点，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】由数形结合可得为实轴长时最小. 【详解】因为直线与向量平行，所以直线平行于轴，斜率为， 当分别为左右顶点时，最小，. 【考法预测2】（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 【考法预测3】已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于、两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线渐近线相同设出双曲线方程，代入点求解即可. （2）依题意求出直线方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离公式求出的高，代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意设所求双曲线的方程为， 代入点得，解得， 所以双曲线的方程为，即． （2）由（1）知，，， 由题意得直线的方程为，即． 设，， 联立，整理得， ， 则，， 则， 点到直线：的距离． 所以． 考点09 中点弦问题 典例1．（2026·四川内江·二模）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 典例2．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 【考法预测1】（2026·天津河东·二模）已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由点差法即可求解． 【详解】由双曲线方程得，渐近线方程为，则直线的斜率， 设，代入双曲线方程得， 两式相减得，， 所以， 因为弦中点为，所以， 当时，， 当时，， 又因为点在第一象限，所以， 所以． 【考法预测2】（2026·北京·模拟预测）双曲线：的一条渐近线的方程是________；若，为双曲线上的两点，且线段的中点为，则实数的一个取值为________． 【答案】 （或） 3（答案不唯一） 【详解】对于双曲线：，有， 其渐近线方程为； 设，则， 两式相减得，即， 线段的中点为，则， 若，则中点为双曲线顶点，此时直线AB的方程为，与双曲线只有一个交点，不符合题意，故， 则，即得，即得直线的斜率为， 可得直线的，联立， 得， 则， 化简得，解得或， 故实数的一个取值可为3. 【考法预测3】（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案； 解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 考点10 焦点三角形问题 典例1．（多选）（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 【答案】ABD 【分析】先设中心在原点焦点在坐标轴上的双曲线一般方程为，代入已知两点坐标求出双曲线的标准方程与基本量，再结合双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式逐一验证前三个选项，最后通过判断过点的切线和与渐近线平行的直线的数量，验证选项D. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为， 将坐标两点代入， 得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 对于A，由题意知的焦点在轴上，且， 所以，离心率为，故A正确； 对于B，不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，解得， 所以，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误． 对于D，易知渐近线方程为，画图可得， 过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点， 其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确. 【考法预测1】（多选）（2026·河北沧州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程即可求解离心率判断A；根据双曲线的定义及二次函数即可判断B；根据余弦定理及三角形面积公式即可判断C；根据弦长公式即可判断D． 【详解】由题可知，，，所以， 所以双曲线的离心率为，所以A选项正确； 由双曲线定义可知，不妨设，则， 所以因为，所以B选项正确； 对于C，由余弦定理得，故， 所以，所以C选项不正确； 对于D,设，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立的方程得， 则，， 所以， 解得或， 若的倾斜角为或，则,所以D选项不正确． 【考法预测2】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知点是双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．小于 D．的内切圆半径为 【答案】ABCD 【分析】A.设出的坐标，通过的面积求出的纵坐标，再代入双曲线方程求出的横坐标； B.由两点距离公式求解距离，再得出的周长；C.由余弦定理求出的范围，作出判断；D.由面积，求出内切圆的半径. 【详解】由双曲线得，，，焦点 ，，焦距 . A.设 ，由面积公式： , 即，得 ，将 代入双曲线方程： ，得， 因 在右支，，故 ，所以A正确； B. 由，. 所以的周长是 ，所以B正确； C. 由余弦定理：, 因余弦函数在 单调递减，故 ，所以C正确； D. 设的内切圆半径为，则， 所以，所以D正确. 【考法预测3】（2026·山东潍坊·三模）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，直角三角形内切圆半径公式，勾股定理以及双曲线离心率的计算公式，联立方程求出离心率. 【详解】双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，； ， 的内切圆半径为， ，. ，. ，即； ，即，解得或； 由，得. 【考法预测4】（2026·天津河东·三模）是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点A、B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为____________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合等边三角形的条件得出关于和的等量关系，即可求出离心率. 【详解】是双曲线的左右焦点，在右支、在左支，根据双曲线定义： 对右支上的：， 对左支上的：， 因为，是等边三角形，设，且直线顺次为，因此， 代入的定义式：，得；再代入的定义式，得，因此等边边长， 点处，，在的延长线上，因此， 在中，，由余弦定理： ， 代入， 化简得，即，因此离心率. 考点11 两线段的和与差的最值问题 典例1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 【考法预测1】（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 【考法预测2】（多选）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，， 则，解得，于是，双曲线的方程为， 而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确； 双曲线C的渐近线方程为，B正确； ，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得， 即，因此， 当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确； 设点，，则， ，当且仅当时取等号，D错误. 【考法预测3】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 考点12 椭圆中的最值与范围问题 典例1．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. (1)求的方程； (2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8 【分析】（1）左顶点到右焦点的距离及右焦点到单位圆上点的最大距离，分别得到关于的方程，求解即可； （2）（i）设过右焦点的直线参数方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算直线和的斜率乘积即可证明； （ii）设直线 和 的方程，分别联立双曲线和单位圆，求得点 的坐标，将面积比表示为关于斜率的函数，通过换元化简，利用基本不等式及函数单调性求得最小值. 【详解】（1）依题意，，设，则， 到圆上点的距离的最大值为3，所以，所以，故，， 所以的方程为； （2）（ⅰ）设直线，，， 由可得，， 所以，， ， 所以； （ⅱ）不妨设直线，，， 由，可得，解得， 同理可得，， 由可得，解得， 同理可得，， 由题意，得，，故， 设的面积为，则， 易知， 令，当且仅当时取等号，则， 令，函数在单调递增， 故当时，取得最小值；. 所以的最小值为8. 【考法预测1】（多选）（25-26高二上·广东·期末）已知双曲线经过点，且右焦点为，的虚轴为线段，为上任意一点，平面内一动点满足，则（    ） A．的渐近线方程为 B．动点的轨迹与无公共点 C．的最大值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出双曲线方程及其渐近线方程判断A；求出点的轨迹方程，与双曲线方程联立由解的情况判断B；利用圆的性质，结合两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设双曲线半焦距为，则，由双曲线经过点，得， 而，解得，因此双曲线的方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，即，A正确； 对于B，由对称性不妨令，设，由， 得，整理得， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由， 消去得，，因此动点的轨迹与无公共点，B正确； 对于C，点到圆心的距离，因此的最大值为，C错误； 对于D，设双曲线上任一点，则，到圆心的距离为： ， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，D正确. 故选：ABD 【考法预测2】（25-26高二上·上海普陀·期末）已知点、依次为双曲线的左、右焦点，且，，． (1)若，以为法向量的直线经过，求到l的距离； (2)若双曲线上存在点，使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，根据的关系求出，根据向量的共线定理设出直线方程，再代入点，求出直线方程，根据点到直线的距离公式计算距离； （2）设出点，根据数量积公式得，再根据点在双曲线上得，联立求解以后根据代入不等式求范围即可. 【详解】（1）依题意，，， 则双曲线，，， 因为直线的法向量为，所以直线的斜率， 设直线，将代入解得：， 此时，到的距离为； （2）设双曲线上的点满足， 则，， 所以，即. 又，∴，即， ∵，且，∴， 又因为，∴实数的取值范围是． 【考法预测3】已知双曲线（，）的右焦点为，一条渐近线的方程为. (1)求的方程. (2)过直线上一点作直线，与交于，两点. （i）证明：当时，必与原点重合； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1 【分析】（1）根据，，结合，可求的值，进而得到双曲线的标准方程. （2）（i）方法一：设，直线，将直线的方程与双曲线方程联立，根据为中点，可求的值. 方法二：涉及中点弦的问题，可用“点差法”证明. （ii）分直线斜率不存在和存在两种情况讨论.当直线斜率存在时，将直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，表示出，结合二次函数的性质，求最小值即可. 【详解】（1）设E的半焦距为.由题知，， ，， ，， 的方程为. （2）（i）方法一：设，易知直线l的斜率一定存在，设.    由，得， 设，，则. ，，整理得， ，，，即点P与原点重合. 方法二：设，，. 由，，作差可得. ，，，， 又，. 由题意知，直线l的斜率一定存在，且斜率不能等于，即， ，，即点P与原点重合. （ii）设. 当l与x轴垂直时，，设点，则， ， 又点A在E上，，即，. 当的斜率存在时，由得， 设，，则， ，当时，等号成立. 综上，的最小值为1. 考点13 双曲线中的定值、定点问题 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解双曲线最值与范围问题，核心策略分为几何法与代数法。 1. 常用思路：若题目涉及焦点、渐近线或距离差，优先利用双曲线定义及平面几何性质（如三角形三边关系、共线特征）求解；若无明显几何特征，则建立目标函数，通过配方法、基本不等式或求导来求最值。 2. 范围突破：重点抓住三个抓手：一是双曲线自身的隐含范围（如 ∣x∣≥a）；二是联立直线与双曲线方程，利用判别式及二次项系数构造不等式；三是利用参数间的等量关系，将多变量转化为单变量求解。 3. 易错提醒：解题切忌盲目硬算。务必注意双曲线左右支对横坐标的限制，同时讨论直线斜率不存在的情况，并在联立方程后检验判别式，以防遗漏关键条件。 典例1．（2026·河南南阳·三模）已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． ， 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． (3)存在， 【分析】（1）根据离心率的定义及求解即可. （2）设直线，与双曲线方程联立，结合韦达定理求解即可. （3）根据向量垂直的坐标表示得到，即，结合即韦达定理求解即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知．故， 所以，双曲线C的方程为． （2）略 （3）由题意知，得． 设，则． 即． 又，即，解得． 所以， 因此在x轴上存在定点，使得恒成立． 典例2．已知双曲线：（，）的一条渐近线方程为，且过点.设，分别是的左、右顶点，，是的右支上异于点的两点. (1)求的方程； (2)若直线经过的右焦点，且斜率为2，求的面积； (3)设直线，的斜率分别为，，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析，恒过定点. 【分析】（1）由渐近线方程和双曲线所过的点即可列方程求得解； （2）联立直线与双曲线方程求出韦达定理，利用韦达定理求出弦长，再求出点到直线的距离即可计算面积； （3）方法一:设为，联立直线与双曲线方程求出韦达定理，利用韦达定理求出，再由题设得到，再代入韦达求出t即可求解； 方法二:设为，联立直线与双曲线方程求出韦达定理，将韦达定理代入题设求出t即可求解. 【详解】（1）由题意得，又，解得， 所以的方程为. （2）由题意，直线的方程为， 设，，由，得， 所以，. 则， 点到直线的距离为， 所以的面积为. （3） 方法一:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 因为，，， 所以. 又，即，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得，解得或3. 当时，的方程为，此时过点，不合题意， 当时，的方程为，此时过点，符合题意， 所以恒过定点. 方法二:由题意得，的斜率不为0， 设为，，. 由，得， 所以，且，. 又，即， 整理得， 即， 所以， 整理得，解得或， 当，， 此时，不符合， 所以，此时的方程为，所以恒过定点. 【考法预测1】设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（   ） A．恒为定值 B．恒为定值 C．不为定值但有最小值 D．不为定值但有最大值 【答案】A 【分析】设点，由两点间的距离公式得到P到y轴的距离与P到，距离之和的比为，再结合双曲线的定义即可判断. 【详解】不妨设点，且易有，，且，， 代入得P到y轴的距离与P到，距离之和的比值为 ， 由于P为双曲线C上一点，故等价于点到与的距离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2， 故原式等价于，为定值. 故选：A. 【考法预测2】（2026·安徽阜阳·二模）已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程求出，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 【考法预测3】（2026·宁夏银川·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【详解】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 方法技巧 定点、定值问题的求解策略 双曲线定点、定值问题核心在于“动中有静”，常用策略如下： 定点问题：首选“参数法”，即设直线与交点，联立方程利用韦达定理，将几何条件转化为含参等式，令参数系数为零求解。也可先“特殊探路”猜测定点，再作一般性证明。若涉及斜率之和/积为定值，推荐“齐次化”技巧，通过平移坐标系构造齐次式，直接利用韦达定理，大幅简化运算。 定值问题：多用“直接消参法”，引入核心变量表示目标几何量，通过代数化简消去变量得到常数；或采用“先猜后证”，由特殊情况求出定值后，再进行一般性证明。 注意事项：务必讨论直线斜率不存在的情况；联立时须保证判别式 Δ>0Δ>0 ；善用“设而不求”与“整体代换”思想，避免繁琐硬算。 考点14 双曲线中的定直线问题 典例1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）的取值范围为；（ii）证明见解析． 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线的方程，联立得到，将代入，化简得到即可得证． 【详解】（1） 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； （2） （ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ），，则， 直线的方程为①，直线的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点的横坐标始终为，故点在定直线上． 【考法预测1】（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线． (1)求的方程． (2)若的面积为24，求点的坐标． (3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)是，直线 【分析】（1）根据已知及双曲线的定义写出的方程； （2）根据已知三角形面积及在双曲线上求出的坐标，结合重心的坐标性质确定点的坐标； （3）设的方程为，联立双曲线并应用韦达定理得，，写出直线与的方程，联立求出的轨迹，即可得. 【详解】（1）由题可知，，则． 又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点）， 故的方程为； （2）设．因为的面积为24， 所以，得． 由，得． 因为是的重心， 所以或或或； （3）由题可知的斜率存在，可设的方程为． 由，得， 则，得，则，． 直线的方程为，直线的方程为， 则． 由，，得， 则，得， 故点在定直线上. 【考法预测2】已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1) (2)在， 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【考法预测3】已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) 证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【详解】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）略 考点15 双曲线中的向量问题 典例1．（2026·海南·模拟预测）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由渐近线方程和三角形周长，结合双曲线方程的定义得到方程组，求出，得到双曲线方程； （2）直线的斜率不存在或斜率为0时，不合要求，设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，得到直线斜率 【详解】（1）一条渐近线方程为，故， 中，令得， 故，所以， 由双曲线定义可得，同理， 故，结合，可得， 所以的方程为； （2）由（1）知，，当直线的斜率不存在或斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设方程为，， 联立与得， ，且，故， 设，则， ，故， 所以，所以， 由得，将其代入得 ，解得满足要求， 故，，直线的斜率为. 【考法预测1】（25-26高三下·云南怒江·开学考试）已知双曲线，点，，直线交双曲线于，两点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，因为， 所以，解得， 即，代入双曲线的方程并整理得0. 同理，由，得到， 因此，是一元二次方程的两根， 则. 【考法预测2】（2026·山西晋城·三模）如图，已知双曲线的焦距为，过点且不垂直轴的直线：交双曲线于M，N两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求实数的值； (3)设，若点满足，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题设求出，进而求解即可； （2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及列方程求解即可； （3）设，由可得，由可得，进而得到，结合求出，进而代值求得，进而求解即可. 【详解】（1）双曲线的焦距为，则， ，解得， 双曲线的标准方程为． （2）设，   联立，得，且， 则， ， ， 整理得 ，解得或． （3）设， 即， ， ， ∵， ， 点的轨迹方程为． 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，是上一点，直线的斜率为，且与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得，即可求解； （2）设，联立方程组，由，求得，且，结合，根据向量数量积的运算公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，且是上一点， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，解得，所以或， 且， 因为，可得， 又因为， 可得， 所以 ， 将代入上式得， ， 因为，可得，即， 解得或， 又因为或，所以， 所以直线的方程为. 考点16 双曲线中的新定义问题 典例1．（2026·上海·一模）定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为； 我们称椭圆的“交换椭圆”为； 我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，双曲线C过点，求：双曲线C的标准方程； (2)若过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，且一个球的表面积与“交换圆”面积相同，求：球的体积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，设出双曲线C的方程，代入点坐标，求出，即可得答案. （2）根据导数的几何意义，求出切线l的方程，根据题意，可得圆中，设出圆的方程，根据点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，求出半径r的值，进而可得球的半径，代入体积公式，即可得答案. （3）求出椭圆的方程与其“交换椭圆”的方程，设，根据矩形的性质，可得对称点Q的坐标，进而可得的表达式，根据直线平行直线，求出直线PN的方程，与椭圆W联立，根据韦达定理，可得N点坐标，根据弦长公式，可得表达式，进而可得面积S的表达式，根据椭圆W的参数方程，结合三角函数的性质，即可得证. 【详解】（1）因为双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，所以， 设双曲线C的方程为， 代入点，得， 所以双曲线C的方程为； （2）对求导可得，设切点为， 则切线的斜率，又， 所以切线l的方程为， 代入点，得，则切线l的方程为，即， 因为“交换圆”是自己本身，所以， 设圆的方程为， 因为直线l与圆相切，所以， 则“交换圆”面积为， 设球的半径为R，则，解得， 所以球的体积为 （3）由长轴为，可得，由离心率，得， 所以， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为， 则椭圆的“交换椭圆”方程为， 所以曲线的方程为， 因为矩形关于对称，设在椭圆W上， 则在“交换椭圆”上，则， 又直线平行直线，则直线PN的斜率为1， 所以直线PN的方程为，即， 联立，得， 所以，得， 所以， 所以面积， 因为点P在椭圆W上，所以， 令，为参数，， 因为，所以，解得， 不妨取第一象限部分，则， 代入可得 ， 因为，则， 所以当时，取得最大值为. 【考法预测1】（2026·云南昆明·模拟预测）曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系求得直线的斜率的取值范围，结合直线与双曲线的位置关系列出关于的不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】设直线的方程为，即， 表示圆心为，半径为的圆， 依题意可知圆心到直线的距离， 整理得，所以， 由于直线与双曲线有交点， 所以渐近线的斜率满足恒成立，所以， 所以的离心率，所以的离心率的范围为. 【考法预测2】（2026·辽宁抚顺·二模）已知双曲线的实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为. (1)求C的方程. (2)对于C上的任意两点，定义：. （i）若A，B是C右支上两个不同的点，证明：. （ii）若，，是C右支上三个不同的点，且存在常数t，使得，证明为定值，并求该定值（用t表示）. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析， 【分析】（1）利用条件及双曲线的性质计算即可； （2）（i）设直线AB方程及点坐标，利用韦达定理及点的位置、新定义计算即可；（ii）设，，，利用新定义及上问结论结合同解方程确定，分类讨论的取值，结合韦达定理计算即可. 【详解】（1）由题可知，， 解得， 则C的方程为. （2）（i）依题可设直线的方程为，， 由，可得， 则，且， ，， 所以 . 因为A，B是C右支上两个不同的点，所以. 又，所以. . 由，，得， 则，故. （ii）设，，. 由和（i）可得， 且则，均在直线上. 若，则，l的方程为，由 可得，则，则. 若，则l的方程可化为， 由可得. 因为，所以上式可化为， 此时， 且， ， 则 . 综上所述，为定值，且该定值为. 拔高・分层集训 基础演练 1．已知，，，动点P满足，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】对变形，得到，从而得到点P的轨迹 【详解】，即，其中 ，，,所以，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：D 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，则. 3．（2026·陕西榆林·三模）已知双曲线的右焦点为，其一条渐近线过点，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】依题意可得，结合渐近线方程求出，，即可得解. 【详解】由右焦点为得，所以， 又因为的一条渐近线过点，所以，所以， 所以的实轴长. 4．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立双曲线与直线的方程，利用列式求解即可. 【详解】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得. 故选：B. 5．（多选）（2026·河北·三模）已知双曲线则（   ） A． B．双曲线C的焦距为定值 C．若双曲线C为等轴双曲线，则 D．若双曲线C的渐近线方程为，则 【答案】ABC 【详解】对于A，由双曲线，得，解得，A正确； 对于B，由，得双曲线的焦距为，为定值，B正确； 对于C，由双曲线为等轴双曲线，得，解得，C正确； 对于D，由双曲线的渐近线方程为，得，解得，D错误. 6．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，则下列结论正确的有（    ） A． B．双曲线与双曲线有相同的渐近线 C．双曲线与双曲线有相同的离心率 D．直线与双曲线有且只有一个公共点 【答案】BD 【详解】∵ 双曲线，∴ ，，则，即，，. 对于A选项，∵ ，∴ ，故A错误. 对于B选项，∵ 双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，∴ 两双曲线渐近线相同，故B正确. 对于C选项，∵ 双曲线的离心率，双曲线中，，，离心率，∴ 二者离心率不相等，故C错误. 对于D选项，∵ 直线的斜率为，与双曲线的其中一条渐近线斜率相同，∴ 该直线与渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，故D正确. 7．（多选）（2026·湖南怀化·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是C的右支上一点（不与右顶点重合），过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（   ） A．焦点到渐近线的距离等于 B．内切圆的圆心在直线上 C．为定值 D．若直线与C交于另一点A，则的最小值为6 【答案】ABC 【分析】根据题目条件可以求出焦点坐标与渐近线方程，对于A选项运用点到直线的距离公式求出结果；对于B选项运用双曲线的定义与切线长定理，求出内切圆与的坐标点，再运用内切圆的圆心在角平分线上求出结果；对于C选项，设点P的坐标，求出的长度，运用点P在双曲线上求出结果；对于D选项，取右顶点讨论. 【详解】对于A选项，由题意可知， 则渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离等于， 同理到渐近线的距离为； 对于B选项，设的内切圆与三边分别切于点， 根据切线长定理得 则 ， 又因为，解得，故G点坐标为，因为三角形的内切圆的圆心与切点G的连线垂直于x轴上，故横坐标与G点相同，故B选项正确； 对于C选项，设点，则，即， 点P到的距离， 同理点P到的距离， 则， 故C选项正确；    对于D选项，当点P与右顶点重合时， ，故当点P越接近右顶点时，的值就越接近2该值小于6，故D选项错误.    8．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 【答案】/2.25 【分析】利用双曲线的渐近线求解. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 由题意知，，，， 所以，即，整理得，解得. 9．（2026·湖南长沙·一模）已知双曲线 过点，且焦距为 (1)求双曲线的方程； (2)过定点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由点，求得，再结合即可求解； （2）当直线斜率不存在时，直接代入验证，当直线斜率存在时，设中点为，由，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）双曲线过点， 代入点坐标得，解得， 由焦距​得，即， 故， 因此双曲线的方程为： ； （2） 分两种情况讨论： 直线斜率不存在时， 此时直线方程为，代入双曲线得， 即， 计算得，满足条件， 故是符合要求的直线， 直线斜率存在时，设直线：， 联立双曲线，整理得： ， 直线与双曲线交于两点，故 （即），且判别式恒成立， 设 ，中点为， 由韦达定理得： ， 因此，， 由，得在的垂直平分线上， 故，即 ， 代入坐标化简得： ， 即，整理得，满足条件， 综上，直线的方程为：或. 能力进阶 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知双曲线的两渐近线的夹角为，且实轴长小于虚轴长，则的虚轴长与焦距之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的标准方程为（）， 则它的渐近线方程为， 已知实轴长小于虚轴长，即，所以 因为渐近线的夹角为，所以渐近线的倾斜角为和， 所以，即， 由，代入， 得 ，即， 虚轴长为，焦距为， 所以虚轴长与焦距之比为. 故选项C正确. 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由椭圆与双曲线共焦点得到与的关系，再联立两曲线方程求出交点纵坐标，结合焦距计算三角形面积. 【详解】 由题意知，双曲线的焦点在轴，且与椭圆共焦点，因此椭圆的焦点也在轴， 对椭圆，半焦距满足；对双曲线，半焦距满足，故，即， 联立两曲线方程，两式相加得，解得， 将代入椭圆方程，整理得，代入得， 因为的底为，高为，因此面积， 由，得，即， 所以，所以，的面积为. 3．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，中心为，是右支上的动点，若点满足，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量垂直的性质得到点的轨迹，再结合双曲线和圆的性质求出的最小值. 【详解】 双曲线，右焦点， 因为，所以， 则点在以为直径的圆上，设点， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以的最小值为， ， 因为，代入可得， 因为是右支上的动点，所以，， ， 又，所以， 所以的最小值为. 4．（2026·北京房山·二模）已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 5．（2026·天津·二模）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆（圆心为坐标原点）．记轴上的两个焦点为，在第一象限端点为，若点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，通过联立方程组求出点的坐标，求出，，根据双曲线的定义得到，，则利用离心率的公式求出，代入数值得解. 【详解】设， 因为在第一象限端点为，所以点为抛物线和的交点， 将两边平方得到， 将代入得到， 解得， 将代入解得，则， 则， ， 因为点在以为焦点的双曲线上， ， ，则离心率为，故选项B正确. 6．（多选）（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右焦点为，，离心率，下列说法中正确的有（    ） A．的渐近线为 B．的焦距是虚轴长的倍 C．若的焦点到其渐近线的距离为，则 D．若的焦距为8，则其渐近线上存在点，使得 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以的渐近线为，正确； 对于B，因为，错误； 对于C，不妨设的右焦点到其渐近线的距离为，即，所以，正确； 对于D，设，且在直线上，所以， 又，即， 化简移项，再平方化简可得，故存在. 7．（多选）（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 【答案】ABD 【分析】先设中心在原点焦点在坐标轴上的双曲线一般方程为，代入已知两点坐标求出双曲线的标准方程与基本量，再结合双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式逐一验证前三个选项，最后通过判断过点的切线和与渐近线平行的直线的数量，验证选项D. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为， 将坐标两点代入， 得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 对于A，由题意知的焦点在轴上，且， 所以，离心率为，故A正确； 对于B，不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，解得， 所以，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误． 对于D，易知渐近线方程为，画图可得， 过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点， 其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确. 8．（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 【答案】85.83 【分析】由题意根据双曲线定义确定轨迹，再由双曲线定义结合图象求解即可. 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示， ，由双曲线定义可得，轨迹为双曲线的右支，故，， 故轨迹方程为：， 故由题意修建的三条公路总费用， 由图形可知，当，，三点共线，即在点处时，最小值， 由题意，所以，所以. 9．（2026·上海·三模）已经双曲线：的渐近线方程为，焦距为4，直线：与双曲线交于不同的两点，（异于双曲线的顶点）． (1)求双曲线的方程； (2)为双曲线的右顶点，若以为直径的圆过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由； (3)若，在双曲线的右支上，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意列方程组，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理可得出所满足的关系式，即可求出定点坐标； （3）求出线段的垂直平分线方程，将点的坐标代入此直线方程，可得出，由此可得出线段的中点的坐标，结合弦长公式可求出的取值范围，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得，解得， 则双曲线：； （2）设，，联立， 消去得：， 由题意，，且，即， ， 已知，以为直径的圆过，则， ，即， ， ， 展开并整理得：，即， 当时，直线，过定点，但此时直线过双曲线右顶点，不符合题意； 当时，直线，过定点，符合题意； 所以直线过定点． （3）因为在右支， 所以， 可得，， 设中点为，则， 的垂直平分线方程为：， 已知过，代入得： 化简得：，此时，， ，， ， ， ， ，则． 真题实战 1．（2026·全国二卷·高考真题）设双曲线：（，）经过点和点，则C的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点和代入双曲线方程求出，再求出渐近线方程即可. 【详解】把点和，代入双曲线方程可得 ， 所以双曲线方程为， 故该双曲线渐近线方程为. 2．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 3．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解. 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 5．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 6．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 7．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 8．（多选）（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 9．（2026·全国一卷·高考真题）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定、，再利用双曲线中的关系求出，最后根据离心率定义计算结果. 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 11．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 12．（2026·上海·高考真题）已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在实数符合题意，此时的取值范围为 【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离； （2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解； （3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解. 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)设为的面积，证明：对任意正整数，. 【答案】(1)， (2)证明如下： 方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根，相应的. 所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 方法二：因为，，，则， 由于，作差得， ，利用合比性质知， 因此是公比为的等比数列. (3)证明如下： 方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 证毕，回到原题. 由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 而又有，， 故利用前面已经证明的结论即得 . 这就表明的取值是与无关的定值，所以. 方法二：由于上一小问已经得到，， 故. 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 所以对任意的正整数，都有 . 这就得到， 以及. 两式相减，即得. 移项得到. 故. 而，. 所以和平行，这就得到，即. 方法三：由于，作差得， 变形得①， 同理可得， 由（2）知是公比为的等比数列，令则②， 同时是公比为的等比数列，则③， 将②③代入①， 即，从而，即. 【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出的坐标即可； （2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明； （3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明的取值为与无关的定值即可.思路三：利用点差法得到，，再结合（2）中的结论得，最后证明出即可. 【详解】（1） 由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为，与联立得到. 解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解. 14．（2024·上海·高考真题）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，， 因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角. 又为等腰三角形，所以. 设点，且，则 得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则. 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得 消去，得， 且，即，得. ， 由，得， 所以，即， 整理得， 所以， 整理得，所以. 又，所以，解得， 所以，又， 故的取值范围是，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、数量积、数乘）或运算律或数量积的几何意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行等）转化为代数关系. 1 / 98 学科网（北京）股份有限公司 $