第24讲 复数讲义-2027届高三数学一轮复习

第24讲 复数 内 容 导 航 知识点1 复数的概念 知识点2 复数的运算 知识点3 复数的几何意义 知识点4 复数的三角形式 知识点5 复数的模长及与模相关的轨迹问题 知识点6 复数范围内解方程 题型1 虚数单位i及其性质 题型2 复数的实部与虚部 题型3 纯虚数 题型4 复数集C及其关系和运算 题型5 复数的相等 题型6 复数对应复平面中的点 题型7 由复平面中的点确定复数 题型8 复数的模 题型9 共轭复数 题型10 复数的加、减运算及其几何意义 题型11 复数的乘法及乘方运算 题型12 复数的除法运算 题型13 复数的混合运算 题型14 复数的代数形式与三角形式互化 题型15 复数的辐角和辐角主值 题型16 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 知 识 点 通 关 知识点1 复数的概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 知识点2 复数的运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 知识点3 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点4 复数的三角形式 1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、辐角主值 （1）辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． （2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 3、复数乘、除法的三角表示：已知，， （1）乘法：，即模数相乘，辐角相加． （2）除法：，即模数相除，辐角相减． 知识点5 复数的模长及与模相关的轨迹问题 方法技巧 与模长相关的轨迹问题解题策略 （1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． （2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点． 知识点6 复数范围内解方程 方法技巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法： ①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 考 点 演 练 题型1 虚数单位i及其性质 【典例1】已知全集C＝{x|x是复数}，Q＝{x|x是有理数}，S＝{x|x是无理数}，R＝{x|x是实数}，P＝{x|x是虚数}，那么（∁CQ）∪（∁CP）为（　　） A．S B．C C．R D．Q 【变式1】已知i为虚数单位，则i+i2+i3+…+i2019等于（　　） A．i B．1 C．﹣i D．﹣1 题型2 复数的实部与虚部 【典例1】复数的虚部是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（　　） A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i 题型3 纯虚数 【典例1】已知复数z为纯虚数，则|2ai|＝（　　） A． B． C．2 D．3 【变式1】复数z＝m2﹣1+（m+1）i表示纯虚数，则实数m值为（　　） A．±1 B．0 C．1 D．﹣1 题型4 复数集C及其关系和运算 【典例1】在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1＞z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”． 下面命题： ①1＞i＞0； ②若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3； ③若z1＞z2，则对于任意z∈C，z1+z＞z2+z； ④对于复数z＞0，若z1＞z2，则z•z1＞z•z2． 其中所有真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1＞z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”． 下面命题： ①1＞i＞0； ②若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3； ③若z1＞z2，则对于任意z∈C，z1+z＞z2+z； ④对于复数z＞0，若z1＞z2，则z•z1＞z•z2． 其中真命题是　 　 ．（写出所有真命题的序号） 题型5 复数的相等 【典例1】已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i为虚数单位），则a+b＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【变式1】已知（a+i）（2﹣ai）＝3+bi，其中a，b是实数，则a﹣bi＝（　　） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 题型6 复数对应复平面中的点 【典例1】已知复数z＝2+i，设在复平面内对应的向量分别为，则（　　） A． B．3 C．5 D．3+2i 【变式1】已知复数z满足，那么复数z对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型7 由复平面中的点确定复数 【典例1】在复平面内，复数z对应点的坐标是（2，﹣2），则i•z＝（　　） A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i 【变式1】复数z在复平面对应点为（1，﹣2），则复数的虚部为（　　） A．﹣3 B．﹣3i C． D． 题型8 复数的模 【典例1】若复数z满足，则|z|＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式1】若复数z＝1﹣i，i为虚数单位，则（　　） A． B． C． D． 题型9 共轭复数 【典例1】设z（其中i为虚数单位），则（　　） A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i 【变式1】若复数z的共轭复数为，并满足，其中i为虚数单位，则z＝（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 题型10 复数的加、减运算及其几何意义 【典例1】已知i是虚数单位，复数，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知复数z满足|z﹣1﹣2i|＝|z+3+i|+5，若Imz＝t（Rez+5），则实数t的取值范围是　 ． 题型11 复数的乘法及乘方运算 【典例1】（1﹣3i）2＝（　　） A．﹣8+6i B．﹣8﹣6i C．8+6i D．8﹣6i 【变式1】已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（　　） A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i 题型12 复数的除法运算 【典例1】已知，其中i为虚数单位，则（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【变式1】已知复数，则（　　） A． B． C． D． 题型13 复数的混合运算 【典例1】复数的虚部为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i 【变式1】若复数z满足（i﹣i2026）（z﹣1）＝2（i为虚数单位），则（　　） A． B． C． D．3 题型14 复数的代数形式与三角形式互化 【典例1】已知复数，则（　　） A． B． C． D．2 【变式1】已知复数，则z2＝（　　） A． B． C． D． 题型15 复数的辐角和辐角主值 【典例1】任意复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）都可以z＝r（cosθ+isinθ）的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数，则z的辐角主值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】一般地，任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以写成z＝r（cosθ+isinθ）的三角形式，其中，，r是复数的模，θ是复数的辐角，并规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，则方程x2+6x+12＝0的复数根的辐角主值是（　　） A． B． C． D． 题型16 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 【典例1】已知复数（i为虚数单位），则z2+z等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【变式1】设z1＝1﹣i，，，则以下选项正确的是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2019，则复数z对应的点在第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若（2﹣i）•z1＝i+i2+i3+…+i2018（其中i是虚数单位），则复数z2的虚部等于（　　） A． B． C． D．i 3．已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是（　　） A．若，则z1﹣z2是实数 B．若为虚数，则z1是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D．|z1z2|＝|z1||z2| 4．已知i为虚数单位，则i2026﹣i的虚部为（　　） A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i 5．若复数z满足i﹣iz＝1，则的虚部为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 6．已知a∈R，i为虚数单位，若复数（2+i）（a+i）的实部与虚部相等，则a＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 7．设复数z1，z2是关于x的方程x2+mx+1＝0（m∈R）的两个根，z1，z2在复平面内所对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（　　） A．z1•z2＝0 B． C．|z1|≠|z2| D．z1+z2为纯虚数 8．为纯虚数，则实数m＝（　　） A． B． C． D． 9．已知复数z＝（1+2i）（a﹣3i）为纯虚数，则实数a的值为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1 10．设复数z1＝a，z2＝a，其中i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a＝（　　） A． B． C．或 D．0 11．若a，b，c∈C（C为复数集），则（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0是a＝b＝c的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知定义在复数集C上的函数f（x）满足f（x），则f（1+i）等于（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．2+i 13．已知定义在复数集C上的函数f（x），则f（f（1））在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．已知定义在复数集C上的函数f（x）满足f（x），f（1+i）等于（　　） A．2 B．0 C．（1，2] D．（2+i） 15．若，则3a﹣b＝（　　） A．9 B．﹣9 C．11 D．﹣11 16．已知复数，且z1＝z2，则λ的取值范围是（　　） A． B． C． D．[1，7] 17．设i为虚数单位，已知复数z1＝sinα+2i，z2＝1+（cosα）i（其中α∈R），设，则（　　） A．当时，b＝1 B．对任意α∈R，都有b≠0 C．存在α∈R，使得a2+b2＝4 D．存在α∈R，使得a2﹣b2＝2 18．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．如图，复数z在复平面内对应的点为Z，则z＝（　　） A．1+i B．1﹣i C．1 D． 20．已知复数z1＝2+i，在复平面内，复数z1与z2对应的点关于直线y＝x对称，则（　　） A．0 B． C． D． 21．已知复数z满足i•z+2＝2i，则|z|＝（　　） A． B． C．4 D．8 22．已知复数z是虚部为正数的纯虚数，且满足，则|z|＝（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．3 23．复数的共轭复数是（　　） A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 24．已知复数z满足（1﹣i）2z＝2﹣4i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 25．复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．已知，则z＝（　　） A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i 27．若复数z满足（z+i）i＝4﹣i，则z在复平面内的对应点为（　　） A．（1，﹣5） B．（﹣1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，5） 28．设，则（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 复数 内 容 导 航 知识点1 复数的概念 知识点2 复数的运算 知识点3 复数的几何意义 知识点4 复数的三角形式 知识点5 复数的模长及与模相关的轨迹问题 知识点6 复数范围内解方程 题型1 虚数单位i及其性质 题型2 复数的实部与虚部 题型3 纯虚数 题型4 复数集C及其关系和运算 题型5 复数的相等 题型6 复数对应复平面中的点 题型7 由复平面中的点确定复数 题型8 复数的模 题型9 共轭复数 题型10 复数的加、减运算及其几何意义 题型11 复数的乘法及乘方运算 题型12 复数的除法运算 题型13 复数的混合运算 题型14 复数的代数形式与三角形式互化 题型15 复数的辐角和辐角主值 题型16 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 知 识 点 通 关 知识点1 复数的概念 1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数． （1） （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． 知识点2 复数的运算 1、复数的运算法则 设， (a，b，c，d∈R)，则： （1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； （2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； （3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； （4）除法： 知识点3 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|． （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点4 复数的三角形式 1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、辐角主值 （1）辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． （2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍． 规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 3、复数乘、除法的三角表示：已知，， （1）乘法：，即模数相乘，辐角相加． （2）除法：，即模数相除，辐角相减． 知识点5 复数的模长及与模相关的轨迹问题 方法技巧 与模长相关的轨迹问题解题策略 （1）求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状． （2）复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点． 知识点6 复数范围内解方程 方法技巧 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法 （1）求根公式法： ①当时，；②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 考 点 演 练 题型1 虚数单位i及其性质 【典例1】已知全集C＝{x|x是复数}，Q＝{x|x是有理数}，S＝{x|x是无理数}，R＝{x|x是实数}，P＝{x|x是虚数}，那么（∁CQ）∪（∁CP）为（　　） A．S B．C C．R D．Q 【答案】B 【解答】解：全集C＝{x|x是复数}，Q＝{x|x是有理数}，S＝{x|x是无理数}，R＝{x|x是实数}，P＝{x|x是虚数}， 则∁CQ＝S∪P，∁CP＝R， 故（∁CQ）∪（∁CP）＝S∪P∪R＝C． 故选：B． 【变式1】已知i为虚数单位，则i+i2+i3+…+i2019等于（　　） A．i B．1 C．﹣i D．﹣1 【答案】D 【解答】解：i+i2+i3+…+i2019 ． 故选：D． 题型2 复数的实部与虚部 【典例1】复数的虚部是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为， 所以虚部为． 故选：C． 【变式1】已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（　　） A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i 【答案】A 【解答】解：因为， 所以， 所以，其虚部为2． 故选：A． 题型3 纯虚数 【典例1】已知复数z为纯虚数，则|2ai|＝（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：∵z 为纯虚数， ∴ 且，解得a， |2ai|＝|1|． 故选：B． 【变式1】复数z＝m2﹣1+（m+1）i表示纯虚数，则实数m值为（　　） A．±1 B．0 C．1 D．﹣1 【答案】C 【解答】解：∵z＝m2﹣1+（m+1）i表示纯虚数， 则，解得：m＝1． 故选：C． 题型4 复数集C及其关系和运算 【典例1】在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1＞z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”． 下面命题： ①1＞i＞0； ②若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3； ③若z1＞z2，则对于任意z∈C，z1+z＞z2+z； ④对于复数z＞0，若z1＞z2，则z•z1＞z•z2． 其中所有真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，a2，b1，b2∈R），z1＞z2当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”． 由于1＝1+0i，i＝0+1×i，0＝0+0×i，故有1＞i，且i＞0，故①正确． 由定义可得，复数的大小具有传递性，故②正确． 对于③：由定义可得，复数的大小具有传递性正确．若z1＞z2，则，对于任意z∈C，z1+z＞z2+z，故③正确． ④不正确，如当 z1＝3i，z2＝2i，z＝i时，zz1＝﹣3，zz2＝﹣2，显然不满足zz1＞zz2． 故选：C． 【变式1】在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1＞z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”． 下面命题： ①1＞i＞0； ②若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3； ③若z1＞z2，则对于任意z∈C，z1+z＞z2+z； ④对于复数z＞0，若z1＞z2，则z•z1＞z•z2． 其中真命题是　 　 ．（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③ 【解答】解：①．∵1＝1+0•i，i＝0+1•i，∵实部1＞0，∴1＞i． 又0＝0+0•i，∵实部0＝0，虚部1＞0，∴i＞0，∴1＞i＞0，所以①正确． ②设zk＝ak+bki，k＝1，2，3，ak，bk∈R．∵z1＞z2，z2＞z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3． 则当a1＞a3时，可得z1＞z3；当a1＝a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1＞z3，∴②正确； ③令z＝a+bi（a，b∈R），∵z1＞z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a， 当a1＝a2时，b1＞b2，故a1+a＝a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z＞z2+z； 当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z＞z2+z；∴③正确； ④取z＝0+i＞0，z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，（ak，bk∈R，k＝1，2）， 不妨令a1＝a2，b1＞b2，则z1＞z2，此时z•z1＝﹣b1+a1i，z•z2＝﹣b2+a2i，不满足z•z1＞z•z2．故④不正确． 由以上可知：只有①②③正确． 故答案为：①②③． 题型5 复数的相等 【典例1】已知a，b∈R，a﹣2i＝（b+i）i（i为虚数单位），则a+b＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】A 【解答】解：a﹣2i＝（b+i）i＝﹣1+bi，故，解得a＝﹣1，b＝﹣2， 故a+b＝﹣3． 故选：A． 【变式1】已知（a+i）（2﹣ai）＝3+bi，其中a，b是实数，则a﹣bi＝（　　） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 【答案】D 【解答】解：由（a+i）（2﹣ai）＝3+bi， 得3a+（2﹣a2）i＝3+bi， 则，解得． 则a﹣bi＝1﹣i． 故选：D． 题型6 复数对应复平面中的点 【典例1】已知复数z＝2+i，设在复平面内对应的向量分别为，则（　　） A． B．3 C．5 D．3+2i 【答案】B 【解答】解：复数z＝2+i，则， 在复平面内对应的向量分别为， 所以， 故． 故选：B． 【变式1】已知复数z满足，那么复数z对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：由i， 可得z对应点坐标为，在第四象限． 故选：D． 题型7 由复平面中的点确定复数 【典例1】在复平面内，复数z对应点的坐标是（2，﹣2），则i•z＝（　　） A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i 【答案】A 【解答】解：由已知可得，z＝2﹣2i， 则i•z＝i（2﹣2i）＝2i﹣2i2＝2+2i． 故选：A． 【变式1】复数z在复平面对应点为（1，﹣2），则复数的虚部为（　　） A．﹣3 B．﹣3i C． D． 【答案】C 【解答】解：因为复数z在复平面对应点为（1，﹣2），可得z＝1﹣2i， 则， 所以虚部为． 故选：C． 题型8 复数的模 【典例1】若复数z满足，则|z|＝（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：因为，所以， 故． 故选：C． 【变式1】若复数z＝1﹣i，i为虚数单位，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由z＝1﹣i， 所以． 故选：D． 题型9 共轭复数 【典例1】设z（其中i为虚数单位），则（　　） A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i 【答案】C 【解答】解：由z， 得． 故选：C． 【变式1】若复数z的共轭复数为，并满足，其中i为虚数单位，则z＝（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 【答案】A 【解答】解：∵， ∴， ∴z＝1+2i． 故选：A． 题型10 复数的加、减运算及其几何意义 【典例1】已知i是虚数单位，复数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：复数， 则． 故选：C． 【变式1】已知复数z满足|z﹣1﹣2i|＝|z+3+i|+5，若Imz＝t（Rez+5），则实数t的取值范围是　 ． 【答案】． 【解答】解：原式|z﹣1﹣2i|＝|z+3+i|+5等价于|z﹣（1+2i）|﹣|z﹣（﹣3﹣i）|＝5， 其几何意义为复数z的对应点Z到定点A（1，2），B（﹣3，﹣1）的距离差为5， 因为， 所以Z在以B为端点，背离A方向的射线上， 则， 所以向量对应的复数z＝1﹣4k+（2﹣3k）i， 由Imz＝t（Rez+5）得，2﹣3k＝t（1﹣4k+5）， 所以， 所以， 即，等价于，解得或， 故实数t的取值范围是． 故答案为：． 题型11 复数的乘法及乘方运算 【典例1】（1﹣3i）2＝（　　） A．﹣8+6i B．﹣8﹣6i C．8+6i D．8﹣6i 【答案】B 【解答】解：（1﹣3i）2＝1﹣6i+9i2＝﹣8﹣6i． 故选：B． 【变式1】已知i为虚数单位，则（2+3i）（4﹣i）＝（　　） A．10i B．11+10i C．11i D．10+11i 【答案】B 【解答】解：（2+3i）（4﹣i）＝8﹣2i+12i+3＝11+10i． 故选：B． 题型12 复数的除法运算 【典例1】已知，其中i为虚数单位，则（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【答案】B 【解答】解：，． 故选：B． 【变式1】已知复数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：复数，则． 故选：B． 题型13 复数的混合运算 【典例1】复数的虚部为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣3i D．3i 【答案】A 【解答】解：因为 1﹣3i， 故虚部为﹣3． 故选：A． 【变式1】若复数z满足（i﹣i2026）（z﹣1）＝2（i为虚数单位），则（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【解答】解：由（i﹣i2026）（z﹣1）＝2， 得， 则z＝2﹣i，所以|z|． 故选：C． 题型14 复数的代数形式与三角形式互化 【典例1】已知复数，则（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【解答】解：因为， 所以， 可得． 故选：B． 【变式1】已知复数，则z2＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由， 可得z2ii． 故选：C． 题型15 复数的辐角和辐角主值 【典例1】任意复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）都可以z＝r（cosθ+isinθ）的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数，则z的辐角主值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：， ∵0≤θ＜2π， ∴r＝1，． 故z的辐角主值为， 故选：D． 【变式1】一般地，任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以写成z＝r（cosθ+isinθ）的三角形式，其中，，r是复数的模，θ是复数的辐角，并规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角主值，则方程x2+6x+12＝0的复数根的辐角主值是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解答】解：设方程x2+6x+12＝0的复数根为z＝a+bi（a，b∈R），则（a+bi）2+6（a+bi）+12＝0， 即（a2+6a﹣b2+12）+（2ab+6b）i＝0，则，解得或， 所以或， 又z，z， 且， 所以方程x2+6x+12＝0的复数根的辐角主值是，． 故选：BC． 题型16 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 【典例1】已知复数（i为虚数单位），则z2+z等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【答案】A 【解答】解：由题可得z， 所以． 故选：A． 【变式1】设z1＝1﹣i，，，则以下选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解答】解：已知z1＝1﹣i，可得，所以，所以选项A正确； z1＝1﹣i． 因为， 所以，所以选项B正确； 由前面可知，可得：， 所以选项C错误； ． 所以，所以选项D正确，所以选项D正确． 故选：ABD． 过 关 验 收 1．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2019，则复数z对应的点在第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【解答】解：z＝1+i+i2+i3+…+i2019 ＝（1+i﹣1﹣i）+…+（1+i﹣1﹣i） ＝0， ∴复数z对应的点在第四象限． 故选：D． 2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若（2﹣i）•z1＝i+i2+i3+…+i2018（其中i是虚数单位），则复数z2的虚部等于（　　） A． B． C． D．i 【答案】A 【解答】解：∵in（n∈N*）的取值呈现周期性，周期为4，且i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0， ∴（2﹣i）•z1＝i+i2+i3+…+i2018＝i+i2＝﹣1+i， ∴， ∴，则z2的虚部等于． 故选：A． 3．已知z1，z2是复数，则下列说法正确的是（　　） A．若，则z1﹣z2是实数 B．若为虚数，则z1是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D．|z1z2|＝|z1||z2| 【答案】BCD 【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R）， 若，则z2＝a﹣bi，z1﹣z2＝2bi，当b≠0时不是实数，故A错误； 由是虚数，得ab≠0，则z1是虚数，故B正确； 是实数，故C正确； 设z2＝c+di（c，d∈R）， 则 ，故D正确． 故选：BCD． 4．已知i为虚数单位，则i2026﹣i的虚部为（　　） A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i 【答案】A 【解答】解：i2026﹣i＝i4×506+2﹣i＝﹣1﹣i， 则i2026﹣i的虚部为﹣1． 故选：A． 5．若复数z满足i﹣iz＝1，则的虚部为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【答案】A 【解答】解：由i﹣iz＝1，得， 则的虚部为﹣1． 故选：A． 6．已知a∈R，i为虚数单位，若复数（2+i）（a+i）的实部与虚部相等，则a＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：（2+i）（a+i）＝2a﹣1+（2+a）i， 所以2a﹣1＝2+a，解得a＝3． 故选：D． 7．设复数z1，z2是关于x的方程x2+mx+1＝0（m∈R）的两个根，z1，z2在复平面内所对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（　　） A．z1•z2＝0 B． C．|z1|≠|z2| D．z1+z2为纯虚数 【答案】B 【解答】解：由复数z1，z2是关于x的方程x2+mx+1＝0（m∈R）的两个根， z1，z2在复平面内所对应的点分别为Z1，Z2，且， 可知，则点Z1，Z2不同在x轴上， 可知方程x2+mx+1＝0（m∈R）无实数根，则两个复数根z1，z2必为共轭复数，得|z1|＝|z2|，故C错误； 由根与系数的关系得，z1+z2＝﹣m，z1z2＝1，故z1+z2为实数，故A，D错误， 方程的根为， 即， 所以， 由，得，即m2＝2， 故，故B正确． 故选：B． 8．为纯虚数，则实数m＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：，由题意得，则． 故选：A． 9．已知复数z＝（1+2i）（a﹣3i）为纯虚数，则实数a的值为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：z＝（1+2i）（a﹣3i）＝a+6+（2a﹣3）i， 由复数z为纯虚数，得，解得a＝﹣6． 故选：A． 10．设复数z1＝a，z2＝a，其中i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a＝（　　） A． B． C．或 D．0 【答案】C 【解答】解：复数z1＝a，z2＝a，其中i是虚数单位， 若为纯虚数， 则i， 可得0，且0， 解得a＝±， 故选：C． 11．若a，b，c∈C（C为复数集），则（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0是a＝b＝c的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解答】解：若a＝b＝c，则（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0成立， 若b＝0，a＝1，c＝i时，满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝1+i2＝1﹣1＝0，但a＝b＝c不成立， 故（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0是a＝b＝c的必要不充分条件， 故选：C． 12．已知定义在复数集C上的函数f（x）满足f（x），则f（1+i）等于（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．2+i 【答案】C 【解答】解：∵1+i∉R， ∴f（1+i）＝（1﹣i）（1+i）＝1﹣i2＝2， 故选：C． 13．已知定义在复数集C上的函数f（x），则f（f（1））在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解答】解：由题意得，f（1）＝1﹣i， ∴f（f（1））＝f（1﹣i）i， 则f（f（1））在复平面内对应的点的坐标为（，），即在第一象限， 故选：A． 14．已知定义在复数集C上的函数f（x）满足f（x），f（1+i）等于（　　） A．2 B．0 C．（1，2] D．（2+i） 【答案】A 【解答】解：∵f（x），1+i∉R ∴f（1+i）＝（1﹣i）（1+i）＝2 故选：A． 15．若，则3a﹣b＝（　　） A．9 B．﹣9 C．11 D．﹣11 【答案】D 【解答】解：若， 则2﹣5i＝﹣2b+（a﹣1）i，即，解得， 故3a﹣b＝﹣12﹣（﹣1）＝﹣11． 故选：D． 16．已知复数，且z1＝z2，则λ的取值范围是（　　） A． B． C． D．[1，7] 【答案】B 【解答】解：复数，且z1＝z2， 所以， 则， 因为θ∈R，所以sinθ∈[﹣1，1]， 当时，，当λ＝﹣1时，λmax＝7， 所以λ的取值范围是． 故选：B． 17．设i为虚数单位，已知复数z1＝sinα+2i，z2＝1+（cosα）i（其中α∈R），设，则（　　） A．当时，b＝1 B．对任意α∈R，都有b≠0 C．存在α∈R，使得a2+b2＝4 D．存在α∈R，使得a2﹣b2＝2 【答案】ABC 【解答】解：因为复数z1＝sinα+2i，z2＝1+（cosα）i， 所以， ； A，，b1，A对； B，sinαcosα⇒2﹣sinαcosα，且1+cos2α≤2，b0，B对； C，a2+b2＝||2， 令a2+b2＝4⇒5﹣cos2α＝4+4cos2α⇒cos2α，C对； D，若a2﹣b2＝2，则（sinα+2cosα ）2﹣（2﹣sinαcosα）2＝2（1+cos2α ）2⇒8sinαcosα＝cos4α+2cos2α+5， 左边≤4，右边≥5，矛盾，D错． 故选：ABC． 18．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：∵复数z满足， ∴1i， ∴z在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 19．如图，复数z在复平面内对应的点为Z，则z＝（　　） A．1+i B．1﹣i C．1 D． 【答案】A 【解答】解：若z＝a+bi，则在复平面内对应的点的坐标为（a，b）． 由已知Z的坐标为Z（1，1），可得z＝1+i． 故选：A． 20．已知复数z1＝2+i，在复平面内，复数z1与z2对应的点关于直线y＝x对称，则（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：复数z1＝2+i对应的点为（2，1），该点关于直线y＝x对称的点为（1，2），故z2＝1+2i． 因此，． 故选：D． 21．已知复数z满足i•z+2＝2i，则|z|＝（　　） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解答】解：由i•z+2＝2i，得2+2i，则． 故选：B． 22．已知复数z是虚部为正数的纯虚数，且满足，则|z|＝（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】A 【解答】解：设z＝bi（b∈R，b＞0）， 因为， 所以，解得， 即，故，解得b＝1或﹣2， 因为b＞0，所以b＝1，故|z|＝1． 故选：A． 23．复数的共轭复数是（　　） A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 【答案】C 【解答】解：复数2﹣i的共轭复数为﹣2+i． 故选：C． 24．已知复数z满足（1﹣i）2z＝2﹣4i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【答案】B 【解答】解：∵（1﹣i）2z＝2﹣4i， ∴﹣2iz＝2﹣4i， ∴， ∴，其虚部为﹣1． 故选：B． 25．复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则， 代入，得2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝2﹣3i， 即a+3bi＝2﹣3i，可得a＝2，b＝﹣1， 则复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限． 故选：D． 26．已知，则z＝（　　） A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i 【答案】C 【解答】解：由已知可得z＝（1﹣i）（z﹣2），所以2+2i． 故选：C． 27．若复数z满足（z+i）i＝4﹣i，则z在复平面内的对应点为（　　） A．（1，﹣5） B．（﹣1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，5） 【答案】C 【解答】解：由题可得， 故z＝﹣1﹣5i，对应点为（﹣1，﹣5）． 故选：C． 28．设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为， 所以由共轭复数的定义可知，． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $