第03讲 复数（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦复数的概念与四则运算核心考点，按概念（分类、相等、模、共轭复数）、运算（加减乘除、解方程）及几何意义的逻辑架构梳理知识，通过考情分析、知识框架搭建、题型拆解、真题训练与分层练习环节，帮助学生系统突破难点，体现复习的针对性。 资料以题型破译（8类题型）和分层训练（基础与创新）为特色，结合易错提醒与方法技巧总结，如复数几何意义的坐标对应分析，培养学生运算能力与几何直观（数学思维与眼光）。通过真题溯源与课本典例衔接，确保高效复习，为教师把控节奏提供清晰指导，提升学生应考能力。

第03讲 复数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 复数的概念 知识点2 复数的四则运算 题型破译 (含超链接） 题型1 复数的概念 题型2 复数的分类 【易错提醒】求解复数概念问题的易错点 题型3 复数相等 题型4 复数的模与共轭复数模 【方法技巧】求解复数概念问题的关键点 题型5 复数的几何意义 题型6 复数的加减运算 题型7 复数的乘除运算 【方法技巧】求解复数运算问题的关键点 题型8 一元二次方程在复数范围的根 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养,研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 复数的概念 北京卷T2（5分） 北京卷T2（5分） —— 复数的运算 北京卷T2（5分） 北京卷T2（5分） 北京卷T2（5分） 考情分析 高考中复数为必考知识点,通常以客观题形式考查,多为基础题,本专题考查热点是复数的概念及复数的四则运算. 复习目标 1. 了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.掌握复数代数形式的表示方法及分类,理解复数相等的充要条件； 2. 理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念..掌握用向量的模来表示复数的模的方法； 3. 熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.理解复数加、减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.掌握复平面上两点间的距离公式； 4. 掌握复数代数形式的乘、除运算,并理解复数乘法的运算律.会在复数范围内解方程.了解in的周期性. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架,构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识,归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 复数的概念 知识梳理 1.复数 (1)定义：我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位. (2)表示方法：复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 3.复数的分类 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下： (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4.复数相等的充要条件 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.特殊地,a+bi=0⇔a=b=0. 5.复数与复平面内点的关系 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义. 6.复数与复平面内的向量的关系及复数的模 (1)复数与平面向量：如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量由点Z唯一确定；反过来,点Z也可以由向量唯一确定. 因此,复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应),即复数z=a+bi平面向量.这是复数的另一种几何意义. 为方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量,并且规定,相等的向量表示同一个复数. (2)复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值. ②记法：复数z=a+bi的模记作|z|或|a+bi|. ③公式：|z|=|a+bi|=. 【解读与归纳】 (1)i2=-1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)正确理解复数的概念,不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数,也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a,b∈R),z为纯虚数⇔z为实数⇔b＝0. 自主检测（2026. 北京市东城区. 高三下二模）在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】, 则其共轭复数为,实部,虚部,故对应点位于第四象限. 知识点2 复数的四则运算 知识梳理 1.复数的加、减法运算 (1)复数加、减法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i, z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有： (1)(交换律)z1+z2=z2+z1； (2)(结合律)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 3.复数加、减法的几何意义 复数加法的几何意义是以为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线对应的向量. 复数减法的几何意义是从的终点指向的终点对应的向量. 4.复平面上两点间的距离公式及其应用 |Z1Z2|=||=|z2-z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|=. 5.复数乘法的运算法则和运算律 ①设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 6.复数的除法法则 复数除法的法则是：(a+bi)÷(c+di)=+i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0). 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型,则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型,则分子、分母同乘a+bi,即分子、分母同乘分母的共轭复数. 【解读与归纳】 (1); (2); (3); (4) 自主检测（2026. 北京市通州区.高三上摸底）已知复数满足,则（   ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【解析】复数满足,则, 则.故选C. 题●型●破●译 题型1 复数的概念 例1-1（2026. 北京市人大附中.高三下5月热身练）已知复数满足,则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,则,所以的虚部为． 例1-2（2026. 北京市昌平区.高三下第一次统练）如果复数的实部与虚部相等,那么（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为,,且复数的实部与虚部相等,所以. 【变式训练1-1. 变考法】（2026·北京市五十七中·高三下考前自测）已知复数,则________,其中复数的虚部为________． 【答案】 【解析】由,则,所以,的虚部为． 【变式训练1-2. 变考法】（2026. 北京市朝阳区.高三下质量检测）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【解析】因为复数的实部为1,虚部为,所以实部与虚部的和是. 题型2 复数的分类 例2-1【新角度】（2026·北京市大兴精华学校·高三下5月适应性测试）已知复数,,若为实数,则_______． 【答案】 【解析】由题设为实数, 所以. 例2-2【新思维】设是纯虚数,若复数在复平面内对应的点位于实轴上,则_________． 【答案】 【解析】由于是纯虚数,则设,由 由于复数在复平面内对应的点位于实轴上,所以,解得：,即. 易错提醒 求解复数概念问题的易错点 (1) 对于复数a＋bi,如果a,b∈C(或没有明确界定a,b∈R),则不可想当然地判定a,b∈R； (2)对于a＋bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件,只注意了a＝0而漏掉了b≠0. 【变式训练2-1】若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,则实数m的值为(　　) A.-1 B.±1 C.1 D.-2 【答案】C 【解析】因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,所以m2-m-2≠0且m2-1=0,解得m=1. 【变式训练2-2.变背景】以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是 (　　) A.2-2i B.-+i C.2+i D.+i 【答案】A 【解析】设所求的新复数为z=a+bi(a,b∈R),由题意知,复数-+2i的虚部为2,复数i+2i2=i+2×(-1)=-2+i的实部为-2,则所求的新复数为z=2-2i. 题型3 复数相等 例3-1(2026. 北京市丰台区怡海中学. 高三下模拟预测试卷) 设,其中x,y是实数,则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】因为,所以,因为x,y是实数,所以,所以, 所以. 例3-2【新考法】（2026. 北京市海淀区教师进修学校附属实验学校. 高三考前自测）已知复数,,,则复数的虚部是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为,所以,即, 由,得：解得,所以复数的虚部是. 【变式训练3-1.变条件】（2026. 北京市通州区. 高三下4月模拟）已知复数（）,则（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】C 【解析】因为,所以,所以,所以. 【变式训练3-2. 变考法】已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于(　　) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 【答案】B 【解析】由题意知(n2+mn)+2ni=-2-2i,即解得∴z=3-i. 题型4 复数的模与共轭复数 例4-1(2026. 北京市十一学校. 高三下5月月考) 已知复数在复平面内对应点的坐标为,则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】由题得,,所以． 例4-2（2026. 北京市顺义区第一中学. 高三下考前适应性检测）已知复数满足,则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解析】由条件可知,,所以. 例4-3（2026. 北京市清华大学附中. 高三一模）复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】复数，则，所以在复平面上对应的点位于第三象限. 方法技巧 求解复数概念问题的关键点 复数的分类,复数的相等,复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a＋bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解． 【变式训练4-1】（2026. 北京市第十三中学.高三上12月测试）已知复数,则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知.故选A. 【变式训练4-2.变条件】（2026. 北京市一五六中.高三上10月月考）已知复数,,那么__________. 【答案】 【解析】因为,,则, .所以. 题型5 复数的几何意义 例5-1（2026. 北京市昌平区. 高三下第二次统练）在复平面内,复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 复数的分子分母同乘进行化简,得. ∴ 该复数对应的点的坐标为. 例5-2（2026. 北京市大兴区第一中学. 高三下高考适应性测试）复数在复平面内所对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】,对应复平面内点,位于第二象限． 【变式训练5-1.变考法】（2026. 北京师大附中. 高三下考前模拟自测）在复平面内,复数的共轭复数对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】复数,所以共轭复数对应的点的坐标是.故选B. 【变式训练5-2.变考法】（2026. 北京市第八十中学. 高三下考前热身）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限,则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】, 由复数在复平面内对应的点在第三象限,得,解得,即. 题型6 复数的加减运算 例6-1【新背景】若z+3-2i=4+i,则z等于(　　) A.1+i B.1+3i C.-1-i D.-1-3i 【答案】B 【解析】z=4+i-(3-2i)=1+3i. 例6-2(2026. 北京市第一六一中学.高三下考前热身测试) 复数________． 【答案】 【解析】因为,所以.因此. 【变式训练6-1.变背景】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则复数z1-z2对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】由图可知=(-2,-1),=(0,1),所以z1=-2-i,z2=i, 因此z1-z2=-2-i-i=-2-2i,所以z1-z2在复平面内所对应的点为(-2,-2),在第三象限. 题型7 复数的乘除运算 例7-1（2026. 北京市门头沟区.高三下3月综合练习）在复平面内,复数满足,则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由,得,故,所以. 例7-2（2026.北京市十一学校. 高三上1月月考）已知复数z满足,其中i为虚数单位,则z为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,所以．所以. 方法技巧 求解复数运算问题的关键点 (1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可． (2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答． (4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答． (5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的． 【变式训练7-1. 变条件】（2026. 北京市第五十五中学. 高三上期中）已知复数满足（是虚数单位）且z的实部与虚部相等,那么（  ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】由,得,由题意可得,故选A. 【变式训练7-2.】（2026. 北京市第八中学. 高三上开学练）若,则_________. 【答案】 【解析】由, 则, 所以. 题型8 复数范围内解方程 例8-1设z1,z2是方程x2+x+1=0在复数范围内的两个解,则(　　) A.|z1-z2|= B.|z1|= C.z1+z2=1 D.z1z2=1 【答案】D 【解析】由方程x2+x+1=0得,Δ=1-4=-3<0,由求根公式得x=, 不妨设z1=-+i,z2=--i.|z1-z2|=|i|=,A错误；|z1|= ==1,B错误；z1+z2=-1,C错误；z1z2=1,D正确. 例8-2已知复数z=1-2i. (1)若zz0=2z+z0,求复数z0的共轭复数；(5分) (2)若z是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根,求实数m的值.(8分) 解　(1)因为zz0=2z+z0, 所以z0===2+i. 所以复数z0的共轭复数为2-i. (2)方法一　因为z是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根,所以(1-2i)2-m(1-2i)+5=0, 即(2-m)+(2m-4)i=0. 又因为m是实数,所以2-m=0,且2m-4=0,所以m的值为2. 方法二　由题意知,1-2i和1+2i是关于x的方程x2-mx+5=0的两个根, 所以m=1-2i+1+2i=2. 【变式训练8-1.变背景】（2026. 北京十一学校. 高三上12月月考）已知复数（,为虚数单位）,在复平面上对应的点在第四象限,且满足． (1)求实数的值； (2)若复数是关于的方程（且）的一个复数根,求的值． 解：（1）由,,得,即, 因为在复平面上对应的点在第四象限,则, 所以, （2）由（1）知,, 由复数是关于x的方程的根, 得, 整理得, 因为,所以, 解得. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑,感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）已知,,则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】由题意,则. 2．（2026·全国2卷·高考真题）=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足,则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】由可得,,所以,故选B. 4．（2024·北京·高考真题）已知,则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得.故选C. 5．（2023·北京·高考真题）在复平面内,复数对应的点的坐标是,则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在复平面对应的点是,根据复数的几何意义,, 由共轭复数的定义可知,.故选D 课本典例·高考素材 ——立足课本典例,挖掘高考素材 1.复数的共轭复数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为,所以其共轭复数为,故选D. 2.当时,复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【解析】,该复数在复平面内对应的点为,因为,所以,,所以点在第四象限,故选D. 3.若,则复平面内满足的点Z的集合是什么图象？ 解：在复平面内的几何意义是点到点, 所以点的集合是以为圆心,半径为3的圆面. 4.若与都是纯虚数,求； 解：因为为纯虚数,设, 则, 所以,所以,. 5.已知,求及. 解：由已知得, 所以. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点,提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：复数的概念、复数的四则运算 1. （2026. 北京市房山区.高三下第一次综合练）若复数满足,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】, 2．（2026. 北京市石景山区.高三下5月统一练）在复平面内,复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】,复数对应的点为,位于第四象限. 3. （2026. 北京市市第四中学. 高三下考前模拟）已知复数,则复平面内,复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由, 得,故对应的点为, 由其横、纵坐标均为负可知该点位于第三象限. 4．（2026. 北京市大兴精华学校.高三下5月适应性测试）已知i是虚数单位,,已知是复数的共轭复数,则下列结论错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 【答案】B 【解析】,对于A,,A正确；对于B,,当时,,B错误；对于C,,C正确；对于D,,所以,D正确. 5.（2026. 北京人大附中.高三下统练二）在复平面内,点对应的复数为,则复数的虚部为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】复数在复平面内对应的点为,则复数, 复数,则复数的虚部为. 6．（2026. 北京市中关村中学. 高三上12月月考）若复数z满足,则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由,则.故选D 7．（2026. 北京市第十三中学.高三下开学考）若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,得, 所以.故选B 8．（2026. 北京市海淀区. 高三下期中）若复数z满足,则______,______ 【答案】 【解析】,,得.,. 9．（2026. 北京市朝阳区.高三上期中）已知复数满足,则的共轭复数__________. 【答案】 【解析】因为,所以,所以. 10．（2026. 北京市顺义区.高三上期中）复数的共轭复数所对应的点坐标为_____. 【答案】 【解析】,所以,对应点的坐标为 重难·创新演练 试题创新:T5新设问；T2、T4、T6新考法；T3、T7新情境；T1数学文化 1．欧拉公式（是自然对数的底数,是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式,化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意, 2．设为复数,其中．问哪个实数可以使得和在复平面上是共线的三点？（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】实数对应点,对应点, ,对应点, 所以 ,又三点共线,所以 ,解得. 3．已知复数满足,,且的虚部为正,则（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】设,则.由题意,. 又,. 两式相加,得,所以,又,所以. 由,得.即.解得. 由于的虚部为正,所以.于是. 因此. 4.设复数记,,则,的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【解析】设,则, 设,则, , , 因为, 所以. 5．已知复数满足,则满足该方程的复数的个数为________． 【答案】7 【解析】当时,,,满足； 当时,则,因为,所以,所以,, 当时,有,则得,即, 而方程在复数范围内有6个不同的根, 综上所述,满足条件的复数的个数为7个. 6．(2026. 北京延庆区.高三下测试) 设复数满足,则所有满足条件的复数的乘积为________． 【答案】 【解析】设,由得①, 由得②, 联立①②得③, 设满足条件的两个复数,, 联立①③得,由韦达定理, 则, 实部：, 虚部：, 故所有满足条件的复数的乘积为． 7．（2026. 北京中国人大附中.高三下假期作业验收）四个互不相等的复数的实部和虚部都是非负整数,且,则______． 【答案】 【解析】由题可知,的模长的平方都是正整数, 由于且1013是素数,又,则四个模长只能为,,,,因此,最多有两个复数的模为1, 所以中有两个模长为1,剩余两个模长分别为和, 满足题目条件且模长为1的复数仅有1和,模长为的复数仅有,模长为的复数仅有和,因此, 或, 无论哪种情况,均有． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 复数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 复数的概念 知识点2 复数的四则运算 题型破译 (含超链接） 题型1 复数的概念 题型2 复数的分类 【易错提醒】求解复数概念问题的易错点 题型3 复数相等 题型4 复数的模与共轭复数模 【方法技巧】求解复数概念问题的关键点 题型5 复数的几何意义 题型6 复数的加减运算 题型7 复数的乘除运算 【方法技巧】求解复数运算问题的关键点 题型8 一元二次方程在复数范围的根 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养,研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 复数的概念 北京卷T2（5分） 北京卷T2（5分） —— 复数的运算 北京卷T2（5分） 北京卷T2（5分） 北京卷T2（5分） 考情分析 高考中复数为必考知识点,通常以客观题形式考查,多为基础题,本专题考查热点是复数的概念及复数的四则运算. 复习目标 1. 了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.掌握复数代数形式的表示方法及分类,理解复数相等的充要条件； 2. 理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念..掌握用向量的模来表示复数的模的方法； 3. 熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.理解复数加、减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.掌握复平面上两点间的距离公式； 4. 掌握复数代数形式的乘、除运算,并理解复数乘法的运算律.会在复数范围内解方程.了解in的周期性. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架,构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识,归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 复数的概念 知识梳理 1.复数 (1)定义：我们把形如 的数叫做复数,其中i叫做 . (2)表示方法：复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的 ,b叫做复数z的 . 2.复数集 (1)定义：全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做 . (2)表示：通常用大写字母 表示. 3.复数的分类 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下： (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4.复数相等的充要条件 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.特殊地,a+bi=0⇔a=b=0. 5.复数与复平面内点的关系 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义. 6.复数与复平面内的向量的关系及复数的模 (1)复数与平面向量：如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量由点Z唯一确定；反过来,点Z也可以由向量 确定. 因此,复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了 关系(实数0与零向量对应),即复数z=a+bi平面向量.这是复数的另一种几何意义. 为方便起见,我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量,并且规定,相等的向量表示同一个复数. (2)复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值. ②记法：复数z=a+bi的模记作 . ③公式：|z|=|a+bi|=. 【解读与归纳】 (1)i2=-1. (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算. (3)正确理解复数的概念,不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数,也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a,b∈R),z为纯虚数⇔z为实数⇔b＝0. 自主检测（2026. 北京市东城区. 高三下二模）在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点2 复数的四则运算 知识梳理 1.复数的加、减法运算 (1)复数加、减法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i, z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有： (1)(交换律)z1+z2= ； (2)(结合律)(z1+z2)+z3= . 3.复数加、减法的几何意义 复数加法的几何意义是以为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线对应的向量. 复数减法的几何意义是从的终点指向的终点对应的向量 . 4.复平面上两点间的距离公式及其应用 |Z1Z2|=||=|z2-z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|= . 5.复数乘法的运算法则和运算律 ①设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2= . ②复数乘法的运算律 对任意复数z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3= 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)= 6.复数的除法法则 复数除法的法则是：(a+bi)÷(c+di)= (a,b,c,d∈R,且c+di≠0). 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型,则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型,则分子、分母同乘a+bi,即分子、分母同乘分母的共轭复数. 【解读与归纳】 (1); (2); (3); (4) 自主检测（2026. 北京市通州区.高三上摸底）已知复数满足,则（   ） A．1 B． C． D．5 题●型●破●译 题型1 复数的概念 例1-1（2026. 北京市人大附中.高三下5月热身练）已知复数满足,则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】,则,所以的虚部为． 例1-2（2026. 北京市昌平区.高三下第一次统练）如果复数的实部与虚部相等,那么（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为,,且复数的实部与虚部相等,所以. 【变式训练1-1. 变考法】（2026·北京市五十七中·高三下考前自测）已知复数,则________,其中复数的虚部为________． 【变式训练1-2. 变考法】（2026. 北京市朝阳区.高三下质量检测）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 题型2 复数的分类 例2-1【新角度】（2026·北京市大兴精华学校·高三下5月适应性测试）已知复数,,若为实数,则_______． 【答案】 【解析】由题设为实数, 所以. 例2-2【新思维】设是纯虚数,若复数在复平面内对应的点位于实轴上,则_________． 【答案】 【解析】由于是纯虚数,则设,由 由于复数在复平面内对应的点位于实轴上,所以,解得：,即. 易错提醒 求解复数概念问题的易错点 (1) 对于复数a＋bi,如果a,b∈C(或没有明确界定a,b∈R),则不可想当然地判定a,b∈R； (2)对于a＋bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件,只注意了a＝0而漏掉了b≠0. 【变式训练2-1】若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,则实数m的值为(　　) A.-1 B.±1 C.1 D.-2 【变式训练2-2.变背景】以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是 (　　) A.2-2i B.-+i C.2+i D.+i 题型3 复数相等 例3-1(2026. 北京市丰台区怡海中学. 高三下模拟预测试卷) 设,其中x,y是实数,则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】因为,所以,因为x,y是实数,所以,所以, 所以. 例3-2【新考法】（2026. 北京市海淀区教师进修学校附属实验学校. 高三考前自测）已知复数,,,则复数的虚部是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为,所以,即, 由,得：解得,所以复数的虚部是. 【变式训练3-1.变条件】（2026. 北京市通州区. 高三下4月模拟）已知复数（）,则（   ） A． B．1 C．3 D．5 【变式训练3-2. 变考法】已知关于x的方程(x2+mx)+2xi=-2-2i(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于(　　) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 题型4 复数的模与共轭复数 例4-1(2026. 北京市十一学校. 高三下5月月考) 已知复数在复平面内对应点的坐标为,则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】由题得,,所以． 例4-2（2026. 北京市顺义区第一中学. 高三下考前适应性检测）已知复数满足,则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解析】由条件可知,,所以. 例4-3（2026. 北京市清华大学附中. 高三一模）复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】复数，则，所以在复平面上对应的点位于第三象限. 方法技巧 求解复数概念问题的关键点 复数的分类,复数的相等,复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a＋bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解． 【变式训练4-1】（2026. 北京市第十三中学.高三上12月测试）已知复数,则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2.变条件】（2026. 北京市一五六中.高三上10月月考）已知复数,,那么__________. 题型5 复数的几何意义 例5-1（2026. 北京市昌平区. 高三下第二次统练）在复平面内,复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ 复数的分子分母同乘进行化简,得. ∴ 该复数对应的点的坐标为. 例5-2（2026. 北京市大兴区第一中学. 高三下高考适应性测试）复数在复平面内所对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】,对应复平面内点,位于第二象限． 【变式训练5-1.变考法】（2026. 北京师大附中. 高三下考前模拟自测）在复平面内,复数的共轭复数对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2.变考法】（2026. 北京市第八十中学. 高三下考前热身）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限,则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型6 复数的加减运算 例6-1【新背景】若z+3-2i=4+i,则z等于(　　) A.1+i B.1+3i C.-1-i D.-1-3i 【答案】B 【解析】z=4+i-(3-2i)=1+3i. 例6-2(2026. 北京市第一六一中学.高三下考前热身测试) 复数________． 【答案】 【解析】因为,所以.因此. 【变式训练6-1.变背景】如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则复数z1-z2对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型7 复数的乘除运算 例7-1（2026. 北京市门头沟区.高三下3月综合练习）在复平面内,复数满足,则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由,得,故,所以. 例7-2（2026.北京市十一学校. 高三上1月月考）已知复数z满足,其中i为虚数单位,则z为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,所以．所以. 方法技巧 求解复数运算问题的关键点 (1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可． (2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答． (4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答． (5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的． 【变式训练7-1. 变条件】（2026. 北京市第五十五中学. 高三上期中）已知复数满足（是虚数单位）且z的实部与虚部相等,那么（  ） A． B．1 C．2 D．4 【变式训练7-2.】（2026. 北京市第八中学. 高三上开学练）若,则_________. 题型8 复数范围内解方程 例8-1设z1,z2是方程x2+x+1=0在复数范围内的两个解,则(　　) A.|z1-z2|= B.|z1|= C.z1+z2=1 D.z1z2=1 【答案】D 【解析】由方程x2+x+1=0得,Δ=1-4=-3<0,由求根公式得x=, 不妨设z1=-+i,z2=--i.|z1-z2|=|i|=,A错误；|z1|= ==1,B错误；z1+z2=-1,C错误；z1z2=1,D正确. 例8-2已知复数z=1-2i. (1)若zz0=2z+z0,求复数z0的共轭复数；(5分) (2)若z是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根,求实数m的值.(8分) 解　(1)因为zz0=2z+z0, 所以z0===2+i. 所以复数z0的共轭复数为2-i. (2)方法一　因为z是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根,所以(1-2i)2-m(1-2i)+5=0, 即(2-m)+(2m-4)i=0. 又因为m是实数,所以2-m=0,且2m-4=0,所以m的值为2. 方法二　由题意知,1-2i和1+2i是关于x的方程x2-mx+5=0的两个根, 所以m=1-2i+1+2i=2. 【变式训练8-1.变背景】（2026. 北京十一学校. 高三上12月月考）已知复数（,为虚数单位）,在复平面上对应的点在第四象限,且满足． (1)求实数的值； (2)若复数是关于的方程（且）的一个复数根,求的值． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑,感知高考考向 1．（2026·北京·高考真题）已知,,则（ ） A. B. C. 2 D. 8 2．（2026·全国2卷·高考真题）=（ ） A. B. C. D. 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足,则（   ） A． B． C．4 D．8 4．（2024·北京·高考真题）已知,则（    ）． A． B． C． D． 5．（2023·北京·高考真题）在复平面内,复数对应的点的坐标是,则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例,挖掘高考素材 1.复数的共轭复数为（） A． B． C． D． 2.当时,复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.若,则复平面内满足的点Z的集合是什么图象？ 5.已知,求及. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点,提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：复数的概念、复数的四则运算 1. （2026. 北京市房山区.高三下第一次综合练）若复数满足,则（    ） A． B． C． D． 2．（2026. 北京市石景山区.高三下5月统一练）在复平面内,复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. （2026. 北京市市第四中学. 高三下考前模拟）已知复数,则复平面内,复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026. 北京市大兴精华学校.高三下5月适应性测试）已知i是虚数单位,,已知是复数的共轭复数,则下列结论错误的是（    ） A． B．为纯虚数 C． D． 5.（2026. 北京人大附中.高三下统练二）在复平面内,点对应的复数为,则复数的虚部为（   ） A．2 B． C． D． 6．（2026. 北京市中关村中学. 高三上12月月考）若复数z满足,则（   ） A． B． C． D． 7．（2026. 北京市第十三中学.高三下开学考）若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,则（   ） A．5 B． C．3 D． 8．（2026. 北京市海淀区. 高三下期中）若复数z满足,则______,______ 9．（2026. 北京市朝阳区.高三上期中）已知复数满足,则的共轭复数__________. 10．（2026. 北京市顺义区.高三上期中）复数的共轭复数所对应的点坐标为_____. 重难·创新演练 试题创新:T5新设问；T2、T4、T6新考法；T3、T7新情境；T1数学文化 1．欧拉公式（是自然对数的底数,是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式,化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．设为复数,其中．问哪个实数可以使得和在复平面上是共线的三点？（    ） A． B．1 C． D． 3．已知复数满足,,且的虚部为正,则（   ） A． B． C． D．6 4.设复数记,,则,的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 5．已知复数满足,则满足该方程的复数的个数为________． 6．(2026. 北京延庆区.高三下测试) 设复数满足,则所有满足条件的复数的乘积为________． 7．（2026. 北京中国人大附中.高三下假期作业验收）四个互不相等的复数的实部和虚部都是非负整数,且,则______． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $