第24讲 平面向量基本定理及坐标表示（7个核心题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心考点，涵盖基底概念辨析、向量表示、参数求解、坐标运算、共线与数量积、模长夹角等题型，按“核心知识-方法技巧-经典例题-巩固练习”逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生构建知识体系，突破向量分解与坐标运算难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如用基底表示向量时引导多步拆分转化，培养推理能力，坐标运算中结合图形建系发展模型观念。设计“题型归纳-例题精讲-分层练习”三阶训练，配合高考真题实例，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第24讲 平面向量基本定理及坐标表示 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 基底的概念及其辨析 核心知识 平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线向量 那么对于平面内任意向量有且仅有唯一一组实数使 不共线的两个向量叫做一组基底 基底两个向量不能为零向量不能共线 同一平面基底有无穷多组 方法技巧 判断能否做基底直接检验两向量是否共线 零向量不能作为基底 基底不要求模长相等也不要求互相垂直 一组基底确定之后向量分解形式唯一 辨析题重点排除共线向量的干扰 【经典例题1】（25-26高一下·新疆伊犁·期中）若，是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【经典例题2】（25-26高一下·四川宜宾·期末）向量，，若可以构成一个基底，则不可能是（     ） A．2 B．1 C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·河南信阳·期末）已知向量和满足，在上的投影向量为，是与方向相同的单位向量． (1)求与的夹角； (2)若与能构成一个平面的一组基底，求的取值范围． 【巩固练习2】（25-26高一下·湖北武汉·期末）（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习3】（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）（多选）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型2】 用基底表示向量 核心知识 平面内任意向量都可以向选定的一组基底分解 利用向量线性运算完成转化 三角形法则平行四边形法则用于图形向量拆分 方法技巧 选定图形中一组不共线向量作为基底 把目标向量通过加减法拆分为基底组合 充分利用中点分点得到数乘关系 复杂向量多步拆分逐步向基底靠拢 同一个题目全程使用同一组基底 【经典例题1】（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）已知六边形为正六边形，且，，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，已知，点D在边BC上，满足，设． (1)用表示； (2)求AD的长； (3)求． 【巩固练习1】（25-26高一下·四川泸州·期末）在中，，记，．则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是线段上靠近的一个三等分点，设，，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）在中，，点是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】 由平面向量基本定理求参数 核心知识 若且不共线 则基底对应系数相等 方法技巧 等式两边全部整理成同一组基底形式 根据系数相等列方程组求解参数 遇到三点共线条件可以使用快速辅助求解 先移项合并同类项再对比系数 注意区分基底共线与不共线的不同结论 【经典例题1】（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【经典例题2】（25-26高一下·北京·期中）已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·云南昭通·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）如图所示，在中，，，与相交于点． (1)用，表示； (2)求，的值； (3)过点作直线分别交线段于点，记，，当在线段上移动时，求的最小值. 【巩固练习3】如图，给定两个平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上，且（其中），则的取值范围为_______. 【题型4】 平面向量的线性运算的坐标表示 核心知识 若 已知两点则 方法技巧 向量坐标等于终点坐标减去起点坐标 线性运算直接对应坐标分量分别计算 数乘运算两个坐标分量同时乘以系数 图形题目可以建坐标系把向量转为坐标计算 注意不要混淆向量坐标与点的坐标 【经典例题1】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的地砖铺设方式，地砖有正方形与正三角形两种，且它们的边长都相同，若，，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【巩固练习1】（25-26高二下·广东·期末）已知点是单位圆劣弧上一点，，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示，若，则实数的取值范围是___________． 【巩固练习2】（25-26高一下·广西贵港·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，. (1)若向量 ，求实数的值； (2)若点在边上，且，求的值； (3)若，，且，求实数的值. 【巩固练习3】（25-26高一下·安徽宣城·期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，的图形，图中四边形的对角线相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】 向量共线的坐标表示 核心知识 不能写成分母存在为零的情况 方法技巧 判断共线直接使用交叉相乘相减等于0 求解共线条件下参数优先使用 避开除法形式防止漏解 三点共线转化为两个向量坐标共线条件 共线坐标条件不能用于垂直判定 【经典例题1】（23-24高一下·云南昆明·阶段检测）已知向量，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知向量与，且，其中．则______． 【巩固练习1】（2026·河北沧州·一模）已知，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习2】（25-26高二上·福建莆田·开学考试）已知向量，，若，则_________. 【巩固练习3】（25-26高一下·吉林延边·期末）已知平面向量，，且，则_______． 【题型6】 平面向量数量积的坐标运算 核心知识 方法技巧 坐标条件直接代入公式计算数量积 垂直条件直接等价于坐标乘积相加等于0 数量积运算结果为实数 向量平方 已知坐标求垂直参数直接列等式求解 【经典例题1】（26-27高三上·贵州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知、、，则______． 【经典例题2】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知点，，．则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·广东汕头·期末）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 【巩固练习3】（25-26高一下·广东深圳·期末）已知为边长为8的等边三角形，设点M为边的中点，点P在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A．16 B． C．9 D． 【题型7】 模长夹角的坐标运算 核心知识 方法技巧 坐标求模对分量平方求和再开根号 求夹角完整代入坐标版夹角公式 锐角条件：数量积大于0且排除同向共线 钝角条件：数量积小于0且排除反向共线 计算余弦之后注意角度取值范围 【经典例题1】（25-26高一下·河南许昌·期末）（多选）已知向量，，则（   ） A． B．与的夹角的余弦值为 C．在上的投影向量的坐标是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围为 【经典例题2】（2026·山东日照·模拟预测）（多选）已知向量，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【巩固练习1】（25-26高二上·江西·阶段检测）（多选）已知向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【巩固练习2】（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）（多选）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．或 C．与夹角的大小为 D． 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，已知向量，． (1)求向量与向量的夹角； (2)若向量满足且，求的坐标； (3)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·云南·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·山东德州·三模）已知点是所在平面内一点，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃·模拟预测）设向量，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 5．（2026·全国·模拟预测）已知向量，，，其中，，若，，则可以是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·模拟预测）已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（    ） A． B． C． D． 8．（2026·福建·三模）在平面直角坐标系中，已知，若圆上存在点，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·重庆·三模）已知向量，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则 10．（2026·河北秦皇岛·二模）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为锐角，则 D．若，则向量在上的投影向量的坐标为 三、填空题 11．（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则=_________.（用坐标表示） 12．（2026·安徽·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则向量在向量上的投影向量为______．    13．（2026·江西·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________．    14．（2026·山西忻州·模拟预测）在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 15．（2026·天津河西·三模）已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 16．（2026·天津·二模）在平行四边形中，，，点在线段上．若，则___________；的最小值为___________． 17．（2026·吉林白山·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 18．（2026·天津·一模）如图，△ABC中，点D，E，F分别是线段AF，BD，CE的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第24讲 平面向量基本定理及坐标表示 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 基底的概念及其辨析 核心知识 平面向量基本定理如果是同一平面内两个不共线向量 那么对于平面内任意向量有且仅有唯一一组实数使 不共线的两个向量叫做一组基底 基底两个向量不能为零向量不能共线 同一平面基底有无穷多组 方法技巧 判断能否做基底直接检验两向量是否共线 零向量不能作为基底 基底不要求模长相等也不要求互相垂直 一组基底确定之后向量分解形式唯一 辨析题重点排除共线向量的干扰 【经典例题1】（25-26高一下·新疆伊犁·期中）若，是平面内不共线的两向量，则下列向量中不能作为一组基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】因为向量，为平面内不共线的向量，所以向量，是平面内的一组基底， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解. 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 则选项B不能作为一组基底. 【经典例题2】（25-26高一下·四川宜宾·期末）向量，，若可以构成一个基底，则不可能是（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由于可以构成一个基底，故向量与不共线， 故，解得． 【巩固练习1】（25-26高一下·河南信阳·期末）已知向量和满足，在上的投影向量为，是与方向相同的单位向量． (1)求与的夹角； (2)若与能构成一个平面的一组基底，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由在上的投影向量为，得， 所以，解得， 又，所以． （2）当与平行时，设 则，所以， 所以当与能作为基底时，． 【巩固练习2】（25-26高一下·湖北武汉·期末）（多选）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】对于A，设，则，因为，不共线， 所以不存在实数满足条件，故，不共线，可以作为基底. 对于B，设，则， 因为，不共线，所以，所以，共线，不能作为基底. 对于C，设，则，因为，不共线， 所以不存在实数满足条件，故，不共线，可以作为基底. 对于D，设，则， 因为，不共线，所以，所以，共线，不能作为基底. 【巩固练习3】（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）（多选）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断两向量是否共线，即可判断出答案. 【详解】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线， 对于A，若与共线，则存在，使得， 因为不共线，所以，无解，故与不共线，可以作为一组基底； 对于B，若与共线，则存在，使得， 因为不共线，所以，无解，故与不共线，可以作为一组基底； 对于C，因为，即和共线，不能作为基底； 对于D，因为，即和共线，不能作为基底； 【题型2】 用基底表示向量 核心知识 平面内任意向量都可以向选定的一组基底分解 利用向量线性运算完成转化 三角形法则平行四边形法则用于图形向量拆分 方法技巧 选定图形中一组不共线向量作为基底 把目标向量通过加减法拆分为基底组合 充分利用中点分点得到数乘关系 复杂向量多步拆分逐步向基底靠拢 同一个题目全程使用同一组基底 【经典例题1】（25-26高一下·广东广州·期中）（多选）已知六边形为正六边形，且，，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正六边形的特征求出,，再由向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解. 【详解】如图，设 因为六边形ABCDEF为正六边形， 所以，且. 又是等腰三角形，所以， 从而可有， 则， 所以,同理有. 所以，所以选项A正确； ，所以选项B正确； ，所以选项C错误； ，所以选项D正确. 【经典例题2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）在中，已知，点D在边BC上，满足，设． (1)用表示； (2)求AD的长； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算得； （2）利用，分别计算，代入计算可得； （3）利用平面向量基本定理，将用表示，得到，代入的值计算可得. 【详解】（1）因为， . （2）由数量积的定义，可知， 由，所以， 可知. （3）， 所以. 【巩固练习1】（25-26高一下·四川泸州·期末）在中，，记，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴， 即 = =. 【巩固练习2】（25-26高三下·湖北襄阳·阶段检测）如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是线段上靠近的一个三等分点，设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 【巩固练习3】（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）在中，，点是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得 . 【题型3】 由平面向量基本定理求参数 核心知识 若且不共线 则基底对应系数相等 方法技巧 等式两边全部整理成同一组基底形式 根据系数相等列方程组求解参数 遇到三点共线条件可以使用快速辅助求解 先移项合并同类项再对比系数 注意区分基底共线与不共线的不同结论 【经典例题1】（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】设交于，交于，可求得，进而得到，然后利用向量的运算和平面向量基本定理即可求解． 【详解】如图所示，设交于，交于， 由于， 故，又，故， 同理可得，故， 而，故，， 根据三点共线，三点共线，可得，， 解得． 【经典例题2】（25-26高一下·北京·期中）已知在中，，，是线段与的交点．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两组三点共线条件，将目标向量用同一组基底表示出两种形式，再根据平面向量基本定理比较系数列方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 由题意得三点共线，三点共线， 所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以有，解得， 则， 所以，. 【巩固练习1】（25-26高一下·云南昭通·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，通过将转化为，利用，，三点共线建立关于的方程求解即可. 【详解】由，得，则， 所以． 因为是上的一点，即，，三点共线， 根据共线向量定理的推论则有，即，解得． 【巩固练习2】（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）如图所示，在中，，，与相交于点． (1)用，表示； (2)求，的值； (3)过点作直线分别交线段于点，记，，当在线段上移动时，求的最小值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）设，利用，表示，结合平面向量基本定理可得； （2）由（1）求出即可； （3）利用表示，再利用三点共线，可得，结合基本不等式可求. 【详解】（1）设， 因为，， 所以，， 则， 则，， 则由平面向量基本定理可知，，解得， 故； （2）由（1）知，故，； （3）因为点分别位于线段上，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 则，当且仅当等号成立， 故的最小值为. 【巩固练习3】如图，给定两个平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上，且（其中），则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设半径为1，利用辅助角公式进行求解. 【详解】以为原点，为轴，垂直于的射线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：      依题意，不妨设，则，，， 设，点在圆弧上，得， 由，得， 解得，， 所以， 因为，所以，则，所以， 即 的取值范围为 【题型4】 平面向量的线性运算的坐标表示 核心知识 若 已知两点则 方法技巧 向量坐标等于终点坐标减去起点坐标 线性运算直接对应坐标分量分别计算 数乘运算两个坐标分量同时乘以系数 图形题目可以建坐标系把向量转为坐标计算 注意不要混淆向量坐标与点的坐标 【经典例题1】（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多，图案也多种多样.如图是某公司大厅的地砖铺设方式，地砖有正方形与正三角形两种，且它们的边长都相同，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设，，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设，则，，，， 可得，，. 设， 则，解得， 所以，即. 【经典例题2】（25-26高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则（    ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】依题建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算求出即得. 【详解】如图以的起点为坐标原点，沿着网格水平向右与竖直向上分别为轴正方向建立平面直角坐标系. 设每个网格边长为1，则易得， 由可得， 解得，故. 【巩固练习1】（25-26高二下·广东·期末）已知点是单位圆劣弧上一点，，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，如图所示，若，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】通过平面向量的坐标表示及运算把中用表示出来，使用三角函数求取值范围. 【详解】依题意可得，，而，由， 得，则， 由，得，因此， 所以的取值范围是． 【巩固练习2】（25-26高一下·广西贵港·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，. (1)若向量 ，求实数的值； (2)若点在边上，且，求的值； (3)若，，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) ， (3) 【分析】（1）先线性组合构造的坐标，再利用两向量平行的坐标交叉相乘差为列方程求解； （2）由点在上，得点的参数向量形式表示坐标，写出，借助垂直向量点积为求出参数，回代得到点横纵坐标； （3）结合题干给出的点算出，利用与垂直时点积为建立方程解出. 【详解】（1） ，，，则， 由得，解得. （2）点在上，设，即，则， 即，，则，， 由得，解得 所以，. （3），，，得， 又，则， 由得，即，解得. 【巩固练习3】（25-26高一下·安徽宣城·期末）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，的图形，图中四边形的对角线相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，将各点坐标求出，则点为直线与直线的交点，利用直线的交点公式求出点，从而求出的长度，最后根据与的长度求出t. 【详解】以为原点，为轴正方向，为轴的正方向，则， 设点坐标为，则，由题可得， 根据点的位置可得，故直线为， 因为直线为轴，设点为代入直线中， 得，解得，又， 所以，解得. 【题型5】 向量共线的坐标表示 核心知识 不能写成分母存在为零的情况 方法技巧 判断共线直接使用交叉相乘相减等于0 求解共线条件下参数优先使用 避开除法形式防止漏解 三点共线转化为两个向量坐标共线条件 共线坐标条件不能用于垂直判定 【经典例题1】（23-24高一下·云南昆明·阶段检测）已知向量，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 【经典例题2】（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）已知向量与，且，其中．则______． 【答案】/ 【分析】根据向量平行的坐标表示列式，再结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为，所以 . 因为，所以， 由 ， 所以. 【巩固练习1】（2026·河北沧州·一模）已知，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，，则，， 若，则，解得. 【巩固练习2】（25-26高二上·福建莆田·开学考试）已知向量，，若，则_________. 【答案】4 【分析】应用向量线性关系的坐标运算及平行的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】因为，， 所以，又， 所以，解得. 【巩固练习3】（25-26高一下·吉林延边·期末）已知平面向量，，且，则_______． 【答案】 【详解】因为向量，，则， 又因为，则，可得，解得. 【题型6】 平面向量数量积的坐标运算 核心知识 方法技巧 坐标条件直接代入公式计算数量积 垂直条件直接等价于坐标乘积相加等于0 数量积运算结果为实数 向量平方 已知坐标求垂直参数直接列等式求解 【经典例题1】（26-27高三上·贵州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知、、，则______． 【答案】 【详解】由题得，，所以. 【经典例题2】（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）已知点，，．则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出、的坐标，再结合投影向量的计算公式求解即可． 【详解】由题可知，， 则在上的投影向量为 ． 【巩固练习1】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，已知，P是上一点（包含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建系，写出各点坐标，计算数量积表达式，由参数范围最终求得数量积取值区间为. 【详解】如图： 以为原点，为轴，与垂直方向为轴，由， 则： 设，即， 那么     数量积， 的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高一下·广东汕头·期末）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点，通过，得出， 将表示为的函数，利用函数的性质求最值. 【详解】以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图坐标系. 则，设， 因为，所以得. 所以. . ，所以，所以. 所以. 当时，取得最小值，最小值为. 【巩固练习3】（25-26高一下·广东深圳·期末）已知为边长为8的等边三角形，设点M为边的中点，点P在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A．16 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可． 【详解】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为等边的边长为，所以． 又点为边的中点，所以， 设，则， 所以． 设， 由二次函数开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 【题型7】 模长夹角的坐标运算 核心知识 方法技巧 坐标求模对分量平方求和再开根号 求夹角完整代入坐标版夹角公式 锐角条件：数量积大于0且排除同向共线 钝角条件：数量积小于0且排除反向共线 计算余弦之后注意角度取值范围 【经典例题1】（25-26高一下·河南许昌·期末）（多选）已知向量，，则（   ） A． B．与的夹角的余弦值为 C．在上的投影向量的坐标是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】根据向量的坐标运算结合向量夹角、向量模长、投影向量的公式求出选项中要求的结果即可. 【详解】对于A：所以，故A正确. 对于B：，故B正确. 对于C：在上的投影向量为,所以C错误. 对于D： ,因为与的夹角为锐角， 所以，解得. 又因为与不能共线，所以，解得.故.D正确. 【经典例题2】（2026·山东日照·模拟预测）（多选）已知向量，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，，则， 所以，解得，故，B错误； C选项，，故， 所以，C正确； D选项，，D正确. 【巩固练习1】（25-26高二上·江西·阶段检测）（多选）已知向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】根据模长的坐标公式可判断A；根据两个向量垂直的坐标公式可判断B，根据向量夹角的坐标公式可判断C；根据投影向量的坐标公式可判断D. 【详解】因为，，所以，A正确； 因为，， 所以，B正确； 设与的夹角为，则，且，因此与的夹角为，C错误； 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 【巩固练习2】（25-26高三上·广东肇庆·阶段检测）（多选）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．或 C．与夹角的大小为 D． 【答案】AC 【分析】根据向量线性运算的坐标表示及向量模的公式计算求判断AB，再由向量夹角公式求夹角判断C，由向量的模的坐标运算判断D. 【详解】因为，， 所以由可得， 即，解得，故A正确，B错误； 由，所以夹角为，C正确； ，故，，不成立，D错误. 故选：AC. 【巩固练习3】（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，已知向量，． (1)求向量与向量的夹角； (2)若向量满足且，求的坐标； (3)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出向量夹角的余弦值，再结合向量夹角的范围即可得解； （2）由条件设出，再根据列出方程，求出的值即可得解； （3）将条件转化为且与不共线，即可求出的取值范围. 【详解】（1）设向量与向量的夹角为， 则， 因为，所以； （2）因为，，所以可设， 由，可得，解得， 当时，；当时，， 所以或； （3）因为向量与的夹角是钝角， 所以且与不共线. 由题可得，， 由，可得，解得， 若与共线，则，解得， 所以当与不共线时，， 综上可得，． 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·云南·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量减法的坐标运算，求出的坐标，再求模即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2．（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据向量的共线与否，即可结合选项逐一求解. 【详解】选项A，是零向量，零向量与任意向量共线，不能作为基底； B，，两向量共线，不能作为基底； C，，两向量共线，不能作为基底； D、，两向量不共线，可以作为基底. 3．（2026·山东德州·三模）已知点是所在平面内一点，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以. 4．（2026·甘肃·模拟预测）设向量，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】先将转化为坐标方程组，然后求解，进而可得. 【详解】因为，所以， 即，解得，所以. 5．（2026·全国·模拟预测）已知向量，，，其中，，若，，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设向量坐标，再应用向量平行的坐标关系列式排除A，B，C，再应用模长公式计算D选项符合题意即可. 【详解】由，可设，设， 结合得，即，A，B,C选项错误； 再结合得，代入验证仅选项D满足上述条件，故D为正确选项； 6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 7．（2026·河南·模拟预测）已知向量，满足，，向量在向量上的投影向量为，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，则， ，则， 则， ，，， 则投影向量，故选项A正确. 8．（2026·福建·三模）在平面直角坐标系中，已知，若圆上存在点，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量坐标关系求出点的轨迹方程，再将问题转化为圆与点的轨迹方程有公共点问题，最后利用参数表示轨迹方程上的点与圆的距离关系，结合二次函数性质分析求解即可. 【详解】设点，由，，为坐标原点， 则，即， 又因为，所以，化简得：， 即点的轨迹为椭圆， 则可将问题转化为圆与椭圆有公共点， 设椭圆上任意一点，则它到圆心的距离的平方为： ， 令，则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 ， 也即， 所以，即的取值范围为. 二、多选题 9．（2026·重庆·三模）已知向量，，，则下列说法正确的是（     ） A． B．，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，的夹角为锐角，则 【答案】AC 【分析】根据向量的和差运算、模长公式、垂直条件、投影向量公式以及向量夹角为锐角的充要条件逐一分析：选项A根据向量加法和模长公式验证；选项B根据向量垂直的点积为零列方程求解；选项C根据投影向量公式，先计算点积和模长平方再化简；选项D根据同时满足点积为正且向量不共线两个条件判断即可. 【详解】选项A：因为， 所以，故A 正确； 选项B：因为， 又因为，所以：， 即：，解得 ，故B 错误； 选项C：因为， ， 所以在方向上的投影向量为，故C 正确； 选项D：若 的夹角为锐角，则  ，且 与 不共线 因为，解得 ， 若 ，则 ，解得 ， 当 时， 与 同向共线，夹角为 ，不是锐角，故需排除 ， 因此，夹角为锐角的条件是 且 ，并非 ，故D 错误. 10．（2026·河北秦皇岛·二模）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为锐角，则 D．若，则向量在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据共线向量的坐标表示，可判定A错误；根据向量的垂直的坐标表示，列出方程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算公式，可判断C错误；根据投影向量的求法，可判定D正确. 【详解】对于A：由向量，可得， 若，可得，解得，所以A错误； 对于B：由选项A知：，若，可得， 解得，所以B正确； 对于C：若向量与的夹角为锐角，则满足，且向量与不共线， 由，解得， 若与共线，可得，解得， 所以向量与的夹角为锐角，则且，所以C错误； 对于D：当时，可得，则， 则向量在上的投影向量的坐标，所以D正确. 三、填空题 11．（2026·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则=_________.（用坐标表示） 【答案】 【详解】由图可得， 所以， 则. 12．（2026·安徽·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则向量在向量上的投影向量为______．    【答案】 【详解】建系如图所示的平面直角坐标系，    则，，， 则，，， 所以向量在向量上的投影向量为． 13．（2026·江西·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________．    【答案】 1 0 【详解】 方法1：如图   可得 ． 如图   可得与垂直，． 方法2：如图建系，易知. 若，则， 所以. ，，所以.    14．（2026·山西忻州·模拟预测）在边长为1的正方形ABCD中，点E在线段CD上，且.设，则________________.若点F在线段BE上运动，点G为AF的中点，则的最小值为________________. 【答案】 / 【分析】①建立平面直角坐标系，写出各点坐标，利用向量相等求；②设在上的参数表示，求出坐标，将数量积表示为二次函数，利用单调性求最小值. 【详解】 ① 以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，. 由，且在线段上，则. 于是，，. 又，对照可得，，故； ②点在线段上，设，， 则,即， 又为中点，，则得,故， 则， 因，故当时，取得最小值为. 15．（2026·天津河西·三模）已知直角梯形中，，，，为上一点，且，若，其中，为实数，则_______；设点为线段上的动点，点为线段中点，则________． 【答案】 / 【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示. 由题意，故得，，，。 由，可得, 即,即， 由， 则,因此 因，设， 则，即， 又是的中点，，则 ,, 故 . 16．（2026·天津·二模）在平行四边形中，，，点在线段上．若，则___________；的最小值为___________． 【答案】 / 【分析】设，以为基底表示，由此列方程，求得；利用向量模的运算以及基本不等式求得的最小值. 【详解】设，其中， 则 ， 由于， 所以，则为正数， 且. ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 17．（2026·吉林白山·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 【答案】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，利用三角函数参数表示点，推导出的表达式，再利用三角函数的性质求最大值. 【详解】取中点（圆心）为原点，在轴上，由△ABC是边长为2的等边三角形，三线合一得，， 因此各点坐标为：，，，， 设（为与轴夹角），由在上半圆，得。 ，，， 由，对应坐标相等得：， 则， 因为，的最大值为， 所以. 18．（2026·天津·一模）如图，△ABC中，点D，E，F分别是线段AF，BD，CE的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】第一空，利用中点性质和向量加法法则，将向量用基底向量，表示；第二空，利用余弦定理建立边长的关系，再将数量积转化为关于边长的函数，由基本不等式求解最值． 【详解】第一空，， 得， 得，由，， 得． 第二空：不妨记，， 由余弦定理得，， 得， 由得，，得， 则 由，得 ， 因为，等号成立时，，得， 则， 故的最大值为． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $