第25讲 数列的基本知识与概念讲义-2027届高三数学一轮复习

第25讲 数列的基本知识与概念 内 容 导 航 知识点1 数列的定义与相关概念 知识点2 数列的分类 知识点3 数列的通项公式 知识点4 数列的递推公式 知识点5 数列的前项和 知识点6 数列的周期性 知识点7 数列的单调性 知识点8 递推公式求通项公式（累加法） 知识点9 递推公式求通项公式（累乘法） 知识点10 递推公式求通项公式（构造法） 题型1 由数列若干项归纳出通项公式 题型2 由数列若干项求下一项或其中的项 题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 题型4 由实际问题归纳出数列的通项 题型5 数列的单调性 题型6 数列的最大项最小项 题型7 数列的图象 知 识 点 通 关 知识点1 数列的定义与相关概念 1.数列定义：按照一定次序排列的一列数称为数列。 2.数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项，第一项称为首项。 3.数列通用表示：数列一般形式可简写为。 4.数列项的三大性质（对比集合元素） （1）确定性：任意数字能否作为数列中的项可以明确判断，和集合元素性质一致。 （2）可重复性：数列内数字允许重复，集合元素具有互异性，二者存在区别。 （3）有序性：数字相同但排列顺序不同属于不同数列；集合不受元素顺序影响。 知识点2 数列的分类 分类标准 数列名称 定义说明 按项的总个数划分 有穷数列 项数有限，存在最后一项 无穷数列 项数无限，无末尾项 按项数值大小变化划分 递增数列 从第二项起，每一项都大于前一项 递减数列 从第二项起，每一项都小于前一项 常数列 数列中每一项数值全部相等 摆动数列 项的数值大小交替起伏，忽大忽小 知识点3 数列的通项公式 1.定义：若数列第项与序号的对应关系能用式子表达，该式为数列通项公式。 2.区分要点 （1）代表整个数列，仅指数列的第项，二者含义不同。 （2）项与项数区分：项是具体数字（函数值），项数是数字所在位置（自变量）。 3.补充说明：同一个数列可以写出多种形式不同、实质等价的通项公式。 知识点4 数列的递推公式 1.定义：已知数列首项（或前几项），任意一项与其前一项（前几项）的关系式称为递推公式。 2.构成：递推公式包含两部分，一是初始项数值，二是项与项之间的递推关系式。 知识点5 数列的前项和 1.定义：表示数列前项相加的和，。 2.通项与前项和转换公式 推导说明 时，前1项和直接等于首项； 时，用前项和减去前项和，即可得到第项。 知识点6 数列的周期性 方法技巧 列举寻周期法 1.由已知条件写出数列前若干项，观察数字重复出现的规律，确定周期。 2.求第项时，计算，根据余数判断该项与周期内对应位置数值相等，余数为0则取周期最后一项。 3.求和类题型：先算出一个周期内所有项的和，统计完整周期个数，再加上余下几项的数值。 4.常结合递推式、与关系式推导周期，计算时注意准确罗列前几项，避免漏项看错周期。 知识点7 数列的单调性 方法技巧 三类判单调法 1.作差法：计算，差值恒大于0为递增数列；恒小于0为递减数列。 2.作商法：数列各项恒正时，计算，比值大于1递增，小于1递减。 3.函数法：将通项看作关于的函数，结合函数单调性，注意取离散正整数。 4.求最值：递增数列最小项为首项；递减数列最大项为首项；摆动数列通过解不等式找最值项。 知识点8 递推公式求通项公式（累加法） 方法技巧 逐项相消累加法 1.适用形式：，后项减前项为关于的可求和代数式。 2.步骤：依次列出时，左右全部累加，中间项相互抵消。 3.化简得到，代入首项整理出通项，最后检验是否满足式子。 4.常为一次式、指数式、分式，求和时灵活运用等差、等比求和公式。 知识点9 递推公式求通项公式（累乘法） 方法技巧 约分消元累乘法 1.适用形式：，后项与前项的比值为关于的可化简代数式。 2.步骤：写出时，左右累乘，中间分式约分消去。 3.化简得到，代入首项求出，验证是否符合通项表达式。 4.多为一次因式、指数式，约分过程注意准确拆分因式，防止计算失误。 知识点10 递推公式求通项公式（构造法） 方法技巧 配凑构造新数列法 1.一阶线性递推：构造等比数列，解出常数，求出新数列通项再反推。 2.：配凑同结构形式，构造等差或等比数列；含指数式时两边同除指数构造新数列。 3.分式型递推：取倒数转化为一次递推，再用构造法求解。 4.求出构造数列通项后，还原原式得到，务必检验首项。 考 点 演 练 题型1 由数列若干项归纳出通项公式 【典例1】数列1，，，，，…的一个通项公式an＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题可得：数列可写为，，，，， 所以数列的一个通项公式． 故选：D． 【变式1】等差数列1，46，91，…，2026共有（　　） A．44项 B．45项 C．46项 D．47项 【答案】C 【解答】解：由题可得：等差数列的首项为1，公差为46﹣1＝45， 设2026＝1+45（n﹣1），解得n＝46． 故等差数列1，46，91，…，2026共有46项． 故选：C． 题型2 由数列若干项求下一项或其中的项 【典例1】已知数列，则该数列的第36项为（　　） A．﹣36 B．36 C．﹣6 D．6 【答案】C 【解答】解：因为数列，即， 所以数列的通项公式为， 令n＝36得，． 故选：C． 【变式1】已知数列{an}的一个通项公式为，且a2＝8，则a4＝（　　） A．1 B．2 C．26 D．80 【答案】D 【解答】解：因为，且a2＝8， 所以， 解得a＝1， 所以， 所以． 故选：D． 题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 【典例1】已知数列{an}的通项公式为，则80是该数列的（　　） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 【答案】A 【解答】解：由题令n2+2n＝80，解得n＝8，或n＝﹣10（舍去）． 即80是该数列的第8项． 故选：A． 【变式1】已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（　　）项． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【解答】解：由数列，，，3，，…， 可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为， 令，解得n＝11． 故选：B． 题型4 由实际问题归纳出数列的通项 【典例1】侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网．如图，是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A1B1C1D1的面积为a1＝1，往里第二个正方形A2B2C2D2的面积为a2，往里第n个正方形AnBn∁nDn的面积为an．则数列{an}的通项公式为 　 　 ．已知{bn}满足2n2﹣n（n∈N*），则数列{bn}的最大项的值为 　 　 ． 【答案】；． 【解答】解：设第n个正方形的边长为cn，则c1＝1，每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， ∴，，，∴，即， 同理可得，即数列{cn}是首项为1，公比为的等比数列， ∴第n个正方形的面积为； ∵{bn}满足2n2﹣n（n∈N*）， ∴4（n+1）﹣3， 又， ∴⇒（n∈N*）， ， ∴b1＜b2＝b3＞b4＞b5＞…＞bn＞…， ∴数列{bn}的最大项的值为． 故答案为：；． 【变式1】公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得n值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．我们作单位圆的外切和内接正3×2n边形（n＝1，2，3⋯⋯），记外切正3×2n边形周长的一半为an，内接正3×2n边形周长的一半为bn．通过计算容易得到：（其中θn是正3×2n边形的一条边所对圆心角的一半） （1）求{bn}的通项公式； （2）求证：对于任意正整数依次成等差数列； （3）试问对任意正整数n，bn、bn+1、an+1是否能构成等比数列？说明你的理由． 【答案】（1）；（2）证明见解答；（3）能，理由见解答． 【解答】解：（1）如图，等腰三角形OAB中，OA＝OB＝1，∠AOB＝2θn， 所以，即； （2）证明：因为，， 所以，θn＝2θn+1， 所以 ， 故对于任意正整数依次成等差数列． （3）因为，， 所以，， 所以（3×2n+1sinθn+1）2＝9×22n+2sin2θn+1， an+1bn＝3×2n+1tanθn+1×3×2nsinθn＝9×22n+1tanθn+1sin2θn+1 ＝9×22n+12sinθn+1cosθn+1＝9×22n+2sin2θn+1； 即an+1bn； 所以，对任意正整数n，bn、bn+1、an+1能构成等比数列． 题型5 数列的单调性 【典例1】数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，则“k≥﹣2”是“{an}为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解答】解：若“{an}为递增数列”， 则an﹣an﹣1＝n2+kn﹣（n﹣1）2﹣k（n﹣1）＝2n+k﹣1＞0， 则k＞﹣2n+1，（n＞1）， 故k＞﹣3， 所以“k≥﹣2”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 故选：A． 【变式1】记Sn为数列的前n项和，则Sn最小时，n的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解答】解：由n为正整数，且0，可得n≤9， 由0，可得n≥10， 故Sn最小时，n的值为9． 故选：B． 题型6 数列的最大项最小项 【典例1】已知数列{an}为不单调的等比数列，，数列{bn}满足bn＝1﹣an+1，则数列{bn}的最大项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设公比为q， ∵数列{an}为不单调的等比数列，， ∴q2， 解得q，（舍）． ∴an＝a2•qn﹣2（）n﹣2＝（）n； ∴bn＝1﹣an+1＝1﹣（）n+1， 当n为奇数时，an+1为正数，且单调递减； 当n为偶数时，an+1为负数，且单调递增； 故n＝2时，数列{bn}取最大值，最大项为b2＝1﹣（）3． 故选：C． 【变式1】已知等差数列{an}满足a1＝1，a10＝10，则数列{}的最大项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵等差数列{an}满足a1＝1，a10＝10， ∴d1,∴an＝1+(n﹣1)×1＝n, ∴, ∵n29＝4, 由于n∈N*, , ∴{}的最大项为第3项，是． 故选：C． 题型7 数列的图象 【典例1】已知数列{an}满足：a1＝1024，点（n，an）在函数的图象上．则a10＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：因为点（n，an）在函数 的图象上， 所以， 又因为a1＝1024， 所以， 解得a＝211，故， 所以． 故选：A． 【变式1】等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为Sn，且a1＞0，0＜q＜1的等比数列{an}为例，先画出直线OQ：y＝qx，并确定x轴上一点A1（a1，0），过点A1作y轴的平行线，交直线OQ于点P1，则A1P1＝a1q．再过点P1作平行于x轴，长度等于a1q的线段P1M2，……，不断重复上述步骤，可以得到点列{Pn}，{Mn}和{An}．下列说法错误的是（　　） A． B． C．点An的坐标为（Sn，0） D．|PnAn|＝Sn﹣a1 【答案】D 【解答】解：对于A，由题设及图象知：，故A正确； 对于B，因为表示直线OQ：y＝qx斜率，即为q，故B正确； 对于C，点An的横坐标为，故C正确； 对于D，由|PnAn|＝|PnMn|+|MnAn|， 而|OAn|+|PnMn|＝Sn+1，|OAn|＝Sn，则|PnMn|＝Sn+1﹣Sn， 又△A1AnMn为等腰直角三角形，即|AnMn|＝|A1An|＝Sn﹣a1， 综上，|PnAn|＝Sn+1﹣a1，故D错误． 故选：D． 过 关 验 收 1．已知数列{an}满足对任意的i，j∈N*，都有aj﹣ai＝2（j﹣i）．若a3+a5＝a7，则a3＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：设an＝kn+b（k，b为常数），则aj＝kj+b，ai＝ki+b， 所以aj﹣ai＝k（j﹣i）， 因为对任意的i，j∈N*，都有aj﹣ai＝2（j﹣i）， 所以k＝2， 则an＝2n+b， 所以a3＝6+b，a5＝10+b，a7＝14+b，a3+a5＝16+2b， 因为a3+a5＝a7， 所以16+2b＝14+b， 解得b＝﹣2， 所以an＝2n﹣2， 则a3＝2×3﹣2＝4． 故选：D． 2．已知集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．若am∈B且am+33∈B，则m＝　　 ． 【答案】38． 【解答】解：依题意，A∩B＝∅，由，令，显然集合A中小于2的元素有2t﹣1个， 集合B中不大于2的元素有t个，因此m＝2t﹣1+t， 由，令，， 同理m+33＝2s﹣1+s，于是2s﹣1+s﹣2t﹣1﹣t＝33，s＞t≥1， 令s＝t+k，，则2t+k﹣1﹣2t﹣1＝33﹣k⇔2t﹣1（2k﹣1）＝33﹣k， 由2t﹣1≥1，得2k﹣1≤33﹣k，则2k+k≤34， 又数列{2k+k}单调递增，而24+4＝20＜34，25+5＝37＞34，因此1≤k≤4， 当k＝1时，2t﹣1＝32，解得t＝6，s＝7；当k＝2时，3•2t﹣1＝31，无整数解； 当k＝3时，7•2t﹣1＝30，无整数解；当k＝4时，15•2t﹣1＝29，无整数解， 则t＝6，s＝7，m＝25+6＝38． 故答案为：38． 3．已知数列{an}的前n项和为An，对任意n∈N*，满足，且a1＝1数列{bn}满足lgbn+2﹣2lgbn+1+lgbn＝0，，其前3项和为． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，⋯，求这个新数列的前33项和S33． 【答案】（1）an＝n，； （2）． 【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为An，对任意n∈N*，满足， a1＝1数列{bn}满足lgbn+2﹣2lgbn+1+lgbn＝0，，其前3项和为， ∵且， ∴数列是以1为首项，以为公差的等差数列， ∴，∴． 当n≥2时，． a1＝1也适合上式， ∴． ∵lgbn+2﹣2lgbn+1+lgbn＝0，即2lgbn+1＝lgbn+lgbn+2， ∴数列{lgbn}为等差数列，设其公差为d， 则， ∴， ∴数列{bn}是正项等比数列，设其公比为q，则q＞0． 由题意可得，解得， ∴； （2）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”， 得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，⋯， 数列{an}的前n项和为， 数列{bn}的前n项和为， ①当n＝2k（k∈N*）时，， ②当n＝4k+1（k∈N*）时， ， 当n＝1时，S1＝1适合上式， ③当n＝4k﹣1（n∈N*）时， ． 综上，． ∴． 4．已知数列{an}为等差数列，且a5＝11，a7＝15． （1）求{an}的通项公式； （2）在数列{an}的相邻两项ai与ai+1之间插入2i个1（i＝1，2，3，⋯）后，构成一个新数列{bn}，数列{bn}的前n项和记为Tn，求T519． 【答案】（1）an＝2n+1； （2）609． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， 由题可得：a1+4d＝11，a1+6d＝15，解得a1＝3，d＝2， 故an＝a1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1． （2）根据题意，在ai和ai+1之间插入2i个1，设到原数列的第k项ak为止， 则新数列{bn}的总项数， 令2k+k﹣2＝519，代入验证得k＝9时，29+9﹣2＝512+7＝519，刚好满足， 即T519包含原数列前9项和所有插入的1： 插入1的总个数为29﹣2＝510，插入部分和为510×1＝510， 原数列前9项和：S999， 因此：T519＝99+510＝609． 5.已知数列{an}满足对任意的i，j∈N*，都有aj﹣ai＝2（j﹣i）．若a5＝9，则a3+a8＝（　　） A．8 B．18 C．20 D．27 【答案】C 【解答】解：因为数列{an}满足对任意的i，j∈N*，都有aj﹣ai＝2（j﹣i），a5＝9， 所以，当i＝5，j＝8时，a8﹣a5＝2（8﹣5），解得a8＝15； 当i＝3，j＝5时，a5﹣a3＝2×（5﹣3），解得a3＝5； 所以a3+a8＝20． 故选：C． 6．用[x]表示不超过实数x的最大整数．数列{an}满足：，则a2022的末两位数是（　　） A．93 B．53 C．33 D．13 【答案】A 【解答】解：记，则有， 故可得bn均为整数，且an＝bn﹣1， 再令cn≡bn（bmod100），则有c1＝14，c2＝94，c3＝34，c4＝54，且cn﹣4＝cn， 所以c2022＝c2＝94，故a2022的末两位数为93． 故选：A． 7．已知数列{an}满足，则|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|a8﹣a7|的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，数列{an}满足， 易得a4＞a5＞a6＞a7＞a8＞0＞a1＞a2＞a3， 故|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|a8﹣a7|＝a1﹣a2+a2﹣a3+a4﹣a3+a4﹣a5+a5﹣a6+a6﹣a7+a7﹣a8 ＝a1﹣2a3+2a4﹣a8． 故选：B． 8．已知数列{an}的通项公式为an＝1﹣3n，则a6＝（　　） A．﹣19 B．﹣17 C．﹣14 D．19 【答案】B 【解答】解：根据题意，数列{an}的通项公式为an＝1﹣3n， 则a6＝1﹣3×6＝﹣17． 故选：B． 9．已知数列{an}的通项公式为，则下列各式错误的是（　　） A．a1＝4 B．a3＝28 C．a4＝81 D．a5＝244 【答案】C 【解答】因为， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选：C． 10．2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字1，2，3，⋯，n（n≥2）按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为an．例如n＝5时，操作可知a5＝3，则a40＝　 ． 【答案】17． 【解答】解：因为将数字1，2，3，⋯，n（n≥2）按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向， 每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，这个数字为an， 所以圆周上顺时针排列1，2，3，⋯，5时，可得a5＝3，就是这5个数中的第3个数； 当圆周上顺时针排列1，2，3，⋯，10时，第一轮操作将划去所有偶数，留下1，3，5，7，9共5个数，它们的第3个数是2×3﹣1＝5，所以a10＝5，是这10个数中的第5个数； 当圆周上顺时针排列1，2，3，⋯，20时，第一轮操作将划去所有偶数，留下1，3，⋯，19共10个数，它们的第5个数是2×5﹣1＝9，所以a20＝9，是这20个数中的第9个数； 当圆周上顺时针排列1，2，3，⋯，40时，第一轮操作将划去所有偶数，留下1，3，⋯，39共20个数，它们的第9个数是2×9﹣1＝17，所以a40＝17． 故答案为：17． 11．已知数列{an}的通项公式为． （1）试写出该数列的第3项和第8项； （2）问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ 【答案】（1）a3＝﹣57，a8＝﹣32． （2）20是该数列的第10项． 【解答】解：（1）数列{an}的通项公式为 则， ． （2）令an＝3n2﹣28n＝20， 由n∈N*，解得n＝10， ∴20是该数列的第10项． 12．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3．已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（　　） （参考数据：1.39≈10.6，1.310≈13.8，1.311≈17.9） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 【答案】C 【解答】解：某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术， 以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3， 第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元， 该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列， 依题意，当n∈N*，n≤9时，an+1＝1.3an﹣3，即an+1﹣10＝1.3（an﹣10）， ∴数列{an﹣10}是首项为90，公比为1.3的等比数列， ，即， 则， ∴从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元． 故选：C． 13．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列{an}，则（　　） A．a4﹣a3＝3 B．a6＝23 C．2an＝an+1+an+2 D．an+1﹣an＝n+1 【答案】D 【解答】解：由题意可知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，…， 所以an+1﹣an＝n+1，故D正确， 所以a4﹣a3＝4，故A错误， 又因为an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝n+（n﹣1）+…+2+1， 所以a621，故B错误， 又因为2an＝n（1+n），an+1+an+2（n+2）2， 所以2an≠an+1+an+2，故C错误． 故选：D． 14．意大利数学家斐波那契（1175年～1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设n是不等式的正整数解，则n的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：由得， 即，即， ∴， ∴， 令，则数列{an}即为斐波那契数列， ∴，则， ∵函数是增函数， 故数列{an}为递增数列且， ∴数列为递增数列， 由a1＝a2＝1，得a3＝a1+a2＝2，a4＝a2+a3＝3，a5＝a3+a4＝5， a6＝a4+a5＝8，a7＝a5+a6＝13，a8＝a6+a7＝21， ∵，， ∴使得成立的n的最小值为8． 故选：C． 15．在数列{an}中，，若{an}是递增数列，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，1） D．（1，+∞） 【答案】C 【解答】解：由题意可得，． 由题知n2+k＞0恒成立，当n＝1时，即12+k＞0，得k＞﹣1． 若{an}是递增数列，则随n增大而增大． 已知n2+1为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需k﹣1＜0，即k＜1． 实数k的取值范围是（﹣1，1）． 故选：C． 16．已知数列{an}的通项公式为，则an取到最大值时n的值是（　　） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】B 【解答】解：因为， 当n≤1012时，2n﹣2025＜0，因此an＞1； 当n≥1013时，2n﹣2025＞0，因此an＜1， 因此an的最大值一定出现在n≤1012中，排除C、D， 在n≤1012时，n增大，2n﹣2025（负数）增大，减小，增大， 因此an随n增大而增大，所以n＝1012时，an取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值， 故n＝1012． 故选：B． 17．已知无穷数列{an}的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（s≠t），满足ai＝as+at，则（　　） A．{an}可能为常数列 B．{an}可能为等差数列 C．{an}不可能为等比数列 D．{an}可能为递减数列 【答案】D 【解答】解：对于A，若{an}为常数列，设an＝c，显然ai＝c≠as+at＝2c，故A不符合题意； 对于B，若{an}为等差数列，易知d≤0时不符合题意， 当d＞0时，数列{an}单调递增，则an≥a1， ∴as+at＞2a1，当i＝1时，不存在正整数s，t使得a1＝as+at，故B错误； 对于C，若{an}为等比数列，设a1＞0， 若an＝an+1+an+2，则， 解得或（舍去）， 即{an}可能为等比数列，当a1＞0，时， 对正整数i，总有ai＝ai+1+ai+2，即s＝i+1，t＝i+2即可，故C错误； 对于D，由C知，{an}为等比数列，a1＞0，时，{an}单调递减， 对任意的正整数i，总有ai＝ai+1+ai+2， 即s＝i+1，t＝i+2时，即ai＝as+at，则{an}可能递减，故D正确． 故选：D． 18．设{an}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有an+k＜an，则称{an}是间隔递减数列，其中k称为数列{an}的间隔数．给出下列三个结论： ①若an，则{an}是间隔递减数列； ②若an＝n（﹣2）n+1，则{an}是间隔递减数列； ③若ansinn，则{an}是间隔递减数列且{an}的间隔数的最小值是4． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：对于①，因为，则数列{an}为单调递减数列，即an+1＜an对任意n∈N恒成立，此时，k＝1，满足题中条件，①对； 对于②，若， 假设数列{an}是间隔递减数列，则存在k∈N′， 使得an+k＜an，即（n+k）•（﹣2）n+k+1＜n•（﹣2）n+1， 若n为奇数，则有（n+k）•（﹣2）k＜n， 可得，因为， 显然当k为奇数时，合乎题意； 当k为偶数时，（﹣2）k≥4，不等式不成立，故k为奇数； 若n为偶数，则有（n+k）•（﹣2）k＞n， 可得当k为奇数时，不成立，故假设不成立，即数列{an}不是间隔递减数列，②错； 对于③，若， 因为， 则an+6＜an，所以，数列{an}是间隔递减数列， 假设存在正整数k，使得an+k＜an，即， 可得， 由于sin（n+k）﹣sinn≤1﹣（﹣1）＝2，当且仅当sin（n+k）＝1且sinn＝﹣1时，等号成立， 当sin＝﹣1时，，这与n为正整数矛盾，故sin（n+k）﹣sinn＜2，所以，， 解得k≥4，所以，若，则{an}是间隔递减数列且{an}的间隔数的最小值是4，③对． 故选：B． 19．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6a3+1，a2＝2，则下列正确的是（　　） A． B．数列{an}有最小项 C．数列{an}为递增数列 D．an+Sn＝8 【答案】AD 【解答】解：对于A，设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0） 由S3＝6a3+1，得a1+a2+a3＝6a3+1，即a1+a2＝5a3+1， 又a2＝2，所以，a3＝a2q，即，a3＝2q， 所以，解得（舍负），A正确； 对于B，，{an}无最小项，B错误； 对于C，，，{an}为递减数列，C错误； 对于D，因为，， 所以，D正确． 故选：AD． 20．已知数列{an}满足，则关于{an}说法正确的是（　　） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【解答】解：令，则， 令f′（x）＜0得x＞e，令f′（x）＞0得0＜x＜e， 所以在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减， 所以在x＝e处取得极大值，也是最大值，， 中，当n为偶数时，， 令，则， 令g′（x）＜0得x＞e2，令g′（x）＞0得0＜x＜e2， 故在（0，e2）上单调递增，在（e2，+∞）上单调递减， 由于e2∈（7，8），故当n为偶数且2≤n≤6时，{an}单调递增， 当n为偶数且n≥8时，{an}单调递减， 其中，， 故， 故a2＜a4＜a6＜a8＞a10＞a12＞⋯， 当n为偶数且n≥4时，恒成立， 又，所以{an}的最大值为a1＝1，最小值为， {an}有最大项，有最小项． 当n为奇数时，， 所以n≥3且为奇数时，{an}单调递减，恒成立， 且a1＝1，． 故选：C． 21．已知数列{an}满足a1＝1，当n≥2时，a1a2a3…an＝5﹣2n，则数列{an}的最大项为（　　） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【答案】C 【解答】解：由题意可得，an1， 结合数列的单调性可知，当n＝4时，数列{an}的最大项为a4＝3． 故选：C． 22．在等差数列{an}中，Sn是an的前n项和，满足S20＜0，S21＞0，则有限项数列，，…，，中，最大项和最小项分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解答】解：∵S20＜0，S21＞0，∴公差d＞0，a1＜0． ∵S20＝10（a1+a20）＜0， ∴a1+a20＜0，则a10+a11＜0； 同理由S21＞0，可得a1+a21＝2a11＞0，∴a11＞0， 结合a10+a11＜0，可得a10＜0，a11＞0． ∴n≤10时，S10最小且S10＜0，而a10＜0， ∴最大，最小． 故选：C． 23．数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　） A．a1 B．a44 C．a45 D．a50 【答案】C 【解答】解：1， 因为0，∈（44，45）， 故n≤44时，数列{an}单调递减，且an＜1， 当n≥45时，数列{an}单调递减，且an＞1， 故n＝45时，取得最大项． 故选：C． 24．已知数列{an}满足：a1＝1024，点（n，an）在函数的图象上．记Sn为{an}的前n项和，则S10﹣S8＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解答】解：由题得，解得a＝211， 故，所以， 故选：A． 25．已知首项为的数列{an}的前n项和为Sn，定义在[1，+∞）上恒不为零的函数f（x），对任意的x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）．若点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）的图象上，且不等式m2Sn，对任意的n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为　 ． 【答案】（﹣1，） 【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）， ∴令x＝n，y＝1，得f（n）•f（1）＝f（n+1）， 即f（1）， ∴数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列， ∴an＝f（n）＝（）n， Sn（1）∈[，）． 不等式m2Sn对∀n∈N+恒成立，可得m2，解得﹣1＜m， 故答案为：（﹣1，）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 数列的基本知识与概念 内 容 导 航 知识点1 数列的定义与相关概念 知识点2 数列的分类 知识点3 数列的通项公式 知识点4 数列的递推公式 知识点5 数列的前项和 知识点6 数列的周期性 知识点7 数列的单调性 知识点8 递推公式求通项公式（累加法） 知识点9 递推公式求通项公式（累乘法） 知识点10 递推公式求通项公式（构造法） 题型1 由数列若干项归纳出通项公式 题型2 由数列若干项求下一项或其中的项 题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 题型4 由实际问题归纳出数列的通项 题型5 数列的单调性 题型6 数列的最大项最小项 题型7 数列的图象 知 识 点 通 关 知识点1 数列的定义与相关概念 1.数列定义：按照一定次序排列的一列数称为数列。 2.数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项，第一项称为首项。 3.数列通用表示：数列一般形式可简写为。 4.数列项的三大性质（对比集合元素） （1）确定性：任意数字能否作为数列中的项可以明确判断，和集合元素性质一致。 （2）可重复性：数列内数字允许重复，集合元素具有互异性，二者存在区别。 （3）有序性：数字相同但排列顺序不同属于不同数列；集合不受元素顺序影响。 知识点2 数列的分类 分类标准 数列名称 定义说明 按项的总个数划分 有穷数列 项数有限，存在最后一项 无穷数列 项数无限，无末尾项 按项数值大小变化划分 递增数列 从第二项起，每一项都大于前一项 递减数列 从第二项起，每一项都小于前一项 常数列 数列中每一项数值全部相等 摆动数列 项的数值大小交替起伏，忽大忽小 知识点3 数列的通项公式 1.定义：若数列第项与序号的对应关系能用式子表达，该式为数列通项公式。 2.区分要点 （1）代表整个数列，仅指数列的第项，二者含义不同。 （2）项与项数区分：项是具体数字（函数值），项数是数字所在位置（自变量）。 3.补充说明：同一个数列可以写出多种形式不同、实质等价的通项公式。 知识点4 数列的递推公式 1.定义：已知数列首项（或前几项），任意一项与其前一项（前几项）的关系式称为递推公式。 2.构成：递推公式包含两部分，一是初始项数值，二是项与项之间的递推关系式。 知识点5 数列的前项和 1.定义：表示数列前项相加的和，。 2.通项与前项和转换公式 推导说明 时，前1项和直接等于首项； 时，用前项和减去前项和，即可得到第项。 知识点6 数列的周期性 方法技巧 列举寻周期法 1.由已知条件写出数列前若干项，观察数字重复出现的规律，确定周期。 2.求第项时，计算，根据余数判断该项与周期内对应位置数值相等，余数为0则取周期最后一项。 3.求和类题型：先算出一个周期内所有项的和，统计完整周期个数，再加上余下几项的数值。 4.常结合递推式、与关系式推导周期，计算时注意准确罗列前几项，避免漏项看错周期。 知识点7 数列的单调性 方法技巧 三类判单调法 1.作差法：计算，差值恒大于0为递增数列；恒小于0为递减数列。 2.作商法：数列各项恒正时，计算，比值大于1递增，小于1递减。 3.函数法：将通项看作关于的函数，结合函数单调性，注意取离散正整数。 4.求最值：递增数列最小项为首项；递减数列最大项为首项；摆动数列通过解不等式找最值项。 知识点8 递推公式求通项公式（累加法） 方法技巧 逐项相消累加法 1.适用形式：，后项减前项为关于的可求和代数式。 2.步骤：依次列出时，左右全部累加，中间项相互抵消。 3.化简得到，代入首项整理出通项，最后检验是否满足式子。 4.常为一次式、指数式、分式，求和时灵活运用等差、等比求和公式。 知识点9 递推公式求通项公式（累乘法） 方法技巧 约分消元累乘法 1.适用形式：，后项与前项的比值为关于的可化简代数式。 2.步骤：写出时，左右累乘，中间分式约分消去。 3.化简得到，代入首项求出，验证是否符合通项表达式。 4.多为一次因式、指数式，约分过程注意准确拆分因式，防止计算失误。 知识点10 递推公式求通项公式（构造法） 方法技巧 配凑构造新数列法 1.一阶线性递推：构造等比数列，解出常数，求出新数列通项再反推。 2.：配凑同结构形式，构造等差或等比数列；含指数式时两边同除指数构造新数列。 3.分式型递推：取倒数转化为一次递推，再用构造法求解。 4.求出构造数列通项后，还原原式得到，务必检验首项。 考 点 演 练 题型1 由数列若干项归纳出通项公式 【典例1】数列1，，，，，…的一个通项公式an＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】等差数列1，46，91，…，2026共有（　　） A．44项 B．45项 C．46项 D．47项 题型2 由数列若干项求下一项或其中的项 【典例1】已知数列，则该数列的第36项为（　　） A．﹣36 B．36 C．﹣6 D．6 【变式1】已知数列{an}的一个通项公式为，且a2＝8，则a4＝（　　） A．1 B．2 C．26 D．80 题型3 由通项公式求解或判断数列中的项 【典例1】已知数列{an}的通项公式为，则80是该数列的（　　） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 【变式1】已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（　　）项． A．10 B．11 C．12 D．13 题型4 由实际问题归纳出数列的通项 【典例1】侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网．如图，是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形的四条边的三等分点上．设外围第一个正方形A1B1C1D1的面积为a1＝1，往里第二个正方形A2B2C2D2的面积为a2，往里第n个正方形AnBn∁nDn的面积为an．则数列{an}的通项公式为 　 　 ．已知{bn}满足2n2﹣n（n∈N*），则数列{bn}的最大项的值为 　 　 ． 【变式1】公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得n值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．我们作单位圆的外切和内接正3×2n边形（n＝1，2，3⋯⋯），记外切正3×2n边形周长的一半为an，内接正3×2n边形周长的一半为bn．通过计算容易得到：（其中θn是正3×2n边形的一条边所对圆心角的一半） （1）求{bn}的通项公式； （2）求证：对于任意正整数依次成等差数列； （3）试问对任意正整数n，bn、bn+1、an+1是否能构成等比数列？说明你的理由． 题型5 数列的单调性 【典例1】数列{an}的通项公式为an＝n2+kn，则“k≥﹣2”是“{an}为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【变式1】记Sn为数列的前n项和，则Sn最小时，n的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 题型6 数列的最大项最小项 【典例1】已知数列{an}为不单调的等比数列，，数列{bn}满足bn＝1﹣an+1，则数列{bn}的最大项为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知等差数列{an}满足a1＝1，a10＝10，则数列{}的最大项为（　　） A． B． C． D． 题型7 数列的图象 【典例1】已知数列{an}满足：a1＝1024，点（n，an）在函数的图象上．则a10＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为Sn，且a1＞0，0＜q＜1的等比数列{an}为例，先画出直线OQ：y＝qx，并确定x轴上一点A1（a1，0），过点A1作y轴的平行线，交直线OQ于点P1，则A1P1＝a1q．再过点P1作平行于x轴，长度等于a1q的线段P1M2，……，不断重复上述步骤，可以得到点列{Pn}，{Mn}和{An}．下列说法错误的是（　　） A． B． C．点An的坐标为（Sn，0） D．|PnAn|＝Sn﹣a1 过 关 验 收 1．已知数列{an}满足对任意的i，j∈N*，都有aj﹣ai＝2（j﹣i）．若a3+a5＝a7，则a3＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合A＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．若am∈B且am+33∈B，则m＝　　 ． 3．已知数列{an}的前n项和为An，对任意n∈N*，满足，且a1＝1数列{bn}满足lgbn+2﹣2lgbn+1+lgbn＝0，，其前3项和为． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，⋯，求这个新数列的前33项和S33． 4．已知数列{an}为等差数列，且a5＝11，a7＝15． （1）求{an}的通项公式； （2）在数列{an}的相邻两项ai与ai+1之间插入2i个1（i＝1，2，3，⋯）后，构成一个新数列{bn}，数列{bn}的前n项和记为Tn，求T519． 5.已知数列{an}满足对任意的i，j∈N*，都有aj﹣ai＝2（j﹣i）．若a5＝9，则a3+a8＝（　　） A．8 B．18 C．20 D．27 6．用[x]表示不超过实数x的最大整数．数列{an}满足：，则a2022的末两位数是（　　） A．93 B．53 C．33 D．13 7．已知数列{an}满足，则|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+⋯+|a8﹣a7|的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知数列{an}的通项公式为an＝1﹣3n，则a6＝（　　） A．﹣19 B．﹣17 C．﹣14 D．19 9．已知数列{an}的通项公式为，则下列各式错误的是（　　） A．a1＝4 B．a3＝28 C．a4＝81 D．a5＝244 10．2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字1，2，3，⋯，n（n≥2）按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为an．例如n＝5时，操作可知a5＝3，则a40＝　 ． 11．已知数列{an}的通项公式为． （1）试写出该数列的第3项和第8项； （2）问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ 12．某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3．已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（　　） （参考数据：1.39≈10.6，1.310≈13.8，1.311≈17.9） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 13．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列{an}，则（　　） A．a4﹣a3＝3 B．a6＝23 C．2an＝an+1+an+2 D．an+1﹣an＝n+1 14．意大利数学家斐波那契（1175年～1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设n是不等式的正整数解，则n的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 15．在数列{an}中，，若{an}是递增数列，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣1，1） D．（1，+∞） 16．已知数列{an}的通项公式为，则an取到最大值时n的值是（　　） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 17．已知无穷数列{an}的各项均为正数，且对任意的正整数i，总存在正整数s，t（s≠t），满足ai＝as+at，则（　　） A．{an}可能为常数列 B．{an}可能为等差数列 C．{an}不可能为等比数列 D．{an}可能为递减数列 18．设{an}是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N*，均有an+k＜an，则称{an}是间隔递减数列，其中k称为数列{an}的间隔数．给出下列三个结论： ①若an，则{an}是间隔递减数列； ②若an＝n（﹣2）n+1，则{an}是间隔递减数列； ③若ansinn，则{an}是间隔递减数列且{an}的间隔数的最小值是4． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 19．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6a3+1，a2＝2，则下列正确的是（　　） A． B．数列{an}有最小项 C．数列{an}为递增数列 D．an+Sn＝8 20．已知数列{an}满足，则关于{an}说法正确的是（　　） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 21．已知数列{an}满足a1＝1，当n≥2时，a1a2a3…an＝5﹣2n，则数列{an}的最大项为（　　） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 22．在等差数列{an}中，Sn是an的前n项和，满足S20＜0，S21＞0，则有限项数列，，…，，中，最大项和最小项分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 23．数列{an}的通项公式为，该数列的前50项中最大项是（　　） A．a1 B．a44 C．a45 D．a50 24．已知数列{an}满足：a1＝1024，点（n，an）在函数的图象上．记Sn为{an}的前n项和，则S10﹣S8＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 25．已知首项为的数列{an}的前n项和为Sn，定义在[1，+∞）上恒不为零的函数f（x），对任意的x，y∈R，都有f（x）•f（y）＝f（x+y）．若点（n，an）（n∈N*）在函数f（x）的图象上，且不等式m2Sn，对任意的n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $