第1讲数列的概念与由 Sn 求 an基础讲义-2027届高三数学一轮复习

数列的概念与由 Sn 求 an 通项公式、单调性与最值；由前 n 项和求通项 数列的概念与性质 数列是把一些数按确定的顺序排成一列，排在第 个位置上的数记作 ，叫作数列的第 项。把项数 看作自变量、把第 项 看作函数值，数列就是一列只在正整数上取值的函数，通项公式 正是这一对应关系的解析表达。同一个数列可以有几副面孔：写出通项公式是一种，给出相邻项之间的递推关系是另一种，直接列出前面若干项也可以。拿到一个数列，先问它有没有通项公式，能不能用 直接算出第 项。 由前几项归纳通项公式，靠的是观察每一项与序号之间的联系：符号的交替变化交给 承担，分子与分母各自的变化各写一条关于 的式子，再把两段拼起来。反过来，判断某个数是不是数列中的项，就是让 等于这个数、解出关于 的方程，看解出来的 是不是正整数 —— 这是「数列的项」与「随便一个数」之间的分水岭。 数列的单调性比较相邻两项。 的符号给出增减：差恒为正就是递增，恒为负就是递减，差变号说明数列先增后减或先减后增。各项同号、尤其是正项数列，也可以作商，把 与 比大小，分式结构用这一路往往更快。作差与作商都只是手段，判到最后都要落回「 取正整数」这个前提上。 最大项与最小项要找数列由增转减、由减转增的那个转折位置，一般写成 同时不小于它的前后两项，把 的范围解出来；更多时候由单调性直接读出，不必列不等式。还有两类数列值得单独记住。一类是周期数列，项的变化隔若干项重复一次，前 项和因此可以用整周期加余项来算；另一类是两个数列的公共项，若两者都是等差数列，把通项相等写成方程、解出下标要满足的整除条件，公共项自己也会排成一个等差数列。 例1（单选·★☆☆☆☆） 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】问的是前 项和的最小值。 是逐项累加出来的，它的升降由每一项的正负决定 —— 先把 的符号转折点找出来。 【关键】由 知 随 增大而增大。，， 都是负数，，从第 项起全为正。所以 在 时每加一项就变小，从 起转为变大，最小值在 时取到，。故选 D。 【易错】把「 的最小值」当成「 的最小值」去算，就会选到 。这两件事不是一回事： 最小时数列还在往下走， 要等到第一次出现正项才停止下降。 【答案】D 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知数列的通项公式分别为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个等差数列取公共项，公共项排成的新数列仍然是等差数列 —— 关键是先把它的首项与公差求出来。 【关键】 的通项是 ，取值都是奇数； 的通项是 ， 为奇数时取偶数值、 为偶数时取奇数值。两者都取奇数，令 ，得 ，所以公共项是 ，即 ，新数列 的公差为 ，。于是 。故选 B。 【易错】把「公共项」错当成两个通项直接相等去解，会得到 ，这只说明 是偶数，还差一步把 代回去写出通项。求和时首项要用公共项的第一项 ，从头凑等差会少算。 【答案】B 变式1-2（填空·★★★☆☆） 数列的通项公式为，则 = _______ 【切入点】通项里带着 ，这是随 周期变化的。先把变化周期找出来，看若干个连续项相加有没有规律。 【关键】 的取值随 每 项循环一次，前 项依次为 ，相加为 。 也是每 项一循环、每个整周期之和为 。而 ，前 个整周期之和为 ，余下的一项是 ；因为 除以 余 ，。 【答案】 例2（填空·★★☆☆☆） 已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________ 【切入点】 是关于 的分式，直接比大小不好下手。先把分子化成常数，看清它随 到底是增还是减。 【关键】。 时 ，，； 时 且随 增大而增大，所以 随 增大而减小， 在 上单调递减。最大项在 处取到，。 【易错】只看前两项就断定数列递减 —— 前两项是负的，转折点在第 项。化简时也容易漏掉那个 ： 拆出来是 ，不是 。 【答案】 变式2-1（多选·★★★☆☆） 下列表达式中，满足数列是单调递减的有（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】四个选项给了四种不同的表达式，要判断哪一个能使数列单调递减。能写出通项的就作差或作商，写不出通项的就回到定义去比相邻两项。 【关键】A 项：，随 增大而增大，不是递减，A 项错误。B 项：作商得 ，而 对一切正整数 成立，故 ，递减，B 项正确。C 项：由 得 ，即 ，递减，C 项正确。 【关键】D 项：作差得 。因为 且 ，两项之和小于 ，所以差为负，递减，D 项正确。故选 BCD。 【易错】C 项只有一个不等式，看上去比不出大小 —— 有绝对值在， 的符号被自动约束住了。A 项分母里也有 ，长得像递减，要化到 才看得清方向。 【答案】BCD 例3（解答·★★★☆☆） 已知等差数列的前n项和为，且，。（1）求的通项公式；（2）若，求n的最小值。 【切入点】第 (1) 问给的是关于首项与公差的条件，先把两个基本量定下来；第 (2) 问要把 与 都化成含 的式子，解一个关于 的二次不等式。 【关键】设公差为 。由 得 ，于是 ，，故 。。所以 。 【关键】把 与 代入 ，得 ，即 。配方得 。因为 ，所以 ，即 。检验两端： 时左边为 ，不成立； 时左边为 ，成立。故 的最小值为 。 【易错】 是第 到第 项的和，写成 会把位置整体挪错。解不等式时不要直接把 开方取整： 的系数前有那个 ，要先把 与原数比完，再把 、 两个端点带回去验一次才稳。 【答案】； 的最小值为 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为__________ 【切入点】「 是唯一最大项」说的是 这个数列的最值。 相邻两项的差正好是 ，所以峰顶落在哪里由 的符号决定。 【关键】。 比 大，说明 ； 比 大，说明 。又 、公差为 ，所以 ，。由 得 ，由 得 。 时 关于 的图象是开口向下的抛物线，只有一处峰顶，这两条已经足够保证唯一。所以 的取值范围为 。 【易错】只写 会漏掉「 必须比 小」；只写 同样不全。两端都要取严格不等号 —— 若 ，则 ，最大项就有两个了。 【答案】 与 的关系 数列的前 项和记作 。它与通项之间只隔着一次作差：把前 项和与前 项和相减，剩下的正好是第 项，所以当 时总有 。这条式子是整个知识点的骨架 —— 凡是题目里同时出现 与 ，第一步都是想办法用它把其中一个消掉。 用它必须留意起点。 时 没有意义，公式管不到第一项，所以首项要单独由 求出。规范的写法是三步：先算 ，再对 求出 ，最后把 代进 的那条式子检验。能对上就合成一条通项公式；对不上就写成分段形式，两段各自标明适用范围，中间不留缝。 题目的问法决定要算到哪一步。只问某个具体项，比如第几项是多少，逐项递推就够了，不必求通项；问的是通项公式、或者要研究整个数列的单调性与最值，就必须把通项完整解出来。递推的时候要守一条规矩：每到一步就把新算出的项并进和里，下标不要跳，也不要漏掉相邻的那一项。动手之前先把这一层判断做掉，能省下大量计算。 自己也是一列数，它同样有通项、有单调性、有最值。题目有时不给 的表达式，而是给一个关于 的关系式，这时把 当作一个独立的数列来处理：先把 求出来，再回到 得到通项。两条路一前一后，顺序不能颠倒。还有一层区别要分清：含 的等式，和与 有关的等式，是两回事 —— 前者把 摆在那里可以直接代入，后者往往要先做一步变形，把 从别的量中间解出来。 例4（单选·★★☆☆☆） 记为数列的前项和，已知，，则 = （ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 【切入点】题给的等式里同时有 和 ，两边都动不了。用 把 消掉，把它化成只含 的递推式。 【关键】当 时 ，代入 得 ，即 。再看 ：，而 ，条件对首项也成立。所以 是从首项起公比为 的等比数列，，。故选 B。 【易错】写出递推式之后别急着用 —— 要先把 代进 这个关系里看它成不成立，成立才能写成等比数列，不成立就得分段。移项时 的系数也容易丢，写成 会得到 。 【答案】B 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则 = ________ 【切入点】题给的是 成等差数列，那就先把这个新数列的通项写出来，再乘回 得到 。 【关键】，所以 。当 时 。再看 ：，而 ，两者一致，可以合成一条。所以 。 【易错】 是 乘出来的，展开时别丢括号， 前面的负号最容易在一次项上出错。最后要把 代进通式验一次 —— 本题恰好一致，能合写；不一致就得写成分段。 【答案】 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，且满足，则 = __________ 【切入点】条件是 ，带着根号。把 整体看成一个新数列，它就是一个等差数列。 【关键】由 且 得 ，所以 。当 时 ；又 也符合，故 。 【易错】别把 与 混为一谈，后者说的是开方之后成等差。求 时用的是 的差，不是 的差，所以要先平方把 还原出来。 【答案】 变式4-3（填空·★★★☆☆） 已知数列的前项和，。若是等差数列，则的通项公式为____________． 【切入点】 是一个含参数 的二次式，题干又要求它对应的数列是等差数列。等差数列的前 项和作为 的函数，只能是「二次项加一次项」，不能带常数项。 【关键】。要使 为等差数列， 必须形如 ，比较常数项得 。此时 。当 时 ；又 ，与通式一致。所以 。 【易错】参数 与数列的项 用的是同一个字母，代入时别串。「 没有常数项」是等差的前提条件：常数项不为零时， 处由 算出的值就与通项公式对不上，数列从第一项起就断了。 【答案】 例5（单选·★★☆☆☆） 已知数列的前项和为，若，，则 = （ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【切入点】条件是 ，要求的是 。项数很小，逐项往下推就够了，不必求出通项。 【关键】，。由 得 ；由 得 ；由 。故选 D。 【易错】每一步都要用「上一项的和」去求下一项，每算出一项就立刻把它并进和里，漏掉 会把 算成 ，最后得到 。另外别把 顺手写成 之后套在 上，那样求出来的是 没错，但 得先算对。 【答案】D 变式5-1（单选·★★★☆☆） 设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（ ） A. 49 B. 50 C. 99 D. 100 【切入点】 里 与 同时出现。先相减把 消掉，把递推关系找出来，再累乘求通项。 【关键】当 时， 与 相减得 ，即 ，。又 时 ，。累乘得 。 【关键】于是 。由 得 ，即 ，， 的最小值为 。故选 D。 【易错】累乘时首尾会大量消项，最后只剩 这一项，中间多留或少留一个因子都会整体错。解不等式时要记住 是正整数， 的最小整数是 而不是 。 【答案】D 例6（单选·★★☆☆☆） 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【切入点】 里 与 混在一起。照老办法再写一遍取 的式子，两式相减把 消掉。 【关键】当 时， 与 相减得 ，整理为 。 【关键】取 ：，即 。取 ：；取 ：，。由此看出从 起每一项都比前一项多 ，即 （），所以 。故选 B。 【易错】 时左边系数 ，这一式退化成 ，给不出任何信息，数列从 起才成规律。 是个例外，不能并进 里去。 【答案】B 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知数列的通项公式为，前n项和为，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 是公差为的等差数列 B. 是中的项 C. 数列是单调递增数列 D. 数列中存在三项能构成等比数列 【切入点】 是等差数列， 是它的前 项和， 由 给出。先把 与 都写成含 的表达式，再逐个选项核对。 【关键】，所以 ， 是公差为 的等差数列，A 项正确。 【关键】B 项：。若它是 中的项，就要有 ，即 ，不是整数，B 项错误。C 项：，分母随 增大而增大，整个式子随 增大而增大，C 项正确。D 项：若存在三项成等比，则 。把 代入并整理，得 。左端是有理数，右端含 ，两边相等的唯一可能是 且 ，由这两式推出 ，与三项互异矛盾，D 项错误。故选 AC。 【易错】C 项化到 时，分子分母都含 ，容易把增减方向看反。D 项用「有理数等于无理数」排除，前提是先把 的系数单独整理出来，混在整式里看不出两端的类型。 【答案】AC 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的概念与由 Sn 求 an 通项公式、单调性与最值；由前 n 项和求通项 数列的概念与性质 数列是把一些数按确定的顺序排成一列，排在第 个位置上的数记作 ，叫作数列的第 项。把项数 看作自变量、把第 项 看作函数值，数列就是一列只在正整数上取值的函数，通项公式 正是这一对应关系的解析表达。同一个数列可以有几副面孔：写出通项公式是一种，给出相邻项之间的递推关系是另一种，直接列出前面若干项也可以。拿到一个数列，先问它有没有通项公式，能不能用 直接算出第 项。 由前几项归纳通项公式，靠的是观察每一项与序号之间的联系：符号的交替变化交给 承担，分子与分母各自的变化各写一条关于 的式子，再把两段拼起来。反过来，判断某个数是不是数列中的项，就是让 等于这个数、解出关于 的方程，看解出来的 是不是正整数 —— 这是「数列的项」与「随便一个数」之间的分水岭。 数列的单调性比较相邻两项。 的符号给出增减：差恒为正就是递增，恒为负就是递减，差变号说明数列先增后减或先减后增。各项同号、尤其是正项数列，也可以作商，把 与 比大小，分式结构用这一路往往更快。作差与作商都只是手段，判到最后都要落回「 取正整数」这个前提上。 最大项与最小项要找数列由增转减、由减转增的那个转折位置，一般写成 同时不小于它的前后两项，把 的范围解出来；更多时候由单调性直接读出，不必列不等式。还有两类数列值得单独记住。一类是周期数列，项的变化隔若干项重复一次，前 项和因此可以用整周期加余项来算；另一类是两个数列的公共项，若两者都是等差数列，把通项相等写成方程、解出下标要满足的整除条件，公共项自己也会排成一个等差数列。 例1（单选·★☆☆☆☆） 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★★☆☆） 已知数列的通项公式分别为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式1-2（填空·★★★☆☆） 数列的通项公式为，则 = _______ 例2（填空·★★☆☆☆） 已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________ 变式2-1（多选·★★★☆☆） 下列表达式中，满足数列是单调递减的有（ ）。 A. B. C. D. 例3（解答·★★★☆☆） 已知等差数列的前n项和为，且，。（1）求的通项公式；（2）若，求n的最小值。 变式3-1（填空·★★★☆☆） 已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为__________ 与 的关系 数列的前 项和记作 。它与通项之间只隔着一次作差：把前 项和与前 项和相减，剩下的正好是第 项，所以当 时总有 。这条式子是整个知识点的骨架 —— 凡是题目里同时出现 与 ，第一步都是想办法用它把其中一个消掉。 用它必须留意起点。 时 没有意义，公式管不到第一项，所以首项要单独由 求出。规范的写法是三步：先算 ，再对 求出 ，最后把 代进 的那条式子检验。能对上就合成一条通项公式；对不上就写成分段形式，两段各自标明适用范围，中间不留缝。 题目的问法决定要算到哪一步。只问某个具体项，比如第几项是多少，逐项递推就够了，不必求通项；问的是通项公式、或者要研究整个数列的单调性与最值，就必须把通项完整解出来。递推的时候要守一条规矩：每到一步就把新算出的项并进和里，下标不要跳，也不要漏掉相邻的那一项。动手之前先把这一层判断做掉，能省下大量计算。 自己也是一列数，它同样有通项、有单调性、有最值。题目有时不给 的表达式，而是给一个关于 的关系式，这时把 当作一个独立的数列来处理：先把 求出来，再回到 得到通项。两条路一前一后，顺序不能颠倒。还有一层区别要分清：含 的等式，和与 有关的等式，是两回事 —— 前者把 摆在那里可以直接代入，后者往往要先做一步变形，把 从别的量中间解出来。 例4（单选·★★☆☆☆） 记为数列的前项和，已知，，则 = （ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则 = ________ 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知数列的前项和为，且满足，则 = __________ 变式4-3（填空·★★★☆☆） 已知数列的前项和，。若是等差数列，则的通项公式为____________． 例5（单选·★★☆☆☆） 已知数列的前项和为，若，，则 = （ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 变式5-1（单选·★★★☆☆） 设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（ ） A. 49 B. 50 C. 99 D. 100 例6（单选·★★☆☆☆） 已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知数列的通项公式为，前n项和为，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 是公差为的等差数列 B. 是中的项 C. 数列是单调递增数列 D. 数列中存在三项能构成等比数列 学科网（北京）股份有限公司 $