第1讲数列的概念与由 Sn 求 an提高讲义-2027届高三数学一轮复习

数列的概念与由 Sn 求 an 通项公式、单调性与最值；由前 n 项和求通项 数列的概念与性质 通项公式不只是「写出第 项」，它还是研究整个数列的工具。有了 ，单调性、最值、各项的取值范围都可以算出来，不必逐项试验。最常见的变形是把通项整理成能看出增减的形状：分式的分子分母都是 的一次式时，先做多项式除法，把它拆成「常数加上一个随 单调的分式」，增减方向立刻可见；分子分母都含 的幂时，作商比作差省力。 最大项与最小项有统一的写法。若 最大，它同时不小于前一项与后一项，写成 与 ，两条不等式的公共整数解就是峰值所在的位置；最小项把不等号反向即可。如果已经判定数列先增后减，转折点也可以直接由相邻两项的大小比较找出来，这时不必再写完整的不等式组。 有些数列的通项含 ，或按 的奇偶分段，奇偶项各走各的规律。讨论的时候要分开写，最后再合并成一条分段表达式；求和时先看能不能两两配对，含 的项往往相邻两项相消或相并。 前 项和本身也是一个数列，它的最值由通项的正负决定：项为正时和上升，项为负时和下降。所以 的最大值出现在最后一批正项累加完毕的位置，最小值出现在最后一批负项累加完毕的位置。若 恰好是关于 的二次式，它就是一条抛物线，开口方向由二次项系数决定，峰值可以由对称轴读出；取整的时候要把对称轴两侧的两个整数都代进去比一次。 含参数的数列还要多一步：先按参数分类，再在每一类里判断数列的性质。参数影响的是首项、公差或者通项的符号，分类的界点通常落在「公差的符号」「前两项谁大谁小」这类地方，界点本身必须归入某一类，不能悬空。 例1（解答·★★★★☆） 已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列。（1）求的通项公式；（2）探究的单调性，并求其最值。 【切入点】第 (1) 问由两个条件定等差数列的基本量。第 (2) 问要谈 的单调性与最值，先借等比条件把 的通项写出来，再把 单独解出来。 【关键】设 的首项为 、公差为 。由 得 ，又 ，两式联立解得 ，，故 。 的首项为 、公比为 ，所以 ，。 【关键】作差 ： 时 ，差为负； 时 ，差为正。所以 从 到 逐项变小、从 起逐项变大。最小值在 处取到，；往后 一直增大，没有最大值。所以 ，而 先单调递减后单调递增，最小值为 ，无最大值。 【易错】转折点要看 的零点落在哪里： 与 分居 的两侧，所以是从 起回升，不是从 起。另外「先减后增」不等于「单调递增」，最小项在中段那一项，不在两端。 【答案】； 先单调递减后单调递增，最小值为 ，无最大值 变式1-1（解答·★★★★☆） 记为等差数列的前项和。已知。求的通项公式。 【切入点】两个条件合起来，就是两个关于首项 与公差 的方程，解出基本量就能写通项。 【关键】把 换成基本量：，整理得 。由 得 ，即 。两式相减得 ，，，故 。 【易错】 要展开成三项相加，写成 会漏掉公差的累加。 移项时也别漏乘系数，把 写成 再合并最稳。 【答案】 例2（解答·★★★★☆） 数列满足，，数列满足，。（1）求，的通项公式；（2）设为的前项和，令，求数列的最大项。 【切入点】两个数列一个是等差、一个是等比，通项都能直接写。第 (2) 问先把 求出来，得到一个具体的数列 ，再研究它的最大项。 【关键】由 且 知 是公差为 的等差数列；由 且 知 是公比为 的等比数列。所以 ，。于是 ，。 【关键】比较相邻两项：。分子 在 处依次取 ，都为正；取 时为 ，为负。所以 ，而从 起逐项变小，最大项是 。 【易错】 在 与 处都取正值且相等，说明 是上升的、 还是上升的，峰顶要继续比到 才出现。若只看到「 处差为正」就收手，会把最大值误定在 。 【答案】，； 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知等差数列中的前项和为，且成等比数列，。求数列的通项公式。 【切入点】等比条件给的是 ，等差条件给的是 。两条都用首项与公差表示出来，联立解基本量。 【关键】由 得 ，即 。于是 ，，。代入 得 ，展开整理为 ，解得 或 。 时 ； 时 ，。所以 或 。 【易错】 是常数列，此时 都等于 ，确实成等比，不能凭「常数列不像等比」就丢掉。解出二次方程的两个根之后，都要代回原条件各验一遍。 【答案】 或 例3（解答·★★★★☆） 在数列中，。（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最大值。 【切入点】递推式是 ，右端可以逐项相加，用累加法把通项写出来。第 (2) 问的 会变回等差数列，求前 项和的最大值只需看它从哪一项起变号。 【关键】累加得 ，所以 。于是 ， 是首项为 、公差为 的等差数列，。 【关键】 当且仅当 ，且 ，从第 项起为负。所以 在 时逐项不减，在 时逐项不增，最大值在 与 处同时取到：，。故 的最大值为 。 【易错】 这一项加进去不改变和的大小，所以最大值在两个下标处同时取到，只答一个会漏。累加时求和号的上标是 ，写成 会多算一项 ，通项整体高一次。 【答案】； 的最大值为 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知等差数列满足。求数列的通项公式。 【切入点】题干已经说明 是等差数列，条件 又是对一切正整数成立的恒等式，那就把通项设成 代进去比系数。 【关键】设 。代入得 ，左端整理为 。比较 的系数得 ；比较常数项得 ，即 。所以 。 【易错】比较系数前要先把左端按 的幂整理干净，局部系数硬对会漏掉常数项那一条。代回检验最省事： 确实恒成立。 【答案】 变式3-2（解答·★★★★☆） 已知数列满足。（1）设，求证：数列为等比数列；（2）求的通项公式。 【切入点】递推式是三项之间的线性关系 。题干把 定义成相邻两项的差，这就是提示：把它代进去，看差值自己满足什么关系。 【关键】由 得 。把递推式改写成 ，则 。又 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列，。 【关键】，把 的差全部加起来：。代入 得 。 【易错】累加时右端是等比数列前 项之和，要写成 而不是 ，补上 之后才凑出通项。另外证明等比必须先交代 ，否则公比无从谈起。 【答案】证明见解析； 与 的关系 含 的等式可以分成三类，处理方法各不相同，先认清是哪一类再动手。第一类是 已经写成关于 的显式表达式，按 与 两段直接作差就行；唯一要留意的是 里若含待定常数，这个常数由「 时的 必须等于把通项代进去算出的值」定下来。 第二类是等式里同时含 与 ，形如 等于 的一次式。做法固定：把 换成 再写一遍，两式相减，左端 正好是 ，右端只剩 与 ，于是得到一个只含 的递推式，问题归到「由递推求通项」上去。相减之前最好先把 的情形单独算出来，因为这一步的结果不会被递推式覆盖，漏了就少一个起点。 第三类是关于 自身的关系式， 只是被顺带提到。这时把 当成主角：等式里出现的 、、 一类结构，都可以看作对 做的变换。能凑成等差或等比的就凑，凑成之后得到 的表达式，再作一次差就回到 。方向只有一个：从 到 靠作差，反方向没有捷径，需要求和就老老实实求和。 还有一类等式带 、 这样的乘积项。相减之后仍然留着 的系数，把它整理成 只与 有关的形状，再用累乘求通项；如果整理出来的是 与 的线性关系，也可以两边同时除以 或 ，构造出一个新的等差或等比数列。 最后一步永远是回代检验。递推式一般从第 项起才成立，由它算出的通项对首项可能不成立，所以要把 单独算好，再与通项在 处的取值对照。能合并的合成一条，不能合并的分段写；分段时两段的条件都要写清楚，写成 这样的形式最不容易漏。 例4（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，满足。求数列的通项公式。 【切入点】等式 同时含 与 。先令 定出 ，再写 的式子相减，把 消掉。 【关键】令 ：，解得 。当 时，由 得 ，整理得 。所以 是首项为 、公比为 的等比数列，。 【易错】首项必须单独用 的式子求，不能由递推式反推。相减时两个 要一起抵掉，写成 之后忘了另一个常数项，递推式里就会多出一个 。 【答案】 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且成等差数列。求数列的通项公式。 【切入点】「、、 成等差数列」是一句翻译题：写成等式就是 ，于是它变成熟悉的「 与 混合」型，照固定套路相减即可。 【关键】由三者成等差数列得 。令 ：，。当 时，把 与原式相减，得 ，即 。 【关键】两边同时加 ：，而 ，所以 的相邻两项之比恒为 ，它是等比数列，且 ，即 。 【易错】「成等差数列」要按中间项等于两端平均数的样子写，写成 会让整条式子差一个系数。构造等比时两边加多少不是随手取的：递推式形如 ，配的常数就是 ，凑成 。 【答案】 变式4-2（解答·★★★★☆） 记为数列的前项和，已知，。求的通项公式。 【切入点】 里同时有 与 。用 把 换成 的差，再整理成相邻两项之比。 【关键】当 时， 与 相减得 ，即 ，也就是 ，。 【关键】由 累乘：。 时该式等于 ，与 相符，故 对一切正整数 成立。 【易错】从 两边除以 时，要写明 ，否则除数为零。累乘约分时分子分母各留两项不被约掉，只留一项就会多出或少掉一个因子。 【答案】 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且满足。求数列的通项公式。 【切入点】 是标准的「 与 混合」型。先取 定首项，再写 的式子相减。 【关键】令 ：，解得 。当 时，，即 。所以 是首项为 、公比为 的等比数列，。 【易错】相减时两个 要一起消掉，只消一个会得到 ，通项就变成另一条了。首项也必须用 的式子单独求，不能由递推式反推。 【答案】 例5（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，。（1）求；（2）求。 【切入点】条件把三个相邻的前 项和加在一起，等于一个二次式。第 (1) 问代 逐次解；第 (2) 问想看清 的形状，可以先把它设成二次式再把系数定下来。 【关键】取 ：。由 、 得 、，所以 ，。取 ：，于是 ，。 【关键】设 ，代入 ，左端为 ，与右端比较得 ，，，即 。这一结果与已知的 、 相符，而 往后每一项都由递推式唯一确定，所以 就是该数列的前 项和。综合两问：，；。 【易错】比较系数时要注意左端第一项是 ，展开后会同时产生平方项与一次项，常数项 前的系数是 不是 。另外求出 之后要用 的已知值回代确认一遍，不能直接当成结论往下写。 【答案】，； 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且。（1）证明：是等差数列；（2）若，求的最大值。 【切入点】第 (1) 问要证 是等差数列，就得从 里把 凑出来。 【关键】由 得 ，于是 。两边同除以 ：。又 ，所以 是首项为 、公差为 的等差数列。 【关键】由上得 ，，进而 ，即 （），且 也符合。由 得 ，即 ，解得 。 为正整数，所以 的最大值为 。 【易错】证明等差数列要同时交代首项与公差，只写「相邻两项的差是常数」不算完整。解 得到的是一段开区间， 对应 共四个值，别把 也算进去。 【答案】证明见解析； 的最大值为 例6（解答·★★★★☆） 记数列的前项和为，其中，，对任意的，有。（1）求数列的通项公式；（2）求。 【切入点】条件是一串「相邻两项乘积的倒数和」等于一个关于 的式子。这类题的常规做法是再写一遍 的式子、两式相减，把求和号消掉，只留下相邻两项之间的关系。 【关键】记 ，已知 。把 换成 得 。两式相减：，两边同乘 得 ，即从 起相邻两项的差恒为 。 【关键】取 ：，代入 得 ，两边同乘 得 ，。所以 ，即 （），，首项不符合这条式子，两者不能合成一条，通项要分段写：。 【关键】当 时 。该式在 时也等于 ，与 相符，故 对一切正整数 成立。 【易错】两式相减后留下的是 这一项，写成 会把位置整体挪错一项。规律从 起才成立，通项必须分段写，合成一条会把首项搞错。求 时用的是 的和，别把 的表达式搬过来。 【答案】（），； 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且。证明：数列是等比数列。 【切入点】要证 是等比数列，就要从 里凑出 为常数。 【关键】令 ：，解得 。当 时，由 得 ，整理为 ，即 。 【关键】两边同时加 ：。又首项 ，故 的相邻两项之比恒为 ，它成等比数列。 【易错】 里的 与 里的 相减之后，剩下的是 而不是 ，符号反了整个递推式都会跟着错。另外证明等比数列必须先说明首项 ，否则公比无从谈起。 【答案】证明见解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的概念与由 Sn 求 an 通项公式、单调性与最值；由前 n 项和求通项 数列的概念与性质 通项公式不只是「写出第 项」，它还是研究整个数列的工具。有了 ，单调性、最值、各项的取值范围都可以算出来，不必逐项试验。最常见的变形是把通项整理成能看出增减的形状：分式的分子分母都是 的一次式时，先做多项式除法，把它拆成「常数加上一个随 单调的分式」，增减方向立刻可见；分子分母都含 的幂时，作商比作差省力。 最大项与最小项有统一的写法。若 最大，它同时不小于前一项与后一项，写成 与 ，两条不等式的公共整数解就是峰值所在的位置；最小项把不等号反向即可。如果已经判定数列先增后减，转折点也可以直接由相邻两项的大小比较找出来，这时不必再写完整的不等式组。 有些数列的通项含 ，或按 的奇偶分段，奇偶项各走各的规律。讨论的时候要分开写，最后再合并成一条分段表达式；求和时先看能不能两两配对，含 的项往往相邻两项相消或相并。 前 项和本身也是一个数列，它的最值由通项的正负决定：项为正时和上升，项为负时和下降。所以 的最大值出现在最后一批正项累加完毕的位置，最小值出现在最后一批负项累加完毕的位置。若 恰好是关于 的二次式，它就是一条抛物线，开口方向由二次项系数决定，峰值可以由对称轴读出；取整的时候要把对称轴两侧的两个整数都代进去比一次。 含参数的数列还要多一步：先按参数分类，再在每一类里判断数列的性质。参数影响的是首项、公差或者通项的符号，分类的界点通常落在「公差的符号」「前两项谁大谁小」这类地方，界点本身必须归入某一类，不能悬空。 例1（解答·★★★★☆） 已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列。（1）求的通项公式；（2）探究的单调性，并求其最值。 变式1-1（解答·★★★★☆） 记为等差数列的前项和。已知。求的通项公式。 例2（解答·★★★★☆） 数列满足，，数列满足，。（1）求，的通项公式；（2）设为的前项和，令，求数列的最大项。 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知等差数列中的前项和为，且成等比数列，。求数列的通项公式。 例3（解答·★★★★☆） 在数列中，。（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最大值。 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知等差数列满足。求数列的通项公式。 变式3-2（解答·★★★★☆） 已知数列满足。（1）设，求证：数列为等比数列；（2）求的通项公式。 与 的关系 含 的等式可以分成三类，处理方法各不相同，先认清是哪一类再动手。第一类是 已经写成关于 的显式表达式，按 与 两段直接作差就行；唯一要留意的是 里若含待定常数，这个常数由「 时的 必须等于把通项代进去算出的值」定下来。 第二类是等式里同时含 与 ，形如 等于 的一次式。做法固定：把 换成 再写一遍，两式相减，左端 正好是 ，右端只剩 与 ，于是得到一个只含 的递推式，问题归到「由递推求通项」上去。相减之前最好先把 的情形单独算出来，因为这一步的结果不会被递推式覆盖，漏了就少一个起点。 第三类是关于 自身的关系式， 只是被顺带提到。这时把 当成主角：等式里出现的 、、 一类结构，都可以看作对 做的变换。能凑成等差或等比的就凑，凑成之后得到 的表达式，再作一次差就回到 。方向只有一个：从 到 靠作差，反方向没有捷径，需要求和就老老实实求和。 还有一类等式带 、 这样的乘积项。相减之后仍然留着 的系数，把它整理成 只与 有关的形状，再用累乘求通项；如果整理出来的是 与 的线性关系，也可以两边同时除以 或 ，构造出一个新的等差或等比数列。 最后一步永远是回代检验。递推式一般从第 项起才成立，由它算出的通项对首项可能不成立，所以要把 单独算好，再与通项在 处的取值对照。能合并的合成一条，不能合并的分段写；分段时两段的条件都要写清楚，写成 这样的形式最不容易漏。 例4（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，满足。求数列的通项公式。 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且成等差数列。求数列的通项公式。 变式4-2（解答·★★★★☆） 记为数列的前项和，已知，。求的通项公式。 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且满足。求数列的通项公式。 例5（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，。（1）求；（2）求。 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且。（1）证明：是等差数列；（2）若，求的最大值。 例6（解答·★★★★☆） 记数列的前项和为，其中，，对任意的，有。（1）求数列的通项公式；（2）求。 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且。证明：数列是等比数列。 学科网（北京）股份有限公司 $