第32讲空间向量的概念与运算（知识清单+6典例精讲+5方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量的概念与运算，涵盖向量坐标运算、数量积、法向量求解及线面角等高考核心考点，按概念-定理-运算-应用逻辑构建知识体系。通过知识清单梳理、6类典例精讲、5大方法技巧提炼及分层训练，帮助学生系统突破空间向量应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义创新采用“解题大招”策略，如叉乘速算法求法向量、四点共面秒杀结论，培养学生数学思维与运算能力。设置基础过关、拔高选练、错题复盘三级训练，配合真题情境应用，助力学生在有限时间内提升解题效率，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第32讲空间向量的概念与运算 （知识清单+6典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 向量坐标运算、向量数量积、向量垂直判定、平面法向量求解 单选/解答题 5分 共线向量判定、向量数量积、线面角向量求解 单选/填空/解答题 5分/12分 空间向量基本定理、向量线性分解、无建系纯向量运算 单选/解答题 5分/12分 向量坐标线性运算、平面法向量求解、二面角计算 单选/填空/解答题 5分/12分 向量数量积运算、异面直线夹角求解、立体图形建系、向量垂直证明、法向量运算 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 向量线性表示、向量模长计算、数量积综合运算 单选/解答题 5分/12分 共面向量定理、坐标运算、线面角求解、向量垂直判定 单选/填空/解答题 12分 【知识点01】空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 【例1】已知空间向量，求该向量的模长以及与其同向的单位向量。 【知识点02】空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底. 【例2】已知不共线，向量，求证：三向量共面。 【知识点03】空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积 a·b=|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 共线 a=λb(b≠0，λ∈R) a1=λb1，a2=λb2， a3=λb3 垂直 a·b=0 (a≠0，b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉= (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉= 【例3】已知，，求及两向量夹角的余弦值。 【知识点04】空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量. (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 【例4】已知直线方向向量，直线方向向量，判断两条直线的位置关系。 【题型一】空间向量及其加减运算 【例1】（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式3】在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________． 【题型二】空间共面向量定理 【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D．【答案】B 【变式1】（2024·河南·三模）在四面体中，是边长为2的等边三角形，是内一点，四面体的体积为，则对，的最小值是（    ） A． B． C． D．6 【变式2】（2025·江西·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ______．【答案】16 【题型三】空间向量的数量积及其应用 【例3】（2025·河北·模拟预测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【变式2】（2026·广东佛山·一模）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【变式3】（2025·上海虹口·一模）已知空间中四个单位向量满足, 则在方向上的数量投影的最大值为___ 【题型四】空间向量基本定理及其应用 【例4】（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 【变式3】在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 【题型五】空间向量的坐标表示 【例5】（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（    ） A．1 B． C．无穷多个 D．前面的说法都有可能 【变式2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·上海浦东新·三模）已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 【题型六】空间向量平行、垂直的坐标表示 【例6】已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】向量，，若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式2】（2026·河北·三模）已知空间向量，，且.则________. 【变式3】（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则____. 【解题大招01】空间向量线性运算快速拆解技巧 1. 首尾相连法则：空间向量线性化简，遵循“首尾相接、去中间点”，多用于立体几何向量转化。 2. 基底分解技巧：任意空间向量均可依托不共面向量基底拆分，优先选择几何体中模长、夹角已知的棱向量作为基底。 3. 通用线性运算公式（微软公式）： 【例1】 在空间四边形中，化简。 【解题大招02】空间向量共线、共面快速判定技巧 1. 共线判定速法：坐标成比例直接判定平行，无需验证夹角；坐标含0时，对应分量必须同时为0。 2. 四点共面秒杀结论：若，满足，则四点共面。 3. 判定公式： 【例2】已知，判断四点是否共面。 【解题大招03】空间向量数量积最值与夹角求解技巧 1. 夹角判定技巧：数量积正负快速判角，为锐角，为钝角，为直角。 2. 模长最值技巧：利用，将模长最值问题转化为二次函数最值求解。 3. 核心公式： . 【例3】已知，，求两向量夹角，并判断夹角类型。 【解题大招04】空间几何位置关系向量速证技巧 1. 平行速证：线线平行证方向向量共线；线面平行证方向向量与平面法向量垂直；面面平行证两平面法向量共线。 2. 垂直速证：线线、线面、面面垂直，统一转化为数量积为0，是高考最快解题路径。 3. 核心判定公式： . 【例4】已知平面法向量，直线方向向量，证明：。 【解题大招05】平面法向量快速求解技巧 1. 叉乘速算法：已知平面内两个不共线向量，直接叉乘快速求法向量，规避方程组繁琐计算。 2. 赋值技巧：解法向量方程组时，优先给含1、0的变量赋值，简化运算。 3. 核心公式：设平面内两向量 . 【例5】已知平面内两向量，求该平面的一个法向量。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 三、填空题 6．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为________. 四、解答题 7．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，. (1)试用，，表示； (2)求的长. 8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.    (1)求点E、F的坐标； (2)求证：EF∥平面ACD1. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 三、填空题 5．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 四、解答题 6．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·河南·二模）点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，为底面的中心，若，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 2．（2026·上海静安·二模）设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 二、多选题 3．已知正方体的边长为2，点P，Q分别在正方形的内切圆，正方形的外接圆上运动，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·上海浦东新·二模）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 四、解答题 5．（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲空间向量的概念与运算 （知识清单+6典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 向量坐标运算、向量数量积、向量垂直判定、平面法向量求解 单选/解答题 5分 共线向量判定、向量数量积、线面角向量求解 单选/填空/解答题 5分/12分 空间向量基本定理、向量线性分解、无建系纯向量运算 单选/解答题 5分/12分 向量坐标线性运算、平面法向量求解、二面角计算 单选/填空/解答题 5分/12分 向量数量积运算、异面直线夹角求解、立体图形建系、向量垂直证明、法向量运算 单选/多选/解答题 5分/6分/12分 向量线性表示、向量模长计算、数量积综合运算 单选/解答题 5分/12分 共面向量定理、坐标运算、线面角求解、向量垂直判定 单选/填空/解答题 12分 【知识点01】空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 长度相等而方向相反的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 【例1】已知空间向量，求该向量的模长以及与其同向的单位向量。 解：第一步：求向量模长 第二步：求同向单位向量 与向量同向的单位向量公式： 答案：模长为，同向单位向量为。 【知识点02】空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.{a，b，c}叫做空间的一个基底. 【例2】已知不共线，向量，求证：三向量共面。 证明：设，代入坐标得： 对应坐标相等列方程： 存在唯一实数对，使得，符合共面向量定理。 故三向量共面。 【知识点03】空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积 a·b=|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 共线 a=λb(b≠0，λ∈R) a1=λb1，a2=λb2， a3=λb3 垂直 a·b=0 (a≠0，b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉= (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉= 【例3】已知，，求及两向量夹角的余弦值。 解：第一步：计算数量积 第二步：计算向量模长 第三步：求夹角余弦值 答案：，。 【知识点04】空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量. (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1=λn2(λ∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2=0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄α l∥α n⊥m⇔n·m=0 l⊥α n∥m⇔n=λm(λ∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n=λm(λ∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m=0 【例4】已知直线方向向量，直线方向向量，判断两条直线的位置关系。 解：第一步：验证是否垂直（计算数量积） 第二步：结论判定 由，可得。 故直线。 【题型一】空间向量及其加减运算 【例1】（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组，即可求解. 【详解】由于， 所以，，. 故选：B 【变式1】已知四面体中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可得解. 【详解】因为四面体中，是的中点， 所以. 故选：B. 【变式2】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由 ， 当“A、B、C、D四点在同一条直线上时，  A, B, C, D四点不共圆， 若A、B、C、D四点共圆，当ABCD 是矩形时，此时AC，BD为圆的直径,满足，而当ABCD 不是矩形时，显然AC，BD不是圆的直径，此时. 故选: D 【变式3】在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则____________． 【答案】 【分析】根据空间向量的加法法则求解即可 【详解】由题意， 故答案为： 【题型二】空间共面向量定理 【例2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 【变式1】（2024·河南·三模）在四面体中，是边长为2的等边三角形，是内一点，四面体的体积为，则对，的最小值是（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据共面向量定理将所求最小值转化为点到平面的距离，再利用体积求解即可. 【详解】设，由共面向量定理得点为平面内任意一点， 且， 所以， 求的最小值，即求点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由题意知， 四面体的体积， 解得，故所求最小值为6． 故选：D． 【变式2】（2025·江西·模拟预测）已知四棱锥的底面为平行四边形，过点的平面分别交侧棱，，于，，三点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算表示，利用共面求出参数，据此求出即可得解. 【详解】如图， 设， 则． 又，，，四点共面，所以，解得， 所以，，得． 故选：B 【变式3】（2025·上海·模拟预测）不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ______． 【答案】16 【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 【题型三】求空间向量的数量积和空间向量数量积的应用 【例3】（2025·河北·模拟预测）正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，根据，可得点在以为球心，以1为半径的球面上，且，从而可得线段长度的取值范围. 【详解】取底面正方形中心，中点，连结， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，得， 所以点在以为球心，以1为半径的球面上， 且， 则，即线段长度的取值范围为. 故选：C    【变式1】（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. 【变式2】（2026·广东佛山·一模）已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【详解】由题可知，，， 所以． 【变式3】（2025·上海虹口·一模）已知空间中四个单位向量满足, 则在方向上的数量投影的最大值为___ 【答案】 【分析】通过已知条件建立向量与的关系，进而求出在方向上的数量投影的值. 【详解】设 ,, 其中,, , 可设, 同理，（*）, , 则在方向上的数量投影为 当最大时，，，故由（*），, , , , , , ， 故答案为：. 【题型四】空间向量基本定理及其应用 【例4】（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 【变式1】在平行六面体中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理可得答案． 【详解】. 故选：B. 【变式2】（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理逐一判断. 【详解】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错； 若是空间的一个基底，则不共面， 若共面，则，， 显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B对； 若，，在空间中不一定平行，C错； 若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错. 故选：ACD. 【变式3】在正四面体中，点是的中心，若（），则__________. 【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 【题型五】空间向量的坐标表示 【例5】（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：A 【变式1】（2024·上海·模拟预测）设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数为（    ） A．1 B． C．无穷多个 D．前面的说法都有可能 【答案】A 【分析】设出各点坐标，利用向量坐标运算得到方程，表达出点的坐标，得到答案. 【详解】设， 由得， 所以， 所以， 所以满足条件的点的个数为1个. 故选：A． 【变式2】（2024·江苏南通·模拟预测）已知正六棱柱的底面边长为1，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，由正六边形的性质可知，再根据空间向量数列积公式，即可求出结果. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且， 由正六边形的性质可得，， 设，其中， 所以，， 所以，所以的取值范围. 故选：A. 【变式3】（2026·上海浦东新·三模）已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用空间坐标法求数量积后可得结论. 【详解】以为轴，为轴，底面上与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设圆锥的高为， 则，设，则， ，由得， 所以的取值范围为    【题型六】空间向量平行、垂直的坐标表示 【例6】已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据空间向量平行、空间向量垂直的坐标表示逐项计算判断即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以不垂直，选项A,C错误； 因为，所以. 因为，所以，B正确. 故选：B. 【变式1】向量，，若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，即， 又，则，即，所以， 则. 故选：D 【变式2】（2026·河北·三模）已知空间向量，，且.则________. 【答案】 【详解】因为，，且，所以，整理得，解得. 【变式3】（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则____. 【答案】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，结合已知条件，直接计算即可. 【详解】若，则， 解得，，故. 故答案为：. 【解题大招01】空间向量线性运算快速拆解技巧 1. 首尾相连法则：空间向量线性化简，遵循“首尾相接、去中间点”，多用于立体几何向量转化。 2. 基底分解技巧：任意空间向量均可依托不共面向量基底拆分，优先选择几何体中模长、夹角已知的棱向量作为基底。 3. 通用线性运算公式（微软公式）： 【例1】在空间四边形中，化简。 解：第一步：利用首尾相连法则合并向量 原式化简为： 第二步：利用向量减法法则 最终结果： 【解题大招02】空间向量共线、共面快速判定技巧 1. 共线判定速法：坐标成比例直接判定平行，无需验证夹角；坐标含0时，对应分量必须同时为0。 2. 四点共面秒杀结论：若，满足，则四点共面。 3. 判定公式： 【例2】已知，判断四点是否共面。 解：第一步：验证系数和 第二步：结合四点共面结论 满足共面向量公式条件，故四点共面。 【解题大招03】空间向量数量积最值与夹角求解技巧 1. 夹角判定技巧：数量积正负快速判角，为锐角，为钝角，为直角。 2. 模长最值技巧：利用，将模长最值问题转化为二次函数最值求解。 3. 核心公式： . 【例3】已知，，求两向量夹角，并判断夹角类型。 解：第一步：计算数量积 第二步：计算模长 第三步：计算夹角余弦值 第四步：判定夹角 ，为锐角。 答案：夹角为，是锐角。 【解题大招04】空间几何位置关系向量速证技巧 1. 平行速证：线线平行证方向向量共线；线面平行证方向向量与平面法向量垂直；面面平行证两平面法向量共线。 2. 垂直速证：线线、线面、面面垂直，统一转化为数量积为0，是高考最快解题路径。 3. 核心判定公式： . 【例4】已知平面法向量，直线方向向量，证明：。 证明：第一步：计算方向向量与法向量数量积 第二步：判定位置关系 由，得，且直线。 故，得证。 【解题大招05】平面法向量快速求解技巧 1. 叉乘速算法：已知平面内两个不共线向量，直接叉乘快速求法向量，规避方程组繁琐计算。 2. 赋值技巧：解法向量方程组时，优先给含1、0的变量赋值，简化运算。 3. 核心公式：设平面内两向量 . 【例5】已知平面内两向量，求该平面的一个法向量。 解：由叉乘公式得： 答案：平面一个法向量为。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·福建泉州·一模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，可知， 则. 2．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 3．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 4．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出平面的法向量，结合向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】设， 则，即，令，则，所以. 因为，所以，即，整理得， 解得. 二、多选题 5．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 三、填空题 6．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为________. 【答案】 /0.5 【分析】利用三棱柱模型，选择一组空间基底，将相关向量分别用基底表示，再利用平面，确定必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得. 【详解】 如图，不妨设，依题意，, ， 因，则 又因平面，故必共面， 即存在，使，即， 从而有，解得. 故答案为：. 四、解答题 7．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，. (1)试用，，表示； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】（1）依题意可得 （2）依题意可得， 所以 ， 所以，即. 8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.    (1)求点E、F的坐标； (2)求证：EF∥平面ACD1. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据坐标系，利用坐标的定义，可得结论； （2）求出、的坐标，可得，从而可得线线平行，即可得到线面平行． 【详解】（1）由题意，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点， ∴， （2），， ，， ∴，∴AC∥EF， ∵EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1， ∴EF∥平面ACD1． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 2．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 3．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】由题意可知，， ， 则， 又因为，所以. 二、多选题 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，由可判断，对于B，由空间向量基本定理可判断，对于C，通过可判断，对于D，通过向量夹角公式可判断. 【详解】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C  ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 三、填空题 5．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 四、解答题 6．（2024·河北邢台·二模）直三棱柱中，，，， (1)如图1，点E为棱上的动点，点F为棱BC上的动点，且，求线段长的最小值； (2)如图2，点M是棱AB的中点，点N是棱的中点，P是与的交点，在线段上是否存在点Q，使得面？    【答案】(1) (2)存在点在靠近点的三等分点处 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，进而可得出答案； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 设，则， ， 故 ， 所以， 当时，取得最小值， 所以线段长的最小值为； （2）假设存在，设， ， 故， ， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为面，所以， 则，解得， 所以存在点在靠近点的三等分点处，使得面.    【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·河南·二模）点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，为底面的中心，若，则的最大值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】法一：根据空间向量共面定理可得当点P位于平面内时，，设与平面平行的平面为，外接球球心为，分析可得当点P是平面和球相切时的切点时，的值最大，进而分析求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算可得，，进而得到，再结合基本不等式求解即可. 【详解】法一：因为， 所以当点P位于平面内时，， 设与平面平行的平面为，正方体的外接球球心为． 则当点P是平面和球相切时的切点时，的值最大． 记棱的中点为E，则面， 故图中射线与球的交点即为点P． 设棱AB，的中点分别为F，G，取过O，，E的截面，如图， 连接OP交直线FG于点M，过点O作垂足为H， 则，， 则的最大值为． 法二：设正方体的外接球球心为，建立如图的坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 又，得， ， 又点为棱长是2的正方体的外接球上一动点，则． 得， 设，则， 而， 因为， 故当，且时，取最大值为， 所以的最大值为，即的最大值为． 2．（2026·上海静安·二模）设、分别是棱长为的正方体的两个不同顶点，点在该正方体的表面上（含棱和顶点）运动，且不与、两点重合．关于，给出下列两个结论： ①存在最小值，且最小值小于零； ②存在最大值，且最大值大于零． 则下列判断正确的选项是（    ）． A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】A 【分析】分、为同一平面的相邻顶点、、为同一平面的不相邻顶点及、为体对角线上两顶点进行讨论，可求出对应的长度，取中点为，利用空间向量线性运算与数量积公式可得，再求出对应范围即可得解. 【详解】设中点为， 若、为同一平面的相邻顶点，则， 则，即， ， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为同一平面的不相邻顶点，则， 则，即， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，且最大值大于零； 若、为体对角线上两顶点，则， 则，即， 则， 此时存在最小值，且最小值小于零，存在最大值，最大值等于零； 综上可得：①正确；②错误. 二、多选题 3．已知正方体的边长为2，点P，Q分别在正方形的内切圆，正方形的外接圆上运动，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、模的坐标表示公式、夹角公式逐一判断即可. 【详解】以A为原点，为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系． 设点， ，，， A：，故正确． B：， 记，，故正确； C：取的中点M，穿过一侧的外接圆，取的中点，则不穿过，故必存在点P，使得经过外接圆，设公共点为Q，此时共线，故不正确； D：假设成立，则恒成立， 取，则，即，故不正确． 故选：AB. 【点睛】关键点睛：建立空间直角系，利用空间向量数量积、模的坐标表示公式进行求解是解题的关键. 三、填空题 4．（2025·上海浦东新·二模）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为__________．（用反三角表示） 【答案】 【分析】由题意可设设，，结合，，求得和，再结合向量夹角得坐标表示即可求解. 【详解】可设，设， 则， 所以， 两式相减可得：，再代入第一个式子， 可得： 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于当即取得最大值， 此时取得最大值， 即的最大值为，时取得， 再由余弦函数的单调性可知的最小值为， 故答案为： 四、解答题 5．（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)作辅助线画出底面的高，利用已知条件算出底面积和高即可求出体积； (2)先算出和的比，利用向量线性关系求出和、，再利用向量数量积公式求出夹角余弦值. 【详解】（1）解：过点作交于点，如图所示， 由知，且， 又因为且，所以平面， 过点作交延长线于点，所以， 又因为，故平面，即为三棱锥的高， 由题知，，则，，， 所以； （2）解：因为，，解得，所以， 同理可得，所以，， 由图知， 两边平方得：，所以， 又因为， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $