第32讲 平面向量的数量积及其应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量数量积及其应用，覆盖定义、运算律、几何意义及模、夹角、垂直、最值等高考核心考点。知识点按“基础回顾-必备知识-题型突破”系统架构，通过考点梳理、方法指导（如极化恒等式、等和线应用）、真题训练（分题型例题与课时精练），帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义突出数学思维与模型观念，创新采用“题型归类+方法提炼”策略，如在最值问题中运用极化恒等式转化，培养学生运算能力与逻辑推理。设置基础到综合分层练习，配合典型例题精讲，确保高效突破考点。为教师提供清晰复习路径，助力学生提升向量综合应用能力与应考技巧。

第32讲 平面向量的数量积及其应用 题型一 平面向量数量积和模的运算 5 题型二 平面向量的夹角 7 题型三 平面向量的垂直 9 题型四 最值、范围问题 10 课时精练 12 【基础回顾】 知识点1：向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角． 知识点2：平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫作向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 知识点3：平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫作向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cosθe. 知识点4：向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)． (2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))． 知识点5：平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时，等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 【必备知识】 1.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b， (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0； (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 3.极化恒等式： (1)一般形式: (2)公式推导: (3)几何意义: 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 . (4)三角形模式:如图,在 中, 是 的中点, 则 . 4.向量的等和线 平面内一组基底 及任一向量 ,若点 在直线 上或者在平行于 的直线上,则 (定值),反之也成立,我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和线. ① 当等和线恰为直线 时, ; ② 当等和线在 点和直线 之间时, ; ③ 当直线 在点 和等和线之间时, ; ④ 当等和线过 点时, ; ⑤ 若两等和线关于 点对称,则定值 互为相反数; 5.向量的四心的表示： (1). 三角形“四心”的单位向量表征 已知 为平面上的一个定点, 是该平面上不共线的三个动点, 1 若动点 满足 ,则点 的轨迹一定过 的内心; 证明 ：移项得 ,而 分别是和 共线的单位向量,由向量加法的平行四边形法则,知点 在 的平分线上,因此点 的轨迹一定过 的内心. ② 若动点 满足 则动点 的轨迹一定过 的外心; 证明：设 为 的中点,则 ,移项得 ,由于 所以 ,即点 在 的垂直平分线上,因此 的轨迹一定过 的外心. ③ 若动点 满足 则点 的轨迹一定过 的重心; 证明：移项得 ,设 为边 的中点,根据正弦定理: ,即 ,所以 与 共线,而 与 共线,因此点 的轨迹一定过 的重心. ④ 若动点 满足 则点 的轨迹一定过 的垂心. 证明：移项得 ,因为 ,所以 ,因此点 的轨迹一定过 的垂心. (2)、三角形“四心”的三角函数表征：根据奔驰定理可得 当点 分别为 (非直角三角形) 的内心、 外心、垂心时, 分别有以下关系式成立: ① ; ② ； ③ . 6.奔驰定理： 若点 是 内一点,则 . 【证明】 得: . 推论: 已知 为 所在平面一点,且满足 ,则 . 题型一 平面向量数量积和模的运算 1.计算平面向量数量积的主要方法 定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b=|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）。 基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解。 坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式，进行求解。 投影向量：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθ＝. 2.求平面向量的模的方法 【例题精讲】 1．已知向量在向量上的投影向量为，||＝4，则（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 2．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，则（　　） A． B．2 C．1 D．3 4．设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（　　） A． B． C． D． 5．已知向量，满足|2|＝|2|＝2，且||＝1，则（　　） A． B． C． D． 6．在直角三角形ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则取值范围为（　　） A．[4，6] B． C．[2，4] D． 7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、AE的中点，则（　　） A．﹣1 B．1 C． D． （多选）8．△ABC是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．在上的投影向量是 （多选）9．对于非零向量，，下列说法正确的是（　　） A．，则 B．，则 C．，则 D．•，则 （多选）10．下列说法中正确的是（　　） A．在△ABC中，，，，若，则△ABC为锐角三角形 B．非零向量和满足，，则 C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 D．在△ABC中，若点P满足，则P为△ABC的垂心 题型二 平面向量的夹角 求平面向量的夹角的方法 【例题精讲】 1．已知单位向量，满足||＝1，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 2．已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 4．已知单位向量，满足，则与的夹角等于（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 5．已知向量，，若向量，的夹角是钝角，则m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C． D． 6．已知向量，，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　） A． B．（0，+∞） C． D． 7．平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（　　） A． B． C． D． （多选）8．下列说法正确的是（　　） A．若α是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 B．若，则或 C．若α是第四象限角，则cos（sinα）＞0 D．若向量，则“x＞0”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件 （多选）9．已知向量，满足，则下列结论中正确的有（　　） A．与的夹角为 B． C． D．与的夹角为 （多选）10．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量满足，则正确的是（　　） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 题型三 平面向量的垂直 两类题型： (1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 (2)已知两个向量的垂直关系求参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【例题精讲】 1．已知向量，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 2．已知，（m≠0），若，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B． C． D．m＝2 3．已知向量，，且⊥，则（　　） A． B． C． D．8 4．已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（　　） A． B． C． D． 5．设向量，若，则k＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．±1 D．±2 6．已知向量，，若，则λ＝（　　） A．﹣1 B． C． D．1 7．已知向量，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （多选）8．若平面向量，，其中n，m∈R，则下列说法正确的是（　　） A．若，则∥ B．若，则与同向的单位向量为 C．若n＝1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为 D．若，则z＝2n+4m的最小值为4 （多选）9．已知单位向量共面，则下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （多选）10．已知向量（x﹣1，x﹣2），（x﹣2，2），则（　　） A．“x＝﹣1”是“⊥”的必要不充分条件 B．“x＝2”是“⊥”的充分不必要条件 C．“x＝3”是“∥”的充分不必要条件 D．“x＝﹣3”是“∥”的必要不充分条件 题型四 最值、范围问题 利用数量积求最值、范围的方法 方法一 用数量积的运算转化为代数问题求最值 方法二 利用向量三角不等式求最值 方法三 利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值 【例题精讲】 1．已知向量（1，1），（a，b），其中a＞0，b＞0，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M在△ABC外接圆上运动，若，则x+y的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 3．已知，为单位向量，满足||＝|2|＝1，则||的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 4．已知点G是△ABC的重心，（λ，μ∈R），若∠A＝120°，，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 5．已知△ABC是边长为的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 6．在平行四边形ABCD中，A＝45°，AB＝1，AD，若，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 7．已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． （多选）8．已知向量，，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为6 D．若，则 （多选）9．已知，则（　　） A．若，则t＝0 B．若，则t＝±2 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞） （多选）10．已知向量，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为5 D．若，则 课时精练 一．选择题 1．已知向量（1，2），（﹣3，2），则（2）•（　　） A．8 B．﹣8 C．﹣12 D．12 2．已知向量，若，则tanα＝（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 3．已知向量，，，若，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C．16 D．﹣16 4．设向量（0，1），（，），则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影为 5．向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则•（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 6．著名数学定理“勾股定理”的一个特例是“勾3股4弦5”，我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，设BC＝4，E为线段AD上的动点，且满足，若，则（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 7．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 二．多选题 （多选）9．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，则（　　） A． B．BC边上的中线长 C．BC边上的高线长 D．△ABC外接圆的面积为 （多选）10．O是△ABC的外心，，P是△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（　　） A．△ABC的内切圆半径为 B．在方向上的投影向量等于 C． D．的最小值为﹣2 （多选）11．已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则△ABC为等腰三角形 C．若，则点D的轨迹经过△ABC的内心． D．若，则D为△ABC的垂心 三．填空题 12．已知向量，，若，则x＝　　 ． 13．已知平面上三个不共线向量，，两两夹角均为120°，且满足：，，，　 　 ． 14．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E．DF∥AB且交AC于点F，则的最小值为　 ． 四．解答题 15．已知平面向量满足，与的夹角为． （1）若，求实数m的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，且AB＝6，AC＝4． （1）求的值； （2）证明：； （3）若，求的值． 17．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，AF＝2FC，BE＝3EA．设，． （1）用、表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值． 18．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝4，点E，F分别是边BC与边CD上的点，且与BD交于点G． （1）当时， ①用表示； ②求的大小． （2）求实数λ的取值范围，并求的最小值． 19．如图所示，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为α﹣仿射坐标系，在α﹣仿射坐标系中，若，则记． （1）已知在α﹣仿射坐标系中，，． ①若，求； ②若，求cosα； （2）在α﹣仿射坐标系中，，，设与的夹角为θ，若∀t∈R，恒成立，求cosθ的取值范围． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲 平面向量的数量积及其应用 题型一 平面向量数量积和模的运算 5 题型二 平面向量的夹角 10 题型三 平面向量的垂直 15 题型四 最值、范围问题 20 课时精练 27 【基础回顾】 知识点1：向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角． 知识点2：平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫作向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 知识点3：平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫作向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cosθe. 知识点4：向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 提醒：(1)平面向量的数量积不满足乘法结合律，即(a·b)c≠a(b·c)(这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线)． (2)平面向量的数量积不满足乘法消去律，即a·b＝a·cb＝c(如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥(b－c))． 知识点5：平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时，等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ 【必备知识】 1.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b， (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0； (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 3.极化恒等式： (1)一般形式: (2)公式推导: (3)几何意义: 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 . (4)三角形模式:如图,在 中, 是 的中点, 则 . 4.向量的等和线 平面内一组基底 及任一向量 ,若点 在直线 上或者在平行于 的直线上,则 (定值),反之也成立,我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和线. ① 当等和线恰为直线 时, ; ② 当等和线在 点和直线 之间时, ; ③ 当直线 在点 和等和线之间时, ; ④ 当等和线过 点时, ; ⑤ 若两等和线关于 点对称,则定值 互为相反数; 5.向量的四心的表示： (1). 三角形“四心”的单位向量表征 已知 为平面上的一个定点, 是该平面上不共线的三个动点, 1 若动点 满足 ,则点 的轨迹一定过 的内心; 证明 ：移项得 ,而 分别是和 共线的单位向量,由向量加法的平行四边形法则,知点 在 的平分线上,因此点 的轨迹一定过 的内心. ② 若动点 满足 则动点 的轨迹一定过 的外心; 证明：设 为 的中点,则 ,移项得 ,由于 所以 ,即点 在 的垂直平分线上,因此 的轨迹一定过 的外心. ③ 若动点 满足 则点 的轨迹一定过 的重心; 证明：移项得 ,设 为边 的中点,根据正弦定理: ,即 ,所以 与 共线,而 与 共线,因此点 的轨迹一定过 的重心. ④ 若动点 满足 则点 的轨迹一定过 的垂心. 证明：移项得 ,因为 ,所以 ,因此点 的轨迹一定过 的垂心. (2)、三角形“四心”的三角函数表征：根据奔驰定理可得 当点 分别为 (非直角三角形) 的内心、 外心、垂心时, 分别有以下关系式成立: ① ; ② ； ③ . 6.奔驰定理： 若点 是 内一点,则 . 【证明】 得: . 推论: 已知 为 所在平面一点,且满足 ,则 . 题型一 平面向量数量积和模的运算 1.计算平面向量数量积的主要方法 定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b=|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）。 基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解。 坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式，进行求解。 投影向量：设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cosθ＝. 2.求平面向量的模的方法 【例题精讲】 1．已知向量在向量上的投影向量为，||＝4，则（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 【答案】D 【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，||＝4， 所以，所以． 故选：D． 2．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由|2|＝|3|，得， 所以10||||cos，5，即2||cos，||， 所以向量在向量上的投影向量为||cos，||•． 故选：B． 3．已知向量，满足，则（　　） A． B．2 C．1 D．3 【答案】D 【解答】解：已知， 则根据平面向量数量积公式可得． 故选：D． 4．设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，， 又由， 可得， 且， 所以向量在上的投影数量为． 故选：D． 5．已知向量，满足|2|＝|2|＝2，且||＝1，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由|2|＝|2|＝2，可得（2）2＝（2）2＝4．即||2﹣44||2＝4||2﹣4||2＝4， 结合||2＝1，可得||2﹣40且4||2﹣43，由此解得||＝1，． 故选：A． 6．在直角三角形ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则取值范围为（　　） A．[4，6] B． C．[2，4] D． 【答案】A 【解答】解：因为在直角三角形ABC中，CA＝CB＝3， 又M，N是斜边AB上的两个动点，且， 所以，∠CAB＝45°， 令，则， ， 当时，， 当t＝0或时，， 所以范围为[4，6]． 故选：A． 7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、AE的中点，则（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】D 【解答】解：以{}为正交基底，建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2）， 可得BC的中点为E（2，1），AE的中点为F（1，）， 所以，可得． 故选：D． （多选）8．△ABC是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．在上的投影向量是 【答案】BD 【解答】解：对于A：，故A错误； 对于B： ，所以，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D：在上的投影向量是，故D正确． 故选：BD． （多选）9．对于非零向量，，下列说法正确的是（　　） A．，则 B．，则 C．，则 D．•，则 【答案】BD 【解答】解：对于非零向量，， 对于A，，则，即A错误； 对于B，，则，即B正确； 对于C、D，，则，即，即C错误，D正确． 故选：BD． （多选）10．下列说法中正确的是（　　） A．在△ABC中，，，，若，则△ABC为锐角三角形 B．非零向量和满足，，则 C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 D．在△ABC中，若点P满足，则P为△ABC的垂心 【答案】BD 【解答】解：对于A选项，在△ABC中，，，， 若即，所以，所以C为钝角， 则△ABC为钝角三角形，故A选项错误； 对于B选项，非零向量和满足，， ，， 所以，，故B选项正确； 对于C选项，已知，， 则a+λb＝（1+λ，2+λ），当λ＝0时，与同向，夹角不是锐角，故C选项错误； 对于D选项，由， 同理可得PC⊥AB，PA⊥BC，所以P为△ABC的垂心，故D选项正确． 故选：BD． 题型二 平面向量的夹角 求平面向量的夹角的方法 【例题精讲】 1．已知单位向量，满足||＝1，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设的夹角为θ， 所以1﹣2cosθ+1＝1， 所以cosθ，因为θ∈[0，π]，所以． 故选：B． 2．已知为单位向量，与的夹角为，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设， 因为与的夹角为， 所以，（cosθ≠1）， 两边同时平方得，， 整理得，或cosθ＝1（舍去）， 所以，且θ∈[0，π]，则． 故选：B． 3．已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为，所以||＝2， 又，， 则||||cos|2， 即2×1×cos1， 则cos， 因为，所以． 故选：C． 4．已知单位向量，满足，则与的夹角等于（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【解答】解：由题意得||＝||＝1， 根据，可得，解得， 所以、的夹角θ满足，结合0°≤θ≤180°，可得θ＝60°． 故选：B． 5．已知向量，，若向量，的夹角是钝角，则m的取值范围是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C． D． 【答案】C 【解答】解：由向量，的夹角是钝角，向量， 得，解得或， 所以m的取值范围是． 故选：C． 6．已知向量，，若与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　） A． B．（0，+∞） C． D． 【答案】D 【解答】解：因为与的夹角为钝角，所以， 向量，， 则﹣2﹣6x＜0，解得． 当与共线时，，此时和反向，不满足题意． 故x的取值范围为． 故选：D． 7．平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图所示，设，，则， 由，设，，m＞0， 因为， 所以， 当，即时等号成立，故， 因为当cos∠OAB最小时，sin∠OAB最大， 所以与夹角的正弦值的最大值为． 故选：B． （多选）8．下列说法正确的是（　　） A．若α是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 B．若，则或 C．若α是第四象限角，则cos（sinα）＞0 D．若向量，则“x＞0”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解答】解：对于A，若α是第二象限角，则90°+k•360°＜α＜180°+k•360°，k∈Z， 所以， 当k为奇数时，是第三象限角，当k为偶数时，是第一象限角，故A正确； 对于B，若，则，所以或或，故B错误； 对于C，若α是第四象限角，则﹣1＜sinα＜0，所以cos（sinα）＞0，故C正确； 对于D，因为向量与的夹角为锐角，所以且与不共线， 即解得x＞0且， 所以“x＞0”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件．故D正确． 故选：ACD． （多选）9．已知向量，满足，则下列结论中正确的有（　　） A．与的夹角为 B． C． D．与的夹角为 【答案】ACD 【解答】解：向量，满足， ， ∴，故B错误； ∴， ∵∈[0，π]，∴，故A正确； ，故C正确； ∵， ，∈[0，π]， ∴，，故D正确． 故选：ACD． （多选）10．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁．若向量满足，则正确的是（　　） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【解答】解：因为， 所以，所以，故A错误； 因为cos，∈（0，π）， 所以与的夹角为，故B正确； ，所以，所以C正确； 在上的投影向量，所以D正确． 故选：BCD． 题型三 平面向量的垂直 两类题型： (1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 (2)已知两个向量的垂直关系求参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 【例题精讲】 1．已知向量，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【解答】解：由， 可得•0，可得﹣2x+2＝0，解得x＝1． 故， 所以． 故选：D． 2．已知，（m≠0），若，则m的值为（　　） A．m＝﹣2 B． C． D．m＝2 【答案】A 【解答】解：由题意可知，， ，， 所以﹣2m+1﹣m2﹣1＝0，解得m＝﹣2． 故选：A． 3．已知向量，，且⊥，则（　　） A． B． C． D．8 【答案】C 【解答】解：根据题意，向量，，且⊥， 则有•x+8＝0，则x＝8， 故||4， 故选：C． 4．已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：对于A，当m＝0时，，， 则，故A正确； 对于B，当m＝±1时，， 则，故B正确； 对于C，当m＝0时，，，满足，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：D． 5．设向量，若，则k＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．±1 D．±2 【答案】D 【解答】解：向量， 可得， 由得4﹣k2＝0，解得k＝±2． 故选：D． 6．已知向量，，若，则λ＝（　　） A．﹣1 B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：向量，， 若，可得•（23）＝23•0， 即2×[（﹣1）2+12]+3[（﹣1）×1+λ]＝0，解得λ． 故选：B． 7．已知向量，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由向量， 可得•2+xy＝0，即xy＝2， ，， ， 当且仅当即时取等号． 故选：C． （多选）8．若平面向量，，其中n，m∈R，则下列说法正确的是（　　） A．若，则∥ B．若，则与同向的单位向量为 C．若n＝1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为 D．若，则z＝2n+4m的最小值为4 【答案】BD 【解答】解：由，， A选项：， 则，解得，则，， 所以，不共线，A选项错误； B选项：，则，解得m＝0，n＝﹣2， 即，，， 所以与同向的单位向量为，B选项正确； C选项：n＝1时，， 又与的夹角为锐角， 则，解得，且m≠3， 即，C选项错误； D选项：由，得，即2m+n＝2， 所以， 当且仅当2n＝22m，即n＝2m＝1时，等号成立，D选项正确． 故选：BD． （多选）9．已知单位向量共面，则下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解答】解：由，可得，即， 化简得，所以，选项A错误，B正确； 由单位向量的定义知，， 又因为，所以， 所以，即， 解得，所以， 又因为两向量的夹角范围是[0，π]，所以，选项C错误； 由，可得，则， 解得，所以， 因为两向量的夹角范围是[0，π]，所以，选项D正确． 故选：BD． （多选）10．已知向量（x﹣1，x﹣2），（x﹣2，2），则（　　） A．“x＝﹣1”是“⊥”的必要不充分条件 B．“x＝2”是“⊥”的充分不必要条件 C．“x＝3”是“∥”的充分不必要条件 D．“x＝﹣3”是“∥”的必要不充分条件 【答案】BC 【解答】解：向量（x﹣1，x﹣2），（x﹣2，2）， 若，则（x﹣1）（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，解得x＝﹣1或2． 因此，“x＝﹣1”是“⊥”的充分不必要条件， 且“x＝2”是“⊥”的充分不必要条件，可知A项不正确且B项正确． 若，则2（x﹣1）＝（x﹣2）2，解得x， 因此，“x＝3”是“∥”的充分不必要条件， 且“x＝﹣3”是“∥”的既不充分也不必要条件，可知C项正确且D项不正确． 故选：BC． 题型四 最值、范围问题 利用数量积求最值、范围的方法 方法一 用数量积的运算转化为代数问题求最值 方法二 利用向量三角不等式求最值 方法三 利用向量数量积运算转化之后分析几何图形特征，利用数形结合求最值 【例题精讲】 1．已知向量（1，1），（a，b），其中a＞0，b＞0，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由向量，（a，b），a＞0，b＞0， 得， 当且仅当a＝b时取等号， 而， 所以的取值范围为． 故选：C． 2．等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M在△ABC外接圆上运动，若，则x+y的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解答】解：根据题意，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2， 分别以AB、AC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），C（0，2），BC的中点为D（1，1）， ΔABC的外接圆以D为圆心，半径R＝|CD|， 设M（m，n）是外接圆上一点， 则|MD|，化简得（m﹣1）2+（n﹣1）2＝2， 根据x（2，0）+y（0，2）＝（2x，2y），可得m＝2x，n＝2y， 所以（2x﹣1）2+（2y﹣1）2＝2，整理得（x）2+（y）2， 设xcosα，ysinα，0≤α＜2π， 则x+y﹣1sinαcosα＝sin（α），可得x+y＝sin（α）+1， 结合正弦函数的性质，可知α时，x+y取得最大值2，此时x＝y＝1，即m＝n＝2， 综上所述，当M的坐标为（2，2）时，x+y取得最大值，最大值为2． 故选：B． 3．已知，为单位向量，满足||＝|2|＝1，则||的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，，为单位向量，满足||＝1，变形可得22﹣2•1， 则有•，即，60°， 如图建立坐标系，A（1，0），B（，），C（2，0），，，22，， 又由|2|＝1，即||＝||＝1，M在以C为圆心，半径为1的圆上，使该圆为圆C， ，则||为圆C上任一点到点B的距离， 又由|BC|，则||的最小值为|BC|﹣11； 故选：A． 4．已知点G是△ABC的重心，（λ，μ∈R），若∠A＝120°，，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得， ∵∠A＝120°，，则根据向量的数量积的定义可得， 设 ∴ 即xy＝4 x2+y2≥2xy＝8（当且仅当x＝y取等号） ∴即的最小值为 故选：C． 5．已知△ABC是边长为的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【解答】解：以AC所在直线为x轴，以AC中垂线为y轴建立直角坐标系， 则， 设P（x，y），因为，所以， 化简得：x2+（y﹣2）2＝1，所以点P的轨迹方程为x2+（y﹣2）2＝1， 设圆心为G，则G（0，2），由圆的性质可知当AP过圆心时，最小， 又因为，所以得最小值为|AG|﹣1＝4﹣1＝3． 故选：C． 6．在平行四边形ABCD中，A＝45°，AB＝1，AD，若，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解答】解：因为A＝45°，AB＝1，AD，若， 所以 ， 所以当x时，有最小值， 所以的最小值为． 故选：B． 7．已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵平面向量，是单位向量，且， ∴， ∴，，设，，则， ∴，∴点（x，y）在以为圆心，以为半径的圆上， ∴的最大值表示圆上的点到原点（0，0）距离的最大值，如下图所示： 设圆心为O′，则， ∴的最大值为：． 故选：A． （多选）8．已知向量，，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为6 D．若，则 【答案】ACD 【解答】解：对于A，因为，所以4cosθ+3sinθ＝0，即tanθ，故A正确； 对于B，因为，所以，又因为sin2θ+cos2θ＝1，所以，所以，故B错误； 对于C，，（其中）， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，1﹣2+25＝24，所以，故D正确． 故选：ACD． （多选）9．已知，则（　　） A．若，则t＝0 B．若，则t＝±2 C．的最小值为 D．若向量与向量的夹角为钝角，则t的取值范围为（0，+∞） 【答案】AC 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，已知，若，则，解得t＝0，故A正确； 对于B，已知，若∥，则t2﹣2＝0，解得，故B错误； 对于C，，则， 当时，，故C正确； 对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线， 由，得t＞0，由得， 所以t的取值范围为（0，）∪（，+∞），故D错误． 故选：AC． （多选）10．已知向量，则（　　） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为5 D．若，则 【答案】AD 【解答】解：已知向量， 对于选项A，若， 则， 即， 即选项A正确； 对于选项B，若， 则﹣3cosθ+4sinθ＝0， 又sin2θ+cos2θ＝1， 则或， 即选项B错误； 对于选项C，26+6cosθ﹣8sinθ＝26+10cos（θ+φ），其中， 又10cos（θ+φ）∈[﹣10，10]， 则， 即的最大值为6， 即选项C错误； 对于选项D，若， 则， 即， 则， 即选项D正确． 故选：AD． 课时精练 一．选择题 1．已知向量（1，2），（﹣3，2），则（2）•（　　） A．8 B．﹣8 C．﹣12 D．12 【答案】A 【解答】解：因为向量（1，2），（﹣3，2）， 所以2（﹣2，4），（﹣4，0）， 则（2）•2×（﹣4）+4×0＝8． 故选：A． 2．已知向量，若，则tanα＝（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 【答案】D 【解答】解：因为． 所以4sinα﹣2（1﹣cosα）＝﹣2，化简得2sinα+cosα＝0， 所以sinαcosα，可得tanα． 故选：D． 3．已知向量，，，若，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C．16 D．﹣16 【答案】A 【解答】解：向量，， 则（﹣1，4）， ， 若， 则4+4x＝0，解得x＝1． 故选：A． 4．设向量（0，1），（，），则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影为 【答案】C 【解答】解：向量（0，1），（，），可知，所以A不正确； ，所以B不正确； cos，所以与的夹角为，所以C正确； 在方向上的投影为，所以D不正确； 故选：C． 5．向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则•（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 【答案】D 【解答】解：以网格左下角为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 所以． 故选：D． 6．著名数学定理“勾股定理”的一个特例是“勾3股4弦5”，我国的西周时期数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比欧洲的毕达哥拉斯发现勾股定理早500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，设BC＝4，E为线段AD上的动点，且满足，若，则（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得：BA＝3，设AE＝mAD，则． 所以，所以λ+μ＝1+m，所以m． 所以，． 则9﹣9＝0． 故选：A． 7．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，P为半径OC上的动点， 因为点O是线段AB的中点，所以根据中点向量可得， 所以，又向量方向相反，且， 所以根据平面向量数量积公式和二次函数的性质可得： ， 则的取值范围为[]． 故选：A． 8．已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【答案】A 【解答】解：已知非零向量与满足， 因为分别表示与同方向的单位向量， 故为∠BAC的平分线所在直线， 又，故∠BAC的平分线所在直线与BC垂直， 由三线合一可得AB＝AC， 取BC的中点E，则，， 因为， 所以， 所以△ABC为等腰直角三角形， 以E为坐标原点，EB，EA所在直线分别为x，y轴，建立如图平面直角坐标系， 则C（﹣2，0），B（2，0），设D（n，2﹣n），0≤n≤2， 则根据平面向量数量积的坐标运算可得： ， 故当n＝1时，取得最小值，最小值为﹣2． 故选：A． 二．多选题 （多选）9．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，则（　　） A． B．BC边上的中线长 C．BC边上的高线长 D．△ABC外接圆的面积为 【答案】BC 【解答】解：在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°； 对于A，与的夹角为180°﹣∠BAC＝120°， 根据平面向量数量积公式可得，故A错误； 对于B，设BC中点为D，根据中点向量可得， 根据平面向量数量积公式可得， 故BC边上中线长，故B正确； 对于C，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos60°＝4+9﹣6＝7， 故， 根据三角形的面积公式可得，设BC边上高线为h， 由得，故C正确； 对于D，设外接圆半径为R，由正弦定理，得，， 故外接圆面积，故D错误． 故选：BC． （多选）10．O是△ABC的外心，，P是△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（　　） A．△ABC的内切圆半径为 B．在方向上的投影向量等于 C． D．的最小值为﹣2 【答案】ABD 【解答】解：由题意，， 根据余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得， 即c2﹣4c+4＝0，解得c＝2， 所以， 设内切圆的半径为r，则， 即， 解得，故A正确； 由题意，在方向上的投影向量等于，故B正确； 由A可知，AB2+AC2＝BC2，所以AB⊥AC， 又，所以，所以点O是斜边BC的中点， 则，故C错误； ， 因为的最小值为﹣1， 所以， 因为，设， 所以， 当x＝1时，上式取得最小值﹣2，所以最小值为﹣2， 当点P为AO中点时，取得最小值，故D正确． 故选：ABD． （多选）11．已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则△ABC为等腰三角形 C．若，则点D的轨迹经过△ABC的内心． D．若，则D为△ABC的垂心 【答案】ABD 【解答】解：对于A，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于点E，F， 所以四边形AEDF为平行四边形，所以S△ADE＝S△ADF，， 因为，所以，所以， 不妨设S△ADE＝S△ADF＝t，所以S△ABD＝3S△ADE＝3t，S△ACD＝2S△ADF＝2t， 因为DF∥AB，且F为AC的中点，所以D到AB的距离为C到AB的距离的， 所以S△ABC＝2S△ABD＝6t，所以S△BCD＝S△ABC﹣S△ACD﹣S△ABD＝6t﹣2t﹣3t＝t， 所以，故A正确； 对于B，，表示方向上的单位向量之和，位于∠BAC的平分线上， 又因为，所以∠BAC的角平分线与BC垂直，所以△ABC为等腰三角形，故B正确； 对于C，过点A作AN⊥BC，垂足为N，设BC的中点为M， 所以， 因为，所以，所以A，D，M三点共线， 所以点D的轨迹经过△ABC的重心，故C错误； 对于D，因为，所以，所以AC⊥BD， 同理可得AB⊥CD，BC⊥AD，所以点D为△ABC的垂心，故D正确． 故选：ABD． 三．填空题 12．已知向量，，若，则x＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由，，得， 因为，所以，即x（4﹣x）﹣4＝0，整理得x2﹣4x+4＝0，解得x＝2． 故答案为：2． 13．已知平面上三个不共线向量，，两两夹角均为120°，且满足：，，，　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为平面上三个不共线向量，，两两夹角均为120°， 且满足：，，， 则）＝﹣1， ， ， 所以 ． 故答案为：． 14．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E．DF∥AB且交AC于点F，则的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设BD＝x（0＜x＜1），取AB的中点O连接CO， 因为等边三角形ABC的边长为1， 所以，且CO⊥AB， 又因为DE⊥AB，所以△BDE～△BCO， 则，， 同理DF＝CD＝1﹣x，， 因为DE⊥AB，所以， 又因为DF∥AB，所以DE⊥DF， 所以， 又因为， 所以 ， 当时，有最小值， 所以的最小值为． 故答案为：． 四．解答题 15．已知平面向量满足，与的夹角为． （1）若，求实数m的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）3； （2）． 【解答】解：（1）根据题意可知，，则根据数量积公式可知， 根据题意可知，，得， ∴，即，则9﹣3m＝0，解得m＝3； （2）， 根据数量积的运算律，， 根据夹角公式可知，． 16．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，且AB＝6，AC＝4． （1）求的值； （2）证明：； （3）若，求的值． 【答案】（1）． （2）因为点G是△ABC的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可知，重心G到外心O的距离是重心G到垂心H距离的一半， 即， 所以， 则． （3）． 【解答】解：（1）延长AG交BC于点M，由于点G是△ABC的重心， 可得， 所以． （2）证明：因为点G是△ABC的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可知，重心G到外心O的距离是重心G到垂心H距离的一半， 即，所以，则． （3）连接OM，由点G为重心，则M为BC中点，由垂径定理可知，OM⊥BC， ， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为R，则，即， 则， 则 ． 17．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在边AB、AC上，AF＝2FC，BE＝3EA．设，． （1）用、表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由AF＝2FC，BE＝3EA， 可得，， 故； （2）由点D是BC的中点， 可得， 则 ， 故与夹角的余弦值为． 18．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝4，点E，F分别是边BC与边CD上的点，且与BD交于点G． （1）当时， ①用表示； ②求的大小． （2）求实数λ的取值范围，并求的最小值． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解答】解：（1）①在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝4， 所以， 点E，F分别是边BC与边CD上的点， 因为，， 所以，， 根据平面向量的加法法则和相反向量的定义可得： ， 则， 所以根据平面向量的加法法则可得： ； ②因为A，G，E共线，则存在实数λ， 使得， 又因为B，G，D共线，则存在实数μ，使得， 所以，解得， 所以； 根据平面向量数量积公式可得： ， 所以； （2）因为点E，F分别是边BC与边CD上的点，AE与BD交于点G，， 所以，解得， 又根据平面向量的加法法则可得： ， ， 所以根据平面向量数量积公式可得： ， 根据基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 19．如图所示，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与x、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为α﹣仿射坐标系，在α﹣仿射坐标系中，若，则记． （1）已知在α﹣仿射坐标系中，，． ①若，求； ②若，求cosα； （2）在α﹣仿射坐标系中，，，设与的夹角为θ，若∀t∈R，恒成立，求cosθ的取值范围． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解答】解：（1）因为（﹣1，3）3， 所以6•91﹣6×1×1×cosα+9＝10﹣6cosα， ①α时，||． ②因为（﹣3，1）＝﹣3， 所以96•10﹣6cosα，||， •（3）•（﹣3）＝310•36﹣10cosα， 因为∠AOB，•||||cos∠AOB， 所以6﹣10cosα＝（10﹣6cosα）cos5+3cosα，解得cosα． （2）因为（2，1）＝2，（1，﹣1）， 所以44•5+4cosα，||， 2•2﹣2cosα，||， 所以•（2）•（）＝2•1﹣cosα， 由|t|，得2t•t23， 即t2（2﹣2cosα）﹣2t（1﹣cosα）+（2+4cosα）≥0对∀t∈R恒成立， 因为0＜α＜π且，所以2﹣2cosα＞0， 所以Δ＝[﹣2（1﹣cosα）]2﹣4×（2﹣2cosα）×（2+4cosα）≤0， 化简得（1﹣cosα）（﹣3﹣9cosα）≤0，所以， 又因为cosα≠1且cosα≠0，所以或0＜cosα＜1， 因为与的夹角为θ， 所以， 而或5＜5+4cosα＜1， 所以或， 即，所以cosθ的取值范围是． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $