第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心考点，按位置判断、弦长、切线、圆与圆关系及最值问题五大题型系统梳理知识，通过基础回顾构建概念网络，必备知识提炼关键结论，形成“知识点-方法-应用”的逻辑链条。教案设计考点梳理、方法指导、真题训练三阶教学环节，助力学生突破几何与代数综合应用难点。 资料以分层题型训练为特色，如弦长问题对比几何法（半径、弦心距、半弦长关系）与代数法（韦达定理），培养学生数学思维与运算能力。设置从基础到综合的例题梯度，结合模拟题与真题演练，强化数学语言表达，帮助学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型一 直线与圆的位置关系 2 题型二 弦长问题 8 题型三 切线问题 15 题型四 圆与圆的位置关系 24 题型五 直线与圆的有关最值问题 31 【基础回顾】 知识点1：直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ． 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 知识点2：圆与圆的位置关系 (⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 图形 几何法 公切线条数 外离 d>r1＋r2 四条 外切 d＝r1＋r2 三条 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两条 内切 d＝|r1－r2| 一条 内含 0≤d<r1－r2 无 【必备知识】 1．圆的切线方程常用的结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2． (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2． (4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (3)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 题型一 直线与圆的位置关系 1．判断直线与圆的位置关系的常用方法 特别地，对于过定点的直线，若定点在圆内部，则可判定直线与圆相交；若定点在圆上，则可判定直线和圆有公共点． 2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题 该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离问题求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d． 如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t． 如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t． 由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t． 若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t． 【例题精讲】 1．（2024·河北衡水·模拟预测）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 2．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系得出，再结合基本不等式可求最小值. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 因为，所以， 因为，等号成立时，所以， 得， 则该圆面积的最小值为. 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式建立不等式解出即可. 【详解】设圆，则该圆的圆心为，半径为， 对于圆上两不同点，根据圆的性质，当为圆的切线时，最大， 若，则在中，，则， 所以若直线上存在一点，使得， 则等价于圆心为到直线的距离， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理确定点的轨迹，再将“直线上存在满足条件的点”转化为直线与轨迹有公共点，结合点到直线的距离公式求解参数范围. 【详解】∵ 点，，， ∴ 由圆周角定理可知，点的轨迹是以为弦，所对圆周角为的两段圆弧，对应弧的圆心角为. 设轨迹圆的半径为，由弦长公式，代入，得，解得. 两段圆弧的圆心均在的垂直平分线上，由勾股定理可得坐标分别为和，对应圆的方程为、.    直线上存在点满足条件，等价于直线与上述两个轨迹圆中符合的圆弧有公共点. 计算圆心到直线的距离： 对圆，圆心到直线的距离. 令，得，结合解得. 对圆，圆心到直线的距离. 令，结合，解得. 综上，当时，直线上存在满足条件的点，即正实数的取值范围为. 【点睛】方法归纳：解决定角动点轨迹问题，常借助圆周角定理确定动点的轨迹为圆弧，再将直线上存在满足条件的点转化为直线与圆弧有公共点，结合点到直线的距离公式或直线与圆的交点条件求解参数范围. 5．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【答案】C 【分析】先由圆的方程得到圆心、半径，结合圆心角，利用等腰三角形求出圆心到直线的距离，再用点到直线距离公式列方程求出即可. 【详解】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离， 解得或. 6．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题可知，圆的半径为3． 设，由题可知，．设与交于点． 由，可得，则， 因为取最小值的充要条件是取最小值，的最小值为圆心到的距离，即， 所以，解得，此时满足与圆相离． 7．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 8．（25-26高二下·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 【答案】2或 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，化简得，即或. 9．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为， 其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离， 解得，设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则实数， 即实数的取值范围是. 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 【答案】2 【分析】由圆外一点的切点弦方程得直线，计算弦长及到距离，表示出三角形面积；代入已知值后简化求解. 【详解】圆，外点，根据切点弦方程公式，得的方程为. 与交于，，点到的距离为. 的面积， 代入，得，两边平方得. 令，则，展开得 ，即. 二次式判别式，故，即，（负根舍去）. 因此 .    题型二 弦长问题 求直线被圆截得的弦长的两种方法 【例题精讲】 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】求出直线所过定点，确定曲线的形状，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】直线过定点， 曲线，即表示以原点为圆心，2为半径的上半圆， 点在半圆内，当且仅当时，线段的长最短， 所以. 2．（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据选项分析得两圆半径相等，四边形为菱形，相交弦与圆心连线垂直平分，由面积公式和几何关系解得圆心距只能为2或，计算各选项圆心到原点的距离，只有D不满足，故D不可能. 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为， 其中，设， 代入 得方程，解得 或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 3．（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 4．（2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂径定理计算出弦长，其中为圆心到直线的距离，再计算出,再利用点到直线的距离公式计算出. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 直线l的一般式方程为. 由弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 则，得，即， 又， 解得. 5．（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 6．（2026·北京·模拟预测）已知坐标原点O，直线与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆：的圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 设，则， 由余弦的二倍角公式得：. 7．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程求出定点坐标，再确定定点与圆的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得解. 【详解】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点， 将化为标准形式， 因为，所以点在圆内， 而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值， 又直线的斜率，所以. 8．（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 【答案】BC 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程， 故A错误； 对于B选项，联立，可得联立或， 则，故B正确； 对于C选项，设，，因为，为圆的切点， 所以直线的方程为， 直线的方程为，设，则， 所以直线的方程为， 又因为，所以， 由，得到， 即直线过定点，故C正确； 对于D选项，因为，所以当最小时，最小， 且的最小值为，此时，故D错误. 9．（多选）（25-26高二下·河南周口·期末）已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 【答案】AD 【分析】对于A，利用切线过且和垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误. 【详解】对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线与圆O相交，故B错误； 对于C，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故C错误； 对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确. 10．（多选）（2026·河北保定·模拟预测）已知圆的圆心坐标为，圆被轴、轴截得的弦长之比为 点P在直线 上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为 B．若圆上有且仅有2个点到直线l的距离为1，则 C．当时，以线段为直径的圆与圆交于两点，则 的最小值为 D．若为平面内一个动点， 则点到直线l的距离为定值 【答案】ACD 【分析】利用圆的弦长公式，设圆的半径为，分别求出被轴、轴截得的弦长，结合比例关系求出，判断选项A；计算圆心到直线的距离，根据圆的性质，当时满足条件，结合确定的取值集合，判断选项B；将向量数量积进行转化，结合以为直径的圆与圆C的交点性质，将其转化为与相关的表达式，再利用点到直线的距离公式求出的最小值，进而得到数量积的最小值，判断选项C；可设出、的坐标，得到的坐标与的坐标关系，再结合在直线上，代入到直线的距离公式，判断是否为定值，以此分析选项D. 【详解】选项A，已知圆心，设半径为，圆心到轴的距离，故被轴截得的弦长， 圆心到轴的距离，故被轴截得的弦长， 由题意，代入得：， 化简得，即， 因此圆的标准方程为，选项A正确； 选项B，圆心到直线的距离， 圆上到直线距离为的点的个数满足： 当，即时，有且仅有个点， 代入得不等式：， 因，故，去掉绝对值得：， 正整数解为时，圆上无满足条件的点，选项B错误； 选项C，当时，直线， 因在以为直径的圆上，故，即， 向量分解：，因此：， 在中，由勾股定理：， 因，故，即， 的最小值为点到直线的距离：， 因此的最小值为，选项C正确； 选项D，设，因，故， 又在直线上，故， 点到直线的距离： 距离为定值，选项D正确. 题型三 切线问题 1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系，求得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程，如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得到切线方程为y＝y0或x＝x0． 2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法： (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求得k． (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k． 注意验证斜率不存在的情况． 3． 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线的性质，求得，得到点的轨迹方程为，令，转化为圆上的动点到定点的连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，即可求解. 【详解】如图所示，根据圆的切线的性质，可得，    因为为正三角形，可得，所以， 即点的轨迹方程为， 令，其几何意义为圆上的动点和定点的连线的斜率， 由，可得， 则圆心到直线的距离为， 令，即，整理得，即， 解得，即的取值范围为. 3．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 4．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】直线，斜率，且点在直线上. 直线顺时针旋转后与原直线垂直，故旋转后直线斜率. 由点斜式得旋转后直线方程，整理得. 圆的圆心为，半径. 直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，由点到直线距离公式 化简得，解得或. 5．（2026·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，，，，的欧拉线为直线，点为上的一个动点，过作圆Q：的切线，其中一个切点为．当面积取得最小值时，切线长为（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求出欧拉线方程，当三角形面积最小时，可得切线长最小，利用点到直线的距离求最值即可. 【详解】因为, 所以，三角形是以为直角顶点的直角三角形， 所以垂心为，外心为斜边中点， 所以的欧拉线为，即， 由圆Q：知圆心，半径为 如图， 因为， 所以当面积取得最小值时，有最小值， 因为， 所以当最小时，有最小值， 因为点在直线上运动， 所以 所以. 6．（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（   ） A． B．3 C．7 D．9 【答案】A 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则. 因为切线长等于， 所以当切线长最小时，最小. ， 当，即点的坐标为时，取得最小值，最小值为. 所以切线长的最小值为. 7．（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线与两坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】通过构造以点为圆心的辅助圆，然后与已知圆方程相减，即得到直线方程，可得答案. 【详解】已知圆，圆心，半径，点在圆外， ，则切线长， 以为圆心，为半径作辅助圆：， 两圆相交于切点，它们的公共弦即为直线，将两圆方程相减： ， 展开并化简，得：， 此即切点弦的直线方程， 令，得；令，得； 设直线与坐标轴的交点分别为， 因此，和， 直线与坐标轴围成的三角形面积为. 8．（多选）（25-26高二下·广东广州·期中）（多选题）已知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，过P作圆的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则以下说法正确的是（     ） A．抛物线的标准方程为 B．当P，A，B三点共线时， C．当时，直线的斜率为或 D．满足的点P有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据准线方程求出的值；对于选项B，根据P，A，B三点共线， 求出点坐标，再求的值；对于选项C，由，求出点的坐标求解；对于选项D，根据，得出点在的垂直平分线上，求出垂直平分线的方程与抛物线方程联立判断根的多少求解. 【详解】对于选项A，抛物线的准线方程为，所以，所以，抛物线的标准方程为，A选项正确； 对于选项B，由P，A，B三点共线,，，所以，又 所以，即， 又在上，解得，所以（-4舍去） 所以，，B选项正确； 对于选项C，当时，， ，由，解得或，此时或，选项C错误； 对于选项D，由，且，所以， 所以点在和的中垂线上，求得中垂线方程为， 与抛物线方程联立得，判别式，有两个实根，即满足的点P有且仅有2个，选项D正确. 9．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 10．（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B．圆O与圆的公共弦长为 C．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由两点间距离公式求解即可； 对于B，先求公共弦方程，再勾股定理求弦长；对于C，先求直线的方程，再求最大值，再结合二倍角公式求解；对于D，先求以为直径的圆的方程，再求直线的方程，进而表示点到直线的距离，再求最大值. 【详解】对于A，设，则， ，A正确； 对于B，将圆O与圆的方程相减可得两圆的公共弦方程为， 点O到公共弦直线的距离为，所以公共弦长为，B错误； 对于C，直线的方程为，连接，则，， 在中，， 当时，，从而取最大值， 因为是锐角，所以最大时最大，又最大时， ，所以， 此时最大，最大值为，C正确； 对于D，设则，因为，所以线段为两圆的公共弦， 而为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即， 与圆O相减得直线的方程为， 将代入得，即， 令，解得，所以直线恒过定点， 则当且仅当时，点到直线的距离取得最大值，为，D正确. 题型四 圆与圆的位置关系 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 3．（25-26高一下·北京西城·期中）如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定两圆圆心距，结合垂直条件推导两个扇形的圆心角的大小，再代入公式计算弧长. 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 6．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ， ，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 7．（2026·北京大兴·三模）若点关于动直线： 的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，根据对称性得到，进而得到点的轨迹方程，结合向量数量积的坐标表示、圆与圆的位置关系及圆上的点到定点距离的最值求解判断即可. 【详解】由，得，所以直线恒过点. 点关于动直线的对称点为，则直线是线段的垂直平分线，所以. 设，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，轨迹方程为. ①，，则. 由圆的方程可知，的范围为， 所以的取值范围是，①正确. ②当时，即，表示以原点为圆心，以为半径的圆， 联立，解得或，即或. 当时，，直线的方程为，存在； 当时，，直线的方程为，存在； 故当时，符合条件的点有2个，②错误. ③当取到最大值时，，此时在延长线上，坐标为. 此时的中点为，， 所以，即，解得，③正确. 8．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 9．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 【答案】BCD 【分析】对A直接由两圆相内切得，所以A错误；对B由圆的弦长公式及三角形的中位线定理可得；对D由圆心角与圆周角的关系可得；对C由正弦定理并结合BD选项解析可得. 【详解】对于A，圆，圆心，半径， 整理圆， 圆心，半径. 两圆相内切且半径大于半径，圆心距，得， 因此，解得，故选项A 错误； 对于B，由A选项分析知时，圆方程为，点在圆上， 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 则圆到直线的距离，所以， 则圆到直线的距离，， 所以，即为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 若直线的斜率不存在，则，点仍为的中点， 同理得为的中点，得，所以. 综上所述，，所以B正确； 对于D，根据圆周角与圆心角的关系，且（当直线过圆心时，）， 所以，故D正确； 对于C，当时，由B选项解析知， 在中，由正弦定理得， 得或， 由D选项解析可知，所以. 当时，在中由正弦定理|， 得，故，故C正确. 10．（多选）（25-26高二下·安徽·期中）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；直线与圆的位置关系和三角形的面积公式计算即可判断B；如图，确定当取最小值时取得最小值，结合点与圆的位置关系计算即可判断C；设，根据平面向量数量积的定义，由选项C可得，结合换元法和基本不等式计算即可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 且，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，当与圆相切时，， 所以的面积为，故B正确． 对于C，连接，则， 当取最小值时取得最小值， 又，所以，故C正确； 对于D，设，则， 在中， ，则， 由对C的分析，知， 所以 ， 令，则，， 当且仅当时等号成立，故D错误． 题型五 直线与圆的有关最值问题 求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【例题精讲】 1．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 2．（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，由圆方程可得圆心，半径， 由切点可知， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以，可得， 接着转化为几何条件，在所在直线上构造一个到点距离为的点， 所以， 所以， 此时， 所以当三点共线时取最小值，即，故的最小值为. 4．（2026·湖北·二模）已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何关系可得，由此推得，再分析的取值范围，从而得到的取值范围，据此可求得的最小值． 【详解】如图所示，可知， 根据对称性易得，所以， 所以， 圆心到直线的距离，且易知， ，所以， 所以． 5．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，结合图形分析即可. 【详解】，可知直线过定点，设定点为. 将点代入圆方程，，所以点在圆外， 先固定，设圆心为，则，半径， 过点作直线的垂线，垂足为， 当与直线不垂直时，根据直角三角形的边长关系可知，， 所以当且仅当时，取得最大值，此时， 而点到点的最大值为（当点位于的延长线上时取到）， 所以最大值为. 6．（25-26高三下·山东·阶段检测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，根据的面积可判断的形状，进而可求得圆心到直线的距离即弦长，根据向量的线性运算可将的最大值转化为圆上的点到弦中点距离的最大值问题. 【详解】由圆，即得 圆的圆心为，半径，取的中点D，则，如图： 因为的面积为2， 所以，解得， 所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以 ， 所以当取得最大值时，取得最大值，， 所以的最大值为. 7．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知实数，满足，则的最大值是（ ） A．5 B．4 C． D．7 【答案】A 【分析】令 ，变形为，此时问题转化为在半圆()上找一点，使得直线的纵截距最小. 【详解】可化为，设，则. 由图可知，当直线过点时，取得最大值5.      故选：A 8．（多选）（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为直线上的动点，点分别在上，连接，下列说法正确的有（   ） A．过点作的一条切线，切点为，则的取值范围为 B．直线是和的一条公切线 C．的最小值为 D．连接，则的最小值为 【答案】BC 【分析】求出和的圆心和半径，求出到直线的距离，选项A，过点作的一条切线，切点为，则，则利用求出的取值范围；选项B，求出点到直线的距离，求出点到直线的距离，从而得到结论；选项C，的最小值为点到直线的距离减去，从而得到结论；选项D，求出关于直线的对称点为，求出，连接，线段与直线的交点就是使得取最小值的点，从而得到的最小值. 【详解】，，的半径为， ，，的半径为， 设到直线的距离为， 选项A，过点作的一条切线，切点为， 则， 则， 故的取值范围为，故选项A错误； 选项B，， 点到直线的距离为 ， ， 点到直线的距离为 ， ， 故直线是和的一条公切线，故选项B正确； 选项C，的最小值为点到直线的距离减去， 点到直线的距离为， 则的最小值为，故选项C正确； 选项D，设关于直线的对称点为， 则，解得，故， 连接，， 设为直线上的任意一点， , 则线段与直线的交点就是使得取最小值的点， 则的最小值为，故选项D错误. 9．（多选）（25-26高二下·云南·期中）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【分析】本题先根据点到直线距离公式验证圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算切线长的最小值，接着结合四边形面积与切线长的关系求面积最小值，最后依据两圆公共弦与连心线的垂直关系判断弦的斜率，逐一分析各选项得出结论． 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 10．（多选）（2026·安徽滁州·二模）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 【答案】ABD 【分析】将代入直线计算可得A；结合两直线位置关系及所过定点计算可得B；利用圆的性质及点到直线距离公式计算可得C；求出两圆圆心距离及半径之和可得两圆位置关系，即可得D. 【详解】对A：将代入，可得， 故直线必过点，故A正确； 对B：对，令，则，故过点， 又，故与垂直， 结合直线过点，可得点在以为直径的圆上， 圆心为，半径， 故点在圆上，故B正确； 对C：由B知，点在圆上， 由斜率存在，故的轨迹不过点， 故点的轨迹方程为，且不过点， 的轨迹所在圆的圆心为，半径， 到直线距离， 则点到直线距离最小值为， 由图可得，此时点不为，故C错误； 对D：圆的圆心为，半径， 则，， 故圆与圆相外切， 即有三条公切线，故D正确. 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 题型一 直线与圆的位置关系 2 题型二 弦长问题 4 题型三 切线问题 6 题型四 圆与圆的位置关系 8 题型五 直线与圆的有关最值问题 9 【基础回顾】 知识点1：直线与圆的位置关系 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ． 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 知识点2：圆与圆的位置关系 (⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 图形 几何法 公切线条数 外离 d>r1＋r2 四条 外切 d＝r1＋r2 三条 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两条 内切 d＝|r1－r2| 一条 内含 0≤d<r1－r2 无 【必备知识】 1．圆的切线方程常用的结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2． (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2． (4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (3)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 题型一 直线与圆的位置关系 1．判断直线与圆的位置关系的常用方法 特别地，对于过定点的直线，若定点在圆内部，则可判定直线与圆相交；若定点在圆上，则可判定直线和圆有公共点． 2．圆上的点到直线的距离为定值的点的个数问题 该类问题常借助于图形转化为点到直线的距离问题求解．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d． 如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t． 如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t． 由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t． 若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t． 【例题精讲】 1．（2024·河北衡水·模拟预测）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 2．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）已知直线与圆有公共点，则该圆面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏泰州·模拟预测）若圆上存在两个不同的点，直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知点，，若直线：（）上存在点，使得，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 6．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（   ） A． B． C．1 D． 7．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26高二下·上海浦东新·期末）若直线与圆相切，则实数的值为__________． 9．（2026·重庆·三模）若直线：与曲线有两个交点，则实数的取值范围是__________． 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知圆：，点，其中.过点作圆的两条切线，切点分别为，. 若，则__________. 题型二 弦长问题 求直线被圆截得的弦长的两种方法 【例题精讲】 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知直线和曲线交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 2．（2026·福建福州·三模）已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 4．（2026·河北·三模）已知圆，直线与圆相交于两点.若，则实数（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 6．（2026·北京·模拟预测）已知坐标原点O，直线与圆：交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁·三模）已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．线段的长为 C．直线过定点 D．的最小值是 9．（多选）（25-26高二下·河南周口·期末）已知圆O：，则下列说法正确的有（     ） A．圆在点处的切线方程为 B．直线与圆相切 C．直线截圆所得的弦长为 D．圆C：与圆外离 10．（多选）（2026·河北保定·模拟预测）已知圆的圆心坐标为，圆被轴、轴截得的弦长之比为 点P在直线 上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为 B．若圆上有且仅有2个点到直线l的距离为1，则 C．当时，以线段为直径的圆与圆交于两点，则 的最小值为 D．若为平面内一个动点， 则点到直线l的距离为定值 题型三 切线问题 1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系，求得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程，如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得到切线方程为y＝y0或x＝x0． 2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法： (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求得k． (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求得k． 注意验证斜率不存在的情况． 3． 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题，可以利用几何图形求解，也可以把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求解． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）过作圆的两条切线，切点分别为A、B，当为正三角形时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（2026·江苏·模拟预测）已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切，则实数（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2026·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，，，，的欧拉线为直线，点为上的一个动点，过作圆Q：的切线，其中一个切点为．当面积取得最小值时，切线长为（     ） A．2 B． C． D．4 6．（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（   ） A． B．3 C．7 D．9 7．（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线与两坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D．1 8．（多选）（25-26高二下·广东广州·期中）（多选题）已知抛物线的准线方程为，点P在抛物线上，过P作圆的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则以下说法正确的是（     ） A．抛物线的标准方程为 B．当P，A，B三点共线时， C．当时，直线的斜率为或 D．满足的点P有且仅有2个 9．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 10．（多选）（2026·安徽·模拟预测）已知三点，，，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若点P在圆O上运动，则的最小值为21 B．圆O与圆的公共弦长为 C．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则的最大值为 D．若点Q在直线上，过Q作圆O的切线，，切点分别为M，N，则点C到直线的距离的最大值为 题型四 圆与圆的位置关系 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京西城·期中）如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 4．（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·二模）已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·北京大兴·三模）若点关于动直线： 的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 9．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）记圆，圆，点，已知圆和圆相内切，且圆的半径大于圆的半径，是圆上两点，直线与圆相切，设与圆的另一个交点分别为，则（    ） A． B．​ C．当且仅当 D． 10．（多选）（25-26高二下·安徽·期中）已知点P在圆上运动，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆与圆外切 B．当直线与圆相切时，的面积为 C．的最小值为 D．的最小值为 题型五 直线与圆的有关最值问题 求解形如|PA|＋|PB|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【例题精讲】 1．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 2．（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则最小值为（   ） A．4 B． C． D． 4．（2026·湖北·二模）已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知直线，若为圆上任意一点，则到的距离最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 6．（25-26高三下·山东·阶段检测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知实数，满足，则的最大值是（ ） A．5 B．4 C． D．7 8．（多选）（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为直线上的动点，点分别在上，连接，下列说法正确的有（   ） A．过点作的一条切线，切点为，则的取值范围为 B．直线是和的一条公切线 C．的最小值为 D．连接，则的最小值为 9．（多选）（25-26高二下·云南·期中）已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 10．（多选）（2026·安徽滁州·二模）已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $