第22讲 平面向量基本定理及坐标表示讲义-2027届高三数学一轮复习

第22讲 平面向量基本定理及坐标表示 内 容 导 航 知识点1 平面向量的基本定理 知识点2 平面向量的坐标运算 知识点3 平面向量共线的坐标表示 知识点4 基底的概念及辨析 知识点5 向量共线的坐标表示及应用 题型1 平面向量的基底 题型2 用平面向量的基底表示平面向量 题型3 平面向量的正交分解及坐标表示 题型4 平面向量加减法的坐标运算 题型5 平面向量数乘和线性运算的坐标运算 题型6 平面向量数量积的坐标运算 知 识 点 通 关 知识点1 平面向量的基本定理 （1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. （2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点2 平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点3 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 知识点4 基底的概念及辨析 方法技巧 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量 知识点5 向量共线的坐标表示及应用 方法技巧 判断向量共线的方法及应用 （1）判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则． （2）由向量共线求参数的值 已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解． 考 点 演 练 题型1 平面向量的基底 【典例1】如果{，}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（　　） A．，2 B．2，2 C．3，62 D．，3 【答案】C 【解答】解：由共线向量基本定理知，选项A，B和D中的两个向量均不共线，故可以作为平面的基底， 因为3（62），即3与62共线，所以选项C中的两个向量不能作为一个基底． 故选：C． 【变式1】下列各组向量中，能作为基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对于A：由于，故不能作为基底，故A错误； 对于B：由于，故不能作为基底，故B错误； 对于C：由于不存在实数λ，使得，故可以作为基底，故C正确； 对于D：由于为零向量和任何一个向量为共线向量，所以不能作为基底，故D错误． 故选：C． 题型2 用平面向量的基底表示平面向量 【典例1】如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成．若AE＝EF，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，过F作FM⊥AB，垂足为M， 设AE＝EF＝BF＝1，则AB，，， 所以． 故选：C． 【变式1】在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据四边形ABCD 为平行四边形，可得，， 所以． 故选：C． 题型3 平面向量的正交分解及坐标表示 【典例1】已知两点A（4，1），B（7，﹣3），则与同向的单位向量是　 　 ． 【答案】（，） 【解答】解：（7﹣4，﹣3﹣1）＝（3，﹣4）， ∴与同向的单位向量是 （3，﹣4）＝（，）． 故答案为：（，）． 【变式1】一条河宽为80000m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为 　 　 h． 【答案】5 【解答】解：根据题意，作出如图所示的示意图，则||＝20km/h，||＝12km/h， 因为， 所以||16km/h， 所以所需时间t5h． 故答案为：5． 题型4 平面向量加减法的坐标运算 【典例1】已知向量，，则等于（　　） A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（5，5） D．（﹣5，﹣5） 【答案】A 【解答】解：因为，， 所以（3，4）﹣（2，1）＝（1，3）． 故选：A． 【变式1】设为单位向量，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：根据题意，为单位向量，且， 则（）222+2•1，变形可得2•1， 则（）222﹣2•1+1+1＝3，则||， 故选：A． 题型5 平面向量数乘和线性运算的坐标运算 【典例1】已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：向量，， 可得（2+m，3）， 由，可得，解得m， 故． 故选：C． 【变式1】设向量，，，若，λ，μ∈R，则λ+μ＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：因为， 所以（5，﹣2）＝λ（﹣1，2）+μ（3，﹣2）＝（﹣λ+3μ，2λ﹣2μ）， 即，解得λ＝1，μ＝2， 所以λ+μ＝1+2＝3． 故选：D． 题型6 平面向量数量积的坐标运算 【典例1】已知向量（1，0），（2，3），（1，﹣1），若（λ）⊥，则λ＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【答案】C 【解答】解：向量（1，0），（2，3），（1，﹣1）， 可得λλ（1，0）+（2，3）＝（λ+2，3）， 若（λ）⊥，则λ+2﹣3＝0，解得λ＝1． 故选：C． 【变式1】已知向量，，若，则|（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解答】解：因为向量，，且， 所以0，即2x﹣1+x＝0， 解得， 所以（，）， 所以， 所以． 故选：D． 过 关 验 收 1．若{，}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　） A．{，} B．{2，} C．{，4} D．{32，﹣64} 【答案】C 【解答】解：对于选项A，（）两向量共线，不符合基底的定义，故选项A错误； 对于选项B，22（），两向量共线，不符合基底的定义，故选项B错误； 对于选项C，不存在实数λ，使得λ（4），故选项C正确； 对于选项D，﹣642（32）两向量共线，不符合基底的定义，故选项D错误． 故选：C． 2．下列各组向量中，可以作为基底的是（　　） A．（0，0），（1，﹣2） B．（﹣1，2），（5，7） C．（2，﹣3），（，） D．（3，5），（6，10） 【答案】B 【解答】解：A.与共线，不能作为基底； B.与不共线，可以作为基底． C.4，∴与共线，不能作为基底； D.2，与共线，不能作为基底． 故选：B． 3．在△ABC中，，若，则x﹣y＝（　　） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】A 【解答】解： ， 所以，，所以． 故选：A． 4．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB，点E在对角线AC上，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，可得 ． 故选：A． 5．在等腰梯形ABCD中，，若E为BC的中点，记，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可得，， 则（）． 故选：A． 6．如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可得，． 故选：C． 7．向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设向量、的起点分别为A、B，可得，所以， 根据图形，可得，故． 故选：B． 8．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点O是AD的中点，若μ，则λ+μ＝　 　 ；若⊥，则cosA＝　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得（） ， ∴λ+μ． ∵， ∴（） 0， ∴0， 解得cosA． 故答案为：． 9．如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且． （1）用，分别表示向量，； （2）求． 【答案】（1），． （2）﹣2． 【解答】解：（1）由图可得，． （2）∵， ∴， ∵，， ∴． 10．已知平面向量，则（　　） A．（0，﹣5） B．（8，7） C．（0，5） D．（8，5） 【答案】C 【解答】解：因为，， 所以． 故选：C． 11．平面向量（3，﹣1），（x，1），且（1，﹣2），则x＝（　　） A．﹣1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解答】解：由题意可得，， 所以3﹣x＝1，解得x＝2． 故选：B． 12．已知向量，，则（　　） A．（﹣3，2） B．（1，0） C．﹣3 D．3 【答案】B 【解答】解：由题可得：，故B正确． 故选：B． 13．已知向量（x，1），（1，﹣2），且满足||＝||，则x＝（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：向量（x，1），（1，﹣2）， 可得（x﹣2，5），（x+2，﹣3）， 由||＝||， 可得，解得x＝2． 故选：A． 14．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A． B．﹣11 C．11 D． 【答案】C 【解答】解：因为向量，， 所以， 因为A、C、D三点共线，则， ， 所以5（m+5）＝8×10，解得m＝11． 故选：C． 15．已知向量，，则，（λ，μ∈R），则下列表述正确的是（　　） A．存在唯一的实数对（λ，μ），使得 B．存在唯一的实数对（λ，μ），使得 C．存在唯一的实数对（λ，μ），使得 D．存在唯一的实数对（λ，μ），使得 【答案】C 【解答】解：若，则，即λμ＝1，这样的（λ，μ） 有无数多对，故A错误； 若，则，则（λ，μ）也有无数多对，故B错误； 若，则λ＝μ＝1，故C正确； 若，且5λ2+6λ＝5μ2+6μ，即，所以λ ＝μ或，则（λ，μ）也有无数多对，故D错误． 故选：C． 16．已知点A（1，1），B（5，3），若将绕点A逆时针旋转90°得到，则点C的坐标为　 　 ． 【答案】（﹣1，5）． 【解答】解：由点A（1，1），B（5，3），可得， 故， 设与x轴正向夹角为θ，则， 即，∴， 由绕点A逆时针旋转90°得到， 可得：， 设C（x，y），则（x﹣1，y﹣1）＝（﹣2，4），∴x＝﹣1，y＝5， ∴C（﹣1，5）． 故答案为：（﹣1，5）． 17．已知平面向量，若，则λ＝（　　） A．±2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题可得：， 因为， 所以（λ﹣1）（λ+1）+（2λ+3）（2λ﹣3）＝0，解得． 故选：D． 18．设向量，，则（　　） A．“x＝﹣1”是“”的必要条件 B．“x＝﹣3”是“”的必要条件 C．“x＝﹣2”是“”的充分条件 D．“x＝0”是“”的充分条件 【答案】D 【解答】解：对于AC，⇔x+2＝x2⇔x＝﹣1或2， 所以“x＝﹣1”是“”的充分不必要条件， 且“x＝﹣2”是“”的既不充分也不必要条件， 所以AC两项均错误； 对于BD，⇔（x+2）x+x＝0⇔x＝0或﹣3， 所以“x＝﹣3”是“”的充分且不必要条件， 且“x＝0”是“”的充分条件，可知B项错误且D项正确． 故选：D． 19．已知向量，若，则λ＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵向量， ∴， ∵， ∴（）•1﹣λ﹣λ＝0，解得． 故选：C． 20．已知向量，若，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 【答案】B 【解答】解：向量， 则， 因为，所以42+（4+x）2＝（x﹣4）2，得x＝﹣1． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 平面向量基本定理及坐标表示 内 容 导 航 知识点1 平面向量的基本定理 知识点2 平面向量的坐标运算 知识点3 平面向量共线的坐标表示 知识点4 基底的概念及辨析 知识点5 向量共线的坐标表示及应用 题型1 平面向量的基底 题型2 用平面向量的基底表示平面向量 题型3 平面向量的正交分解及坐标表示 题型4 平面向量加减法的坐标运算 题型5 平面向量数乘和线性运算的坐标运算 题型6 平面向量数量积的坐标运算 知 识 点 通 关 知识点1 平面向量的基本定理 （1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. （2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点2 平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 知识点3 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 知识点4 基底的概念及辨析 方法技巧 判断所给的两个向量能否作为一组基的方法 由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量 知识点5 向量共线的坐标表示及应用 方法技巧 判断向量共线的方法及应用 （1）判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则． （2）由向量共线求参数的值 已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解． 考 点 演 练 题型1 平面向量的基底 【典例1】如果{，}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（　　） A．，2 B．2，2 C．3，62 D．，3 【变式1】下列各组向量中，能作为基底的是（　　） A． B． C． D． 题型2 用平面向量的基底表示平面向量 【典例1】如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由4个全等直角三角形和中心小正方形构成．若AE＝EF，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 题型3 平面向量的正交分解及坐标表示 【典例1】已知两点A（4，1），B（7，﹣3），则与同向的单位向量是　 　 ． 【变式1】一条河宽为80000m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为 　 　 h． 题型4 平面向量加减法的坐标运算 【典例1】已知向量，，则等于（　　） A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（5，5） D．（﹣5，﹣5） 【变式1】设为单位向量，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 题型5 平面向量数乘和线性运算的坐标运算 【典例1】已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】设向量，，，若，λ，μ∈R，则λ+μ＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 题型6 平面向量数量积的坐标运算 【典例1】已知向量（1，0），（2，3），（1，﹣1），若（λ）⊥，则λ＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【变式1】已知向量，，若，则|（　　） A．2 B． C．3 D． 过 关 验 收 1．若{，}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（　　） A．{，} B．{2，} C．{，4} D．{32，﹣64} 2．下列各组向量中，可以作为基底的是（　　） A．（0，0），（1，﹣2） B．（﹣1，2），（5，7） C．（2，﹣3），（，） D．（3，5），（6，10） 3．在△ABC中，，若，则x﹣y＝（　　） A． B． C．1 D．﹣1 4．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB，点E在对角线AC上，且，则（　　） A． B． C． D． 5．在等腰梯形ABCD中，，若E为BC的中点，记，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 7．向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（　　） A． B． C． D． 8．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点O是AD的中点，若μ，则λ+μ＝　 　 ；若⊥，则cosA＝　 　 ． 9．如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且． （1）用，分别表示向量，； （2）求． 10．已知平面向量，则（　　） A．（0，﹣5） B．（8，7） C．（0，5） D．（8，5） 11．平面向量（3，﹣1），（x，1），且（1，﹣2），则x＝（　　） A．﹣1 B．2 C． D．3 12．已知向量，，则（　　） A．（﹣3，2） B．（1，0） C．﹣3 D．3 13．已知向量（x，1），（1，﹣2），且满足||＝||，则x＝（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 14．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（　　） A． B．﹣11 C．11 D． 15．已知向量，，则，（λ，μ∈R），则下列表述正确的是（　　） A．存在唯一的实数对（λ，μ），使得 B．存在唯一的实数对（λ，μ），使得 C．存在唯一的实数对（λ，μ），使得 D．存在唯一的实数对（λ，μ），使得 16．已知点A（1，1），B（5，3），若将绕点A逆时针旋转90°得到，则点C的坐标为　 　 ． 17．已知平面向量，若，则λ＝（　　） A．±2 B． C． D． 18．设向量，，则（　　） A．“x＝﹣1”是“”的必要条件 B．“x＝﹣3”是“”的必要条件 C．“x＝﹣2”是“”的充分条件 D．“x＝0”是“”的充分条件 19．已知向量，若，则λ＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 20．已知向量，若，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 学科网（北京）股份有限公司 $