高中数学经典题型全解析： 第22讲 不等式恒成立讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式恒成立核心考点，涵盖判别式法、分离参数法、图解法等9大专题，按“基础方法—区间应用—多变量综合”逻辑架构知识网络。通过考点梳理、典例精讲、变式训练、方法总结四环节，帮助学生构建解题思路，突破含参不等式、存在性问题等难点。 讲义突出数学思维培养，创新“板砖分析法”“奇偶分析法”等策略，如用变换主元法将含参问题转化为一次函数最值，发展推理意识与运算能力。设置基础到综合分层练习，配合即时评注指导，确保学生高效掌握解题技巧，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第二十六讲 不等式恒成立 1.判别式法处理一元二次不等式在R上恒成立 1.1 不等式的解集为R或等价于不等式在R上恒成立 【典例1】 1.R【解析】（法1）：设，函数的图象开口向上且与轴只有一个交点，所以在上恒成立， 所以不等式的解集是R． （法2）：，即， 因为恒成立， 所以不等式的解集是R. 2.【解析】设，由题意得在上恒成立， 所以函数的图象开口向上且与轴无交点， 即方程无实数解， 所以，解得. 3.【解析】设，由题意得在上恒成立， 所以函数的图象开口向上，并且与轴无交点或与轴只有一个交点， 即方程无实数解，或只有一个实数解， 所以，解得. 4.【解析】抛物线与轴无交点且开口向下，因此． 5.【解析】由，且， 解得的取值范围为． 【典例2】 1. 【解析】抛物线与轴无交点且开口向上，因此． 2.【解析】设，由题意得在上恒成立， 则图象在轴下方， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 3.【解析】问题转化为不等式的解集是R， 则且，解得． 所以实数的取值范围是． 4.【解析】问题转化为不等式恒成立， 则有且，解得， 所以实数的取值范围是． 1.2 二次函数的二次项系数首先必须不为零 【典例】 1. 或【解析】当时，则且； 当时，抛物线与轴无交点且开口向下， 因此． 2.【解析】当时，方程为，有实根，不满足题意； 当时，由， 解得的取值范围为． 3.【解析】当时显然不成立； 时，有，解得． 综上，的取值范围是． 1.3不等式恒成立与相应抛物线开口方向相关 【典例】 1.【解析】设， 若在上恒成立，则的图象开口向上且与轴无交点， 也就是一元二次方程无实数解， 所以，解得或． 所以实数的取值范围是． 2.【解析】当时显然成立； 时，则有，解得 所以的取值范围是． 3.【解析】当时显然成立； 时，则有，解得． 综上的取值范围是． 4.【解析】不等式变为， 当时不符合题意； 当时，有解得． 综上所述，的取值范围是(2,+∞)． 1.4 函数定义域为R可转化为不等式恒成立 【典例】 1.【解析】由题意可知恒成立， ①当时满足题意；②当时，解得． 综上，实数的取值范围是． 2.【解析】依题意得在上恒成立，当时，不符合题意，所以解得． 3.【解析】当时，符合题意；当时，由题意可知恒成立，即方程无实根，，解得，综上 4.【解析】依题意得在上恒成立，时不符合题意，所以 ，解得． 5.【解析】当时，易知；当时，两边同除以，得恒成立，令，则，，由，解得，故实数的取值范围是． 6 .【解析】设，因为，所以或，，所以，则题设化为“当t为何值时，不等式恒成立”． ∴解得，即,解得． 2.一元二次不等式在某区间上恒成立 2.1 不等式恒成立需要区间上最小值满足 【典例】 1.【解析】设,其图象开口向下，对称轴，根据对称性有，则. 2.【解析】设函数①当时,符合题意； ②当时，在上是单调递增函数， 又，所以时满足题意； ③当时，在上是单调递减函数， 因此只要,解得. 综上得实数的取值范围是. 3.【解析】(设，易知的图象开口向上，且对称轴为， ①当时，原命题等价于,所以； ②当时，原命题等价于，无解； ③当时，原命题等价于,无解； 综上,实数a的取值范围是. 2.2不等式恒成立需要区间上最大值满足 【典例】 1.【解析】设，在上是增函数，只要即可,解得.因此实数的取值范围是. 2.【解析】设，由已知可得，则． 实数的取值范围是 3.【解析】设，,解得， 因此实数的取值范围是. 4.【解析】设，，解得， 因此实数的取值范围是. 5.【解析】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围. 6.【解析】,由已知得对恒成立， 有解得． 所以实数的取值范围是. 2.3在某区间上恒成立只需要在区间内的所有值满足 【典例】 1.【解析】设，由条件可得且，解得． 2.【解析】设，由条件可得且，解得. 3.【解析】设，由条件可得且，解得． 4.【解析】设，由条件可得且，解得． 5.【解析】设，由条件可得且，解得． 6.【解析】设，其图象对称轴，根据对称性有，则 7.【解析】设，有，则． 2.4分离参数法处理一元二次不等式恒成立 【典例】 1. D【解析】设，， 由题意可知， 所以．故选D． 2. 【解析】问题转化为对任意恒成立， 设，则有， 由的图像可知，当时，，所以． 3. 【解析】不等式化为， 因，则有对恒成立， 设 ，所以，即． 3. 图解法处理不等式恒成立问题 3.1图解法求相应函数的最值 【典例】 1.【解析】设，所以的图象 如图所示，所以，所以． 2.【解析】设， 的最小值是，所以． 3.【解析】问题转化为不等式的解集为, 设， 的最大值是3，所以． 3.2用图形的覆盖问题处理不等式恒成立 【典例1】 1.【解析】【解析】令， 当时，因，得，不满足题意； 当时，是增函数 ，是减函数，应有， 即，解得, 所以实数的取值范围是． 2.【解析】令， 当时，因，得，不满足题意； 当时，是增函数 ，是减函数，应有， 即，解得， 所以实数的取值范围是． 3.【解析】令，画出图象可知，解得． 4.【解析】令，画出图象可知，解得． 5.【解析】令，画出图象可知，解得． 【典例2】 1. B【解析】只需函数的图象恒在函数的图象的上方（可以部分重合）， 如图所示，所以．故选B． 2.【解析】设f(x)＝sinx,则，且在上递减， 又在点（0,0）处的切线斜率为． 故. 3.【解析】当过原点的直线过点时，取得最大值； 当过原点的直线为点处的切线时，取得最小值． 故的最小值为. 4.【解析】当过原点的直线过点时，取得最大值； 当过原点的直线为点处的切线时，取得最小值． 3.3函数覆盖问题需要两个熟悉的函数做支撑 【典例】 1.【解析】将不等式化为，问题转化为函数的图象全部位于函数的图象的上方（可以相切），如图， 画出两个函数的图象， 求出函数在区间上的图象与函数的图象相切时的，所以实数a应满足. 2．【解析】不等式，即为且 ， 在同一坐标系画出和两个图象． 将绝对值函数向右移动当左支经过 点，得； 将绝对值函数向左移动让右支与抛物线相切 点， 即方程只有一解， 由，解可得；  故实数的取值范围是． 3.【解析】设，的图像完全在的图象的下方， 先求直线与曲线相切时，，且. 因此不等式恒成立时，只要. 4.【解析】利用函数性质，其最大值为，等号成立的条件， 而二次函数的最小值为，等号成立的条件， 画出示意图可知，方程有解时应满足， 即实数的取值范围是. 4．分离变量法研究不等式恒成立问题 4.1字母参数单独分离是分离变量法主要特征 【典例】 1.1【解析】因为时，，所以． 2.1【解析】因为时，，所以． 3. 【解析】依题意得在上恒成立，不等式即，，所以的取值范围是 4.【解析】，问题转化为当时，恒成立，即， 所以． 5.【解析】问题转化为恒成立， 设，则问题又转化为：当时，恒成立． 易求函数的最大值是1， 所以，实数的取值范围是． 4.2分离变量不以单独的字母为分离目标 【典例1】 1.【解析】不等式恒成立． 因的最小值是， 所以，解得． 2.【解析】令，的最小值是， 所以有，解得． 3.【解析】问题转化为：对任意，恒成立， 即，恒成立， 当时，的最小值是，的值域是， 所以，即． 4.【解析】分离变量得， 又，当时，的最大值是，所以，． 所以实数的取值范围． 【典例2】 1. 【解析】当时,，当取等号， 因此，解得． 2.【解析】设， 问题转化为时，恒成立，故． 令，得或2． 由，，，，得， 所以，故． 4.3形如的不等式分离变量要分类讨论 【典例】 1. 【解析】当x＝0时，1≥0恒成立，此时a∈R． 当x≠0时，a≥＝． 又|x|＋≥2，∴≤－2，∴． 2.【解析】(1)当时，，此时; (2) 当时，由，得， ，此时有； (3) 当时，由，得， 此时有； 要使不等式在上恒成立， 对(1) (2) (3)部分取交集得． 3.【解析】(1)当时，，此时; (2) 当时，由，得， ，且， ，此时； (3) 当时，由，得，，此时. 综上，即实数的取值范围是． 4.【解析】因为，恒成立. 当时，在时恒成立， 只要即，解得. 当时，，即在时恒成立， 只要即，解得. 综上，的取值范围是或. 4.4形如的不等式中函数的最值存在性 【典例*】 1.【解析】对一切正实数均成立 对一切正实数均成立. ， 所以，实数的取值范围是. 2.【解析】不等式化为， 因为函数在上递增，所以，即. 因为函数在上递增，所以，即. 由题意得，所以实数的取值范围是. 3.【解析】不等式化为， 设，， 当时，，在上是增函数，， 由题意得， 所以实数的取值范围是. 5．与正整数n有关的不等式恒成立问题 5.1任意的与任意的的区别 【典例】 1.【解析】由双勾函数的单调性可知： 当时，取最小值，所以． 2.【解析】（法1）因为对于任意的N，恒成立， 所以对于任意的N恒成立，即， 所以. （法2）借助二次函数的图象，结合N分析可知， 应满足，解得. 3.【解析】二次函数的对称轴为， 结合该函数的单调性和对称性以及N分析可知 ，解得. 5.2与区别 【典例】 1.4 【解析】依题意有，，，所以． 2.4 【解析】依题意有，，当且仅当时取“=” ． 则，解得． 3．【解析】依题意有，解得． 4．【解析】，即，所以，解得． 5.3 奇偶分析法应对含有的不等式恒成立问题 【典例】 1.【解析】当是正奇数时，， 因为， 当是正偶数时，， 因为，． 故实数的取值范围是． 2. 【解析】当是正奇数时,，因此有=9； 当是正偶数时，有，． 综上，实数的取值范围是． 3. 【解析】不等式化为， 函数图象的对称轴是直线， 但是正整数， 所以当或时，取得最小值是， 由，得． 5.4 形如的不等式恒成立等价于 【典例】 1.【解析】依题意得恒成立， 设，且， 所以，即． 2. 【解析】对任意，不等式恒成立， 而，，即即在区间内恒成立， 只需， 所以，解得. 3.【解析】问题化为对于，不等式恒成立. 求导可得函数的最小值是， 所以． 4. 【解析】利用函数性质，其最大值为，等号成立的条件， 而二次函数的最小值为， 当时，等号成立． 若方程有解，则， 即，即． 5. 【解析】证明：设， 要证，只要证即可． ，由得，由得， 在上是减函数，在上是增函数， 所以； ，由得，由得， 在上是增函数，在上是减函数， 所以， 所以，故原不等式成立． 6. 变换主元法处理不等式恒成立问题 6.1 已知字母范围求的范围常用变换主元法 【典例】 1.【解析】不等式可化为， 设， 则由对任意恒成立， 得且其中两个“等号”不能同时取到， 解得． 2.或【解析】变形得， 设，则在上恒大于0， ∴解得或． 3. 【解析】设， 不等式恒成立相当于函数在[1，3]上恒小于等于零， ∴解得． 4.【解析】当时，对任意实数x不等式都成立； 当时，分离参数得， 令，记 则， 在上为减函数，易求的最小值是1，所以． 6.2 建立辅元的一次函数是变换主元最常见的类型 【典例】 1. 或【解析】设，解得或． 2.【解析】设是关于b的一次函数， 因为，所以在增函数， 只需，即， 设， ∴当时，是增函数；当时，是减函数， 的最小值是，∴． 6.3不优先使用“分离参数法”解题的两种情况 【典例1*】 1.【解析】将不等式化为， 设，求导可知，当时，， 根据题意得，解得， 实数的取值范围是． 2.【解析】令，其定义域为，则恒成立． 根据题意得，从而得． 求导可知，当时，， 根据题意得， 令，又 ， 从而在上单调递减，且，，所以整数的最小值是2． 3.【解析】令，． 求导可知，． 根据题意得，令， 求导可知在上是减函数，， 所以整数的最大值是4． 【典例2*】 1.【解析】设，,解得， 因此实数的取值范围是. 2.【解析】， 在和上是增函数，在上是减函数． 当时，，解得， 当时，，解得，不符合题意； 当时，的最小值是，根据题意得，解得． 所以实数的取值范围是． 7. 不等式有解与存在性问题 7.1 形如有解等价于 【典例】 1.A 【解析】因为二次函数的图象恒过定点， 所以由图可知：在区间上有解， 则只需或， 即或，解得． 2.【解析】当时，显然成立； 设， 当时，其图象是对称轴为的抛物线，依题意得抛物线上有点在轴上方， 所以有或，解得， 所以实数a的取值范围. 7.2 形如的不等式有解等价于 【典例1】 1.A【解析】不等式在区间内有解等价于， 令，， 所以，所以．故选A． 2.【解析】依题意得有解， 设，且，所以 3.【解析】依题意得有解， 设，且， 所以，从而，即. 【典例2】 1. 【解析】存在，使得不等式成立， 即在区间内有解， 而，，即在区间内有解， 即在区间内有解， 只需， 又，所以，所以. 2.【解析】依题意得有解， 设，且， 所以，即． 7.3 形如的不等式有解等价于 【典例】 1. 【解析】依题意得有解， 设，且，所以 2.【解析】依题意得有解， 设，且， 所以，从而，即. 3.【解析】依题意得有解， 设，且，所以 7.4 补集法将存在性问题转为恒成立问题 【典例】 1.【解析】如果，关于的一元二次不等式恒成立，化为，当时，的最大值是，则有． 因此，若存在实数，使得关于的一元二次不等式成立， 应有． 2.【解析】假设，恒成立，即，即， 令，求导知在区间上是减函数，最小值为， 则．故所求实数的取值范围是． 3.【解析】若，都有恒成立，即，恒成立． 令， , 则． 求导易得 故 　 所以若，使得成立，实数的取值范围是． 8. 含有“任意”与“存在”型问题 8.1比较最值大小解决形如的不等式 【典例1】 1.【解析】对任意，不等式恒成立，即，，， 所以，又，解得. 【典例2】 1.【解析】记f(x)的值域为A，则A=[0，2]，记g(x)的值域为B，则B=[1-m，4-m]， 由题意，根据题意2≥4-m，m≥2． 所以实数m的取值范围是． 【典例3*】 1.【解析】记f(x)的值域为A，则A=[0，2]，记g(x)的值域为B，则B=[1-m，4-m]， 由题意，，所以2≥1-m，即m≥-1， 所以实数m的取值范围是． 2.【解析】即，，解得，又， 所以实数的取值范围是． 8.2板砖分析法处理含双量词的不等式恒成立问题 【典例】 1. （-，0）【解析】由题意，，， 故有在上增，在上减． 任意，，都有成立， 即，即，即． 2. （-1，0）【解析】任意，总存在，使得成立，即，即，即． 3. （-，-）【解析】存在，，使得成立，即，即，即． 4.【解析】求导，可得在上递减，在上递增， 在的最小值是. 根据题意得，当时，恒成立. 于是，解得． 5.【解析】当恒有，所以在上恒成立， 即， 所以在上恒成立． 令， 所以()，()， 所以． 8.3根据值域关系解决形如的等式成立 【典例】 1.【解析】由题意，的值域是值域的子集， 在区间上的值域为， 在区间上的值域为， 则，解得． 2.【解析】由已知可得， 所以在上的值域是， 在上的值域是， 则，解得． 3.【解析】记f(x)的值域为A，则A=[0，2]，记g(x)的值域为B，则B=[1-m，4-m]， 由题意，， ∴1≤m≤2． 所以实数m的取值范围是． 4.或【解析】记函数，， 则， 使得函数的值域与的值域的交集非空， 函数的值域为， 所以或． Comment by IT天空: 补充完善 5.【解析】方程在区间上有解， 即在区间上有解， 的取值范围就是函数的值域， 易求函数的值域为，所以实数的取值范围是． 6.【解析】记f(x)的值域为A，则A=[0，2]，记g(x)的值域为B，则B=[1-m，4-m]， 由题意可知， 解得， 故所求m的取值范围是． 8.4利用最值之差处理形如的不等式 【典例1*】 1.【解析】求导易得在区间上，的值域是， 根据题意应有，解得实数的取值范围是． 2.【解析】求导可得在上是减函数， 的最大值是，最小值是， 根据题意得，解得实数的取值范围是． 3.【解析】由在区间上是减函数，得． 在区间上的最大值是，最小值是， 根据题意得，解得实数的取值范围是． 【典例2】 1.【解析】易证在上单调递减．由题意知． 函数在区间上的最大值与最小值分别为，． ，解得． 故的取值范围为． 2.【解析】易证在上单调递减． 函数在区间上的最大值与最小值分别为，， 即，存在成立． 因为，所以函数在区间上单调递增， 时，有最大值，由，得． 故的取值范围为． 3.【解析】易证在上单调递增． 函数在区间上的最小值与最大值分别为，， 所以 即，对任意成立． 因为，所以函数在区间上单调递增， 时，有最小值，由，得． 故的取值范围为． 【典例3】 1.【解析】由题意，只需要即可． 因的图象关于直线对称， 至少时，在闭区间上总存在两个实数，使得成立，取，，，得，所以． 8.5控制变量法研究多变量型问题 【典例1】 1.【解析】问题即为对和恒成立． 设，又在其定义域上为增函数， 所以只要恒成立， 问题转化为，恒成立． 记，， 求导得，即． 2.2【解析】先把看成主元，因为， 所以有． 再把看成主元，即对任意不等式恒成立． 当时，不等式一定成立； 当时，变为， 利用求导法可得函数的最小值是2. 所以，实数的最大值是2. 3.【解析】首先将看成主元，则有。， 于是有。 然后将t看成主元，问题化为：对任意，不等式恒成立。 令，则有，解得， 所以实数的取值范围是． 4.【解析】首先将看成主元，令， 因为，要使在上恒成立，则有，即． 然后将看成主元，问题转化为： 对任意，不等式恒成立． 令，求导可知在上是增函数，在上是减函数，， 根据题意得，解得， 所以实数c的取值范围是． 5.【解析】首先将看成变量，的最大值是。，因，可得， 因此上是减函数，， 根据题意有，化简得。 然后将看成主元，问题化为：不等式对任意恒成立． 因为函数在的值域是，根据题意得， 所以实数的取值范围是。 【典例2】 1.【解析】由题意，，，． 即时，的值域是的一个子集， 即，解得． 2.【解析】由题意，，，． 即，时，的最大值小于的最大值， 即． 8.6含有逻辑联结词的不等式恒成立 【典例】 1.【解析】因当即时，结论显然成立； 当时，只要即可，即， 所以实数的取值范围． 2.【解析】①当时，因为恒成立，所以满足题意． ②当时，在上，所以满足题意； 在上，，所以应有恒成立， 又，且，所以，解得． ③当时，在上，，满足题意； 在上，故只需要恒成立，化为， 因为，所以． 3.【解析】当时，显然不成立； 当时，因 当即时结论显然成立； 当时只要即可， 即，得． 9. 不等式恒成立的两种特殊的处理方法 9.1 “符号法则”数形结合处理不等式恒成立 【典例】 1.{2}【解析】当，恒成立， 当，恒成立， 所以，所以=2. 2.0【解析】直线过点，数形结合知二次函数图象也过点，故，此时，当时，时，符合条件． 3.【解析】易知，直线过点， 所以抛物线必过点， 所以，解得或(舍去)． 4.【解析】在同一坐标系内画出两个函数的图像，易知应满足． 5. 【解析】设通过图形观察， 直线和抛物线只有同时过且， 原不等式对任意恒成立，满足， 而、是整数，所以，或， 所以的取值的集合为 9.2 两边夹原理处理不等式恒成立问题 【典例】 1. 既是奇函数又是偶函数【解析】函数的定义域是，解析式化为， 所以函数既是奇函数又是偶函数． 2.【解析】令，得，∴． 可化为，化简为， 当时，恒成立，则，所以. 当时，恒成立，则，所以. 因此， 又，所以， 3.2017【解析】由，得， 所以①， 由此可得， 再结合，可得②， 有①②两式可得， 所以数列是首项为1公差为1的等差数列，． 4.【解析】由方程有实根，得， 则有恒成立． 又, 故， 先“夹”得，当且仅当， 再得生“变”取“=”，则． 5.【解析】由, 故, 又由,故,此时, 由,故． 6.【解析】当时，易知； 当时，对任意恒成立，即，所以； 当时，对任意恒成立，即，所以. 综上，实数的值为． 7.【解析】由,得. 于是，由都成立，得， 又,则方程的两根分别为， 所以，故． 8.【解析】，，， ，…… ，， 因为，而， 所以 9.3提前预支法求解不等式恒成立问题 【典例*】 1.【解析】由已知可得，，， 所以，， 故单调递增，故，所以． 2.【解析】令，由题意则，得， 于是抛物线开口向上且对称轴， 故的最小值是，的最大值是或， 根据题意得，解得，所以实数t的取值范围是． 3.【解析】由在恒成立，且， 则有，使得在上为增函数，即在上恒成立， 令，则，得. 令，当时，. 所以在上单调递增， 则（当且仅当，时，取等号） 则在为增函数，则有. 故在上恒成立，故符合题意. 综上，实数的取值范围为 28 学科网（北京）股份有限公司 $第二十六讲 不等式恒成立 32 学科网（北京）股份有限公司 1.判别式法处理一元二次不等式在R上恒成立 1.1 不等式的解集为R或等价于不等式在R上恒成立 1.2 二次函数的二次项系数首先必须不为零 1.3不等式恒成立与相应抛物线开口方向相关 1.4 函数定义域为R可转化为不等式恒成立 2.一元二次不等式在某区间上恒成立 2.1 不等式恒成立需要区间上最小值满足 2.2不等式恒成立需要区间上最大值满足 2.3在某区间上恒成立只需要在区间内的所有值满足 2.4分离参数法处理一元二次不等式恒成立 3. 图解法处理不等式恒成立问题 3.1图解法求相应函数的最值 3.2用图形的覆盖问题处理不等式恒成立 3.3函数覆盖问题需要两个熟悉的函数做支撑 4．分离变量法研究不等式恒成立问题 4.1字母参数单独分离是分离变量法主要特征 4.2分离变量不以单独的字母为分离目标 4.3形如的不等式分离变量要分类讨论 4.4形如的不等式中函数的最值存在性 5．与正整数n有关的不等式恒成立问题 5.1任意的与任意的的区别 5.2与区别 5.3 奇偶分析法应对含有的不等式恒成立问题 5.4 形如的不等式恒成立等价于 6. 变换主元法处理不等式恒成立问题 6.1 已知字母范围求的范围常用变换主元法 6.2 建立辅元的一次函数是变换主元最常见的类型 6.3不优先使用“分离参数法”解题的两种情况 7. 不等式有解与存在性问题 7.1 形如有解等价于 7.2 形如的不等式有解等价于 7.3 形如的不等式有解等价于 7.4 补集法将存在性问题转为恒成立问题 8. 含有“任意”与“存在”型问题 8.1比较最值大小解决形如的不等式 8.2板砖分析法处理含双量词的不等式恒成立问题 8.3根据值域关系解决形如的等式成立 8.4利用最值之差处理形如的不等式 8.5控制变量法研究多变量型问题 8.6含有逻辑联结词的不等式恒成立 9. 不等式恒成立的两种特殊的处理方法 9.1 “符号法则”数形结合处理不等式恒成立 9.2 两边夹原理处理不等式恒成立问题 9.3提前预支法求解不等式恒成立问题 1.判别式法处理一元二次不等式在R上恒成立 1.1 不等式的解集为R或等价于不等式在R上恒成立 【典例1】不等式的解集是 ． 【解析】（法1）设，则函数的图像开口向上且与轴无交点, 所以, 不等式的解集是R. 　　　（法2）因为，所以， 又，所以在R上恒成立， 即不等式的解集为R. 【评注】一元二次不等式的解集为R，等价于对于任意实数，代数式的值都大于零，换句话说不等式在R上恒成立． 反过来，不等式在R上恒成立，等价于不等式的解集为R，也等价于抛物线的图象总在轴的上方，从而判别式． 【变式1】不等式的解集是 ． 【变式2】已知不等式的解集是R，则实数的取值范围是 ． 【变式3】已知不等式的解集是R，求实数的取值范围 ． 【变式4】一元二次不等式的解集是全体实数的条件是 ． 【变式5】是什么实数时，关于的一元二次方程无实数根？ 【典例2】已知不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 【解析】设，由题意得在上恒成立， 则图象在轴上方，或者与轴只有一个交点， 所以，解得. 【评注】一元二次不等式的解集为，等价于对于任意实数，代数式的值都小于零，换句话说不等式在R上恒成立； 反过来，不等式在R上恒成立，等价于不等式的解集为，也等价于抛物线总在轴的上方或者与轴只有一个交点，从而判别式. 【变式1】一元二次不等式的解集是的条件是 ． 【变式2】已知不等式的解集是，求实数的取值范围． 【变式3】已知不等式的解集是，求实数的取值范围 ． 【变式4】已知关于的不等式的解集是，求实数的取值范围． 1.2 二次函数的二次项系数首先必须不为零 【典例】已知关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 【解析】当时，显然成立； 当时，设二次函数， 则图像开口必向上且与轴无交点， 所以，解得． 综上,实数的取值范围是． 【评注】不等式并不一定是一元二次不等式，因为二次项系数含有字母，不能盲目使用判别式． 【变式1】不等式的解集是全体实数的条件是 ． 【变式2】是什么实数时，关于的方程无实数根？ 【变式3】若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1.3不等式恒成立与相应抛物线开口方向相关 【典例】当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ 【解析】当时显然成立； 时，设， 若要小于零恒成立，则图像必开口向下且与轴无交点， ∴解得． 综上的取值范围是（－3,0]． 【评注】一元二次不等式恒成立问题常借助图形进行“双看”，一看开口方向，即看二次项的系数是大于0还是小于0；二看图象与轴交点情况，即考虑判别式的符号．对于二次项系数为参数的不等式有可能为非一元二次不等式，需对参数讨论． 【变式1】不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【变式2】已知关于的不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【变式3】已知关于的不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【变式4】已知关于的不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围． 1.4 函数定义域为R可转化为不等式恒成立 【典例】函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【解析】由题意可知恒成立， 当时，符合题意； 当时，只需解得． 综上，． 所以实数的取值范围是． 【评注】函数定义域为,也就是分母的偶次方根式的被开方数大于零，即恒成立，因此，最终函数定义域为等价于相应的不等式在上恒成立． 【变式1】函数=的定义域为，则实数m的取值范围是________． 【变式2】函数的定义域为，则的取值范围是________． 【变式3】函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【变式4】若函数的定义域为，则的取值范围是 ． 【变式5】不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【变式6】对于所有实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2.一元二次不等式在某区间上恒成立 2.1 不等式恒成立需要区间上最小值满足 【典例】关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（法1）当时，符合题意； 当时，设函数，对称轴为， 当时，开口向上，函数在上单调递增，只需即可， 此时解得； 当时，开口向下，函数在上单调递减，只需即可， 此时解得. 综上，实数的取值范围为. （法2）：分离参数法（1）当时，； （2）当时，由恒成立，得. 又因为,所以， 综上得实数的取值范围是. 【评注】从数的角度看，不等式在上恒成立，等价于对于都满足不等式；从形的角度看，等价于函数在时的图象都在轴上方. 此类问题可以根据函数图象观察，也可根据开口方向、图像与轴的交点、对称轴与区间的位置以及区间端点的函数值的符号等判断满足的条件. 【变式1】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式2】已知关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【变式3】已知关于的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 2.2不等式恒成立需要区间上最大值满足 【典例】已知关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】设函数,①当时,符合题意； ②当时，在上是单调递增函数，应有，解得； ③当时，在上是单调递减函数，因此只要, 所以满足题意. 综上，实数的取值范围是. 【评注】不等式在区间上恒成立，即区间上最大值满足不等式. 当，抛物线开口向上，最大值只有两种可能，或； 当，抛物线开口向下，最大值随着对称轴位置的不同而存在三种可能. 【变式1】若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【变式2】若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式3】已知关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【变式4】已知关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【变式5】已知函数，若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【变式6*】已知函数在区间内是减函数，求实数的取值范围． 2.3 在某区间上恒成立只需要在区间内的所有值满足 【典例】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【解析】设，由条件可得且， 则且， 所以． 【评注】条件，说明当取到区间上的任何一个实数，不等式都成立，换句话说，实数的取值只需要中的实数满足不等式即可；就没有要求满足不等式，而就必须满足不等式，需要密切注意区间的开闭对函数值的影响．另外本题的结论且主要是由于抛物线的与轴的特征决定的. 【变式1】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式2】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式3】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式4】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式5】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式6】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式7】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 2.4分离参数法处理一元二次不等式恒成立 【典例】已知关于的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】由在上恒成立，可得在上恒成立， 设，则，， 所以，因此函数在上是单调递增函数， 所以，因此， 即实数a的取值范围是． 【评注】求解含参不等式恒成立问题，常通过分离参数（变量）将其转化为函数的最值或值域问题，其解题步骤是：第一步分离参数，先转化为 (或)对∀x∈D恒成立，于是(或)；第二步求值，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)． 【变式1】恒成立，则有 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A．或　　 B． C． D． 【变式2】恒成立，则有 若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式3】已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 3. 图解法处理不等式恒成立问题 3.1 图解法求相应函数的最值 【典例】若关于的不等式解集是R，则实数的取值范围是 ． 【解析】设，所以的图象如下： 如图所示，所以，所以，解得． 实数的取值范围是 【评注】对于不等式恒成立问题，求相应函数的最值是关键，通过作出相应函数的图象，可以获得函数的最大值或最小值，进而得到字母参数应该满足的条件． 【变式1】若关于的不等式解集是R，则实数的取值范围是 ． 【变式2】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【变式3】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 3.2 用图形的覆盖问题处理不等式恒成立 【典例1】若，恒有，求实数的取值范围． 【解析】令， 当时，因，得，不满足题意； 当时，是增函数 ，是减函数， 当时，， 要使在时恒成立，应有， 即，解得，所以实数的取值范围是． 【评注】用数形结合法解决含参不等式恒成立问题需“双招”，第一招：转化和化归，即把“f(x)<g(x)恒成立”转化为“f(x)的图象在g(x)的图象下方”；第二招：草图不草，即画出函数f(x)与g(x)的图象，注意过关键点、渐近线等的勾勒. 【变式1】若，恒有，求实数的取值范围． 【变式2】若，恒有，求实数的取值范围． 【变式3】已知，若，恒有，求实数的取值范围． 【变式4】已知，若，恒有，求实数的取值范围． 【变式5】已知，若，恒有，求实数的取值范围． 【典例2】当时，若关于x的不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 【解析】作出函数在上的图像和直线， 并让恒过定点的动直线旋转分析， 可知：仅当时符合题意． 故实数的取值范围是． 【评注】“在上恒成立”等价于“在上的图象恒在的图象的上方” ． 【变式1】若对任意R，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】当时，关于x的不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 【变式3】若对任意的都成立，则的最小值为_______． 【变式4】若对上恒成立，求的最大值与的最小值． 3.3 函数覆盖问题需要两个熟悉的函数做支撑 【典例】设实数，使得不等式对任意的实数恒成立，则满足条件的实数的范围是_______． 【解析】对任意的实数恒成立，不等式转化为． 当1≤时，不等式显然成立； 当时，不等式对任意的实数恒成立的条件是， 函数的图像全部位于函数的图像的上方， 由解得或， 综上所述，实数的范围是． 【评注】如果直接画函数和的图象，则前者较为复杂．我们可以把不等式进行等价转化，变为，于是得到两个我们比较熟悉的函数：和． 【变式1】若对于任意正数，不等式成立，则实数a的取值范围是_______． 【变式2】若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是_______． 【变式3】若任意实数R，使得不等式成立（其中），求实数a的取值范围． 【变式4*】已知有实数解,求实数的取值范围. 4.分离变量法研究不等式恒成立问题 4.1 字母参数单独分离是分离变量法主要特征 【典例】对于任意的x∈R，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】 恒成立， 又，且易知函数在上单调递增， 故． 【评注】一般地，恒成立的不等式可以将字母单独分离，从而转化成，，，等形式，对应依次有，，，. 【变式1】若恒成立，且总有，则 若“，”是真命题，则实数m的最小值为_______． 【变式2】若恒成立，且总有，则 若“，”是真命题，则实数m的最小值为_______． 【变式3】若函数在上有意义，则的取值范围是_______． 【变式4*】已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是_______． 【变式5】已知函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 4.2分离变量不以单独的字母为分离目标 【典例1】关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【解析】因为关于的不等式对恒成立， 所以对恒成立， 设，所以． 又＞0时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为(－1,3)． 【评注】分离参数（变量），是指将参数和变量分在不等号的两边，如本题将含参的式子看成一个整体，分离成就可以求解了，这与前面的分离变量法特征的叙述并不完全相同，如，本质上是把问题转化为关于字母变量的不等式，进而求得参变量的取值范围． 【变式1】关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________． 【变式2】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_______． 【变式3】已知对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______． 【变式4】关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【典例2】设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，求实数的取值范围. 【解析】因为对一切成立, 所以，即. 当时，， 因此，解得．∴． 【评注】分离出来的字母变量，不是以单独的字母的形式出现，而是一个函数式，如，，，等形式，它们的解法都是先求出在给定的区间上的最值，总有，，，． 【变式1】设为正实数,,若对一切成立，则的取值范围为_____. 【变式2*】已知两个函数，，R，若对任意，都有成立，求的取值范围． 4.3 形如的不等式分离变量要分类讨论 【典例】当时, 不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】①当时，，故实数的取值范围是； ②当时，记，， 故函数递增，则，故； ③当时，，易知，则． 综上所述，实数的取值范围是． 【评注】在字母分离的过程中，不等式两边同时除以或含有的代数式，若两边同除的或含有的代数式有为零或者负数的情况，则需分类讨论． 【变式1】对一切实数x，若不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 【变式2】已知关于的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【变式3】若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式4】设函数，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4.4形如的不等式中函数的最值存在性 【典例*】对任意，不等式成立，则实数的取值范围是_______． 【解析】，，恒成立. 令，， 时,，所以递增, 其值域为, 故.所以实数的取值范围是． 【评注】字母取值范围必然涉及到区间的开与闭，起决定因素的是不等号以及函数最值的存在性。比如，的最小值是，则；当没有最小值，但接近一个常数,则． 【变式1】不等式对一切正实数均成立，求实数的取值范围. 【变式2】已知函数，若存在，使，求实数的取值范围. 【变式3】若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5.与正整数有关的不等式恒成立问题 5.1任意的与任意的的区别 【典例】已知函数()，若对于任意的N，恒成立，则a的取值范围是________． 【解析】由，变形得恒成立， 故． 又由双勾函数的图象可知：当时，取最大值，所以． 故a的取值范围是． 【评注】N说明自变量是连续的正整数，对应函数的图象也就是一些离散的点，可通过点的高低来比较函数值大小. 【变式1】若不等式对任意N恒成立，则a的取值范围是________． 【变式2】已知函数，若对于任意的N，恒成立，则实数的取值范围是________． 【变式3】已知函数，若对于任意的N，恒成立，则a的取值范围是________． 5.2 与的区别 【典例】已知函数，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 【解析】当时，函数在上是增函数，不满足题意； 当时，依题意有即，解得． 【评注】运用数列的单调性研究数列的最值问题，只须研究与最值相邻的那几项与最值项的关系． 【变式1】函数，若对于任意的，都有，则实数的值是________． 【变式2】函数，若对于任意的，都有，则实数的值是________． 【变式3】函数，若对于任意的，都有，则实数的取值范围是________． 【变式4】函数，若对于任意的，都有，则的取值范围是________． 5.3 奇偶分析法应对含有的不等式恒成立问题 【典例】若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】(1) 当是正奇数时,不等式化为 即，因此有， 设，且为递增数列，， 此时； (2) 当是正偶数时，即， 因此有，由基本不等式得=25 （当且仅当时，取等号），此时． 综上，实数的取值范围是． 【评注】当不等式中含时，要根据正整数的奇偶分两类讨论，最后取二者的交集可得参数的取值范围． 【变式1】若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是______． 【变式2】若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【变式3】不等式对任意的正整数恒成立，则实数的取值范围为________． 5.4 形如的不等式恒成立等价于 【典例】已知函数与，若，使成立，求实数的取值范围． 【解析】，都有恒成立． 即，使恒成立， 令， , 则． 又，得和， 且， ，，所以. 因此． 【评注】不等式恒成立，即证．也可转化为不等式恒成立，可构造新函数，即． 【变式1】若已知函数与，若，使不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【变式2】设函数，，若对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是________． 【变式3*】已知函数，，若对于，恒成立，则的取值范围为________． 【变式4】已知有实数解,则实数的范围是________． 【变式5】证明：对于一切,都有． 6. 变换主元法处理不等式恒成立问题 6.1已知字母范围求的范围常用变换主元法 【典例】已知不等式． (1)是否存在,使对于所有的实数，不等式恒成立，若存在，求出的取值范围； (2)设不等式对于满足的一切的值都成立，求符合题意的的取值集合． 【解析】 (1)不等式恒成立，即函数的图象全部在轴的下方． 当时，，不满足恒成立； 当时，要使恒成立， 需无解； 综上可知，不存在这样的． (2)设，则为一个以为自变量的一次函数， 由题意可知，当时，的图象应为在轴下方的线段， 所以即 解(1)得或；解(2)得． 由(1)(2)得 所以的取值集合是． 【评注】常见的恒成立问题都是“主元在某个区间上不等式恒成立，求字母的范围”，但是上述问题是“已知字母范围，求的是主元的范围”．此类问题，我们只需要变换一个角度，把字母看成是主元就行了，这就是变换主元法． 【变式1】已知对于满足所有实数，不等式恒成立，则取值范围是________． 【变式2】对于满足所有实数p，则使不等式恒成立的取值范围是________． 【变式3】若任意，使得不等式恒成立，则实数x取值范围是________． 【变式4】已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________． 6.2建立辅元的一次函数是变换主元最常见的类型 【典例】若对一切，不等式恒成立，则实数x的取值范围是________． 【解析】原不等式变形为， 令，则在时恒成立， 所以 解得或，故或， 即． 【评注】当字母参数的范围是已知的，求主元的范围，均可辅元“客为主”，构造以辅元为自变量的函数，而新函数作为拥有单调性的一次函数是最为常见的．如，已知实数， 若恒成立，构造关于的一次函数，问题等价于不等式在上恒成立，且由于一次函数在区间上总是单调的，最小值只有两种可能，只需要同时满足即可． 【变式1】若对于任意，函数的值恒大于0，则实数x的取值范围是________． 【变式2*】已知不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围． 6.3不优先使用“分离参数法”解题的两种情况 【典例1*】已知，如果关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】令，由题意，只需要． ， 由，得， 当时，，在区间上，，是减函数， ，不满足题意； 当时，，在上恒有，是增函数， ，满足题意. 综上，实数的取值范围是． 【评注】有些题目，虽然可以分离参数，但是比较复杂，体现在两个方面，一是分离参数时需要讨论，二是分离后函数的最值难以求出． 例如本题，化为，若要分离参数，需要分两种情况讨论，在时，分离为，函数的最大值较复杂。在这种情况下，我们可以不去分离参数，把不等式整理为，转化为去求解． 【变式1*】已知，如果对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【变式2*】关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 【变式3*】已知， 当时，关于的不等式恒成立，求整数的最大值． 【典例2*】已知，其中是实数且，若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【解析】由知，， 由此得在上是减函数，在上是增函数， 所以的最小值是． 根据题意，又，解得， 所以实数的取值范围是． 【评注】本题中，参数与变量无法分离开来，只好直接求的最小值，转化为． 【变式1】已知关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【变式2】已知，函数，，若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 7. 不等式有解与存在性问题 7.1 形如有解等价于 【典例】若存在，不等式成立，则实数的取值范围是________． 【解析】当时，不符题意；设， 当时，其图像是对称轴为的抛物线，依题意得抛物线上有点在轴下方，所以有或，解得， 所以实数的取值范围是. 【评注】形如有解，也就是至少存在一个，使得成立，当然多者不限；而恒成立，对于任意的总有成立． 【变式1】若不等式在区间有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】若存在实数，使得关于的一元二次不等式成立，求实数a的取值范围. 7.2 形如的不等式有解等价于 【典例1】若存在，不等式成立，则实数的取值范围是________． 【解析】不等式，由题意得， ，所以. 所以实数的取值范围为. 【评注】形如的不等式有解，也就是至少存在一个，使得成立，当然多者不限；而恒成立，对于任意的总有成立． 【变式1】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【变式2】若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【变式3】若存在实数，使得关于的不等式成立，求实数a的取值范围. 【典例2】已知函数设，若使，求的取值范围． 【解析】若使，即成立， 设， 则． 故的取值范围为． 【评注】“存在，不等式”和“存在，不等式”一致，都等价于“存在，不等式”. 【变式1】设函数，，若存在，使得不等式成立，则正数的取值范围是________． 【变式2】若已知函数与，若，使不等式成立，则实数的取值范围是________． 7.3 形如的不等式有解等价于 【典例】若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 ． 【解析】设，所以的图象 如图所示，所以，所以，解得或． 【评注】若存在有解（即能成立） 【变式1】若存在实数，使得不等式成立，求实数a的取值范围. 【变式2】若存在实数，使得关于的不等式成立，求实数a的取值范围. 【变式3】若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围. 7.4 补集法将存在性问题转化为恒成立问题 【典例】若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是________． 【解析】如果，不等式成立，，，所以． 因此，若存在，使不等式成立， 则实数的取值范围. 【评注】命题“存在，使成立”的否定是：“对任意，恒成立”，据此可以把存在性问题转为恒成立问题．如本题，先求“，不等式成立”时实数的取值范围，取其补集就得所求的实数的取值范围． 【变式1】若存在实数，使得关于的一元二次不等式成立，求实数a的取值范围. 【变式2*】已知函数，在区间内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围． 【变式3*】已知函数与，若，得成立，求实数的取值范围． 8. 含有“任意”与“存在”型问题 8.1比较最值大小解决形如的不等式 【典例1】已知，，若对任意，任意，都有成立，求实数m的范围． 【解析】记的值域为A，则A=[0，2]，记g(x)的值域为B，则B=[1-m，4-m]， 由题意，任意，恒成立得， 又任意且，得， 所以，即 【评注】若对任意，（即恒成立），用语言叙述：对任意所对应的函数值总是不超过任意所对应的函数值，简单说就是所有的总是不超过所有，因此． 【变式1*】设函数，，若对任意，不等式恒成立，求正数的取值范围． 【典例2】已知，，若对任意，总存在，都有成立，求实数m的范围． 【解析】记的值域为A，则A=[0，2]，记g(x)的值域为B，则B=[1-m，4-m]， 任意，恒成立得， 总存在使得成立，从而， 所以0≥1-m，即m≥1，所以实数m的范围是． 【评注】对于函数，，若对任意，存在，使得成立，用语言叙述就是：至少存在一个，使得大于的所有取值，当然多者不限，因此．同理，对于函数，，若对任意，存在，使得成立． 【变式1】已知f(x)=x2，g(x)=2x-m，若存在x1[-1，]，对任意x2[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围． 【典例3*】设函数，，若存在，使得不等式成立，则正数的取值范围是________． 【解析】存在，使得不等式成立， 即， ，， 得，解得. 【评注】若存在，有解（即能成立），用语言叙述就是：至少存在一个，使得至少小于的一个值，当然多者不限，因此 【变式1】已知f(x)=x2，g(x)=2x-m，若存在x1[-1，]，存在x2[0，2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围． 【变式2】已知函数，，其中.若存在，，使得成立，求实数的取值范围. 8.2板砖分析法处理含双量词的不等式恒成立问题 【典例】已知函数和，若任意满足，，都有，求的取值范围． 【解析】，解得． 若，； 若，． 当时，在上单调递增，在上单调递减，又， 所以．当时，． 故由题设不等式恒成立得，解得. 【评注】不等式恒成立，可以理解为定义域均为时，函数值域中的最大值不超过值域的最小值．通过条形图来理解位置的高低变化，可以形象地解决任何双变量问题． 【变式1】若任意，都有值域的“顶”不超过值域“底” 已知函数，，其中．若对任意，，都有成立，则实数的取值范围是________． 【变式2】若，总有值域的“顶”不超过值域“顶” 已知函数，，其中．若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________． 【变式3】若，使得值域的“底”不超过值域“顶” 已知函数，，其中．若存在，，使得成立，则实数的取值范围是________． 【变式4】已知函数，，若对任意，当时，恒成立，求实数b的取值范围。 【变式5】对任意的 不等式恒成立 已知两个函数，．若对任意都有，求实数的取值范围． 8.3根据值域关系解决形如的等式成立 【典例】已知函数，，其中．若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】对任意，总存在，使得成立在上的值域是在上值域的子集，因为，易求在上的值域是．又，，故有在上增，在上减，所以在上值域是． 所以，即，解得．所以实数的取值范围是． 【评注】对于函数，，不妨设对应的函数值构成的集合为，构成的集合为B．若对任意，总存在，使得成立．这个条件的本质含义是：对中任意一个元素，都有，根据子集的定义知． 若存在，存在，使得成立，只要、中分别存在一个元素和，使得就可以了，即． 【变式1】若，总有值域为值域的子集．“你的都是我的” 已知函数，，对于任意都能找到，使得，则实数的取值范围是________． 【变式2】已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果使得，则实数的取值范围是________． 【变式3】已知f(x)=x2，g(x)=2x-m，若对任意x1[-1，]，总存在x2[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数m的取值范围是________． 【变式4】使得有解你中有我，我中有你 若实数，存在满足方程，则实数的取值范围是________． 【变式5】已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是________． 【变式6】已知f(x)=x2，g(x)=2x-m，若存在x1[-1，]，存在x2[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围． 8.4利用最值之差处理形如的不等式 【典例1*】已知函数，其中．若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 【解析】对任意，总有恒成立， 只需要满足即可． 求导易得在上，，． 故有，解得实数的取值范围是． 【评注】对任意，的最大值是，所以恒成立，等价于．于是问题转化为求函数的最值或值域． 【变式1】已知函数，其中．若对任意，总有恒成立，求实数的取值范围． 【变式2】已知函数，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【变式3】已知函数，其中是常数，若在区间上是减函数，且对任意，总有，求实数的取值范围． 【典例2】 已知，函数=.若对任意，对任意都有，求的取值范围. 【解析】任意都有， 只需要 当时，，， 所以在上单调递减． 函数在区间上的最大值与最小值分别为，． 即， 对任意成立． 因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为． 【评注】本题含有两个恒成立，首先是恒成立转化为，根据函数的单调性求出最值，列出不等式，并化简为；其次是不等式对任意恒成立．只需要，利用二次函数的单调性求解就可以了． 【变式1】已知，函数=.对任意都有，求的取值范围. 【变式2】已知，函数.，若存在，对任意都有，求的取值范围. 【变式3】已知，函数.若对任意，对任意都有，求的取值范围. 【典例3】已知，函数求证：对于任意的实数，在闭区间上，总存在两个实数，使得成立. 【解析】证明：由题意，因关于对称， 至少时，在闭区间上总存在两个实数， 使得成立． 取，，，得， 可见，在闭区间上， 总存在两个实数，使得成立． 【评注】我们称为函数区间上的“身高”，再由t的任意性可知，只需要证明：函数在区间上的“身高”“最矮”时满足题意即可。根据二次函数的对称性不难得到，当区间关于抛物线的对称轴对称时，“身高”“最矮”． 【变式1】若函数对任意实数t，在闭区间上，总存在两个实数，使得成立，则实数的最小值为________． 8.5控制变量法研究多变量型问题 【典例1】已知函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围是________． 【解析】关于的一次函数，对任意的，不等式恒成立，则 即．因此不等式在上恒成立，因为在区间上是减函数，的最大值是，只要即可，所以． 【评注】本题含有两个参数，首先变换主元，控制主元作为常数，得到关于的一次函数，利用不等式在上恒成立从而消灭，然后控制变量，得到不等式，利用的范围，得到字母的取值范围． 【变式1】已知不等式， ,恒成立，则实数的范围是________． 【变式2】若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值是________． 【变式3】设，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式4】已知，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式5】的最大值是 已知，若对任意恒有成立，求实数的取值范围． 【典例2】已知函数，总存在，使，则实数的范围是________． 【解析】函数是单调减函数，在上的最大值是， 即恒成立． 而，恒成立， 则，所以． 【评注】由于函数是单调的，故先控制变量，得到存在性问题：存在，使，即，消灭；在控制变量，利用获得实数的范围．注意想得到说的范围就控制谁，作为常数或者字母． 【变式1】设，若对于任意的，都存在满足方程，这时的取值范围为________． 【变式2】含有多变量的不等式转化为两个函数的最值问题 设实数，若对于任意的，都存在满足,求此时的取值范围________． 8.6含有逻辑联结词的不等式恒成立 【典例】已知，．若同时满足条件：①R，或；②，，求实数的取值范围． 【解析】作出的图象，它为上的增函数，且过点， 当时，，当时，． 故由，或可知，当时，应有． 所以函数的图象需开口向下，且两根均小于1， 即，解得． 又由，可知 当，存在， 从而只需两根中的较小根小于， 又，即解得. 综上可知，． 【评注】“或命题”的真假为 “一真即真，全假才假”，或恒成立即至少保证一个函数满足要求；“且命题”则是“一假即假，全真才真”，应先确定其中一个函数的符号，从而推测另一个函数的符号． 【变式1】已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是________． 【变式2】已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是________． 【变式3】已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是________． 9. 不等式恒成立的两种特殊的处理方法 9.1 “符号法则”数形结合处理不等式恒成立 【典例】 若关于x的不等式对任意的x＞0恒成立，则实数a的取值范围是________． 【解析】对任意的x＞0恒成立， 所以函数与在相同定义域内同号. 令，则，解得， 函数图像经过，所以函数图像也必过该点， 则， 所以，故实数a的取值范围是． 【评注】如果函数和在某个区间上满足，那么它们在该区间上应该是相互制约的，符号相同． 【变式1】两个一次函数满足在以为端点的区间上恒成立，则且单调性相反 若不等式对任意恒成立（其中），则实数的取值范围是________． 【变式2】一次函数与二次函数满足恒成立，则抛物线和直线在轴上交于同一个点且两侧单调性相同． 已知时，均有，则实数的值为________． 【变式3】已知时，均有，则实数的值是________． 【变式4】已知函数，，对任何实数均有或，求实数的取值范围________． 【变式5】设对任意恒成立，其中、是整数，则的取值的集合为________． 9.2 两边夹原理处理不等式恒成立问题 【典例】函数定义域为D，若对于时，都有,则称为D上非减函数．设为定义在[0,1]上的非减函数，且满足以下三条件：①，②，③当时，恒成立，则________． 【解析】因为且定义域为[0,1]， 所以令,得， 又时，，所以， 由为非减函数，得, 即时，恒有， 故1-+． 【评注】在不等式中，我们常常遇到在“不等”中求“等”问题，此类问题的解决可借助微积分中极限的两边夹定理的变形形式来解决．其定理为．类似地可得到一个相似性质，若则，我们称之为“两边夹原理”． 【变式1】函数奇偶性是________． 【变式2】条件预支是两边夹的主要手段 设，若时恒有，则________． 【变式3】方向归一是两边夹的本质特征 已知数列中，，，，则________. 【变式4】在“不等”中“夹”得相等，再在“等”中生“变” 已知关于m的方程有实根,则的范围为________． 【变式5】利用正余弦函数有界性夹逼，从“不等”中求“等” 已知三角形ABC中，AC=4，,则的内切圆半径为________． 【变式6】由范围变定值是两边夹的外显特征 关于的不等式对任意恒成立，求实数的值________． 【变式7】两边夹思想与方程思想巧结合 已知函数，若恒成立,求的值． 【变式8】定义在上的函数满足：；；；，求. 9.3提前预支法求解不等式恒成立问题 【典例*】已知函数在上是单调增函数，求实数的取值范围． 【解析】问题转化为在上恒成立， 因为， 所以，即， 令 ， 因为在上恒成立， 所以有，即． 当时，显然满足题意； 当时，的图象是开口向下的抛物线， 要使在上恒成立， 需满足即，解得． 所以实数的取值范围是． 【评注】本题先用，得到了使结论成立的必要条件，下面我们只需要在这个条件下进行求解就可以了，简化了讨论的情况．当我们在解决较复杂的问题时，可以先将区间内的一个或几个值代入，先得到参数的一个初步范围（如本题先得到了），然后在这个范围内再求解，这样可以使解题变得简捷． 【变式1*】已知，若函数在上的最大值为2，求实数的值. 【变式2】已知，不等式恒成立，求实数t的取值范围． 【变式3*】缩小范围则可利用端点值导数符号先求出参数的一个初步范围 已知函数.若当时，，求的取值范围. $