第31讲 平面向量基本定理及坐标表示 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示，涵盖基本定理、坐标运算、共线条件等高考核心考点，按基础回顾-必备知识-分题型（基本定理应用、坐标运算、共线求坐标与参数）的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破向量分解与坐标运算难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以题型突破为特色，如平面向量基本定理应用中强调基底选择与向量分解，培养学生数学思维；坐标运算结合共线条件解决参数问题，提升数学语言表达能力。课时精练分层设计（选择、多选、填空、解答），配合即时反馈，保障复习效果，助力教师精准把控节奏，有效提升学生向量综合应用与应考能力。

第31讲 平面向量基本定理及坐标表示 题型一 平面向量基本定理的应用 2 题型二 平面向量的坐标运算 4 题型三 利用向量共线求向量或点的坐标 6 题型四 利用向量共线求参数 8 课时精练 9 【基础回顾】 知识点1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解． 知识点3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 知识点4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 【必备知识】 1.中点坐标公式：已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 2.重心坐标公式：已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 题型一 平面向量基本定理的应用 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：确定一个基底，把其他向量用基底表示，再通过向量系数的运算来解决． 提示： (1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． 【例题精讲】 1．如果{，}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（　　） A．，2 B．2，2 C．3，62 D．，3 2．已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且，，则（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，△ABC中，2，点E是线段AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 4．如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则4x+y＝（　　） A．4 B．3 C． D．5 5．在平行四边形ABCD中，若点E满足，DE与AC交于点M，，则x+y＝（　　） A． B． C． D． 6．如图，△ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AD上靠近A的三等分点，若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 7．如图，有两个正六边形，G为BC的中点．若，则x+y＝（　　） A．﹣2 B．2 C． D． （多选）8．如图，△ABC中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．S△BFD：S△AFB＝1：3 （多选）9．设平面向量的夹角为，若，且，则（　　） A．当x+y＝1时，A，B，C三点共线 B．当时，OC平分∠AOB C．当时，x+y的最大值为2 D．当时，xy的取值范围为 （多选）10．如图，直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），且与边AB，AC交于点P，Q且，直线l将△ABC分成两部分分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则以下结论正确的是（　　） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 题型二 平面向量的坐标运算 1．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 2．向量坐标运算的注意事项 (1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算． 【例题精讲】 1．已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则λ＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．已知（﹣1，0），，（λ）⊥，则λ＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 4．已知向量，若，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 5．已知向量，若，则λ＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．已知向量，若，则（　　） A． B． C． D． 7．已知向量，若，则（　　） A． B． C．（λ﹣5）（μ﹣10）＝49 D．（λ﹣5）（μ﹣10）＝50 （多选）8．已知向量（1，t），，则（　　） A．存在t∈R，使得∥ B．的最小值为2 C．若t＝1，则 D．与的夹角为锐角 （多选）9．已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．若，则μ﹣λ＝2 （多选）10．已知向量，，，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．存在θ，使得 C．向量是与共线的单位向量 D．在上的投影向量为 题型三 利用向量共线求向量或点的坐标 利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值． 提示： (1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0. (2) 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 【例题精讲】 1．已知向量（﹣2，4），（2，x），若∥，则||＝（　　） A． B． C． D． 2．已知向量，，，λ，μ均为实数，且，，则（　　） A．25 B．16 C．5 D．4 3．已知向量，，若，则（　　） A． B． C． D． 4．已知，，若，则（　　） A． B．5 C． D．10 5．已知向量，，，若，，则x﹣y＝（　　） A．2 B．﹣2 C．18 D．﹣18 6．已知向量，，若，则（　　） A． B． C．2 D． 7．已知（1，m﹣1），（m，2），则“m＝﹣1”是“∥”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （多选）8．已知向量，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则x+3y＝0 B．若，则3x+y＝0 C．若，则x﹣3y＝0 D．若，则3x﹣y＝0 （多选）9．已知，，，则（　　） A．若x＝0，则存在唯一的实数p，q，使得 B．若x＝1，则 C．若x＝4，则 D．若x＝1，则在上的投影向量为 （多选）10．已知向量，，则（　　） A．当x＝2时，∥ B．的最小值为﹣5 C．当x＝0时， D．当时， 题型四 利用向量共线求参数 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 【例题精讲】 1．已知向量（m，1﹣3m），（﹣4，10），且∥，则m＝（　　） A．2 B． C． D． 2．已知向量（3，﹣1），（﹣2，1），（﹣1，2），若λ与平行，则λ＝（　　） A． B． C．﹣1 D．1 3．已知向量，，．若A，B，C三点共线，则k＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．已知向量，若，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4 5．已知向量，若，则m＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．8 6．已知向量（x2+m，y）（m＞0），（y，），当∥时，y2有最小值m+1，则m＝（　　） A． B． C．1 D．2 7．若平面向量（x﹣1，﹣1）与（y，2）平行，则4x+2y的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D． （多选）8．下列说法正确的有（　　） A．（2+x）n的展开式中所有项系数的和为729，则n＝5 B．已知，则 C．已知向量，若∥，则m的值为2 D．已知正数a，b满足a+2b＝4，则2a+4b≥8 （多选）9．已知向量（1，﹣3），（2，﹣1），（m+1，m﹣2）．若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　） A．﹣2 B． C．1 D．﹣1 （多选）10．已知向量，，则（　　） A．若，则 B．若，则m＝﹣2 C．若，则m＝﹣2或3 D．若m＝1，则与的夹角为135° 课时精练 一．选择题 1．已知平面向量，则（　　） A．（0，﹣5） B．（8，7） C．（0，5） D．（8，5） 2．已知向量，若，则（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则tanα＝（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 4．已知平面向量，，若，则λ＝（　　） A． B． C． D． 5．已知平面直角坐标系xOy中，，，C（3，4），则的取值范围是（　　） A．[15，35] B．[﹣15，35] C．[16，36] D．[﹣16，36] 6．已知平面向量，，且，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则3x+y＝（　　） A．3 B．4 C． D．5 8．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，P为线段BN上一点，若，则m＝（　　） A． B． C． D． 二．多选题 （多选）9．已知向量（1，2），（1，﹣1），则（　　） A．|| B．2（3，0） C．cos〈，〉 D．在上的投影向量的坐标为 （多选）10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（　　） A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则λ＝0 （多选）11．在△ABC中，为线段BD上一点，且有，则下列命题正确的是（　　） A．λ+μ＝1 B．λ+3μ＝1 C．λμ的最大值为 D．的最小值为 三．填空题 12．已知平面向量（1，2），（3，x），若，则x＝　　 ． 13．已知向量　5　 ． 14．已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若． （1）λ的取值范围是 　 ； （2）当λ+μ取得最大值时，　 ． 四．解答题 15．记向量（cosx，），（sinx，cos2x），x∈R，记函数f（x）． （1）求f（x）的最小正周期． （2）求f（x）在的最大值和最小值． 16．已知向量（1，2），（2，﹣2）， （1）设，求（）． （2）若与垂直，求λ的值． （3）求向量在方向上的投影． 17．已知，． （1）若，且，求λ，μ的值； （2）若，且，求的坐标． 18．已知平面向量，． （1）求； （2）若，求与夹角的余弦值． 19．如图，在等边△ABC中，AB＝3，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． （1）设，试用表示； （2）设，求的最小值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 平面向量基本定理及坐标表示 题型一 平面向量基本定理的应用 2 题型二 平面向量的坐标运算 9 题型三 利用向量共线求向量或点的坐标 13 题型四 利用向量共线求参数 18 课时精练 21 【基础回顾】 知识点1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解． 知识点3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 知识点4．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 【必备知识】 1.中点坐标公式：已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 2.重心坐标公式：已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 题型一 平面向量基本定理的应用 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：确定一个基底，把其他向量用基底表示，再通过向量系数的运算来解决． 提示： (1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． 【例题精讲】 1．如果{，}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（　　） A．，2 B．2，2 C．3，62 D．，3 【答案】C 【解答】解：由共线向量基本定理知，选项A，B和D中的两个向量均不共线，故可以作为平面的基底， 因为3（62），即3与62共线，所以选项C中的两个向量不能作为一个基底． 故选：C． 2．已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，，， ∴， 故选：D． 3．如图所示，△ABC中，2，点E是线段AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示，△ABC中，2，点E是线段AD的中点， 则 （） ． 故选：C． 4．如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则4x+y＝（　　） A．4 B．3 C． D．5 【答案】D 【解答】解：设，，线段DE与BC交于点F，且， 故，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为D，E，F三点共线，所以， 故4x+y＝5． 故选：D． 5．在平行四边形ABCD中，若点E满足，DE与AC交于点M，，则x+y＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：平行四边形ABCD中，，DE与AC交于点M， 则， 所以，（）， ，则x+y． 故选：C． 6．如图，△ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AD上靠近A的三等分点，若，则λ+μ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AD上靠近A的三等分点， 可得， 又， 则λ，μ， 则λ+μ， 故选：B． 7．如图，有两个正六边形，G为BC的中点．若，则x+y＝（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：连接CK，JB， 设大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1， 则△CGK为边长为1的正三角形， 所以JC＝2，JB＝2， 由正六边形的性质可知JC∥AF，J，B，A三点共线， 则 ， 又因为， 所以x＝﹣3，y＝1， 所以x+y＝﹣3+1＝﹣2． 故选：A． （多选）8．如图，△ABC中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．S△BFD：S△AFB＝1：3 【答案】ACD 【解答】解：对于A：因为， 所以，即A正确； 对于B：设，， 由选项A知，， 所以， 因为，即点F是BE的中点， 所以， 所以，解得λ，μ， 所以，， 所以，即B错误； 对于C：， ， ， 所以，即C正确； 对于D：由上可知，， 所以S△BFD：S△AFB＝|FD|：|AF|＝1：3，即D正确． 故选：ACD． （多选）9．设平面向量的夹角为，若，且，则（　　） A．当x+y＝1时，A，B，C三点共线 B．当时，OC平分∠AOB C．当时，x+y的最大值为2 D．当时，xy的取值范围为 【答案】ABD 【解答】解：对于A，当x+y＝1时，， 由平面向量基本定理，可得A，B，C三点共线，故A正确； 对于B，如图， 当时，即，所以 ， 整理，得，故A，B，C三点共线，且， 过点C作CD∥OA，交OB于点D，则， 因为，，所以，故CDDB＝OD， 则∠DOC＝∠DCO，由CD∥OA可得∠AOC＝∠DCO，则∠AOC＝∠DOC，故OC平分∠AOB，即B正确； 对于C，如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，因为的夹角为， 所以A（1，0），，因，不妨设C（cosθ，sinθ）， 由可得，故得， 解得，故， 其中，故x+y的最大值为，故C错误； 对于D，根据C项建系，已得， 则 ， 因，故得，即xy的取值范围为，故D正确． 故选：ABD． （多选）10．如图，直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），且与边AB，AC交于点P，Q且，直线l将△ABC分成两部分分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则以下结论正确的是（　　） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【解答】解：因为G是三角形ABC的重心， 所以， 因为G，P，Q三点共线，所以，则，故B正确，A错误， 又由题意可知λ∈（0，1]，μ∈（0，1]， 所以3，当且仅当，即λ＝μ时取等号， 所以，又因为λμ＜1，所以， 因为S，S， 所以四边形PQCB的面积SPQCB＝S△ABC﹣S△APQ， 所以1， 即四边形PQCB的面积与三角形APQ的面积的比值的最大值为，故C正确，D错误， 故选：BC． 题型二 平面向量的坐标运算 1．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 2．向量坐标运算的注意事项 (1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算． 【例题精讲】 1．已知向量，，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由，得， 则， 向量，， 故m﹣2（m﹣1）＝0，解得m＝2， ∴， 故． 故选：C． 2．已知向量，，若，则λ＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：向量，， 则（1+λ，﹣1+λ），， 若， 则0+2（﹣1+λ）＝0，解得λ＝1． 故选：C． 3．已知（﹣1，0），，（λ）⊥，则λ＝（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解答】解：（﹣1，0），， 则（﹣1+λ，λ）， （λ）⊥，则（﹣1+λ）+0＝0，解得λ＝1． 故选：B． 4．已知向量，若，则x的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 【答案】B 【解答】解：向量， 则， 因为，所以42+（4+x）2＝（x﹣4）2，得x＝﹣1． 故选：B． 5．已知向量，若，则λ＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：因为向量， 所以（1﹣λ，1+λ），（0，2）， 因为， 则， 即0+2（1+λ）＝0， 解得λ＝﹣1． 故选：A． 6．已知向量，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为向量，即， 所以﹣3x+6＝0，解得x＝2． 故22（﹣3，1）+（2，6）＝（﹣4，8）， 可得4． 故选：D． 7．已知向量，若，则（　　） A． B． C．（λ﹣5）（μ﹣10）＝49 D．（λ﹣5）（μ﹣10）＝50 【答案】C 【解答】解：由题可得， 由，得（2+λ）（2μ+1）+（1﹣3λ）（μ﹣3）＝0，即λμ＝10λ+5μ﹣1， 因此，（λ﹣5）（μ﹣10）＝λμ﹣10λ﹣5μ+50＝﹣1+50＝49，ABD错误，C正确． 故选：C． （多选）8．已知向量（1，t），，则（　　） A．存在t∈R，使得∥ B．的最小值为2 C．若t＝1，则 D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【解答】解：已知向量（1，t），， 若1（﹣1）×t＝0，则t0，此时t不存在，即不平行，A错误； （0，t），则||＝|t|≥2，当且仅当t2＝1时取等号，B正确； 若t＝1，则（0，2），（2，0），则0， 所以（），C正确； （1，2t），（﹣1，），显然不共线， 因为﹣110，即夹角为锐角，D正确． 故选：BCD． （多选）9．已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．若，则μ﹣λ＝2 【答案】ACD 【解答】解：，A正确； 因为，所以，B错误； 因为， 所以cos，C正确； ， 所以，解得λ＝﹣1，μ＝1， 则μ﹣λ＝2，D正确． 故选：ACD． （多选）10．已知向量，，，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．存在θ，使得 C．向量是与共线的单位向量 D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【解答】解：对于A，∵，∴，∴， 故A错误； 对于B，∵，∴|2， ∴，∴，∴， 由A知，∵0⩽θ⩽π，∴，故B正确； 对于C，与共线的单位向量为，故C正确； 对于D，在上的投影为，由于向量的模为1，故投影向量为，D正确． 故选：BCD． 题型三 利用向量共线求向量或点的坐标 利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路 求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值． 提示： (1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0. (2) 当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 【例题精讲】 1．已知向量（﹣2，4），（2，x），若∥，则||＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：向量（﹣2，4），（2，x），∥， 可得，解得x＝﹣4， 则||2． 故选：A． 2．已知向量，，，λ，μ均为实数，且，，则（　　） A．25 B．16 C．5 D．4 【答案】C 【解答】解：因为向量，，，且，， 所以4+λ＝0，2μ＝﹣4，得λ＝﹣4，μ＝﹣2， 所以， 故． 故选：C． 3．已知向量，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：向量，，， 则﹣2x＝4×1，解得x＝﹣2， 所以， 故． 故选：C． 4．已知，，若，则（　　） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【解答】解：由，可得﹣6t＝﹣32，解得， 所以， 则． 故选：C． 5．已知向量，，，若，，则x﹣y＝（　　） A．2 B．﹣2 C．18 D．﹣18 【答案】B 【解答】解：，，，则﹣3x＝3，解得x＝﹣1， ，，，则3×1+（﹣3）×y＝0，解得y＝1， 所以x﹣y＝﹣2． 故选：B． 6．已知向量，，若，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：由向量，，， 可得2x（x﹣2）﹣（﹣1）×2＝0，即x2﹣2x+1＝0．解得x＝1． 所以， 则． 故选：D． 7．已知（1，m﹣1），（m，2），则“m＝﹣1”是“∥”的（　　） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：因为，，且， 所以m（m﹣1）﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1， 由“m＝﹣1”能推出“m＝2或m＝﹣1”成立， 由“m＝2或m＝﹣1”不能推出“m＝﹣1”成立， 所以“m＝﹣1”是“∥”的充分不必要条件． 故选：A． （多选）8．已知向量，，则下列结论正确的是（　　） A．若，则x+3y＝0 B．若，则3x+y＝0 C．若，则x﹣3y＝0 D．若，则3x﹣y＝0 【答案】AD 【解答】解：向量，， 若，则3y＝﹣x，即x+3y＝0，所以A正确，B错误； 若，则3x+（﹣1）y＝0，即3x﹣y＝0，所以D正确，C错误． 故选：AD． （多选）9．已知，，，则（　　） A．若x＝0，则存在唯一的实数p，q，使得 B．若x＝1，则 C．若x＝4，则 D．若x＝1，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解答】解：当x＝0时， 则， ，不共线，可以作为一组基向量， 由平面向量基本定理可知，存在唯一的实数p，q，使得，故A正确； 若x＝1， 则2×1+1×2＝4，故B错误； 若x＝4， 则，所以，故C正确； x＝1， 则， 故1，， 故在上的投影向量为：，故D正确． 故选：ACD． （多选）10．已知向量，，则（　　） A．当x＝2时，∥ B．的最小值为﹣5 C．当x＝0时， D．当时， 【答案】AC 【解答】解：，， 当x＝2时，，故∥，故A正确； ，x2+1+5x＝x2+5x+1， 其最小值为，故B错误； 当x＝0时，，则，，故C正确； 当时，，解得x，则，故D错误． 故选：AC． 题型四 利用向量共线求参数 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． 【例题精讲】 1．已知向量（m，1﹣3m），（﹣4，10），且∥，则m＝（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：向量（m，1﹣3m），（﹣4，10），且∥， 则﹣4（1﹣3m）＝10m，解得2m＝4，解得m＝2． 故选：A． 2．已知向量（3，﹣1），（﹣2，1），（﹣1，2），若λ与平行，则λ＝（　　） A． B． C．﹣1 D．1 【答案】B 【解答】解：由，， 得， 又（﹣1，2），且λ与平行， 所以（3λ﹣2）×2﹣（﹣1）×（﹣λ+1）＝0， 解得：． 故选：B． 3．已知向量，，．若A，B，C三点共线，则k＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解答】解：向量，，， 则，， 若A，B，C三点共线，则﹣2（k﹣1）＝1×2，解得k＝0． 故选：B． 4．已知向量，若，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4 【答案】A 【解答】解：因为，向量， 所以4m+4＝0，解得m＝﹣1． 故选：A． 5．已知向量，若，则m＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．8 【答案】D 【解答】解：∵向量，， ∴1×m﹣2×4＝m﹣8＝0，解得m＝8． 故选：D． 6．已知向量（x2+m，y）（m＞0），（y，），当∥时，y2有最小值m+1，则m＝（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：由向量（x2+m，y）（m＞0），（y，），∥， 可得：，即，解得m＝1． 故选：C． 7．若平面向量（x﹣1，﹣1）与（y，2）平行，则4x+2y的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解答】解：若平面向量（x﹣1，﹣1）与（y，2）平行， 则﹣y＝2（x﹣1），即2x+y＝2， 4x+2y＝22x+2y，当且仅当2x＝y＝1时，等号成立， 故4x+2y的最小值为4． 故选：B． （多选）8．下列说法正确的有（　　） A．（2+x）n的展开式中所有项系数的和为729，则n＝5 B．已知，则 C．已知向量，若∥，则m的值为2 D．已知正数a，b满足a+2b＝4，则2a+4b≥8 【答案】CD 【解答】解：对于A，令x＝1代入得3n＝729，解得n＝6，故A错误； 对于B，因为， 所以 ，故B错误； 对于C，因为向量，所以，， 因为，所以4（1+2m）＝5（2+m），解得m＝2，故C正确； 对于D，因为正数a，b满足a+2b＝4， 所以，当且仅当，即a＝2，b＝1时取等号，故D正确． 故选：CD． （多选）9．已知向量（1，﹣3），（2，﹣1），（m+1，m﹣2）．若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　） A．﹣2 B． C．1 D．﹣1 【答案】ABD 【解答】解：若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线． ∵（2，﹣1）﹣（1，﹣3）＝（1，2）， （m+1，m﹣2）﹣（1，﹣3）＝（m，m+1）． 假设A、B、C三点共线， 则1×（m+1）﹣2m＝0，即m＝1． ∴若A、B、C三点能构成三角形，则m≠1． 故A，B，D均正确，C错误． 故选：ABD． （多选）10．已知向量，，则（　　） A．若，则 B．若，则m＝﹣2 C．若，则m＝﹣2或3 D．若m＝1，则与的夹角为135° 【答案】BCD 【解答】解：A：若，则2m＝﹣3（m﹣1），解得，故A错误； B：若，则2（m﹣1）﹣3m＝0，解得m＝﹣2，故B正确； C：，令，解得m＝﹣2或m＝3，故C正确； D：若m＝1，，， 则． 因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 课时精练 一．选择题 1．已知平面向量，则（　　） A．（0，﹣5） B．（8，7） C．（0，5） D．（8，5） 【答案】C 【解答】解：因为，， 所以． 故选：C． 2．已知向量，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由，可得﹣2×x＝4×2，解得x＝﹣4， 故，则， 可得． 故选：A． 3．已知向量，若，则tanα＝（　　） A． B．2 C．﹣2 D． 【答案】D 【解答】解：因为． 所以4sinα﹣2（1﹣cosα）＝﹣2，化简得2sinα+cosα＝0， 所以sinαcosα，可得tanα． 故选：D． 4．已知平面向量，，若，则λ＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：，，， 则，解得． 故选：B． 5．已知平面直角坐标系xOy中，，，C（3，4），则的取值范围是（　　） A．[15，35] B．[﹣15，35] C．[16，36] D．[﹣16，36] 【答案】A 【解答】解：如图， 由，得OA⊥OB，△OAB是直角三角形，斜边|AB|＝2，取AB中点M， 可得， 即M在以原点O为圆心、半径r＝1的圆上． 根据向量极化恒等式，对任意△ABC，M为AB中点， 有 ，代入，得： ∵，M在O为圆心、半径1的圆上， ∴|OC|﹣r≤|CM|≤|OC|+r⟹4≤|CM|≤6， 即16≤|CM|2≤36，故． 故选：A． 6．已知平面向量，，且，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：由题可得：， 因为，则，即：． 解得：． 所以． 故选：C． 7．如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则3x+y＝（　　） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【解答】解：由题意得， 所以， 结合，，可得， 设，可得， 整理得， 因为、不共线，所以，消去λ可得，即3x+y＝4． 故选：B． 8．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，P为线段BN上一点，若，则m＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以， 因为P为线段BN上一点，所以存在λ∈R，使得， 即，整理得， 又因为，、不共线， 所以，，解得． 故选：D． 二．多选题 （多选）9．已知向量（1，2），（1，﹣1），则（　　） A．|| B．2（3，0） C．cos〈，〉 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解答】解：∵， ∴，A正确； ，B正确； ，C错误； 在上的投影向量的坐标为：，D正确． 故选：ABD． （多选）10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（　　） A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则λ＝0 【答案】AD 【解答】解：对于选项A，∵，， ∴，，， 则，故A正确； 对于选项B，在方向上的投影向量为，故B错误； 对于选项C，设与垂直的单位向量的坐标（x0，y0），则有， 解得或， ∴与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误； 对于选项D，显然与不共线， ∵（1﹣3λ，1+4λ），（1+3λ，1﹣4λ），且向量与向量共线， ∴（1﹣3λ）（1﹣4λ）﹣（1+3λ）（1+4λ）＝0， 解得λ＝0，故D正确． 故选：AD． （多选）11．在△ABC中，为线段BD上一点，且有，则下列命题正确的是（　　） A．λ+μ＝1 B．λ+3μ＝1 C．λμ的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解答】解：因为为线段BD上一点， 又3μ， 因为B，P，D三点共线， 故λ+3μ＝1，A错误，B正确； 1＝λ+3μ，当且仅当λ＝3μ，即，时取等号， 所以，C正确； 44+2， 当且仅当，即，λ时取等号，D正确． 故选：BCD． 三．填空题 12．已知平面向量（1，2），（3，x），若，则x＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：平面向量（1，2），（3，x）， 则（5，4+x）， 若， 则1×5+2（4+x）＝0，解得x． 故答案为：． 13．已知向量　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：因为（2，x），（3﹣2x，1）， 所以2（3﹣2x）+x＝3， 解得x＝1， 所以（2，1），（1，1）， 所以（4，3）， 所以||5． 故答案为：5． 14．已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，，若． （1）λ的取值范围是 　　 ； （2）当λ+μ取得最大值时，　　 ． 【答案】；． 【解答】解：（1）建立以A为原点的坐标系，如图所示： 由可得P的轨迹是以O（2，2）为圆心，1为半径的圆， 设P（x，y），则有（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1， 所以， 又因为， 所以， 由P的轨迹方程可知1≤x≤3， 即1≤4λ≤3，所以， 所以λ的范围为：； （2）将代入（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，得， 所以点（λ，μ）在圆上， 设， 则， 所以当时，λ+μ取最大值，此时， 所以， 所以， 所以． 故答案为：；． 四．解答题 15．记向量（cosx，），（sinx，cos2x），x∈R，记函数f（x）． （1）求f（x）的最小正周期． （2）求f（x）在的最大值和最小值． 【答案】（1）π； （2）最大值为1，最小值为． 【解答】解：（1）由题意得f（x）sinxcosxcos2xsin2xcos2x＝sin（2x）， 由三角函数的周期公式，可得f（x）的周期Tπ； （2）当x∈[0，]时，2x∈[，]， 结合正弦函数的性质，可知当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝sin（）， 当x时，f（x）有最大值f（）＝sin1， 综上所述，f（x）在的最大值为1，最小值为． 16．已知向量（1，2），（2，﹣2）， （1）设，求（）． （2）若与垂直，求λ的值． （3）求向量在方向上的投影． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（1，2），（2，﹣2）， ∴（4，8）+（2，﹣2）＝（6，6）． ∴2×6﹣2×6＝0， ∴（）00． （2）（1，2）+λ（2，﹣2）＝（2λ+1，2﹣2λ）， 由于与垂直， ∴2λ+1+2（2﹣2λ）＝0， ∴λ． （3）设向量与的夹角为θ， 向量在方向上的投影为|a|cosθ． ∴||cosθ． 17．已知，． （1）若，且，求λ，μ的值； （2）若，且，求的坐标． 【答案】（1），． （2）（6，3）或（﹣6，﹣3）． 【解答】解：（1）∵，， ，且， ∴，即； ，即； 由，且， 得（1，2）＝λ（2，1）+μ（4，﹣1），即（1，2）＝（2λ+4μ，λ﹣μ）， ∴，解得； （2）∵，∴， ∵，∴4k2+k2＝45，解得k2＝9，∴k＝±3， 则或． 18．已知平面向量，． （1）求； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题可得：． 则． （2）由题可得：， ， 设与夹角为θ，则． 19．如图，在等边△ABC中，AB＝3，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． （1）设，试用表示； （2）设，求的最小值． 【答案】（1）； （2）4． 【解答】解：（1）在等边△ABC中，AB＝3，由，得， 所以． （2）由， 因此，而M，O，N共线，则，m＞0，n＞0， 则， 由于， 当且仅当，即m＝n＝1时取等号， 所以的最小值是4． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $