第23讲 平面向量数量积及其应用讲义-2027届高三数学一轮复习

第23讲 平面向量数量积及其应用 内 容 导 航 知识点1 平面向量数量积的有关概念 知识点2 平面向量数量积的运算律 知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 知识点4 平面几何中的向量方法 知识点5 求平面向量的数量积 知识点6 平面向量的模长 知识点7 求数量积的取值范围问题 题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量数量积的性质及其运算 题型3 数量积表示两个平面向量的夹角 题型4 数量积判断两个平面向量的垂直关系 题型5 平面向量的投影向量 题型6 平面向量的综合题 题型7 平面向量在物理中的应用 题型8 利用正弦定理解三角形 题型9 正弦定理与三角形解的存在性和个数 题型10 正弦定理与三角形的外接圆 题型11 余弦定理 题型12 三角形中的几何计算 题型13 解三角形 知 识 点 通 关 知识点1 平面向量数量积的有关概念 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]. 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b共线且同向；当θ＝π时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ. 规定：0·a＝0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e. 【注意】设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 知识点2 平面向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a(交换律). （2）λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a与b的夹角． （1）数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. （2）模：|a|＝＝. （3）夹角：cos θ＝＝. （4）a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. （5）|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 知识点4 平面几何中的向量方法 （1）用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点5 求平面向量的数量积 方法技巧 计算平面向量数量积的方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积. (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 知识点6 平面向量的模长 方法技巧 求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2； ②几何法：利用向量的几何意义. 知识点7 求数量积的取值范围问题 方法技巧 数量积最值（范围）的解法 （1）坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理. （2）向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决. 考 点 演 练 题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 【典例1】已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1】设向量，满足||＝2，||，则•等于（　　） A． B．2 C．3 D．5 题型2 平面向量数量积的性质及其运算 【典例1】如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，点E在AD上，且DE＝2AE．则（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知P是函数的图象上的任意一点，过P分别向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 题型3 数量积表示两个平面向量的夹角 【典例1】已知，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，是两个互相垂直的单位向量，则与的夹角为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 题型4 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【典例1】设向量（x+1，x），（x，2），则（　　） A．“x＝﹣3”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“x＝0”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【变式1】已知向量，且，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 题型5 平面向量的投影向量 【典例1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知向量，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 题型6 平面向量的综合题 【典例1】定义一种点对应：任意平面向量，点M绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到N，即将绕点A沿逆时针方向旋转θ角，得到向量．已知点A（﹣2，﹣1），点，若将点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点C，则点C的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C． D． 【变式1】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，P为△ABC内一点（含边界），且AP＝1．若，则λ+μ的最大值为（　　） A． B． C． D． 题型7 平面向量在物理中的应用 【典例1】某人在高为hm的楼上水平抛出一块石子，速度为v，则石子落地点与抛出点的水平位移的大小是（　　） A．v B．|v| C．v D．|v| 【变式1】已知作用在点A的三个力（3，4），（2，﹣5）．（3，1），且A（1，1），则合力的终点坐标为（　　） A．（9，1） B．（1，9） C．（9，0） D．（0，9） 题型8 利用正弦定理解三角形 【典例1】在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知b＝3，c＝2，，则sinC＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，ABC的面积，角C的平分线交AB于D点，且，则BD＝（　　） A． B． C． D．3 题型9 正弦定理与三角形解的存在性和个数 【典例1】在△ABC中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（　　） A．a＝10，c＝16，A＝45° B．a＝12，b＝10，A＝60° C．a＝6，A＝30°，b＝10 D．a＝6，b＝6，B＝30° 【变式1】在△ABC中，，BC＝2，若满足上述条件的△ABC恰有一解，则边长AC的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（0，2] C．（0，2）∪{4} D．（0，2]∪{4} 题型10 正弦定理与三角形的外接圆 【典例1】已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值； （2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值． 【变式1】已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2． （1）求角C的大小； （2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值． 题型11 余弦定理 【典例1】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a＝1，b，A＝30°，则c的值为（　　） A．2 B．1 C．1或2 D．或2 【变式1】已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝k，b＝k+2，c＝k+4，则k的取值范围是（　　） A．[1，5] B．（2，5） C．（2，6） D．（1，6） 题型12 三角形中的几何计算 【典例1】最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB取最大值时，点C到树底的距离与tan∠ACB值的积为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC、AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（　　） A． B． C． D． 题型13 解三角形 【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则的值为（　　） A．﹣4 B． C．5 D．4 【变式1】今有一块半径为的圆形木板，然后将这块圆形木板截成一块凸四边形形状的木板，且这块凸四边形木板的一个内角α满足，则这块凸四边形木板面积的最大值为（　　） A．20cm2 B． C．50cm2 D． 过 关 验 收 1．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（　　） A． B．﹣2 C． D． 2．已知||＝8，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为（　　） A．4 B．4 C．4 D．8+2 3．△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则△ABC的形状是（　　） A．顶角为120°的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 4．在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，，则（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 5．在平行四边形ABCD中，AB＝1，，∠C＝45°，则（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 6．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（　　） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 8．如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系xOy中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点B的坐标为（﹣1，3），另一个前尖端点C、尾突点A均在格点上，则与的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 9．已知单位向量满足，则（　　） A． B．2 C． D．1 10．已知向量，，若，则λ＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 11．已知向量，，若，则（　　） A． B． C． D．6 12．已知向量，，则“”是“x＝﹣1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知向量，在方向上的投影向量为，则（　　） A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 14．已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 15．等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M在△ABC外接圆上运动，若，则x+y的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 16．如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为 　　 N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则　 　 ． 14．设作用于同一点的三个力1，2，3处于平衡状态，若|1|＝1，|2|＝2，且1与2的夹角为π，如图所示． （1）求3的大小； （2）求3，2＞的大小． 15．在△ABC中，若AB＝1，AC＝5，BC＝3，则B＝（　　） A．30° B．45° C．135° D．150° 16．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（　　） A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解 C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2 D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为 17．在△ABC中，，AB＝2，BC＝m，则“△ABC有唯一解”的充分条件可以是（　　） A．m＝1 B． C．m＝2 D． 18．已知在△ABC中，，则△ABC的外接圆半径为（　　） A．2 B． C． D．3 19．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝2atanA，且，则△ABC外接圆的面积为（　　） A． B． C．25π D．100π 20．已知△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，acosB+bcosA＝csinC，若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为，则△IAB面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 21．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其外接圆半径R＝c，ab＝3，则△ABC的面积为 　 　 ． 22．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积记为S，若且，则△ABC的形状为（　　） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 23．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 24．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为（　　） A． B． C． D．10 25．在△ABC中，“”是“sin2A+sin2B＝1”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 26．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则b+c的最大值为（　　） A．1 B． C．2 D． 27．已知△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则（　　） A．a＝2b B．a2﹣b2＝bc C．cosC＝cos3B D．sinB+sinC＜sinA 28．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，且△ABC的面积为，求b的值． 29．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3c﹣b＝3acosB． （1）求sinA； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 平面向量数量积及其应用 内 容 导 航 知识点1 平面向量数量积的有关概念 知识点2 平面向量数量积的运算律 知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 知识点4 平面几何中的向量方法 知识点5 求平面向量的数量积 知识点6 平面向量的模长 知识点7 求数量积的取值范围问题 题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量数量积的性质及其运算 题型3 数量积表示两个平面向量的夹角 题型4 数量积判断两个平面向量的垂直关系 题型5 平面向量的投影向量 题型6 平面向量的综合题 题型7 平面向量在物理中的应用 题型8 利用正弦定理解三角形 题型9 正弦定理与三角形解的存在性和个数 题型10 正弦定理与三角形的外接圆 题型11 余弦定理 题型12 三角形中的几何计算 题型13 解三角形 知 识 点 通 关 知识点1 平面向量数量积的有关概念 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]. 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b共线且同向；当θ＝π时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ. 规定：0·a＝0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e. 【注意】设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 知识点2 平面向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a(交换律). （2）λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a与b的夹角． （1）数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. （2）模：|a|＝＝. （3）夹角：cos θ＝＝. （4）a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. （5）|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 知识点4 平面几何中的向量方法 （1）用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点5 求平面向量的数量积 方法技巧 计算平面向量数量积的方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积. (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 知识点6 平面向量的模长 方法技巧 求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2； ②几何法：利用向量的几何意义. 知识点7 求数量积的取值范围问题 方法技巧 数量积最值（范围）的解法 （1）坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理. （2）向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决. 考 点 演 练 题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 【典例1】已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为向量，，且， 所以2（m+1）﹣m＝0，解得m＝﹣2，所以， 又因为（2，1）， 所以在方向上的投影向量为： ． 故选：A． 【变式1】设向量，满足||＝2，||，则•等于（　　） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解答】解：因为||＝2，||，所以2•8，2•6， 所以4•2，解得•． 故选：A． 题型2 平面向量数量积的性质及其运算 【典例1】如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，点E在AD上，且DE＝2AE．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由∠BAC＝90°，得， 由D是BC的中点知，，且，得， 所以， 则． 故选：B． 【变式1】已知P是函数的图象上的任意一点，过P分别向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则（　　） A．﹣1 B． C．0 D． 【答案】B 【解答】解：由P是函数的图象上的任意一点， 可设，A（m，m），则， 由，可得，解得， 所以， 则， 所以． 故选：B． 题型3 数量积表示两个平面向量的夹角 【典例1】已知，则与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得， 结合，可得，解得． 设与的夹角为θ，则， 根据θ∈[0，π]，可知，即与的夹角为． 故选：C． 【变式1】若，是两个互相垂直的单位向量，则与的夹角为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】C 【解答】解：根据，是两个互相垂直的单位向量，设（1，0），（0，1）， 可得（，1），（﹣1，）， 因为0，所以，可知向量的夹角为90°． 故选：C． 题型4 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【典例1】设向量（x+1，x），（x，2），则（　　） A．“x＝﹣3”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“x＝0”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解答】解：对A，当时，则， 所以x•（x+1）+2x＝0，解得x＝0或﹣3，即必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则2（x+1）＝x2，解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当x＝0时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足2（x+1）＝x2，所以不成立，即充分性不立，故D错误． 故选：C． 【变式1】已知向量，且，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：向量，， 则2cosα•3cosα﹣1＝0，解得， 故． 故选：A． 题型5 平面向量的投影向量 【典例1】已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由，，得，， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 【变式1】已知向量，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：向量， 故，， 则． 故选：D． 题型6 平面向量的综合题 【典例1】定义一种点对应：任意平面向量，点M绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到N，即将绕点A沿逆时针方向旋转θ角，得到向量．已知点A（﹣2，﹣1），点，若将点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点C，则点C的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，， 根据点对应定义可知，， 因为，，代入得， 故点C的坐标为C（﹣2，﹣3）． 故选：A． 【变式1】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，P为△ABC内一点（含边界），且AP＝1．若，则λ+μ的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为∠A＝90°，以A为坐标原点，AB，AC方向为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），C（0，4）， 设， 过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则AQ＝cosθ，PQ＝sinθ， 因此， 因此（cosθ，sinθ）＝（2λ，4μ），即cosθ＝2λ，sinθ＝4μ， 则，其中tanφ＝2， 当时，λ+μ有最大值为． 故选：C． 题型7 平面向量在物理中的应用 【典例1】某人在高为hm的楼上水平抛出一块石子，速度为v，则石子落地点与抛出点的水平位移的大小是（　　） A．v B．|v| C．v D．|v| 【答案】B 【解答】解：设石子的落地时间为t，则gt2＝h，解得t， 所以石子落地点与抛出点的水平位移的大小s＝|v|t＝|v|． 故选：B． 【变式1】已知作用在点A的三个力（3，4），（2，﹣5）．（3，1），且A（1，1），则合力的终点坐标为（　　） A．（9，1） B．（1，9） C．（9，0） D．（0，9） 【答案】A 【解答】解：∵作用于A点的三个力F1＝（3，4），F2＝（2，﹣5），F3＝（3，1），且A（1，1）， 则合力F＝F1+F2+F3＝（3，4）+（2，﹣5）+（3，1）＝（8，0）， 设合力F＝F1+F2+F3的终点为B（x，y），由题意得：（8，0）， 即（x，y）﹣（1，1）＝（8，0），∴（x，y）＝（9，1）． 故选：A． 题型8 利用正弦定理解三角形 【典例1】在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知b＝3，c＝2，，则sinC＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为△ABC为锐角三角形， 所以， 由题意，可得， 因为a2＝b2+c2﹣2bccosA， 所以， 可得， 因为， 所以， 解得． 故选：C． 【变式1】已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，ABC的面积，角C的平分线交AB于D点，且，则BD＝（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【解答】解：由ABC的面积，化简得2acosC＝b﹣a， 结合正弦定理可得：2sinAcosC＝sinB﹣sinA， 又sinB＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC， 代入得2sinAcosC＝sinAcosC+cosAsinC﹣sinA，整理得sin（C﹣A）＝sinA． 可得C﹣A＝A，即C＝2A． 因为CD为∠ACB的平分线，所以∠ACD＝∠A＝∠DCB，， 又S△ABC＝S△ACD+S△BCD， 所以， 则， 化简得， 又a＝2，可得． 在△ACD中，， 可得18b2﹣25b﹣50＝0，解得（舍）， 故， 在△BCD中，由余弦定理得， 即． 故选：B． 题型9 正弦定理与三角形解的存在性和个数 【典例1】在△ABC中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（　　） A．a＝10，c＝16，A＝45° B．a＝12，b＝10，A＝60° C．a＝6，A＝30°，b＝10 D．a＝6，b＝6，B＝30° 【答案】C 【解答】解：如图所示，在△ABC中，已知a、A、b，且A为锐角， 若△ABC有两解，则bsinA＜a＜b， 对于A，a＝10，c＝16，A＝45°，则csinA， 所以a＜csinA，△ABC不存在，故A错误； 对于B，a＝12，b＝10，A＝60°， 根据A为锐角，且a＞b，可知角B唯一存在，所以△ABC只有一解，故B错误； 对于C，a＝6，A＝30°，b＝10，则， 满足bsinA＜a＜b，所以△ABC有两解，故C正确； 对于D，a＝6，b＝6，B＝30°，则A＝B＝30°，所以C＝120°，△ABC有唯一解，故D错误． 故选：C． 【变式1】在△ABC中，，BC＝2，若满足上述条件的△ABC恰有一解，则边长AC的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（0，2] C．（0，2）∪{4} D．（0，2]∪{4} 【答案】D 【解答】解：根据正弦定理，得，即，可得AC4sinB， 根据A，可得B∈（0，）， 若△ABC有唯一解，则由正弦函数的性质，可知B或0＜B， 所以AC＝4sinB＝4或AC＝4sinB∈（0，2]，即AC的取值范围是（0，2]∪{4}． 故选：D． 题型10 正弦定理与三角形的外接圆 【典例1】已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值； （2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2． ∴b﹣a＝c﹣b＝2， 又∵，∴cos， 恒等变形得c2﹣9c+14＝0，解得c＝7或c＝2． 又∵c＞4，∴c＝7． （2）设B＝θ． △ABC的外接圆面积为π，设外接圆的半径为R，则πR2＝π，解得R＝1． 由正弦定理可得：2R＝2． ∴2，可得b＝2sinθ，a＝2sin（θ），c． ∴△ABC的周长f（θ）＝|AC|+|BC|+|AB|＝2sinθ+2sin（θ） ＝2sin． 又θ∈，∴， ∴当即时，f（θ）取得最大值． 【变式1】已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2． （1）求角C的大小； （2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π， ∴sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即sinC+cosC＝2， ∴2sin（C）＝2． ∵C∈（0，π），∴C∈（，），∴C，即C． （2）∵△ABC的外接圆半径为2， ∴由正弦定理知，2×2＝4，∴AB， ∵∠ACB，∴∠ABC+∠BAC， ∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI+∠BAI，∴∠AIB， 设∠ABI＝θ，则∠BAIθ，且0＜θ， 在△ABI中，由正弦定理得，4， ∴BI＝4sin（θ），AI＝4sinθ， ∴△ABI的周长为24sin（θ）+4sinθ＝24（cosθsinθ）+4sinθ ＝22cosθ+2sinθ＝4sin（θ）+2， ∵0＜θ，∴θ， ∴当θ，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2， 故△ABI的周长的最大值为4+2． 题型11 余弦定理 【典例1】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，并且a＝1，b，A＝30°，则c的值为（　　） A．2 B．1 C．1或2 D．或2 【答案】C 【解答】解：由a＝1，b，A＝30°， 根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA得： 12＝（）2+c2﹣2c•cos30°， 化简得：c2﹣3c+2＝0，即（c﹣1）（c﹣2）＝0， 解得：c＝1或c＝2， 则c的值为1或2． 故选：C． 【变式1】已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝k，b＝k+2，c＝k+4，则k的取值范围是（　　） A．[1，5] B．（2，5） C．（2，6） D．（1，6） 【答案】C 【解答】解：由题意得c是最大边，即C是钝角， ∴由余弦定理得（k+4）2＝（k+2）2+k2﹣2k（k+2）•cosC＞（k+2）2+k2，即（k+2）2+k2＜（k+4）2， 解之得﹣2＜k＜6， ∵a+b＞c， ∴k+（k+2）＞k+4，解之得k＞2， 综上所述，得k的取值范围是（2，6）． 故选：C． 题型12 三角形中的几何计算 【典例1】最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB取最大值时，点C到树底的距离与tan∠ACB值的积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB于点D， 则AB＝18﹣11＝7，AD＝18﹣2＝16，BD＝11﹣2＝9， 设CD＝x，x＞0， 在Rt△BCD中，， 在Rt△ACD中，， 所以， 其中，当且仅当，即x＝12时等号成立， 所以， 即当x＝12时，tan∠ACB取得最大值， 此时点C到树底的距离为CD＝12， 所以点C到树底的距离与tan∠ACB值的积为． 故选：A． 【变式1】如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC、AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为∠MPN即为向量与的夹角θ， 设，， 则25， 因为，， 所以||2（）（4+25+10），||2， ，， 所以， 故． 故选：A． 题型13 解三角形 【典例1】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则的值为（　　） A．﹣4 B． C．5 D．4 【答案】C 【解答】解：若， 由正弦定理可得， 所以， 得， 若A，B为直角，不满足原式，则cosA，cosB≠0， 可得，即． 故选：C． 【变式1】今有一块半径为的圆形木板，然后将这块圆形木板截成一块凸四边形形状的木板，且这块凸四边形木板的一个内角α满足，则这块凸四边形木板面积的最大值为（　　） A．20cm2 B． C．50cm2 D． 【答案】C 【解答】解：依题意圆形木板的直径为， 设截得的四边形木板为ABCD，∠A＝α，AB＝c，BD＝a，AD＝b，BC＝n，CD＝m，如图所示： ∵且0＜α＜π，∴， 在△ABD中，∵正弦定理，∴，∴， 在△ABD中，∵余弦定理，∴a2＝b2+c2﹣2bccosα， 即，∴bc≤100， 当且仅当b＝c＝10时等号成立． 在△BCD中，∠BCD＝π﹣α， ∴， ∴mn≤25，当且仅当m＝n＝5时等号成立， ∴这块四边形木板面积最大值为． 故选：C． 过 关 验 收 1．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，如图1是一个正八边形窗花，正八边形边长为2，图2是该窗花的几何示意图形，则（　　） A． B．﹣2 C． D． 【答案】C 【解答】解：因为任意凸多边形的外角和都等于360°， 所以， 因为正八边形边长为2， 所以， 所以． 故选：C． 2．已知||＝8，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为（　　） A．4 B．4 C．4 D．8+2 【答案】B 【解答】解：由两个向量数量积的几何意义可知：在方向上的投影即： ||||cos8×14 故选：B． 3．△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则△ABC的形状是（　　） A．顶角为120°的等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【答案】C 【解答】解：在边AB、AC上分别取点D、E，使、， 作出示意图如下图所示： 以AD、AE为邻边作平行四边形ADFE， 根据平面向量加法的平行四边形法则，易得， 所以ADFE为菱形，并且AF平分∠BAC， 因为，故，所以AF⊥BC， 所以△ABC是等腰三角形，即b＝c， 令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，， 因为，所以，进而得到∠BAC＝90°， 所以△ABC是等腰直角三角形． 故选：C． 4．在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，，则（　　） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【解答】解：在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点， ， 则， 因为E为线段BC的中点，所以， 根据平行四边形法则和平面向量的加法法则可得： ，， 则． 故选：B． 5．在平行四边形ABCD中，AB＝1，，∠C＝45°，则（　　） A．﹣3 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB＝1，，∠C＝45°， 因为， 在平行四边形ABCD中，，， 根据平面向量数量积公式可得： ． 故选：B． 6．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为非零不共线向量，满足， 所以，得， ，代入可得， 所以向量与向量垂直，即夹角为． 故选：C． 7．已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解答】解：由，且，， ， ， 则，向量，的夹角为120°， 故选：C． 8．如图为某款仿生蝴蝶的设计示意图，在平面直角坐标系xOy中，每个小方格的边长为1，蝴蝶翅膀的一个前尖端点B的坐标为（﹣1，3），另一个前尖端点C、尾突点A均在格点上，则与的夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题图，知A（0，﹣2），C（3，0），又B（﹣1，3）， 所以， ， 则． 故选：A． 9．已知单位向量满足，则（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解答】解：单位向量满足， 则， 所以． 故选：A． 10．已知向量，，若，则λ＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵，，， ∴． ∴， ∴（1+λ，λ）•（1，0）＝0． 即1+λ＝0，则λ＝﹣1． 故选：B． 11．已知向量，，若，则（　　） A． B． C． D．6 【答案】A 【解答】解：由 ， 可得1×m+2×（﹣3）＝0，解得：m＝6． 所以，则． 故选：A． 12．已知向量，，则“”是“x＝﹣1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：向量，， 则， 若， 则，解得x＝0或﹣1， “”是“x＝﹣1”的必要不充分条件． 故选：B． 13．已知向量，在方向上的投影向量为，则（　　） A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 【答案】B 【解答】解：因为在方向上的投影向量为， 所以， ， 则12． 故选：B． 14．已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则与的夹角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【解答】解：设向量与向量的夹角为θ， 因为单位向量在单位向量上的投影向量为， 所以，所以； 所以， 因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°． 故选：B． 15．等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M在△ABC外接圆上运动，若，则x+y的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解答】解：根据题意，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2， 分别以AB、AC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），C（0，2），BC的中点为D（1，1）， ΔABC的外接圆以D为圆心，半径R＝|CD|， 设M（m，n）是外接圆上一点， 则|MD|，化简得（m﹣1）2+（n﹣1）2＝2， 根据x（2，0）+y（0，2）＝（2x，2y），可得m＝2x，n＝2y， 所以（2x﹣1）2+（2y﹣1）2＝2，整理得（x）2+（y）2， 设xcosα，ysinα，0≤α＜2π， 则x+y﹣1sinαcosα＝sin（α），可得x+y＝sin（α）+1， 结合正弦函数的性质，可知α时，x+y取得最大值2，此时x＝y＝1，即m＝n＝2， 综上所述，当M的坐标为（2，2）时，x+y取得最大值，最大值为2． 故选：B． 16．如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为 　　 N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则　 　 ． 【答案】；（5，4） 【解答】解：由题中图可得两个力的大小和方向，可得两个力的坐标为 ，， ∴则利用两向量的坐标加法运算， ， 从而得合力的坐标（5，4）以及大小． 故填：；（5，4）． 14．设作用于同一点的三个力1，2，3处于平衡状态，若|1|＝1，|2|＝2，且1与2的夹角为π，如图所示． （1）求3的大小； （2）求3，2＞的大小． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意||＝|| ∵||＝1，||＝2，且与的夹角为π， ∴||＝|| （2）∵（）， ∴， ∴•cos，4 ∴cos， ∴，． 15．在△ABC中，若AB＝1，AC＝5，BC＝3，则B＝（　　） A．30° B．45° C．135° D．150° 【答案】C 【解答】解：因为AB＝1，AC＝5，BC＝3， 由余弦定理可得，cosB， 则B＝135°． 故选：C． 16．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（　　） A．若A＞B，则sinA＞sinB B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解 C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2 D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为 【答案】ABD 【解答】解：A＞B⇒a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，A正确； 因为A＝30°，b＝4，a＝3， 由正弦定理得，， 故sinB， 因为b＞a， 所以B＞A， 故B有两角，B正确； △ABC为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角，则a2+b2＞c2不一定成立，C不符合题意； 因为A＝60°，a＝2， 由余弦定理得，a2＝4＝b2+c2﹣bc≥bc，当且仅当b＝c时取等号， 故bc≤4， △ABC面积S，即最大值为，D正确． 故选：ABD． 17．在△ABC中，，AB＝2，BC＝m，则“△ABC有唯一解”的充分条件可以是（　　） A．m＝1 B． C．m＝2 D． 【答案】AC 【解答】解：由正弦定理，即，可得． 当m＝1时，sinC＝1，结合C∈（0，π），可得，△ABC唯一存在， 所以由m＝1可以推出△ABC有唯一解，故A正确； 当时，，结合AB＞BC，可知， 满足条件的角C有互补的两个值，相应的△ABC有两解，故B错误； 当m＝2时，可得AB＝BC＝2，所以，则，△ABC唯一存在， 所以由m＝2可以推出△ABC有唯一解，故C正确； 当时，，结合AB＞BC，可得， 满足条件的角C有互补的两个值，可知△ABC有两解，D项错误． 故选：AC． 18．已知在△ABC中，，则△ABC的外接圆半径为（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cosB，即21＝12+42﹣2×1×4•cosB， 故，结合B∈（0，π），得， 故△ABC的外接圆半径为． 故选：C． 19．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝2atanA，且，则△ABC外接圆的面积为（　　） A． B． C．25π D．100π 【答案】B 【解答】解：因为bcosC+ccosB＝2atanA， 所以sinBcosC+sinCcosB＝2sinAtanA， 即sin（B+C）＝2sinAtanA， 又A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA， 则sinA＝2sinAtanA， 因为sinA≠0，所以tanA①， 又sin2A+cos2A＝1②， 联立①②解得sinA（负值舍去）， 设△ABC外接圆的半径为R， 所以2R， 则△ABC外接圆的面积为πR2． 故选：B． 20．已知△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，acosB+bcosA＝csinC，若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为，则△IAB面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：acosB+bcosA＝csinC，则sinAcosB+sinBcosA＝sin2C， 所以sinC＝1，所以， 则△ABC为直角三角形，又外接圆半径R为， 所以，所以a2+b2＝c2＝8， 设内切圆半径为r，则， 又， 所以， 当且仅当a＝b时等号成立， 所以△IAB面积的最大值为． 故选：A． 21．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其外接圆半径R＝c，ab＝3，则△ABC的面积为 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：由题，由正弦定理得， 所以， 所以． 故答案为：． 22．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积记为S，若且，则△ABC的形状为（　　） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即， 根据，可得， 所以，可得， 即tanA＝tanB，结合A、B是三角形的内角，可得A＝B； 由，可得， 化简得，可得tanC，结合C∈（0，π），可得， 所以△ABC是等边三角形． 故选：C． 23．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，bc＝6，， 由余弦定理得， 结合A∈（0，π），可得， 所以△ABC的面积为． 故选：A． 24．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为（　　） A． B． C． D．10 【答案】B 【解答】解：在△ADC中，， 因为0＜∠ADC＜π，所以， ∴， 在△ADB中，． 故选：B． 25．在△ABC中，“”是“sin2A+sin2B＝1”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：在△ABC中，当时， 则A+B， 故sin2A+sin2Bsin2A+cos2A＝1，故充分性成立， 当A＝120°，B＝30°，满足sin2A+sin2B＝1，但C，故必要性不成立， 综上所述，在△ABC中，“”是“sin2A+sin2B＝1”的充分不必要条件． 故选：A． 26．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则b+c的最大值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：因为，， 由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得， ， 因为，当且仅当b＝c时取等号，所以， 代入， 设t＝b+c（t＞0），则， 即，两边同时乘以3得到t2≤6， 因为t＞0，所以， 即， 所以b+c的最大值为． 故选：D． 27．已知△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，则（　　） A．a＝2b B．a2﹣b2＝bc C．cosC＝cos3B D．sinB+sinC＜sinA 【答案】B 【解答】解：根据A＝2B，可得sinA＝sin2B＝2sinBcosB， 由正弦定理得，可得2bcosB， 因为cosB≠1，所以a＝2b不成立，故A错误； 根据a＝2bcosB，可得， 由余弦定理得，所以， 即a2c＝b（a2+c2﹣b2），化简得a2（c﹣b）＝b（c﹣b）（c+b）， 若c≠b，则a2＝b（b+c）＝b2+bc，即a2﹣b2＝bc； 若c＝b，则B＝C，结合A＝2B且A+B+C＝4B＝180°，解得B＝45°，A＝90°， 此时a2＝b2+c2＝2b2，a2﹣b2＝b2，所以a2﹣b2＝bc也成立，故B正确； 根据A＝2B，可得C＝180°﹣A﹣B＝180°﹣3B， 所以cosC＝cos（180°﹣3B）＝﹣cos3B，故C错误； 根据b+c＞a，结合正弦定理，可得sinB+sinC＞sinA，故D错误． 故选：B． 28．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，且△ABC的面积为，求b的值． 【答案】（1）； （2）b＝4． 【解答】解：（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且， 根据正弦定理可得， 又sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC， 所以， 又C∈（0，π），则sinC≠0， 所以， 得到，又， 所以， 解得； （2）因为，则， 因为， 所以， 所以， ， 所以， 又△ABC的面积为， 所以， 其中R为△ABC外接圆的半径， 解得， 所以b＝2RsinB＝4． 29．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且3c﹣b＝3acosB． （1）求sinA； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）； （2）由题设，则， 所以，即， 所以，可得， 所以，则2cos2B＝1+2sinB+sin2B， 所以2﹣2sin2B＝1+2sinB+sin2B，可得3sin2B+2sinB﹣1＝0， 所以（3sinB﹣1）（sinB+1）＝0，故（负值舍）， 由，则sinC＝1， 即C为直角，故△ABC是直角三角形，得证． 【解答】解：（1）由题设及正弦边角关系有3sinC﹣sinB＝3sinAcosB， 而A+B+C＝π，所以3sin（A+B）﹣sinB＝3sinAcosB， 即3sinAcosB+3cosAsinB﹣sinB＝3sinAcosB，所以3cosAsinB＝sinB， 而sinB＞0，则， 由0＜A＜π，可得； 证明：（2）由题设，则， 所以，即， 所以，可得， 所以，则2cos2B＝1+2sinB+sin2B， 所以2﹣2sin2B＝1+2sinB+sin2B，可得3sin2B+2sinB﹣1＝0， 所以（3sinB﹣1）（sinB+1）＝0，故（负值舍）， 由，则sinC＝1， 即C为直角，故△ABC是直角三角形，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $