第03讲 平面向量的数量积及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦平面向量数量积及其应用，覆盖概念、运算律、性质、坐标表示及几何物理应用等核心考点，按“知识解构-题型破译-真题溯源”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、题型突破、真题训练环节，帮助学生系统构建知识网络，突破高考难点。 资料以11类题型分类突破为特色，归纳数量积计算、模长求解等方法技巧，如用坐标法转化取值范围问题，培养数学思维与运算能力。设置分层变式训练与真题演练，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第03讲 平面向量数量积及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1平面向量数量积的有关概念 知识点2平面向量数量积的运算律 知识点3平面向量数量积的性质及其坐标表示 知识点4平面几何中的向量方法 题型破译 (含超链接） 题型1 求平面向量的数量积 题型2 平面向量的模长 【方法技巧】计算平面向量数量积的方法 【方法技巧】求平面向量的模的方法 题型3 平面向量的夹角 题型4 垂直的综合运算 题型5 投影向量 题型6 求参数值或取值范围问题 题型7 求数量积的取值范围问题 【方法技巧】数量积最值（范围）的解法 题型8 向量在几何中的应用 题型9 向量在物理中的应用 题型10 平面向量的新定义问题 题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 求平面向量的数量积 全国Ⅱ卷T3（5分） 向量垂直的坐标表示 全国二卷T12（5分） 全国Ⅰ卷T3（5分） 已知数量积求模 全国Ⅱ卷T3（5分） 考情分析 平面向量数量积的运算是高考必考的内容，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查. 三年考情显示，主要考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点． 复习目标 1会计算平面向量的数量积 2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角 4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量数量积的有关概念 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]. 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b共线且同向；当θ＝π时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos θ. 规定：0·a＝0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e. 【注意】设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 自主检测（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 知识点2 平面向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a(交换律). （2）λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). （3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 必记结论 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线. 自主检测（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的数量积的运算律，结合向量数量积的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由数量积的运算公式，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，由向量数量积的运算律，可得，所以B正确； 对于C中，，， 所以与不一定相等，所以C错误； 对于D中，由，若向量，此时，而与不一定相等，所以D错误. 故选：AB. 知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a与b的夹角． （1）数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. （2）模：|a|＝＝. （3）夹角：cos θ＝＝. （4）a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. （5）|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 自主检测（多选）若，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【详解】对于选项A，，故选项A正确； 对于选项B，，，，故选项B错误； 对于选项C，，结合与的夹角范围为，故与的夹角为，选项C正确； 对于选项D，在方向上的投影向量为，故选项D错误. 故答案为：AC. 知识点4 平面几何中的向量方法 （1）用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 自主检测已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确的几何意义，根据圆外的点到圆上的点的距离的取值范围求解. 【详解】如图：令，，.则，.又，所以点在以为圆心，2为半径的圆上.所以的最小值为：.又，，所以当时，取得最小值为.所以的最小值为：.即的最小值为. 故选：A. 题●型●破●译 题型1 求平面向量的数量积 例1-1（2026·山西临汾·一模）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 故选：B 例1-2（2026·陕西榆林·一模）在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题意知是等边三角形，所以，则． 故选：C 例1-3【新考法已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可. 【详解】由题意：，. 因为. 又，当时取“”. 又，所以.所以. 故选：C 例1-4【新思维】如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，由余弦定理可得，在中易得，，即可利用数量积的定义求解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 则，由，可得，又为线段中点，则， 又，则，，且，所以. 故选：D. 方法技巧 计算平面向量数量积的方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积. (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 【变式训练1-1】已知向量，，均为单位向量，且，则（     ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由数量积的运算律变形为和，再分别平方后可得. 【详解】由，，，有， 又由，，，有，故. 故选：D 【变式训练1-2】（2026·北京延庆·一模）矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理及数量积定义计算求解. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：C 【变式训练1-3·变载体】如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】由，根据等面积可得，由及向量数量积几何意义求解即可. 【详解】由已知条件可知，，因此． 故． 故选：A 【变式训练1-4·变载体】已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式． 【详解】，即． 故选：A. 【变式训练1-5】已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 【答案】6 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】向量，且与的夹角为，则， . 故答案为：6 题型2 平面向量的模长 例2-1（2026·四川巴中·一模）若 是夹角 的单位向量， ，则 （ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】结合向量的模及数量积的公式即可求解. 【详解】因为 是夹角 的单位向量，所以， . 故选：C 例2-2（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即，所以. 故选：C. 方法技巧 求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2； ②几何法：利用向量的几何意义. 【变式训练2-1】已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积可求. 【详解】，故. 故选: D. 【变式训练2-2】已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积坐标公式计算得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】因为，所以，所以.   故选：C. 【变式训练2-3】已知向量与的夹角为，，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律运算求解. 【详解】因为向量与的夹角为，，，则， 可得，所以. 故选：D. 【变式训练2-4·变考法】（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两夹角为或，当夹角为时，；当夹角为时，，则 ；综上所述：或. 故选: C 题型3 平面向量的夹角 例3-1（2026·新疆·一模）设向量为单位向量，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平面向量的模和夹角的问题，通过平方展开计算即可。 【详解】因为,，又因为向量为单位向量，代入可得，得，又，所以,因为,所以. 故选：D 例3-2平面向量满足，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的数量积公式及运算律计算求解. 【详解】平面向量满足，且，所以，即得，，设向量的夹角为，则，则向量的夹角为. 故选：B. 例3-3（2026·广东江门·一模·变角度）在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【详解】 如图，以为原点，分别以为轴建系，，，，， ，，所以. 故答案为： 【变式训练3-1】（2026·湖北黄石·一模）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知向量，显然，所以. 故选：A 【变式训练3-2】（2026·河北石家庄·一模）已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，两边同时平方得， 整理得：，，所以与的夹角为. 故选：C 【变式训练3-3·原创题】已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出向量的数量积，然后求出向量的模，最后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案. 【详解】因为是两个垂直的单位向量，所以. 因为，所以. 而，. 所以. 故选：D. 【变式训练3-4】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知向量，，利用向量减法求出和，再通过点积计算求出，通过模长计算求出和，利用向量夹角的余弦公式求解. 【详解】，. .... . 故选：C. 【变式训练3-5·原创题】已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设向量与向量的夹角为，设，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可求得答案. 【详解】设向量与向量的夹角为，, 设，则， 则， 与的夹角为，所以，则，即， 可得,解得（舍）或，则． 故选：A． 题型4 垂直的综合运算 例4-1（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，所以，若，则， 解得. 故选：D. 例4-2已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示，列式求解. 【详解】由向量，，得， 由，得，所以. 故选：B 【变式训练4-1·变载体】（2026·广西南宁·一模）已知向量，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出的值. 【详解】由题可知，，解得. 故选：D. 【变式训练4-2·变载体】已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【详解】因为，所以.因为，所以所以.解得. 故选：C. 题型5 投影向量 例5-1（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 例5-2如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及余弦定理得，再由投影向量的求法求在上的投影向量. 【详解】由题设，，则，，故， 所以， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 【变式训练5-1】（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的定义计算得解. 【详解】因为，所以在上的投影向量为. 故选：D. 【变式训练5-2】（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解. 【详解】由， 所以.所以向量在向量上的投影向量为.故选：A 【变式训练5-3·原创题】平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需求出，再结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意，，与的夹角为，所以， 在方向上的投影向量为. 故选：A. 【变式训练5-4变载体】已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，求出即可求出向量在上的投影向量. 【详解】因为，所以，所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 【变式训练5-5·变情境】（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式计算，即可求解. 【详解】由向量，可得粒子相对粒子的位移为， 可得且， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 题型6 求参数值或取值范围问题 例6-1（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以，，又因为与的夹角的余弦值为， 所以，解得或（因，舍）. 故选：A. 例6-2在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意且与不共线，然后利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列不等式求解即可. 【详解】因为为锐角，则且与不共线． 由得，， 则，解得． 若与共线，则，即， 解得或，所以且，即x的取值范围是． 故选：A 【变式训练6-1】已知向量，向量在向量上的投影向量是，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由投影向量的公式可求的值，将转化为，则可代入的值进行计算求得结果。 【详解】由得， 因为在上的投影向量为， 所以，，即， 代入与得，解得. 故选：B. 【变式训练6-2·变考法】已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题意，可得，故，即， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 故选：A 【变式训练6-3·变题型】已知两个非零向量的夹角为，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用平面向量的数量积公式及运算律化简，再设，再分类讨论计算求解. 【详解】. 由，得， 即.设，则关于的方程有正实根. 当时，不符合条件；当时，符合条件； 当时，或，解得. 综上可得. 故选：C 题型7 求数量积的取值范围问题 例7-1已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理求外接圆半径，在其外接圆中连接，由，讨论的位置情况确定范围. 【详解】由题设，外接圆半径为， 如下图，外接圆中连接，可得，， 所以， 当反向共线时最小，最小值为；当同向共线时最大，最大值为20， 所以. 故选：D 例7-2（2026·天津河西·一模）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 【答案】； 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标和的坐标，利用数量积的坐标计算公式可求得，再设出点，根据，用来表示，再将表示成关于的函数表达式,然后求解最小值. 【详解】建系如图所示 因为是边长为2的等边三角形，，. . 设，. .，，. ，. 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： ； 方法技巧 数量积最值（范围）的解法 （1）坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理. （2）向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决. 【变式训练7-1变载体】已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以.    故选：A 【变式训练7-2·变载体】（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【答案】A 【分析】根据给定条件，用基底向量分别表示，再利用数量积的运算律列式求出最大值. 【详解】在边长为2的菱形中，由，得，由点在线段上， 令，由点在线段上， ，得， 则， 而，因此 ，当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：A 【变式训练7-3·变情境】（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为. 经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过. 故选：C 【变式训练7-4·变考法】已知向量，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量夹角的公式变形后再讨论夹角范围可得. 【详解】设向量的夹角为，则， 设的起点在原点，与轴正方向的夹角为由可得与轴正方向的夹角为， 由可得的终点在第四象限，当两向量反向共线时，夹角最大， 当的终点趋于正方向时，夹角趋近于， 所以，则，所以． 故选：A. 【变式训练7-5·新情境】（多选）（2026·宁夏吴忠·二模）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】BC 【分析】根据题意，利用向量的线性运算，化简得到，即可求得的取值范围. 【详解】连接、，如图， 由动点关于圆心对称可得，且， 因为点在正六边形的边上运动，且正六边形的边长为， 所以当点位于正六边形各边的中点时，此时取最小值为， 当点位于正六边形的顶点时，此时取最大值为，所以, 所以，因此， 因为、，，，故符合题意的有B、C. 故选：BC 题型8 向量在几何中的应用 例8-1【新思维】已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，则与垂直，设共起点，数形结合画出相应图象，结合向量减法的几何意义计算即可得解. 【详解】设共起点，由，可得， 所以与垂直，如图， 由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，由题意可知的终点在图中所示的射线上， 所以是从圆上的点到射线上的点形成的向量， 要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，故的最小值为． 故选：A． 例8-2【新模型】（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 【答案】 【分析】先通过换元，再根据向量线性运算的几何意义及椭圆的定义及几何性质可得. 【详解】设，则，代入得，根据向量的几何意义知，向量表示的点到表示的点和的距离和为常数8，根据椭圆的定义知向量表示的点在以长轴为，焦距为的椭圆上，所以，所以表示椭圆上的点到椭圆中心的距离，由椭圆的几何性质可知，即，如图： 所以取值范围是. 【变式训练8-1·变载体】已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可. 【详解】如图所示： 不妨设， 满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ， 所以该椭圆方程为， 而，即，即， 这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当三点共线， 故只需求的最大值即可， 因为点在椭圆上面运动，所以不妨设， 所以， 所以当且三点共线时， 有最大值. 故答案为： 【变式训练8-2·变考法】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则 ，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得参数值，令，，根据已知得并应用向量数量积的运算律求最值. 【详解】由题设，则， 所以， ， 令，，则 ， 所以 ， 当时，的最小值为. 故答案为：， 题型9 向量在物理中的应用 例9-1（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，三根绳子所受的力分别为，则，因为的合力，所以，如图，在平行四边形中，， 因为，所以，所以绳子受力的大小为. 故选：D. 例9-2一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小． 【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下： ，，在中，有，所以，，， 所以，所以， 所以小货船航行速度的大小为， 故选：C. 【变式训练9-1变载体】某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（    ） A．2m/s B．m/s C．4m/s D．m/s 【答案】B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模长即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 则，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ，所以该船完成此段航行的实际速度为m/s. 故选：B. 【变式训练9-2变载体】如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形法则及向量夹角公式求解. 【详解】依题意，，则， 即，所以. 故选：D 题型10 平面向量的新定义问题 例10-1【新定义】（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由平面向量数量积的定义可得，由题意可知，，所以. 故选：D 【变式训练10-1·新运算】已知，，定义新运算，记，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中定义、诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出的取值范围. 【详解】因为，， 根据题中定义可得 ，故. 故选：A. 【变式训练10-2·新运算】（2026·广东江门·一模）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先代入余弦距离公式，结合向量数量积坐标表示求得三角函数值，最后代入二倍角公式求解. 【详解】因， 由定义可知，，则， . 故选：C 【变式训练10-3·新运算】已知向量，且，定义向量的新运算：． （1）若向量，且，求； （2）证明：是的充要条件， 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）利用向量垂直求得，进而利用定义计算即可； （2）利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的性质及定义向量的新运算可证明. 【详解】（1）因为，且，所以， 解得，则，所以． （2）证明：若，则．又，所以，即， 所以．故是的充分条件．若，则， 整理得，所以．故是的必要条件． 综上所述，是的充要条件． 题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇 例11-1（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【详解】向量，则， 当时，取最小值. 故选：D. 例11-2（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由，应用向量数量积的运算律及数形结合确定的最小值. 【详解】由题设，如下图有，且， 所以， 要使最小，只需反向共线，此时，所以的最小值为. 故答案为： 【变式训练11-1变载体】（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以，所以. 故选：A 【变式训练11-2·融合三角】（2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式先求出余弦值，再求出正切值即可. 【详解】由向量，为单位向量，又，知. 因为，则， 所以. 又，得，则， 故选：A. 【变式训练11-3·融合圆】（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，，在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为.取，所以， 所以.同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上，如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时，易知， 所以，即的最大值为. . 故选：D. 【变式训练11-4·变载体】（（2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 【答案】 【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值. 【详解】由题可知，设夹角为，则，，设，，，代入坐标化简得：，故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，，故. 答案为： 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2026·全国二卷·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以，即；由，得， 所以，即.两式相减，得， 所以 . 2.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即，又因为， 所以，从而. 故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足，所以. 故选：B 5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 6.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 7.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵，又∵∴9， ∴ 故选：C. 8.（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 9.（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 10.（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 11.（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 12.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则__________． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ). A. B. C. D. 【答案】D. 【详解】因为a，b是两个单位向量，所以，因此，也即，故C项错误，D项正确；两个单位向量尽管长度相等，但方向不一定相同，故A项错误；，只有a，b的夹角为0时，才有，故B项错误. 故选：D 2.若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为( ). A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】C 【详解】， ， ， . 设向量a与向量b的夹角为，则.又，所以，故选C. 3.已知等边三角形ABC的边长为1，，，，那么( ). A.3 B.-3 C. D. 【答案】D 【详解】. 故选D. 4.若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且，，，则( ). A.2 B.5 C.2或5 D.或 【答案】C 【详解】由向量a，b，c两两所成的角相等，故向量a，b，c两两所成的角都等于0或.当a，b，c两两所成的角为时，，，.则 ，.当a，b，c唡两所成的角为0时，. 故选C. 5.已知向量a与b的夹角为30°，，，求，的值. 【答案】， 【详解】， ，. 6.已知的顶点坐标分别为，，，求，，的值. 【答案】，， 【详解】由，，可知，，所以，即，所以，，，所以，故， ，. 7.如图，支座A受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力F的大小为100N，求以及F与的夹角的余弦值. 【答案】， 【详解】， ，即. ，解得.又， ，即， ，解得. 8.已知，向量，，满足条件，.求证：是等边三角形. 【详解】由已知，可得， 两边平方得， 令，， ，. 同理，. 故是等边三角形. 40 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平面向量数量积及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1平面向量数量积的有关概念 知识点2平面向量数量积的运算律 知识点3平面向量数量积的性质及其坐标表示 知识点4平面几何中的向量方法 题型破译 (含超链接） 题型1 求平面向量的数量积 题型2 平面向量的模长 【方法技巧】计算平面向量数量积的方法 【方法技巧】求平面向量的模的方法 题型3 平面向量的夹角 题型4 垂直的综合运算 题型5 投影向量 题型6 求参数值或取值范围问题 题型7 求数量积的取值范围问题 【方法技巧】数量积最值（范围）的解法 题型8 向量在几何中的应用 题型9 向量在物理中的应用 题型10 平面向量的新定义问题 题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 求平面向量的数量积 全国Ⅱ卷T3（5分） 向量垂直的坐标表示 全国二卷T12（5分） 全国Ⅰ卷T3（5分） 已知数量积求模 全国Ⅱ卷T3（5分） 考情分析 平面向量数量积的运算是高考必考的内容，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查. 三年考情显示，主要考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点． 复习目标 1会计算平面向量的数量积 2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角 4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 平面向量数量积的有关概念 1．向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的取值范围是[0，π]. 当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b；当θ＝0时，a与b共线且同向；当θ＝π时，a与b共线且反向． 2．平面向量的数量积 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ . 规定：0·a＝0. 3．投影向量 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 ，记为 . 【注意】设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝. 自主检测（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（     ） A． B． C．若，且，则 D． 知识点2 平面向量数量积的运算律 （1）a·b＝ (交换律). （2）λa·b＝λ(a·b)＝ (结合律). （3）(a＋b)·c＝ 分配律). 必记结论 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](该式又称作极化恒等式)． 2．有关向量夹角的两个结论 两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线. 自主检测（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a与b的夹角． （1）数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. （2）模：|a|＝＝. （3）夹角：cos θ＝＝. （4）a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. （5）|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·. 自主检测（多选）若，，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 知识点4 平面几何中的向量方法 （1）用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 自主检测已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 求平面向量的数量积 例1-1（2026·山西临汾·一模）已知向量，满足，，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 例1-2（2026·陕西榆林·一模）在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 例1-3【新考法已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 例1-4【新思维】如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 方法技巧 计算平面向量数量积的方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积. (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义. 【变式训练1-1】已知向量，，均为单位向量，且，则（     ） A．0 B． C．2 D． 【变式训练1-2】（2026·北京延庆·一模）矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 【变式训练1-3·变载体】如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（    ） A． B． C．8 D． 【变式训练1-4·变载体】已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 题型2 平面向量的模长 例2-1（2026·四川巴中·一模）若 是夹角 的单位向量， ，则 （ ） A． B．2 C． D． 例2-2（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2； ②几何法：利用向量的几何意义. 【变式训练2-1】已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练2-2】已知向量，若，则（    ）A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知向量与的夹角为，，，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练2-4·变考法】（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 题型3 平面向量的夹角 例3-1（2026·新疆·一模）设向量为单位向量，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 例3-2平面向量满足，且，则向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 例3-3（2026·广东江门·一模·变角度）在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【变式训练3-1】（2026·湖北黄石·一模）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】（2026·河北石家庄·一模）已知平面向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3·原创题】已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-5·原创题】已知非零向量与不共线，且满足，与的夹角为，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 题型4 垂直的综合运算 例4-1（2026·湖南岳阳·一模）已知向量，若，则（    ） A．-2 B．0 C．2 D．4 例4-2已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1·变载体】（2026·广西南宁·一模）已知向量，．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 题型5 投影向量 例5-1（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 例5-2如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2026·山东菏泽·一模）已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3·原创题】平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-4变载体】已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-5·变情境】（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型6 求参数值或取值范围问题 例6-1（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 例6-2在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】已知向量，向量在向量上的投影向量是，且，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练6-2·变考法】已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练6-3·变题型】已知两个非零向量的夹角为，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 求数量积的取值范围问题 例7-1已知中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7-2（2026·天津河西·一模）已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 方法技巧 数量积最值（范围）的解法 （1）坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理. （2）向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决. 【变式训练7-1变载体】已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2·变载体】（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．－2 【变式训练7-3·变情境】（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 【变式训练7-4·变考法】已知向量，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5·新情境】（多选）（2026·宁夏吴忠·二模）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（   ） A． B． C．2 D． 题型8 向量在几何中的应用 例8-1【新思维】已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 例8-2【新模型】（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 【变式训练8-1·变载体】已知，则的最大值为 ． 【变式训练8-2·变考法】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则 ，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 . 题型9 向量在物理中的应用 例9-1（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． 例9-2一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-1变载体】某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向．已知河水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（    ） A．2m/s B．m/s C．4m/s D．m/s 【变式训练9-2变载体】如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（    ） A． B． C． D． 题型10 平面向量的新定义问题 例10-1【新定义】（2026·福建龙岩·一模）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则（    ） A． B． C． D．0 【变式训练10-1·新运算】已知，，定义新运算，记，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-2·新运算】（2026·广东江门·一模）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3·新运算】已知向量，且，定义向量的新运算：． （1）若向量，且，求； （2）证明：是的充要条件， 题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇 例11-1（2026·北京密云·一模）已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 例11-2（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为圆上的动点，则的最小值为______. 【变式训练11-1变载体】（2026·湖北十堰·一模）若向量，，记，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-2·融合三角】（2026·湖南常德·一模）已知平面向量，为单位向量，且，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式训练11-3·融合圆】（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【变式训练11-4·变载体】（（2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2026·全国二卷·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C． D． 2.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） 5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 6.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 7.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 8.（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 9.（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 10.（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 11.（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 12.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则__________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ). A. B. C. D. 2.若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为( ). A.30° B.60° C.120° D.150° 3.已知等边三角形ABC的边长为1，，，，那么( ). A.3 B.-3 C. D. 4.若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且，，，则( ). A.2 B.5 C.2或5 D.或 5.已知向量a与b的夹角为30°，，，求，的值. 6.已知的顶点坐标分别为，，，求，，的值. 7.如图，支座A受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力F的大小为100N，求以及F与的夹角的余弦值. 8.已知，向量，，满足条件，.求证：是等边三角形. 12 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $