精品解析：福建龙岩市第八中学2026－2027学年第一学期九年级数学第一次阶段测试卷

龙岩八中2026—2027学年第一学期九年级数学第一次阶段测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行分析，即可求解．一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、的次数是，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法求解一元二次方程．掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可得出答案，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，得，再向下平移2个单位，得． 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根， ∴ ， 解得：k≤ 且k≠1． 故选D． 【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键 7. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 8. 若（）的两个实数根为1和，那么关于x的一元二次方程的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义，通过整体代换求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵的两个实数根为和， ∴或， 解得或． 9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若A，C两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质．分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， 所以，，，． 因为四边形是正方形， 所以，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即可解题. 【详解】∵方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程， ∴a+20,且|a|=2, 解得：a=2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,属于简单题,熟悉一元二次方程的定义是解题关键. 12. 一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解方程，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， 或， 所以，， 因为，所以舍去， 所以三角形第三边的长为， 所以三角形的周长， 故答案为：． 13. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有____个队参加比赛. 【答案】10 【解析】 【详解】设有x支球队，由题意则有： =45， 解得：x1=10，x2=-9(舍去)， 所以共有10个队参加比赛， 故答案为10. 14. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】用换元法将看作整体，转化为一元二次方程求解，结合平方和的非负性舍去负根即可得到结果． 【详解】解：设， ∵平方数非负， ∴， 将原方程换元得， 展开并整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去负根， ∴． 15. 已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向和顶点坐标，再计算给定x范围内端点的函数值，比较得到y的最值，即可确定y的取值范围． 【详解】解：已知二次函数为， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点是函数的最高点， ∵在范围内， ∴的最大值为， 分别计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， 因此的取值范围是． 16. 若二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为1，h的值是_______． 【答案】或##6或1 【解析】 【分析】根据对称轴与区间的位置关系分类讨论，结合二次函数增减性求最小值，进而求解． 【详解】解：∵二次函数中二次项系数为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点处函数值为， 分三种情况讨论： 当时，在对称轴右侧，随增大而增大， 当时，取最小值，得， 解得或（舍去）； 当时，在对称轴左侧，随增大而减小， 当时，取最小值，得， 解得（舍去）或； 当时，对称轴在区间内，当时，取最小值，不符合题意，舍去． 综上，的值为或． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由提公因式因式分解法解一元二次方程即可； （2）由十字相乘因式分解法解一元二次方程即可； （3）由公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 则， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 解得； 【小问3详解】 解：， ， ， ． 18. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：开始有人患有流感，经过两轮传染后，有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染几个人？ 【答案】 每轮传染中平均一个人传染个人. 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染个人，则第一轮传染后有人患流感，第二轮传染后有人患流感，根据经过两轮传染后，有人患流感，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 则第一轮传染后有人患流感，第二轮传染后有人患流感， 根据题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． 19. 已知抛物线经过点，． （1）求和的值； （2）判断点是否在此抛物线上，并说明理由； 【答案】（1），； （2）解：点不在这条抛物线上，理由： 当时， ， 点不在这条抛物线上． 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、判断点是否在抛物线上． 把点代入抛物线的解析式，求出，可知抛物线的解析式为，把点代入抛物线的解析式，即可求出的值； 当时，可以求出对应的纵坐标是，可以判断点不在这条抛物线上． 【小问1详解】 解：把点代入抛物线的解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 把点代入抛物线的解析式， 可得：， 的值是，的值是； 【小问2详解】 略 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】（1） ， ， ， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可， （2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 方程有一根小于0， ， ． 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键． 21. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； 【小问2详解】 设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）     （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问2详解】 解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 23. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】（1）；1 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 24. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． （1）求黄金分割数； （2）如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； （3）如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】（1） （2） （3） 证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； 【小问2详解】 解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； 【小问3详解】 略 25. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，交轴于点，求点的坐标； （3）如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】（1） （2） （3）2或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作于点，证明，在中，，解得，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【小问1详解】 解：将点，点代入，得 ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点作于点， ，， 平分，， ，， ， ， ， ， 在中，，解得， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴． 【小问3详解】 解：， 设直线的解析式为， 当时， 解得，， ∴，， ∴， 当，时， ， 解得或（舍）， 当时， ， 解得或（舍）， 当，时， ， ∴， 解得或（舍）， 综上所述：点纵坐标为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩八中2026—2027学年第一学期九年级数学第一次阶段测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的一个根，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 7. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 8. 若（）的两个实数根为1和，那么关于x的一元二次方程的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 9. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若A，C两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若关于x的方程（a+2）x|a|﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为_____． 12. 一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_______． 13. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有____个队参加比赛. 14. 若，则_______． 15. 已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 16. 若二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为1，h的值是_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 18. 秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：开始有人患有流感，经过两轮传染后，有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染几个人？ 19. 已知抛物线经过点，． （1）求和的值； （2）判断点是否在此抛物线上，并说明理由； 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求的取值范围． 21. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）     （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 23. 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； （3）已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 24. 关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． （1）求黄金分割数； （2）如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； （3）如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 25. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，交轴于点，求点的坐标； （3）如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $