精品解析：福建省福州第一中学2026-2027学年第一学期九年级数学10月学情自测

福州一中2026—2027学年初三年段10月阶段练习（数学） 一．单选题（40分） 1. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，1 B. 1， C. 7，1 D. ，1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数和常数项分别是，1， 故选：D． 2. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3. 如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令、，据此求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 4. 关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 开口方向向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的图象、对称轴、顶点坐标、增减性逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵抛物线中， ∴抛物线开口方向向下，则此项正确； B、抛物线的对称轴是直线，则此项正确； C、抛物线的顶点坐标为，则此项错误； D、∵抛物线的开口方向向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大，则此项正确； 故选：C． 5. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． 利用待定系数法求出与之间的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】解：设与之间的函数关系式为（为常数，且）， 将，代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∵与之间的函数关系式为，在第一象限，随的增大而减小， ∴当由 升到时，并结合图像，应该将张力减小至， 故选：D． 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（ ）支小分支． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故每个支干长出7支小分支， 故选：B． 7. 抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．先根据二次函数的解析式求出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为． 故选：A． 8. 如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案. 【详解】解：A、，，则可判断，不符合题意； B、，，则可判断，不符合题意； C、 ，若成立，则，由题可知DE与BC不平行，符合题意； D、 ，，则可判断，不符合题意 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，已知一个角相等时，再确定另一组角相等或是构成已知角的两边对应成比例，即可证明两个三角形相似. 9. 如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若． 【详解】解：， 若与相似，可分两种情况： ①若， 则， ； 解得． ②若， 则， ， 解得或6． 则满足条件的长为或1或6． 故选：C． 10. 如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，由正方形的性质得，由，得，则，所以，则，所以，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接 四边形是正方形，， ，，， ， ，而点为的中点， ， ， 垂直平分， ， 由折叠得， ， 是等边三角形， ， ∵翻折， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 二．填空题（24分） 11. 若两个相似三角形对应高的比为，则这两个相似三角形的相似比为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质求解即可． 【详解】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，已知两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为． 12. 请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是的抛物线的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为负，对称轴为直线， ∴抛物线解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 14. 已知反比例函数y＝，当－2≤x≤－1时，y的最大值是4，则当x≥8时，y的最小值为________． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】先求得函数的图象在第二，第四象限，y随x的增大而减小，进而求得函数的解析式，根据函数的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数y＝，当－2≤x≤－1时，y的最大值是4， ∴反比例函数y＝的图象在第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大， 则y在x=-1时取得最大值4， ∴k=-1×4=-4， ∴y=， 当x≥8时，y有最小值，当x=8时，y=． 即y有最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是确定k的值． 15. 如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由四边形是边长为的正方形得到，，过点B作轴于D，则，,，得到点B的坐标为，代入解析式即可得到a的值． 【详解】如图，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴，， 过点B作轴于D， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴,, ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、待定系数法等知识，求出点B的坐标是解题的关键． 16. 如图，将等边三角形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，点分别在边上．如果，，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，，再证明，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴，即的周长为10， ，即的周长为14， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（86分） 17. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）根据平方差公式进行因式分解，利用因式分解法求一元二次方程的解即可； （2）利用因式分解法求一元二次方程的解即可． 【小问1详解】 解： ∴或 ∴或； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴或． 18. 先化简，再求值：，其中m满足方程． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则先化简分式，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， ∵ ， 将代入得，． 19. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 20. 某商场将进价为元的商品按元出售时，每天可售出件．为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价元，每天可多售出件．若商场要想每天盈利元，每件商品应降价多少元？ 【答案】每件商品应降价元 【解析】 【分析】设降价为x元，则每件盈利元，每天可售出件，根据题意，得，解答即可． 【详解】解：设降价为x元，则每件盈利元，每天可售出件， 根据题意，得， 整理，得 解得， 为尽快减少库存，故降价力度要大， 故舍去， 故， 答：每件商品应降价元． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，x的取值范围； （3）分别连结和，求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，根据函数图象的交点求的取值范围，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得： 当时，x的取值范围是：或； 【小问3详解】 解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ． 22. 如图，在中， （1）请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得，（保留作图痕迹，不写作法）并说明的理由； （2）在（1）的条件下，若已知，，求的长度． 【答案】（1） 如图所示：点D即为所求． 证明：由作图知， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作垂线段，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据题中要求，从而将题目要求转化为过点作的垂线，按照作垂线的尺规作图法作图即可得到答案； （2）利用勾股定理和相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由作图知， ， ∴在中，由勾股定理可得，， ， ， ． 23. 综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现 如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：（负值已舍掉）； 经检验是原分式方程的解． ∴； 拓展应用： 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可； （2）证明，利用相似比进行求解即可得出； 拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵将折叠，使边落在边上， ∴，， ∴，； 故答案为：； （2）略 拓展应用： 如图，连接，延长至点，使，连接， ∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为黄金三角形， ∴， ∴．即菱形的较长的对角线的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为． 24. 如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线l：与y轴交于点F． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线l：下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点F的直线与二次函数图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点，使得，请直接写出m的值． 【答案】（1） （2）存在点P，点P的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据图象的对称轴为直线，得出，再利用待定系数法即可解答； （2）先过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点,进一步得出，，进而得出为等腰直角三角形，进一步得出，根据平行线间的距离相等得出，利用勾股定理得出，进一步得到直线的解析式为，进而得出方程，即，解方程即可解答； （3）先过点作轴于点，过点作轴于点，设，，根据，得到，再根据当时，得出方程，利用根与系数的关系得出，，最后根据题意得出，即可解答． 【小问1详解】 解：二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得，， ， 二次函数图象过点， ， 解得，， ． 【小问2详解】 解：存在点P， 如图，过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点, ． 直线l：， 当时，； 当时，即，解得， ，， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 点P到直线l：的距离为，即（平行线间的距离相等）， ， ． 又，即直线l向下平移个单位长度可得到直线， 直线的解析式为， 当时，整理得， 解得，， 当时，； 当时，， 点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，． 根据题意，设，， ，，，． ， ， ， ， ，或者， 当时， 整理得， ∵， ∴， 此时点与点重合，不符合题意； 当时， 整理得，， 直线与二次函数图象交于A，B两点， 当时，即， ，， ，整理得，． 无论k取何值，都存在点，使得， 令，解得． 综上，． 25. 已知，在正方形中，点是上一点，点在射线上，连接，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当平分时， ①求证：； ②如图3，若点是的中点，连接交于点，连接交于点，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，. ， ， . 又， ， ； （2） ①如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， 平分， ， ， . ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，角平分线定义，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）结合正方形性质以及垂直的定义，证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）①延长，取，连接，结合正方形性质证明，利用全等三角形性质得到，.，再根据等腰三角形性质证明，即可解题； ②延长交的延长线于点，，结合角平分线性质，以及等腰三角形性质得到，再证明，，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图，延长交的延长线于，设， 点是的中点， ， . 平分， . ， ， ， ， . ， ， . ， ， . . ， ，. . . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2026—2027学年初三年段10月阶段练习（数学） 一．单选题（40分） 1. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，1 B. 1， C. 7，1 D. ，1 2. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A. 开口方向向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 5. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（ ）支小分支． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，，，在边上取点，使得与相似，则这样的点共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 二．填空题（24分） 11. 若两个相似三角形对应高的比为，则这两个相似三角形的相似比为______． 12. 请你构造一个函数，写出一个开口向下，对称轴是的抛物线的表达式：______． 13. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为_______________ 14. 已知反比例函数y＝，当－2≤x≤－1时，y的最大值是4，则当x≥8时，y的最小值为________． 15. 如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为_________． 16. 如图，将等边三角形折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，点分别在边上．如果，，那么的值为______． 三．解答题（86分） 17. 解下列方程： （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中m满足方程． 19. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 20. 某商场将进价为元的商品按元出售时，每天可售出件．为尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经市场调查发现，如果每件商品每降价元，每天可多售出件．若商场要想每天盈利元，每件商品应降价多少元？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，x的取值范围； （3）分别连结和，求的面积． 22. 如图，在中， （1）请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得，（保留作图痕迹，不写作法）并说明的理由； （2）在（1）的条件下，若已知，，求的长度． 23. 综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现 如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 24. 如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线l：与y轴交于点F． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线l：下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点F的直线与二次函数图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点，使得，请直接写出m的值． 25. 已知，在正方形中，点是上一点，点在射线上，连接，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当平分时， ①求证：； ②如图3，若点是的中点，连接交于点，连接交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $