吉林省长春市九台区第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

高二数学 （时间：120分钟 分数：150分） 注意事项： 1．本试卷分为第一卷（选择题）和第二卷（非选择题），共150分．考试时间共120分钟，2．考生作答时，将全部答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后只交答题卡． 3．本试卷考试范围：人教版必修二 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1．如图所示，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 2．已知直线绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（ ）A． B． C． D． 3．已知向量，，则在方向上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A． B． C． D． 5．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（ ） A．或 B．或 C． D． 6．过点作直线，若经过点和，且，均为正整数，则这样的直线可以作出（ ）， A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 7．如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ） A．4 B．2 C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A．若，为单位向量，则 B．若则向量是向量的相反向量 C．在正方体中， D．若空间向量，，满足，，则 10．下列说法正确的是（ ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A．若点与点重合，则异面直线与所成的角的大小为 B．若点满足，则动点的轨迹长度为 C．三棱锥体积的最大值为 D．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知直线，则直线过定点__________． 13．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，若，，，则向量在基底下的坐标为__________． 14．如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是__________． 四、解答题 15．（13分）如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，． （1）求的长； （2）求和夹角的余弦值． 16．（15分）已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求边上的中线所在直线方程； （2）求边上的高所在直线方程； （3）求边的垂直平分线的方程． 17．（15分）过作直线， （1）若在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． （2）若分别交轴、轴的正半轴与点，， ①当为中点时，求直线的方程： ②设是坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，点，分别为，的中点，点在线段上． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值； （3）若为线段上的动点，设，求三棱锥的体积与四棱锥的体积之比（用含的式子表示）． 19．（17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，定义直线经过点且以为方向向量，平面经过点且以为法向量． （1）若是平面内的任意一点，求证：； （2）另有平面的方程为，直线是平面与的交线，求直线与平面所成角的余弦值； （3）设点是空间任意一点，记向量．求证：点到直线的距离与点到平面的距离满足关系式：． 学科网（北京）股份有限公司 $