第二十七章反比例函数专题训练·复式双曲线：几何不变性及常见图形 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

九年级数学人教版上学期第二十七章反比例函数专题训练 复式双曲线：几何不变性及常见图形 【专题简介】 在同一坐标系中讨论两个反比例函数 与 （）的图象组合，称为复式双曲线问题．此类问题常以平行于坐标轴的割线、过原点的射线为依托，探究线段比例、多边形面积及几何定值． 解决复式双曲线问题的常用方法是设参表达与代数消元．设双曲线上动点坐标为 ，通过平行线、垂直或旋转等几何关系表示出相关各点的坐标，在求线段长、比值或图形面积时，参数 通过约分消去，从而得出不随动点位置变化的定值结论． 本专题分为六个子专题：平行坐标轴割线的截线比、双曲线环带与矩形面积差、斜边中点与直角三角形模型、中心对称与旋转不变性、平行四边形及菱形综合、动态割补与参数极值，系统梳理 的几何意义在复合双曲线背景下的拓展应用． 专题1　平行于坐标轴的割线与截线比不变性 1．【2025南京中考真题改编·割线比】如图，在第一象限内，反比例函数 与 的图象分别为双曲线 和 ．过 上的动点 作 轴的平行线交 于点 ，交 轴于点 ． （1）若点 的纵坐标为 ，求线段 的长度； （2）在点 运动的过程中，求 的值； （3）连接 、，求 的面积． 2．【教材改编·人教九上第二十七章】如图，双曲线 与 （）在第一象限内．点 为 上一点，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，交 于点 ；过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，交 于点 ． （1）若 ，，求 的值； （2）求证：； （3）若 ，且 ，求 的值． 3．【2025北京中考·梯形面积】如图，在平面直角坐标系中，直线 （）分别交双曲线 和 于点 、；直线 分别交两双曲线于点 、． （1）用含 的式子表示线段 和 的长度； （2）求证：四边形 是梯形； （3）若四边形 的面积为 ，求 的值． 4．【教材改编·华东师大九下第26章】如图，反比例函数 （）与 的图象分布在不同象限．过点 （）作 轴的平行线，分别交两双曲线于点 和点 ． （1）用含 和 的式子表示点 、 的坐标； （2）求 的值； （3）连接 、，若 的面积为 ，求 的值． 专题2　双曲线环带与图形面积差的不变性 5．【2025武汉期末·矩形面积差】如图，双曲线 与 在第一象限内．点 在 上，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交 于点 ；过点 作 轴的垂线，垂足为 ，交 于点 ． （1）求矩形 的面积； （2）求四边形 的面积； （3）探索：当点 在 上移动时， 的面积是否发生改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 6．【教材改编·北师大九上第六章】如图，点 为双曲线 上任意一点，过点 分别作两坐标轴的平行线，与双曲线 分别交于点 和点 ． （1）若点 的坐标为 ，求点 、 的坐标； （2）求证：线段 与 的乘积与点 的位置无关； （3）连接 、交两坐标轴于点 、，求 的面积． 7．【2025苏州中考模拟·水平割线】如图，在第一象限内，直线 平行于 轴，与双曲线 和 （）分别交于点 、，点 是 轴上任意一点． （1）若 ，，求 的面积； （2）用含 、 的式子表示 的面积； （3）若点 的坐标为 ，当 是等腰直角三角形且 时，求直线 的解析式． 8．【教材改编·人教九上第二十七章】如图，双曲线 与 在第一象限内．点 在 上，过点 作 轴的平行线交 于点 ；过点 作 轴的平行线交 于点 ．连接 、交坐标轴于点 、． （1）求线段 与 的比值； （2）求 的面积； （3）求证：点 是线段 投影形成的矩形的一个顶点，且矩形面积为定值． 专题3　复式双曲线与斜边中点及直角三角形模型 9．【2025成都中考真题改编·斜边中点】如图，Rt 的直角顶点 在原点 ，、 为另外两个顶点，且 ．反比例函数 经过顶点 ，反比例函数 经过斜边 的中点 ． （1）若点 的坐标为 ，求 的值及点 的坐标； （2）求 与 之间的倍数关系； （3）若过点 的双曲线解析式为 ，求 的值． 10．【教材改编·沪科版九年级上册】如图，在平面直角坐标系中，Rt 的斜边 在第一象限，，且 ．点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上． （1）求点 的横坐标与纵坐标的乘积； （2）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，求证：； （3）求 的值． 11．【2025杭州期末·等腰直角三角形】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的直角顶点 在双曲线 上，顶点 在双曲线 上， 轴， 轴． （1）求证：； （2）若点 的坐标为 ，求点 的坐标及 的值； （3）若点 落在双曲线 上，求 与点 坐标之间的恒等关系． 12．【原创·斜边中点与平方和】如图，反比例函数 与 的图象经过直角三角形 的顶点 和斜边 的中点 ． （1）判断点 在哪一条双曲线上； （2）若点 的坐标为 ，求点 的坐标及过点 的反比例函数解析式； （3）若 ，求证：（其中 为点 所在双曲线的系数）． 专题4　复式双曲线与中心对称及旋转不变性 13．【2025合肥中考·中心对称】如图，已知双曲线 （）和 关于坐标轴对称．过原点 的直线 分别交 于点 、，交 于点 、． （1）写出点 与点 关于原点的对称关系； （2）求证：； （3）若点 的坐标为 ，求四边形 的面积． 14．【教材改编·浙教版九年级上册】如图，在平面直角坐标系中，双曲线 与双曲线 在第一象限内．过原点 的射线 分别交两双曲线于点 和点 ． （1）求证： 为定值，并求出该定值； （2）若点 的横坐标为 ，求线段 的长度； （3）绕原点 旋转射线 ，探究 的面积变化情况． 15．【2025长沙期末·位似与相似】如图，反比例函数 与 （）在第一象限内．过原点作两条射线 、，分别交 于 、，交 于 、．已知 ． （1）求证：； （2）求证：； （3）若 ，且 ，求梯形 的面积． 16．【教材改编·人教九上第二十七章】如图，双曲线 上有点 ，绕原点 顺时针旋转 得到点 ． （1）求点 的坐标； （2）判断点 是否在反比例函数 的图象上； （3）若点 为双曲线 上的任意一点，它绕原点顺时针旋转 得到的点 恒在双曲线 上，请证明这一结论． 专题5　复式双曲线与平行四边形及特殊四边形综合 17．【2025济南中考·平行四边形】如图，平行四边形 的对角线在坐标轴上，顶点 在第一象限的双曲线 上，顶点 在第二象限的双曲线 （）上，对角线交点为原点 ． （1）求点 所在的象限及点 是否在双曲线 上； （2）分别过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、，若 ，，求 的值； （3）在（2）的条件下，求平行四边形 的面积． 18．【教材改编·华东师大九下第26章】如图，已知四边形 是菱形，顶点 为原点，顶点 在 轴正半轴上，顶点 在双曲线 上，顶点 在双曲线 上（）． （1）若点 的坐标为 ，求 的值及菱形边长； （2）在（1）的条件下，求点 的坐标及 的值； （3）探究： 与 之间是否存在恒定的数量关系？若存在，求出该关系；若不存在，说明理由． 19．【2025广州期末·矩形与对角线】如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 在双曲线 上， 在 轴上， 在 轴上．对角线 与双曲线 交于点 ． （1）求矩形 的面积； （2）求 的值； （3）过点 分别作两坐标轴的垂线，垂足为 、，求矩形 的面积． 20．【原创·平行线与面积定值】如图，双曲线 与 在第一象限内．点 在 上，点 在 上，且 轴；点 在 上，点 在 上，且 轴， 轴． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）设点 的坐标为 ，求点 、、 的坐标； （3）在（2）的条件下，求平行四边形 的面积． 专题6　动态割补与几何极值、参数定值综合探究 21．【2025郑州中考·极值探究】如图，在平面直角坐标系中，双曲线 与 位于第一象限．点 是 上的动点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，连接 ． （1）设点 的坐标为 （），用含 的代数式表示线段 和 的长； （2）求 面积的最小值； （3）探究：在点 运动过程中，线段 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 22．【教材改编·北师大九上第六章】如图，点 是双曲线 （）在第一象限分支上的动点，连接 并延长交双曲线 （）于点 ，以 为边向右侧作正方形 ． （1）求证： 为定值； （2）若 ，，且点 的坐标为 ，求正方形 的面积； （3）若正方形 的面积恒为定值，探究此时点 的运动受何限制． 23．【2025西安期末·垂直射线模型】如图，在平面直角坐标系中，双曲线 与双曲线 （）在第一象限内．动点 在 上，动点 在 上，且 ． （1）若点 的坐标为 ，求直线 的解析式； （2）在（1）的条件下，求点 的坐标及 的面积（用含 的式子表示）； （3）探究：当点 在 上任意移动时， 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 24．【原创·铅垂割线与等边三角形】如图，在平面直角坐标系中，双曲线 与双曲线 在第一象限内．点 是双曲线 上的动点，点 是双曲线 上的动点，且 轴．设点 的横坐标为 （）． （1）用含 的式子表示线段 的长度； （2）连接 、，求 的面积，并判断其是否随 改变； （3）在 轴上是否存在点 ，使得 为等边三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：（1） 点 在双曲线 上，且点 的纵坐标为 ， ，解得 ，即点 的坐标为 ． 轴， 点 的纵坐标为 ． 点 在双曲线 上，，解得 ，即点 的坐标为 ． ． （2）设点 的坐标为 （其中 ）． 轴交 轴于点 ， 点 的坐标为 ，点 的纵坐标为 ． 把 代入 ，得 ， 点 的坐标为 ． ，． ． （3） 以 为底，点 到直线 的距离为点 的纵坐标 ， ． 2．解：（1）设点 的坐标为 （）． 轴， 点 的坐标为 ，点 的纵坐标为 ． 把 代入 ，得 ． ，，． 当 ， 时，． （2）由（1）知，． 同理，点 的横坐标为 ，代入 得 ． ，，，． ． 又 ，． ，． （3）， 由题意 ，， ． ，． ，，解得 ． 3．解：（1）当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ． 当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ． （2） 直线 和直线 均垂直于 轴， ． 又 ，且 与 不平行， 四边形 是梯形． （3）梯形 的高为两平行线之间的距离 ． ． 梯形面积恒为定值 ，不随 改变，而题目要求面积为 ， 不存在这样的 使得面积等于 ．若将面积定为 ，则对任意 均成立． 4．解：（1） 直线 分别交两双曲线于 、， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （2），，，． ． （3）线段 ． 以 为底，点 到直线 的距离为 ． ． ，，解得 ． 5．解：（1） 点 在双曲线 上，且 轴， 轴， 矩形 的面积为 ． （2）设点 的坐标为 （）． 则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ，． ． （3） 的面积不发生改变，始终等于 ．理由如下： ，． ， 是直角三角形， ． 的面积为定值 ，不发生改变． 6．解：（1） 点 ，过点 作 轴平行线，交 于点 ， 点 的纵坐标为 ，把 代入 得 ，． 过点 作 轴平行线，交 于点 ， 点 的横坐标为 ，把 代入 得 ，． （2）设点 的坐标为 （）． 点 的纵坐标为 ，代入 得 ，． 点 的横坐标为 ，代入 得 ，． ． 为常数，与 无关， 线段 与 的乘积为定值，与点 的位置无关． （3）， 是直角三角形． ． 7．解：（1）设直线 的解析式为 （）． 则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ． 点 在 轴上， 点 到直线 的距离等于 ． ． 当 ， 时，． （2）由（1）推导知，． （3）当 是等腰直角三角形且 时，斜边 上的高为 ． 由题意斜边 上的高即为点 到直线 的距离 ． ，即 ． 把 ， 代入得 ． ，． 直线 的解析式为 ． 8．解：（1）设点 的坐标为 （）． 轴， 点 的纵坐标为 ． 把 代入 得 ，． 轴， 点 的横坐标为 ． 把 代入 得 ，． （比值随 改变）． （2）， 是直角三角形． ． （3）过点 作 轴平行线，过点 作 轴平行线交于点 ． 则四边形 的四条边分别平行于两坐标轴，四个角均为直角，故四边形 是矩形． 其相邻两边长分别为 ，． 为定值． 9．解：（1） 点 在双曲线 上，． 点 是线段 的中点，且 为原点， 点 的坐标为 ． （2）设点 的坐标为 ，则 ． 点 是 的中点， 点 的坐标为 ． 点 在双曲线 上， ． ． （3）由（2）知 ． ，． 10．解：（1） 点 在反比例函数 的图象上， ． （2）过点 作 轴于 ，过点 作 于 ． ，． 又 ，． 在 和 中， （AAS）． （3）设点 的坐标为 ，则 ． 由（2） 得：，． 点 的横坐标为 ， 点 的纵坐标为 （若 在 右下方）或 （若 在 右上方）． 当 在第一象限上方时，，，则 ； 当构造标准“一线三垂直”图形，若点 ，，由 且 ： 点 坐标为 ，其乘积为 ． 若 为以 为斜边，点 为直角顶点，点 为 中点，则 ． 当取特殊角时，． 11．解：（1） 是等腰直角三角形，且 轴， 轴， ，． （2） 点 在双曲线 上，且 轴， 点 的横坐标与点 相同，即 ． 点 在双曲线 上， 点 的纵坐标为 ． ． 又 轴，点 在 上， 点 的纵坐标为 ． 把 代入 得 ，． 自然满足，若已知 ，则 ，解得 ，． （3）设点 的坐标为 ． 点 在 上，且 ，，． 点 在 上，且 ，，． ，． ，，即 ． ，． 当且仅当点 的横坐标为 时，点 、 能同时落在双曲线 上． 12．解：（1） 点 是斜边 的中点，且 为原点， 设点 坐标为 ，则 ． ， 点 在双曲线 上，点 在双曲线 上． （2） 点 在 上，且 为 中点， 点 的坐标为 ． 点 的坐标满足 ， 过点 的反比例函数解析式为 ． （3）在 Rt 中，， 由勾股定理得：． 点 是 的中点，． ． 当点 满足特殊位置时， 与 存在直接关联． 13．解：（1） 反比例函数 的图象是中心对称图形，对称中心为坐标原点 ， 直线 经过原点 且交双曲线于 、 两点， 点 与点 关于坐标原点 对称，即 ． （2）同理，直线 交双曲线 于 、 两点， 点 与点 关于坐标原点 对称，即 ． ，即 ． （3） 点 在双曲线 上，． 直线 经过原点 和点 ，其解析式为 ． 联立 ，得 ，即 ，无实数根！ 说明经过第一、三象限的直线与第二、四象限的双曲线没有交点． 若直线 过第一、三象限交 于 、，直线 过第二、四象限交 于 、 且 ： 设 ，则 ，． 直线 ，联立 得 ，解得 ． ，，． ， 四边形 为菱形， 其面积 ． 14．解：（1）设射线 的解析式为 （，）． 联立 ，得 ，解得 ，． ． 联立 ，得 ，解得 ，． ． 为定值． （2）当点 的横坐标为 时，代入 得 ，． ． 由（1）知 ， ． （3） 点 、、 三点共线， 的三个顶点在同一直线上，不能构成三角形，其面积恒为 ． 15．解：（1）设射线 （），由第 14 题结论知： ，． ． 同理，设射线 （），亦有 ． ． （2）在 和 中， ，且 （公共角）， ． ，． （3）由（2），其相似比为 ． 当 时，相似比为 ． ． ，． ． 16．解：（1）点 在第一象限，过点 作 轴于 ，则 ，． 点 绕原点 顺时针旋转 得到点 ，则点 在第四象限， 且 ，． 点 的坐标为 ． （2）， 点 的坐标满足解析式 ， 点 在反比例函数 的图象上． （3）证明：设点 是双曲线 上的任意一点，则 ． 点 绕原点 顺时针旋转 后的对应点为 ． 由平面直角坐标系中点的旋转变换公式得：，． ． ，． 点 的坐标恒满足方程 ， 即点 恒在双曲线 上． 17．解：（1） 四边形 是平行四边形，且对角线交点为原点 ， 点 与点 关于坐标原点 对称． 点 在第一象限， 点 在第三象限． 双曲线 关于原点对称， 点 也在双曲线 上． （2） 轴，点 在 上，． 同理， 轴，点 在 上，． ． 点 在第二象限，，． （3）连接 、、、． 平行四边形 被两对角线分为四个面积相等的三角形， ． 设点 （），点 （）． 由坐标面积公式，． 当取特殊对称位置 时，． ． 18．解：（1） 点 在双曲线 上，． 在 Rt 中，由勾股定理得 ． 四边形 是菱形， 菱形的边长为 ． （2） 顶点 在 轴正半轴上，且 ， 点 的坐标为 ． 且 ， 点 的坐标为 ． 点 在双曲线 上， ． （3）不存在恒定的常数比例关系．理由如下： 设点 ，则 ，，边长 ． 点 的坐标为 ，则 ． 的值随点 的具体位置变化而改变， 与 的比值不是定值，不存在恒定的数量关系． 19．解：（1） 点 在双曲线 上，且矩形两边在坐标轴上， ． （2）设直线 的解析式为 （）． 点 是直线 与 的交点，，解得 ，． 点 是直线 与 的交点，，解得 ，． ，即点 是线段 的中点． ，． （3） 点 在双曲线 上，且 轴， 轴， ． 20．解：（1）设点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 ． 轴， 点 的纵坐标为 ． 把 分别代入 、 得 ，，． 同理，把 分别代入 、 得 ，，． 要使四边形 是平行四边形，必须 ，即 ，从而 ． 但此时点 与点 重合，不能构成四边形！ 若题意为 、 在 上，且 的延长线与 相交，当选定点使得四边形对边平行： 已满足，只要 且 即为平行四边形． （2）若点 ，则点 的纵坐标为 ，代入 得 ，． 若取点 ，则点 在 上且 轴． 点 在 上且纵坐标为 ，代入得 ，． （3）四边形 的底 ， 为梯形， 高 ，其面积 ． 21．解：（1） 点 在 上，过点 作 轴平行线交 于点 ， 点 的纵坐标为 ，代入得 ，． 过点 作 轴平行线交 于点 ， 点 的横坐标为 ，代入得 ，． （2）， 是直角三角形． ． 的面积为定值 ，不存在所谓的最小值，其值恒为 ． （3）存在最小值．理由如下： 在 Rt 中，由勾股定理得：． ， 当且仅当 即 时取等号． 的最小值为 ， 的最小值为 ． 22．解：（1）设直线 的解析式为 （）． 联立 ，解得 ． 联立 ，解得 ． 为定值． 也为定值． （2）当 ， 时，，，即 ． 点 ，． ． 正方形 的面积为 ． （3）正方形面积 ． 随点 在双曲线上的移动而改变， 不是常数， 要使面积为定值，射线斜率 必须固定，即点 不能沿整条双曲线自由滑动，而只能在固定射线上（即点 为固定点）． 23．解：（1） 点 ，直线 过原点， 直线 的解析式为 ． （2），且直线 的解析式为 ， 直线 垂直于直线 ． 在第一象限内，不存在与直线 垂直且经过原点的射线（垂直直线解析式为 ，经过第二、四象限）． 若点 在第二象限或第四象限的同一双曲线分支上： 设点 在 （）的第二象限分支上，直线 ． 联立 得 ，即 ，解得 ，． ，． ，且 ， ． （3）不是定值．设点 ，则 ． 垂线方向随 改变，乘积 与 相关，故面积随动点位置改变． 24．解：（1） 轴，且点 的横坐标为 ， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ． （2） 以 为底，高为点 到直线 的水平距离 ． ． 的面积恒等于 ，不随 的改变而改变． （3）若 为等边三角形，且边 垂直于 轴，边长为 ， 则等边三角形的高为 ． 点 的纵坐标必等于线段 的中点纵坐标： ． 又 题目要求点 在 轴上，． 但 无解（）， 在 轴上不存在这样的点 使得 为等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $