精品解析：天津市南开中学2026-2027学年第一学期高一年级“启航计划”数学学科阶段性测试试卷

2026-2027学年度第一学期高一年级“启航计划”数学学科阶段性测试 温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分．考试时间100分钟，祝同学们考试顺利！ 第I卷（选择题，共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若,则集合B中元素的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知集合有且只有8个子集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 的最小值为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 当时，的最大值是-1 B. 当时，的最大值是5 C. 的最小值是2 D. 对正实数，若，则的最小值为3 11. 若且就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 64 D. 128 12. 下列说法正确的有（ ） ①“且”是“”的充要条件 ②若，，则 ③当时，的最小值为6 ④若实数，满足，，，则的最小值为2 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题，共52分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 已知数集，，若，则________. 14. 不等式的解集为_________． 15. 若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 16. 已知，，，则的最小值为______． 17. 已知，则当且仅当__________时取得最小值，最小值为__________． 18. 已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 19. 已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______. 20. 已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为________．（用数字作答） 三、解答题（本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 已知集合，. （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围. 22. 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若全集，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高一年级“启航计划”数学学科阶段性测试 温馨提示：本试卷包括第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分．考试时间100分钟，祝同学们考试顺利！ 第I卷（选择题，共48分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若,则集合B中元素的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出集合B，进而可得集合B中元素的个数． 【详解】由题意得集合， 所以集合B中共有4个元素． 故选：D． 2. 命题“” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“” 的否定是“”. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由得或，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由得，即或， 则“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 5. 如果，那么下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论． 【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确． 可得，，，故B不正确． 可得，，，故C不正确． 故选：D． 6. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 7. 若不等式，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：用变量替换，再得出解集 详解： 点睛：不等式只能线性运算,． 8. 已知集合有且只有8个子集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，根据其子集个数列关系式求解范围. 【详解】，因为集合有且只有个子集， 所以集合中有且只有个整数，可知，三个整数关于对称， 所以， 所以，解得. 9. 的最小值为（ ） A. B. 9 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【详解】，当且仅当，即时取等. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 当时，的最大值是-1 B. 当时，的最大值是5 C. 的最小值是2 D. 对正实数，若，则的最小值为3 【答案】C 【解析】 【分析】逐项利用基本不等式求解最值，检验等号成立条件，识别 C 选项等号无法成立，判定 C 为错误说法. 【详解】对于A：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，A正确； 对于B：，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，B正确； 对于C：，因为无解， 所以等号不成立，即，所以不是的最小值，C错误； 对于D：由得， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得此时， 所以的最小值为3，D正确. 11. 若且就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 64 D. 128 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和” ，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求. 【详解】因为，；，； ，；，； 这样所求集合即由，，“和” ，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集． 所以满足条件的集合的个数为， 故选:A. 12. 下列说法正确的有（ ） ①“且”是“”的充要条件 ②若，，则 ③当时，的最小值为6 ④若实数，满足，，，则的最小值为2 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件定义判断①；举例说明判断②；利用基本不等式求出最小值判断③④. 【详解】对于①，当时，，则，当且仅当时取等号， 当时，，则，当且仅当时取等号， 因此“且”是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，，取，则，②错误； 对于③，当时，，， 当且仅当时取等号，③错误； 对于④，由，得 ，当且仅当时取等号，④正确， 因此说法正确的个数为1. 第II卷（非选择题，共52分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 已知数集，，若，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论即可. 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 14. 不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 15. 若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 16. 已知，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值. 【详解】依题意. 当且仅当时等号成立. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 17. 已知，则当且仅当__________时取得最小值，最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. ，即， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 18. 已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 ①. 2 ②. 13 【解析】 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 19. 已知a，b为正实数，且，则的最小值为_______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据基本不等式求最小值即可. 【详解】∵a，b为正实数，且， ∴， ∴， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为8. 故答案为：8 20. 已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为________．（用数字作答） 【答案】512 【解析】 【分析】分析每个元素出现的总次数，然后根据题意求解即可. 【详解】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次， 则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作， 则这些和的总和是 ． 故答案为：512 三、解答题（本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 已知集合，. （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将代入计算，结合集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，且， 则， 又或，则或. 【小问2详解】 当时，则，解得， 此时满足； 当时，则，即， 由可得或， 解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 22. 设集合，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围； （3）若全集，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【小问1详解】 ，. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. 【小问2详解】 . ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 则实数a的取值范围为. 【小问3详解】 若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 则实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $