精品解析：吉林省长春外国语学校2026-2027学年高二上学期第一学程调研数学试题

长春外国语学校2026-2027学年第一学期第一学程调研数学试题 高二年级 数学学科 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 经过点(m,3)和(2,m)的直线与斜率为-4的直线互相垂直，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 3. M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，用向量，，表示，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 已知，，，为坐标原点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的坐标为(　　) A. B. C. D. 7. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 8. 在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 在空间直角坐标系中，、、，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 点关于轴的对称点为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 10. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线距离的最小值为 11. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 与平面所成夹角的正弦值为 D. 平面与平面所成夹角的正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两个不同平面的法向量分别是，，则这两个平面的位置关系是________． 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 14. 在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，则直线到的距离为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知坐标平面内两点. （1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； （2）若直线的方向向量为，求的值. 16. 如图，在正三棱柱中，是的中点. （1）化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； （2）求. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． （1）求到直线的距离； （2）求到平面的距离． 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的余弦值． 19. 将一个边长为的正六边形图沿对折，形成如图所示的五面体，其中，底面是正方形． （1）求五面体图中的余弦值； （2）如图，点，分别为棱，上的动点． 求周长的最大值，并说明理由； 当周长最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2026-2027学年第一学期第一学程调研数学试题 高二年级 数学学科 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 经过点(m,3)和(2,m)的直线与斜率为-4的直线互相垂直，则m的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】应用两点式表示直线斜率，根据两线垂直有斜率之积为-1，即可求m的值. 【详解】由题意得：，解得. 故选：B. 2. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，，结合投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，， ，， 向量在向量方向上的投影向量的模为. 故选：D. 3. M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，用向量，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图结合空间向量线性运算知识可得答案. 【详解】如图， . 故选：D 4. 如图，长方体中，，，、、分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示，然后利用空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】如图 所以 所以异面直线与所成角的余弦值 故选：A 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题. 5. 已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（ ）. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 6. 已知，，，为坐标原点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设==，，结合A、B的坐标求、的坐标，再应用向量数量积的坐标表示得到关于t的表达式，利用二次函数性质求最小值时对应的坐标． 【详解】设==，， ∵，，，O为坐标原点，D在直线OC上运动， ∴=，=， ∴= 当时，取最小值，此时． 故选：C． 7. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量不能构成基底，可得向量共面，根据空间向量基本定理，待定系数求解即可. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以存在实数、使得， 即， 即， 因为是空间的一个基底， 则，解得． 故选：． 8. 在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】两两垂直，故以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，取的中点为，连接， 则， ，， 则， 又因为，，，平面，故平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 则，所以 为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 在空间直角坐标系中，、、，则（ ） A. B. 异面直线与所成的角为 C. 点关于轴的对称点为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用空间向量法可判断BD选项；利用空间中点的对称性可判断C选项. 【详解】因为在空间直角坐标系中，、、， 对于A选项，，，所以，，A对； 对于B选项，设异面直线与所成的角为，则， ，故， 所以，异面直线与所成的角为，B错； 对于C选项，点关于轴的对称点为，C对； 对于D选项，易知平面的一个法向量为， 所以，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为，D对. 故选：ACD. 10. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将动点在线段上的位置用参数表示，从而把外接球直径、向量垂直条件、及点到直线距离等几何问题全部转化为关于的代数运算，其中外接球可通过补成长方体快速求解，垂直问题化为向量数量积为零，距离最值则归结为闭区间上二次函数的最值. 【详解】由题意以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系. 则，由动点在线段上， 可设，则， 所以，即. 对于A：将四棱锥补成长、宽、高分别为1，1，2的长方体，其外接球即为四棱锥的外接球，外接球直径等于长方体体对角线长， 即，所以， 所以外接球表面积为，故A正确； 对于B：因为， 所以， 令，得，故存在点使，故B正确； 对于C：因为，， 故， 因为二次函数在时取到最小值， 所以，故C错误； 对于D：直线即轴， 点到的距离为， 二次函数在时取最小值， 所以，故D正确. 11. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 与平面所成夹角的正弦值为 D. 平面与平面所成夹角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用平面几何知识说明即可； 对于B：只需要证明即可； 对于C：建立空间直角坐标系，计算与平面的法向量，再代入线面角的计算公式； 对于D：计算平面和平面法向量，在代入面面角的计算公式. 【详解】因为，，，为的中点，所以，,四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故B正确； 如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形， 所以，，，所以， 又因为四边形为平行四边形，可得，又，所以为等边三角形，为中点， 所以，与不垂直，故A错误； 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，， 四边形为平行四边形，所以， 又因为为中点，所以且，， 则有，所以， 互相垂直， 以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得，，即， 则，令，得，，即， 所以与平面所成角的正弦值为，故C正确； ，则 所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误. 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两个不同平面的法向量分别是，，则这两个平面的位置关系是________． 【答案】平行 【解析】 【分析】由题可得向量的位置关系即可判断. 【详解】因为两个不同平面的法向量分别是，， ∴， 所以这两个平面的位置关系是平行. 故答案为：平行. 13. 已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 14. 在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，则直线到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在上取点，使，连接，证明平面，从而将问题转化为求点到平面的距离．连接，取中点为G，连接，以A为坐标原点，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求解． 【详解】如图， 连接，在上取点，使，连接， 结合，可得， ∵平面，且平面， ∴平面， 则直线到的距离即直线到平面的距离，即点到平面的距离． 由，， 根据勾股定理逆定理可得，， 连接，取中点为G，连接， ∵底面是菱形，，∴是等边三角形， ∴，又，∴， 于是以A为坐标原点，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 由，可得的坐标， 由，可得的坐标， 则，，． 设平面的法向量为， 则所以 令，则，所以． 所以点到平面的距离， 从而直线到的距离为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知坐标平面内两点. （1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； （2）若直线的方向向量为，求的值. 【答案】（1）直线的倾斜角为锐角时，为钝角时或； （2） 【解析】 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【小问1详解】 直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； 【小问2详解】 由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 16. 如图，在正三棱柱中，是的中点. （1）化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； （2）求. 【答案】（1），如图所示 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则以及向量的运算法则化简，再根据向量关系在图中标出对应向量， （2）先对向量式子进行变形，再利用正三棱柱的性质和勾股定理求解. 【小问1详解】 因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示 【小问2详解】 取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． （1）求到直线的距离； （2）求到平面的距离． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）建系，用空间向量方法表示直线外一点到已知直线的距离公式求解即可； （2）建议，用空间向量方法表示平面外一点到已知平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以到直线的距离为 【小问2详解】 由（1）得，， 设平面的法向量为，则 取，则，，得， 所以到平面的距离为 18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为底面是平行四边形，，所以，． 又，，所以，， 又，平面，所以平面． 设，则，由，得， 解得（负值已舍去），则，． 因为，所以，故， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，再由勾股定理求出，即可得到，从而证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点， 直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的法向量为， 则，令，得． 由图可知，是平面的一个法向量． 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 【点睛】 19. 将一个边长为的正六边形图沿对折，形成如图所示的五面体，其中，底面是正方形． （1）求五面体图中的余弦值； （2）如图，点，分别为棱，上的动点． 求周长的最大值，并说明理由； 当周长最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2），理由为： 等腰梯形中，,由（1）知连接， 则  ，所以. 所以 等腰梯形中，,由（1）知 连接 ，则 ，所以. 如下图 若 ，显然当与重合，与重合时，最大， 最大值为 ； 若与不平行，当时，如图展开平面和平面， 与平面 在同一平面，过作的平行线，交于点，连接，并延长，与交于点. 此时， ， 又 所以 的最大值为. 由上图的对称性，同理可得，当时，所的最大值为. 综上所述，在图 3中，当与重合，与重合时，的周长最大，最大为． 【解析】 【分析】利用空间中线面、线线及面面的位置关系和已知条件，得出垂直关系，再建立空间直角坐标系．根据直线与直线所成角的向量求法，计算得结论 ①利用余弦定理解三角形，结合图形判断得当与重合，与重合时，的周长最大，并求出最大值②利用平面与平面夹角的向量求法，计算得结论． 【小问1详解】 如图，正六边形中，沿对折后，此平行关系不变， 所以折叠后的图中，，且． 取的中为，的中点为，连接． 因为底面是正方形，所以，即，且． 连接，，则由知：． 因为，、平面，所以平面， 而底面，因此底面平面，交于． 过在平面作直线，交于， 则由底面平面，得底面. 因为、底面，所以，．故，，两两垂直. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系： 则，，，． 中，因为，所以， 在等腰梯形中，，，因此，， 所以，所以，， 所以． 所以五面体图中的余弦值为. 【小问2详解】 ①略 ②由①知：与重合，与重合，如（1）建立空间直角坐标系，则，． 设平面的法向量为， 因为，， 所以由得，取得，， 因此是平面的一个法向量． 设平面的法向量为． 因为，， 所以由得，取得，， 因此是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 因此， 即平面与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $