吉林省长春外国语学校2026-2027学年高二上学期第一学程调研数学试题

倒 桌春分调得罗按 敦品兼修向学笃行 Moral Cultivation Persistent Endeavor 长春外国语学校2026-2027学年第一学期第一学程调研数学试题 高二年级数学学科 出题人：刘健豪 审题人：王先师 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。考试结束后，将答题 卡交回。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形 码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.经过点(，3)和(2，m的直线与斜率为-4的直线互相垂直，则的值为() A.2 B.号 c.9 D.4 2.已知向量ā=(2，-3,0)，万=(0,3,4)，则向量在向量方向上的投影向量的模为() A.写 B.9V3 13 c. 0.3 3.M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且ON=0M,用向量OA,OB,OC 表示AN,则A=() A.0A+0B-0C B.0A-0B+0C c.-0A-30B+30d D.-0A+0B+0C 第1页 4.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=4,AD=2,E、F、G分别是DD1、AB、CC1 的中点，则异面直线AE与GF所成角的余弦值是() D A …E B G B A.0 B.0 5 c号 0. 5.已知空间向量=(2,1,3),b=(-1,2,-2),=(7,6,),若向量元，b,共面，则实数的值 为(). A.9 B.10 C.11 D.12 6.已知A(1,2,3),B(2,1,2),C(1,1,2),0为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当DA·DB 取最小值时，点D的坐标为( ） A.( B.() c.() D.( 7.若{e,e,e)是空间的一个基底，且向量a=e1+e2,b=e2+e3c=e1+te3不能构成空间 的一个基底，则t=() A.-1 B.1 C.0 D.-2 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为B1C1的中点，则平面ABQ与平面ACC1A1夹角的余弦值为 () A. C.四 √⑩ 15 D. 5 共7页 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个得3分：若只有 3个正确选项，每选对一个得2分。) 9.在空间直角坐标系0xyz中，A(1,0,0)、B(1,2,-2)、C(0,0,-2),则() A.OC.AB=4 B.异面直线OC与AB所成的角为 C.点B关于x轴的对称点为(1，-2,2) D.直线0B与平面A0C所成角的正弦值为号 10.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA1平面ABCD,PA=2,AB=1,动点M在 线段PC上，则() B A.四棱锥P-ABCD的外接球表面积为6π B.存在点M,使得AC⊥BM C.MB+MD的最小值为 D.点M到直线AB的距离为5 11.如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等 腰梯形，BC/AD,EF/AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=V10,FB=2V3,M为AD的中点， 则下列说法正确的是() 第2页 F E M B A.BD⊥AD B.BM/平面CDE C.BF与平面EMB所成夹角的正弦值为3 39 D.平面8FM与平面EMB所成夹角的正弦值为号 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知两个不同平面的法向量分别是元1=(2,2，-1)，元2=(-4-1,2)，则这两个平面的位 置关系是 13.已知两点A6,0),B(O,4),动点Px,y)在线段AB上运动，则的取值范围是 14.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AB=a,PB=PD=V2a,点E 在PD上，且PE:ED=2:1,则直线PB与直线CE之间的距离为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(13分)己知坐标平面内两点M(m+3,3m+5),N(2m-1,1) (1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m的取值范围： (2)若直线MN的方向向量为a=(1,-2023),求m的值. 共7页 16.(15分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,D是AC的中点. B D B (1)化简AAi-(BA+BC⊙， 并在图中标出化简后的结果所对应的向量： (2)求AA+AB-Ad 17.(15分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别是AB,CC1的中点. D A B F E B (1)求B,到直线DE的距离： (2)求B1到平面D1EF的距离 第3页 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC∩BD=O,A0=2D0, PA-PC=2V2,PB=PD=AD=5. D B (1)证明：平面PAC1平面PBD. (2)求二面角A-PC-B的余弦值. 19.(17分)将一个边长为2的正六边形ABCDEF(图1)沿CF对折，形成如图2所示的五面体， 其中，底面ABDE是正方形， E E D B B B 图1 图2 图3 (1)求五面体（图2）中∠FBE的余弦值； (2)如图3，点G,H分别为棱AB,ED上的动点. ①求△FGH周长的最大值，并说明理由； ②当△FGH周长最大时，求平面FAE与平面FGH夹角的余弦值. 共7页 长春外国语学校2026-2027学年第一学期第一学程调研考试高二年级 数学（参考答案） 一、 单项选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D A B C A D 二、多项选择题 9 10 11 ACD ABD BC 三、填空题： 12.平行： 13.(-∞，-u1+∞)：14.25。 四、解答题： 15.(直线MW的倾斜角为锐角时-专<m<4,为钝角时m<-或m>4 3 (2)m=2024 505 【分析】(1)由斜率为正或为负求解； (2)由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论 【详解】(1）直线MN的倾斜角为锐角时，k=m>0,解得-手m<4, 直线MN的倾斜角为钝角时，k=m+5'<0,解得m<-或m>4, m+3-(2m-1) 所以直线MN的倾斜角为锐角时，-专<m<4,为钝角时，m<-或m>4 (2)由已知MN=(m-4,-3m-4),又直线MN的方向向量为a=(1,-2023), 所以-2023(0m-④=-3m-4,解得m=2024 505 16.(1)DB1,如图所示 第4页 (2W5 【分析】(1)利用向量加法的平行四边形法则以及向量的运算法则化简，再根据向量关系在图 中标出对应向量， (2)先对向量式子进行变形，再利用正三棱柱的性质和勾股定理求解， 【详解】(1)因为D是AC的中点，所以(BA+BC)=BD: 所以AA-(BA+BC)=BB-BD=DB:在图中标出，如图所示 B B (2)取BC中点E,连接EB1,所以AB-AC=(A店-AC)=C丽=E丽 所以AA+AB-AC=AA+EB=EB+BB1=EB 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所以BB11BE 所以hM+号0专ad--a8r=T-E 17.(1)2 (2)10w2 29 【分析】(1)建系，用空间向量方法表示直线外一点到已知直线的距离公式求解即可： (2)建议，用空间向量方法表示平面外一点到已知平面的距离公式求解即可. 共7页 【详解】(1) ZA D B D 以D为原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0,0,2),E(2,1,0),B1(2,2,2),D1E=(2,1,-2),B1E=(0,-1,-2), 所以a到直线D,的距离为，回，一@正需-5-(y=2 (2)由(1)得F(0,2,1),D1F=(0,2,-1), 设平面D1BF的法向量=（化，y,则：D,正=2x+y-2z=0 元.D1F=2y-z=0 取y=2,则x=3,z=4,得元=(3,2,4)， 所以B1到平面D1EF的距离为D正列-上1x2-2x4=102西 1√32+22+42 29 18.(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，ACn BD=O,所以A0=OC,B0=0D. 又PA=PC,PB=PD,所以PO L AC,PO1BD, 又AC n BD=O,AC,BDC平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD. 设D0=t,则A0=2t,由PA2-A02=PB2-B02,得8-4t2=5-t2, 解得t=1（负值已舍去)，则A0=2,D0=1. 因为AD=V5,所以AD2=A02+D02,故A0⊥D0, 因为P0∩D0=O,PO,D0C平面PBD,所以A01平面PBD. 第5页 又AOC平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD. 吗 【分析】(1)首先证明P01平面ABCD,再由勾股定理求出AO,即可得到AO1D0,从而证明A0⊥ 平面PBD,即可得证； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】(1)略 (2)由（1)可知，OA,OB,OP两两垂直，以0为坐标原点， 直线OA,OB,OP分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(-2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,2),所以BC=(-2,-1,0),BP=(0,-1,2) 设平面BCP的法向量为元=(x,y,z), mBC=-2x-y=0,令x=1,得元=(1，-2，-1). 则 m·BP=-y+2z=0 由图可知，元=(0,1,0)是平面PAC的一个法向量， 设二面角A-PC-B的大小为9，易知9为锐角，则cos9=需-忌=5 所以二面角A-PC-B的余弦值为号 B 【点睛】 19.a 共7页 (2)①2+4W3,理由为： 等腰梯形CDEF中，CF=4,DE=EF=CD=2,由(1)知FM=1,连接EM, 则 EM1CE,EM=V3,∠EFC=LEFM=背，所以LFED= 所以 FD= FER+ED2-2FD·EDcos3 亚=2W3 等腰梯形ABCF中，CF=4,AB=AF=BC=2,由(1)知FM=1, 连接 AM,则AM⊥CE,AM=V5,LAFC=∠AFM=F,所以∠FAB=,FB=2W3 如下图 若 GH/BD,显然当G与B重合，H与D重合时，FG+GH+FH最大， 最大值为 FB+BD+FD=4V3+2: 若GH与BD不平行，当AG<EH时，如图展开平面ABCF和平面CDEF, 与平面 ABDE在同一平面，过D作GH的平行线，交AB于I点，连接FI,并延长，与BD交于点J 此时， F D+DI+FI>F H+GH+FG, 又 F D+BD+FB=F D+DJ+JB+BF>F D+DJ+FJ =FD+DJ+JI+AI>FD+DI+AI 所以 FG+GH+F1H的最大值为FB+BD+F,D=2+43. F G1. B C由上图的对称性，同理可得，当AG>EH时，所FG+GH+F1H的最大 值为FB+BD+F1D=2+4V3. 综上所述，在图 3中，当G与B重合，H与D重合时，△FGH的周长最大，最大为2×25+2=2+4V3. ⑧5 【分析】(1)利用空间中线面、线线及面面的位置关系和己知条件，得出垂直关系，再建立空间 直角坐标系.根据直线与直线所成角的向量求法，计算得结论； (2)①利用余弦定理解三角形，结合图形判断得当G与B重合，H与D重合时，△FGH的周长最大， 并求出最大值；②利用平面与平面夹角的向量求法，计算得结论. 【详解】(1)如图1，正六边形ABCDEF中AB/CF/DE,沿CF对折后，此平行关系不变， 所以折叠后的图2中，AB/FC,且FE=FA=AB=ED=2. 取AE的中为O,BD的中点为N,连接ON. 因为底面ABDE是正方形，所以AB/ON,即FC//ON,且OA⊥ON. 连接FO,NC,则由FE=FA知：OA1F0. 第6页共7页 因为F0nON=O,F0、ONc平面ONCF,所以OA1平面ONCF, 而OAC底面ABDE,因此底面ABDE⊥平面ONCF,交于ON. 过O在平面ONCF作直线OM1ON,交FC于M, 则由底面ABDE∩平面ONCF=ON,得OM⊥底面ABDE 因为ON、OAc底面ABDE,所以OM1OA,OM1ON.故OA,ON,OM两两垂直， 以0为坐标原点，OA,ON,OM所在直线分别为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系： 则A(1,0,0),B(1,2,0),D(-1,2,0),E(-1,0,0) △AEF中，因为FE=FA=AE=2,所以OF=V3, 在等腰梯形0NCF中，FC=2AB=4,ON=AB=2,因此FM=1,OM=V2, 所以F(0,-1,V2),所以BF=(-1,-3,V2,BE=(-2,-2,0), 所以cosLFBE=cOS<BF,BE>= BE.BE w 8 呵 所以五面体（图2习中LFBE的余弦值为护 (2)①略 ②由①知：G与B重合，H与D重合，如(1)建立空间直角坐标系，则G(1,2,0),H(-1,2,0). 设平面FGH的法向量为n=(x1,yZ1), 因为GF=(-1,-3,V2,GH=(-2,0,0), 第7 所以由CF了=0得x1-3:+221=0,取z1=3得x1=0,y1=2, GH.n=0 -2x1=0 因此n=(0,V2,3)是平面FGH的一个法向量. 设平面FAE的法向量为m=(x2,y2,Z2). 因为AF=(-1,-1,V2,AE=(-2,0,0), 所以由7=0得-+22=0，取2，=1得x2=0,2=V2, AE.m=0 -2x2=0 因此m=(0,V2,1)是平面FAE的一个法向量. 设平面FAE与平面FGH夹角为8(0<6≤)， 因此ms9=kos<成i-得 5 33 即平面FAE与平面FGH夹角的余弦值为 33 页共7页