精品解析：吉林长春力旺实验中学2026-2027学年 九年级上学期第一次学情自测数学试题

力旺实验中学 2026-2027学年度上学期九年级积微知著·数学 一．选择题（共8小题） 1. 下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数定义为形如的整式函数，据此解答即可． 【详解】解：A、，符合定义，故此选项符合题意； B、此函数为一次函数，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意； C、表达式为分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意； D、表达式为分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知中，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式方程为，顶点坐标是，对称轴是直线．根据抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴直线方程． 【详解】解：∵抛物线方程为 ， ∴对称轴为直线． 故选：A． 4. 在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 5. 二次函数的最大值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】把函数解析式化为顶点式，即可． 【详解】解：， ∴该函数图象的顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的最大值为9． 6. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值． 根据已知正弦值，即可得锐角的度数． 【详解】解：∵ ， 为锐角， ∴ ． 故选：B． 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的二次函数的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为． 8. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴，与轴交点坐标，结合图象即可判断所在坐标系的原点． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为，与轴交点坐标为， 观察图象可知，坐标系的原点可能是点． 二．填空题（共6小题） 9. 二次函数的图象与轴交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为． 10. 若抛物线与轴只有一个交点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】当抛物线与x轴只有一个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式为零，据此列式计算即可． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 11. 如图，在的正方形网格中，______． 【答案】 【解析】 【分析】利用网格特点得到，然后根据正切的定义求解． 【详解】解：如图，在中，，， 所以， 即． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形：灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义计算直角三角形中未知的边和角． 12. 二次函数，当自变量时，函数的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题， 先将解析式化为顶点式，再利用顶点式求解即可，掌握顶点式是解题的关键． 【详解】解：二次函数 配方得 ，顶点坐标为 ， ∵二次项系数为负， ∴抛物线开口向下， ∵自变量取值范围为 ， ∴顶点 不在内，且当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 14. 在二次函数中，与的部分对应值如表： ．．． 0 1 3 4 ．．． ．．． 2 4 2 ．．． 下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③抛物线与坐标轴有2个交点；④抛物线一定经过点；⑤该抛物线图象一共经过四个象限．其中正确的结论有___________．（只填序号） 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】先由，；，求出对称轴，再结合表格中和的函数值大小关系，判断开口方向，再依次对5个结论逐一辨析． 【详解】由表格，时，时， 抛物线对称轴为直线． 离对称轴更近，时的函数值大于时的函数值， 抛物线开口向下，故①正确． ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而减小，不是，故②错误． 当时，，与轴交于；开口向下，存在函数值大于0和小于0的点，抛物线与轴有个交点，与坐标轴一共个交点，故③错误． ∵对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点是， ∵时， 时，即抛物线过，故④正确． 抛物线开口向下，与轴交于正半轴，与轴有两个交点，顶点在第一象限，会经过一、二、三、四，四个象限，故⑤正确． 综上，正确的是①④⑤． 三．解答题（共10小题） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）使用求根公式法求解； （2）通过移项和因式分解法求解． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴. 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入特殊角的三角函数值进行运算即可； （2）直接代入特殊角的三角函数值进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高．（结果精确到米）参考数据：，， 【答案】大桥立柱的高约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再根据，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，米， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴大桥立柱的高约为米． 18. 已知二次函数解析式为， （1）将此二次函数化成顶点式； （2）此二次函数的对称轴为___________；顶点坐标为___________； （3）当___________时，随的增大而增大，当___________时，随的增大而减小． 【答案】（1） （2）直线， （3）， 【解析】 【分析】（1）把含的项凑成完全平方式，进而转化即可； （2）根据二次函数的性质作答即可； （3）根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴此二次函数的对称轴为直线；顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵此二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 19. 如图，在中，的平分线交于点，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，则四边形的面积为___________． 【答案】（1）菱形，理由如下： ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论； （2）证明四边形是正方形，根据正方形的性质即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴四边形的面积为． 20. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的边上画点，连接，使； （2）在图②中的边上画点，连接，使； （3）在图③中的边上画点，连接，使． 【答案】（1）解：画图如下： 则点P即为所求． （2）解：画图如下： 则点Q即为所求． （3）解：画图如下： 则点M即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，根据，只需作即可； （2）作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，解答即可； （3）根据三角形相似的判定和性质，得到，根据正切函数的定义，得到． 【小问1详解】 解：根据题意，得，作，则， 画图略， 则点P即为所求． 【小问2详解】 解：作；根据三角形全等的性质，得到是等腰直角三角形，连接，交于点Q，根据，画图略． 则点Q即为所求． 【小问3详解】 解：根据三角形相似的判定和性质，得到，连接交于点M，根据正切函数的定义，得到， 则点M即为所求，画图略． 21. 二次函数的部分图象如图所示，该二次函数图象过点，对称轴为直线， （1）___________0，___________0，___________0，（填“”“”或“”） （2）___________0，___________0，（填“”“”或“”） （3）___________0，（填“”“”或“”） （4）___________； （5）若点、点、点在该函数图象上，则和的大小关系为___________．（用“”连结） 【答案】（1），， （2）， （3） （4）0 （5） 【解析】 【分析】（1）由开口方向判断a符号，结合对称轴公式与a的符号判断b符号，根据抛物线与y轴交点位置判断c符号． （2）将代入解析式，结合已知交点得的值；利用对称性求出另一交点，判断的正负． （3）根据抛物线与轴交点个数，直接判断判别式的大小． （4）把对称轴代入对称轴公式，变形整理求出的值． （5）开口向下，点距离对称轴越近函数值越大；算出各点到对称轴距离，比较距离得到函数值大小． 【小问1详解】 抛物线开口向下， ， 对称轴为直线，，可得， ∵抛物线与轴交于正半轴， ． 【小问2详解】 ∵当时，，图象过点， ． ∵由对称轴和交点，可得抛物线与轴另一交点为， ∴当时，， ． 【小问3详解】 ∵抛物线与轴有两个交点， ． 【小问4详解】 ∵对称轴， 整理得， ． 【小问5详解】 ∵抛物线对称轴为直线，开口向下，点离对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， ， ． 22. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）求这条抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当时，求的取值范围； （4）点为该抛物线上一点，且位于对称轴左侧，过点作轴平行线交抛物线于另一点，若，求的面积． 【答案】（1） （2）直线，顶点坐标为 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将点、代入求解即可； （2）将二次函数化为顶点式，进而计算即可； （3）结合直线在范围内作答即可； （4）由题意可知、关于抛物线对称轴对称，可知两点到对称轴的水平距离为，求出的横坐标，得到边上的高，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：将点、代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：直线在范围内， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，； 【小问4详解】 解：∵轴， ∴、关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴两点到对称轴的水平距离为， 即的横坐标为， 将代入解析式得， 即边上的高为点到直线的距离， ∴． 23. 如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． （1）___________； （2）连接，求证：； （3）当点在边上时，求的长； （4）是线段上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2）证明：根据题意，得点关于点的对称点为点， ， 以为斜边构造等腰直角三角形， ， ． （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，得，解答即可； （2）根据等腰三角形的三线合一性质，证明； （3）根据等腰直角三角形的性质，正切函数的定义，解答即可； （4）分在三角形的内部和外部两种情况，求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ． 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 根据题意，得点关于点的对称点为点， ， 以为斜边构造等腰直角三角形， ， ，． ，， ， 为边的中点， ， ， ． 【小问4详解】 解：当在的内部时．如图，延长交于点， 根据题意，得， 解得， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 当在的外部时．如图，根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知抛物线的对称轴为直线，点在此抛物线上，设点的横坐标为．点在轴上，且横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上． （1）求抛物线的解析式及其与轴交点坐标； （2）若点在轴下方，当点到轴距离是到轴距离2倍时，求的值： （3）当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围； （4）若点在第四象限，抛物线位于矩形内部及边界的图象最高点与最低点纵坐标之差为1时，的值为___________． 【答案】（1）；和 （2）或； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得，即可作答． （2）根据点在此抛物线上，且点的横坐标为，则，根据题意，得，求解即可． （3）分①当矩形在对称轴的同侧，且在对称轴的右侧时，②当矩形在对称轴的两侧时，两种情况求解即可． （4）根据题意，分三种情况作图，运用数形结合思想以及分类讨论，进行作答即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴； 令，得， 解得， 故与轴交点坐标和． 【小问2详解】 解：， 令，得， 解得， 点在轴下方， ， 点在此抛物线上，且点的横坐标为，则， 根据题意，得， 或， 整理，得或， 解得或， ，不在这个范围，舍去， 故m的值为或； 【小问3详解】 解：根据题意，得点的横坐标为．点在轴上，且横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上． ∴轴，， 如图，根据题意，得点P关于抛物线的对称轴的对称点的横坐标为， 当，解得，此时矩形的内部不包含抛物线，当时，矩形不存在， 故当时，抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值随的增大而增大； 如图，当时，抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值随的增大而增大，也有随的增大而减小的，不符合要求； 如图，当时，抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值随的增大而减小，不符合要求； 当时，抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值随的增大而增大，也有随的增大而减小的，不符合要求； 综上所述，符合要求的m的取值范围是． 【小问4详解】 解：点在第四象限， ， 根据题意，得点的横坐标为．点在轴上，且横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上． ∴轴，， 当时，得， ①当时，此时，如图， 当时，二次函数的函数值为， 当时，二次函数的函数值为， 由于，由二次函数性质得,从而矩形不包括抛物线的任何部分； ①当时，即时，如图， 当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值， 故， 整理，得， 解得，（舍去）， 而，满足， 即 ③当，且时，即，如图， 矩形内函数的最大值为0，当时，函数取得最小值， 故， 整理，得， 解得， 故不符合要求，舍去， 此时； 综上或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 力旺实验中学 2026-2027学年度上学期九年级积微知著·数学 一．选择题（共8小题） 1. 下列函数中，是二次函数的是（    ） A. B. C. D. 2. 已知中，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 5. 二次函数的最大值为（ ） A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 6. 若，则锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二．填空题（共6小题） 9. 二次函数的图象与轴交点坐标是___________． 10. 若抛物线与轴只有一个交点，则的值为___________． 11. 如图，在的正方形网格中，______． 12. 二次函数，当自变量时，函数的最大值为_____． 13. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 14. 在二次函数中，与的部分对应值如表： ．．． 0 1 3 4 ．．． ．．． 2 4 2 ．．． 下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③抛物线与坐标轴有2个交点；④抛物线一定经过点；⑤该抛物线图象一共经过四个象限．其中正确的结论有___________．（只填序号） 三．解答题（共10小题） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 计算： （1）； （2）； 17. 长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高．（结果精确到米）参考数据：，， 18. 已知二次函数解析式为， （1）将此二次函数化成顶点式； （2）此二次函数的对称轴为___________；顶点坐标为___________； （3）当___________时，随的增大而增大，当___________时，随的增大而减小． 19. 如图，在中，的平分线交于点，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，则四边形的面积为___________． 20. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的边上画点，连接，使； （2）在图②中的边上画点，连接，使； （3）在图③中的边上画点，连接，使． 21. 二次函数的部分图象如图所示，该二次函数图象过点，对称轴为直线， （1）___________0，___________0，___________0，（填“”“”或“”） （2）___________0，___________0，（填“”“”或“”） （3）___________0，（填“”“”或“”） （4）___________； （5）若点、点、点在该函数图象上，则和的大小关系为___________．（用“”连结） 22. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点． （1）求这条抛物线所对应的函数表达式； （2）求这条抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当时，求的取值范围； （4）点为该抛物线上一点，且位于对称轴左侧，过点作轴平行线交抛物线于另一点，若，求的面积． 23. 如图，在中，，，．为边的中点，为线段上一点（不与点重合），点关于点的对称点为点，以为斜边构造等腰直角三角形，点和点在直线的同侧． （1）___________； （2）连接，求证：； （3）当点在边上时，求的长； （4）是线段上一点，连接．当，且时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知抛物线的对称轴为直线，点在此抛物线上，设点的横坐标为．点在轴上，且横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上． （1）求抛物线的解析式及其与轴交点坐标； （2）若点在轴下方，当点到轴距离是到轴距离2倍时，求的值： （3）当抛物线在矩形内部的图象所对应的函数值随的增大而增大时，求的取值范围； （4）若点在第四象限，抛物线位于矩形内部及边界的图象最高点与最低点纵坐标之差为1时，的值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $