精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

仁寿一中南校区高2025级高二上学期10月月考 数学试卷 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页.满分150分， 考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 考试结束后将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一顼是符合题目要求的. 1. 已知直线经过，两点，则直线的斜率为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 2. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 3. 抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字的正方体玩具．设事件为“向上一面点数为偶数”，事件为“向上一面点数为6的约数”，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 设，且，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 5. 已知事件、、两两互斥，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若甲、乙、丙三人排队，则甲排在第二位的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（    ） A. 设是两个随机事件，“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 B. 若，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 C. 若三个事件两两独立，则满足 D. 若事件相互独立，，则 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 11. 如图，在长方体中，，，点P，E分别为AB，的中点，点M为直线上的动点，点N为直线上的动点，则（ ） A. 对任意的点N，一定存在点M，使得 B. 向量，，共面 C. 异面直线PM和所成角的最小值为 D. 存在点M，使得直线PM与平面所成角为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 13. 已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为______. 14. 棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为_____. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人． （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响．求：甲、乙至少有一人发球成功的概率． 16. 在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响. （1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率； （2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，为正三角形，平面，，，点 满足（ ）． （1）若时，求三棱锥的体积； （2）若平面过直线，且平面，平面与侧棱，分别交于点，．是否存在点 ，使得平面与平面的夹角为？若存在，请说明点 的位置，并求此时的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区高2025级高二上学期10月月考 数学试卷 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页.满分150分， 考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 考试结束后将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一顼是符合题目要求的. 1. 已知直线经过，两点，则直线的斜率为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接代入直线斜率公式即可. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为， 故选：D． 2. 已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. 3 B. 1 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 共面， 存在，使， 即， 解得， 故选：. 3. 抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字的正方体玩具．设事件为“向上一面点数为偶数”，事件为“向上一面点数为6的约数”，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知并事件所包含的情况，结合古典概型公式计算得答案； 【详解】由题意得，抛掷结果有6种可能，事件即为向上一面的点数为2或4或6， 事件即为向上一面的点数为1或2或3或6， 事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6， 所以． 故选：D. 4. 设，且，则（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案. 【详解】因为，所以； 由．所以； 所以． 故选：D 5. 已知事件、、两两互斥，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率公式求出、. 【详解】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B 6. 若甲、乙、丙三人排队，则甲排在第二位的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】甲在三个位置（第 1、第 2、第 3 位）是等可能的， 甲只可能在第 1 位、第 2 位、第 3 位，共 3 种等可能情况， 所以甲在第二位的概率. 7. 设，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线恒过定点，若直线与线段有交点，画图图形，求出临界时直线的斜率与直线的斜率，即可得解. 【详解】由得， 因此直线过定点，且斜率， 如图所示，当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时，符合题意． 易得，． 结合图形知或，解得或， 即的取值范围是． 故选：C 8. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出向量在基底下的表达式，并整理成向量在基底下的表达形式，由对应系数相等，可解得系数. 【详解】由题意可得，设， 即有， 则有，解得即， 即向量在基底下的斜坐标为． 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（    ） A. 设是两个随机事件，“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件 B. 若，则事件相互独立与互斥一定不能同时成立 C. 若三个事件两两独立，则满足 D. 若事件相互独立，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由对立事件和互斥事件的定义以及充分条件和必要条件即可判断A；由相互独立事件和互斥事件的定义即可判断B；根据独立事件的概率性质即可判断C；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义即可判断D. 【详解】对于A，互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生， 互斥事件是对立事件的必要条件，但对立事件是互斥事件的充分条件， “与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A错误； 对于B， ，若事件相互独立，则； 若事件互斥，则，两者矛盾， 因此事件相互独立与互斥一定不能同时成立，故B正确； 对于C，考虑投掷两个骰子，记事件A为第一个骰子的点数为奇数， 事件B为第二个骰子点数为奇数，事件C为两个骰子的点数之和为奇数， 于是有， ，故C错误； 对于D，若事件相互独立，则 ，故D正确. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若两个不同平面，的法向量分别是，，且，则 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B， ，所以，则直线或者，,B错误; 对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确； 对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在长方体中，，，点P，E分别为AB，的中点，点M为直线上的动点，点N为直线上的动点，则（ ） A. 对任意的点N，一定存在点M，使得 B. 向量，，共面 C. 异面直线PM和所成角的最小值为 D. 存在点M，使得直线PM与平面所成角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的方法可判断ACD的正误，利用中位线和长方体的性质可判断B的正误. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 故，设，，， 而，故即， 故， 若，则即， 当时，不存在，故当为中点，不存在，使得，故A错误. 连接，则，由长方体可得，故， 故，，即，，共面，故B正确. ，故 ， 当时，，此时； 当时，， 令，设，则， 故， 所以异面直线PM和所成角的范围为，故直线PM和所成角的最小值为， 故C正确. 平面的法向量为， 故， 若直线PM与平面所成角为，则， 故，所以或，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：空间位置关系中的最值问题，可通过建立空间直角坐标系，把角的最值问题或存在性问题转化为函数的最值或方程的解的问题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 【答案】 【解析】 【详解】联立和的方程，解得，，因此与的交点为， 直线的斜率为，因为与该直线平行，所以的斜率也为， 由点斜式代入交点，得，整理得. 13. 已知复数，其中，，则复数是纯虚数的概率为______. 【答案】 【解析】 【详解】复数是纯虚数，则且， 因为，共 2 种取值，，共3种取值， 所以总复数个数：种， 满足是纯虚数的有和两种， 所以复数是纯虚数的概率为. 14. 棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 所以， ， 因为平面， 所以， 故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ的最小值为. 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人． （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响．求：甲、乙至少有一人发球成功的概率． 【答案】（1），抽取到的2人全是男队员的概率为0.3 （2）0.94 【解析】 【小问1详解】 设3名男队员为，2名女队员为， 采用不放回简单随机抽样抽取2人，所有可能的基本事件为： ，共个， 其中抽取到的2人全是男队员，包含的基本事件为：，共3个， 故抽取到的2人全是男队员的概率为：． 【小问2详解】 设 “甲发球成功” 为事件M，“乙发球成功” 为事件N， 由题意知M与N相互独立，且． 甲、乙至少有一人发球成功的对立事件是“两人发球都失败”， 两人发球都失败的概率为：， 故至少一人发球成功的概率为：． 16. 在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响. （1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率； （2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 【答案】（1）甲队总得分为分的概率为，分的概率为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得； （2）首先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得； 【小问1详解】 解：依题意记甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件， 则， ， 所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为； 【小问2详解】 解：依题意甲队总得分为分的概率为， 得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为； 乙队总得分为分的概率为，得分的概率为， 得分的概率为，得分的概率为； 则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）在中，因为，分别是，的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理求证； （2）以点为坐标原点建系，计算平面的法向量，利用公式计算即可； （3）利用空间向量中点到平面的距离公式计算. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，． 因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，分别是棱，，的中点， 所以，，，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 18. 如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】18. 证明如下： 是正三角形，为的中点， ． 又是直三棱柱， 平面ABC， ． 又， 平面． 19. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案． 【18题详解】 略 【19题详解】 连接，由（1）知平面， ∴直线与平面所成的角为， ． 是边长为2的正三角形，则， ． 在直角中，，， ． 建立如图所示坐标系，则，，，，． ，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为． ，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为． 设平面与平面夹角为，则 ． 平面与平面夹角的余弦值为． 19. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，为正三角形，平面，，，点 满足（ ）． （1）若时，求三棱锥的体积； （2）若平面过直线，且平面，平面与侧棱，分别交于点，．是否存在点 ，使得平面与平面的夹角为？若存在，请说明点 的位置，并求此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）连接，， 由平面过直线，且，平面，则平面是平面， 因为平面，平面平面，所以， 结合（1）的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 又，，，， 则，所以， ，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 显然是平面的一条法向量， 又平面与平面的夹角为， 则， 整理得，解得，或（舍去）， 即点，分别为侧棱，的中点，且平面的法向量为， 又点 满足（ ）， 结合（1）有， 则， 又平面，则， 所以，解得， 所以存在点（为的三等分点，且靠近处），使得平面与平面的夹角为． 结合（1），在中有，则， 在正三角形中，有，则， 又平面，，则平面， 又平面，则， 所以此时的面积为． 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质，及三角形的性质证明线线垂直，从而建立空间直角坐标系，再根据空间向量的线性关系确定点的坐标，进而利用等体积法即可求出三棱锥的体积； （2）先根据线面平行的性质证明，再结合（1）的空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值求出点，的位置，再根据平面的法向量与平面内直线的关系求出的值即可判断是否存在点，并求处此时的面积即可． 【小问1详解】 取的中点，取的中点，连接，，则， 又平面，则平面， 又平面，则，， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 在，由，， 则，，，， 在正三角形中，，则， 所以，，， 又点 满足（ ）， 则，则， 若，则，即点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $