精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2024级高二12月月考 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 某种细菌在生长过程中，每10分钟分裂一次（由一个分裂为两个），经过50分钟后，此细菌可由一个分裂成（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） （参考数据：，） A. 0.3413 B. 0.4772 C. 0.6826 D. 0.9544 3. 已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 已知随机变量服从二项分布，且，则（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 6. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ） A. 8种 B. 48种 C. 192种 D. 384种 8. 已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 B. 已知X是随机变量，则 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 10. 已知，若，则正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为5 D. 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等差数列，，则________． 13. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是______. 14. 若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，数列的前项和为，若，求的最大值． 16. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） （2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 17. 据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和. （1）甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； （2）设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列. 18. 已知（e为自然对数的底数） （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，恒成立； （3）已知，如果当时，恒成立，求的最大值. 19. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二12月月考 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 某种细菌在生长过程中，每10分钟分裂一次（由一个分裂为两个），经过50分钟后，此细菌可由一个分裂成（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得分钟后共有个，将代入求解即可. 【详解】由题意可得一个细菌10分钟后共有个，20分钟后共有个，……， 从而得到分钟后共有个， 所以经过5次分裂(即50分钟后)，有个. 故选；D. 2. 已知随机变量X服从正态分布，则（ ） （参考数据：，） A. 0.3413 B. 0.4772 C. 0.6826 D. 0.9544 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质写出，再根据正态分布知识即可求解. 【详解】随机变量X服从正态分布, , , 根据正态分布对称性可得. 故选：B. 3. 已知数列满足对任意的，都有．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件赋值可求得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 4. 曲线在点处的切线斜率为（   ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用商的导数来求切线斜率即可. 【详解】求导得：， 当时，切线斜率， 故选：A. 5. 已知随机变量服从二项分布，且，则（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】应用二项分布的方差，计算求得，结合二项分布的期望计算可得结果. 【详解】因为，解得， 所以，则. 故选：D 6. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，在已知甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定甲骰子的点数为偶数的可能情况和概率，然后求甲骰子的点数为偶数的每种情况下乙骰子的点数小于甲骰子的点数可能情况和概率，最后相加即是最后结果. 【详解】设事件A为“甲骰子的点数为偶数”，那么点数的可能性为2，4，6， 而且每种可能性的概率为. 当甲骰子的点数为2时，要使得乙骰子的点数小于甲骰子的点数，此时乙骰子的点数只能是1， 此种情况概率为. 当甲骰子的点数为4时，要使得乙骰子的点数小于甲骰子的点数，此时乙骰子的点数是1，2，3， 此种情况概率为. 当甲骰子的点数为6时，要使得乙骰子的点数小于甲骰子的点数，此时乙骰子的点数是1，2，3，4，5， 此种情况概率为. 所以甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为： . 故在已知骰子甲骰子的点数为偶数的条件下，乙骰子的点数小于甲骰子的点数的概率为 故选：C. 7. 一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（ ） A. 8种 B. 48种 C. 192种 D. 384种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，要全部参观并且路线不重复，分为四步，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，若要全部参观并且路线不重复，可得分为四步： 第1步，选择四个“环形”路线中的一个，有4种选法，再按顺时针和逆时针方向参观有2种选法，共有； 第2步，选择三个“环形”路线中的一个，有3种选法，再按顺时针和逆时针方向参观有2种选法，共有； 第3步，选择两个“环形”路线中的一个，有2种选法，再按顺时针和逆时针方向参观有2种选法，共有； 第4步，最后一个“环形”路线，按顺时针和逆时针方向参观有2种选法，共有， 由分步计数原理，则不同的参观路线共有种不同的路线. 故选：D. 8. 已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得数列的通项公式，进而可得，进而分为偶数与奇数两种情况求得，进而可得，求解即可． 【详解】因为数列满足，， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，记， 则，即 当为偶数时，， 当为奇数时，， 因为不等式恒成立，即， 所以， 所以，， 所以解得，所以的取值范围为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（　　） A. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 B. 已知X是随机变量，则 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可判断A，根据方差的性质可判断B，根据残差图的性质可判断C，根据相关系数的性质可判断D． 【详解】对于A，对于等差数列，无论项数n为奇数或偶数，中位数均为首项与末项的平均数， 根据等差数列的性质可知，首项与末项的平均数即为整体的平均数， 所以等差数列的中位数和平均数相等，故A正确； 对于B，由方差的性质可知，， 所以，故B正确； 对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确； 对于D，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知，若，则正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为5 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，已知式变为，可求得判断A； 令，二项式化为，可求得判断B； ,利用二项式展开式可判断除以6所得余数，判断C； 二项式两边都对求导后令可求得，从而判断D． 【详解】令，得∴，所以A正确； 令∴，所以，所以B错误； 由A知， 所以， 所以除以6的余数为5，C正确； 对于D，由， 两边求导可得， 令，得，所以D正确． 故选：ACD 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极大值为 D. 方程有两个不同的解 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断 【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误， 对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确， 对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确， 对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等差数列，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用等差数列的下标性质求解即可. 【详解】因为是等差数列且， 所以，由等差数列的性质可得,故答案为2. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属容易题．等差数列的性质:若，则． 13. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是______. 【答案】0.72## 【解析】 【分析】利用全概率公式求解从该地市场上买到一个合格产品的概率，需要先确定不同厂家产品的概率以及在各厂家产品条件下买到合格产品的概率，再根据全概率公式计算最终结果. 【详解】设“买到的产品是甲厂产品”为事件，“买到的产品是乙厂产品”为事件. 已知甲厂产品占，乙厂产品占，所以，. 记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件. 因为甲厂产品的合格率是，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率； 又因为乙厂产品的合格率是，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率. 根据全概率公式. 将，，，代入上式可得： 故答案为：. 14. 若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，令，可知当时符合题意，利用导数可得函数的单调性和最小值，其中，令最小值大于或等于0，进而得解. 【详解】由题意可知，令， 当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以函数有最小值为， 而为单调递减的直线，如图， 此时不恒成立，不符合题意； 当时，， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解， 设解为，则，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 由题意恒成立，所以， 所以， 当且仅当时取等号，此时. 【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程有解，设解为，则，从而表示出的最小值，进而求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，数列的前项和为，若，求的最大值． 【答案】（1） （2）98 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质列方程，设公差求解，舍去，再用通项公式求. （2）先求，对裂项，用裂项相消法算，根据解不等式求最大值. 【小问1详解】 设的公差为，则 ，解得或（舍去） 即的通项公式为； 【小问2详解】 ，， 由，即，解得 的最大值为98． 16. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限（单位：年） 2 4 5 6 8 失效费（单位：万元） 3 4 5 6 7 （1）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性的强弱． （已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）（的结果精确到0.0001） （2）求关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费． 附：样本的相关系数，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1），线性相关性很强 （2），8.5万元 【解析】 【分析】（1）根据相关系数公式，分别求出变量的均值及和值，代入公式求得相关系数，并判断相关性强弱即可； （2）根据第一问求得的值，结合线性回归方程求解公式求得参数，写出回归方程，并预测10年的失效费即可. 【小问1详解】 由表知，，， ， ，， ， 故，认为与线性相关性很强； 【小问2详解】 由（1）知，， 又，， 故关于的线性回归方程为， 当时，，即估算10年的失效费为8.5万元． 17. 据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和. （1）甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； （2）设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列. 【答案】（1）乙进入决赛的可能性最大 （2） 的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解； （2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列. 【小问1详解】 甲队进入决赛的概率为， 乙队进入决赛的概率为， 丙队进入决赛的概率为， 显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大． 【小问2详解】 由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为， 的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 18. 已知（e为自然对数的底数） （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，恒成立； （3）已知，如果当时，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） ， 设，， 则，所以在上单调递增， 所以，即， 所以当时，恒成立； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，然后利用导数的几何意义求切线方程； （2）将不等式转化为恒成立，构造函数，，然后求其最小值即可； （3）将不等式转化为恒成立，构造函数，然后求导研究其最值即可. 【小问1详解】 由已知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当，时，， 令，，则， 令，则，所以在上单调递增， 令，得，令，得， 当，即时，在上单调递增， 所以，即恒成立， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合恒成立， 所以， 所以当时，恒成立，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是等价转化为证明在上恒成立，然后再设新函数，利用导数得到范围. 19. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求取值范围． 【答案】（1） （2） ①设为“第天选择米饭套餐”，则， 根据题意， 由全概率公式得：， 因此，因为， 所以是以为首，为公比的等比数列． ② 【解析】 【分析】（1）设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，根据条件求出，再利用全概率公式，即可求解； （2）①设为“第天选择米饭套餐”，根据条件得到，，利用全概率公式得到，即可证明结果；②由①得到，再对分类讨论，利用单调性，即可求解. 【小问1详解】 设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择米饭套餐”，则为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意， 由全概率公式得：. 【小问2详解】 ①略 ②由①可得， 当为大于的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的第①问，利用全概率公式得到，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $