精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市第二十九中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

初三年级10月份质量检测数学试卷 考生注意： 1．全卷共三道大题，总分120分 2．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】解：A不是整式； B含有两个未知数； C中二次项系数有可能为零； D是一元二次方程. 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 2. 是关于的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值 【详解】解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0， 得a+2b＝－1， 2a+4b＝2（a+2b） ＝2×（－1） ＝－2. 故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△>0，即4-4××（-1）>0，则m的取值范围为且． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是一元二次方程. ∴△>0,即4-4××（-1）>0，. ∴且. 故选择C. 【点睛】本题考查根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是掌握根的判别式和一元二次方程的定义. 4. 某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的增长率问题可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键． 5. ，与为二次函数图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数化为顶点式，根据开口向下可知，距离对称轴越远的点函数值越小，由此即可得出结论． 【详解】二次函数化为顶点式为，开口向下，对称轴为，且距离对称轴越远，函数值越小， ∵，与距离对称轴的距离依次为1，4，5， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质．理解函数开口向下，距离对称轴越远函数值越小是解题关键． 6. 已知是关于x的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 6或10 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程，解之可得x的取值，进而可得三角形三边可能的边长，由此可得三角形的周长． 【详解】解：把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， ∵， ∴三角形三边为4、4、2， ∴的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程，等腰三角形的性质，能够熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 7. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型． 8. 若，则代数式的值（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，结合解答即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 即． 9. 若，则二次函数的图象的顶点在 （ ） A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】分析：由a=1＞0得到此函数的开口向上，由b＜0，a＞0，得到对称轴x="-" b/2a>0，即对称轴位于y轴的右侧．即可能是位于第一或第四象限；由c=-1＜0得到与y轴的交点为在y轴的负半轴上，可能位于第三或第四象限，由此可以确定二次函数y=x2+bx-1的图象的顶点的位置． 【详解】解：∵a=1＞0， ∴此函数的开口向上， ∵b＜0，a＞0， ∴对称轴x=-b/2a>0 即对称轴位于y轴的右侧， 即可能是位于第一或第四象限； ∵c=-1＜0， ∴与y轴的交点为在y轴的负半轴上， 可能位于第三或第四象限 ∴二次函数y=x2+bx-1的图象的顶点在第四象限． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论①②③④（为任意实数）⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与轴交点情况推理，抛物线的性质进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：， ，对称轴为直线， ∴，则， ∴，故①正确，符合题意； ②当，，则， 故②正确，符合题意； ③当，，则， ∵， ∴， 故③错误，不符合题意； ④∵抛物线的对称轴为直线，则当时，有最小值为, ∴，即， 故④错误，不符合题意； ⑤∵，，且， 将看作一条平行于轴的直线，且位于轴上方（包括与轴重合）， ∴抛物线的图象与这条直线始终有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故⑤正确，符合题意； 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共21分） 11. 将化成的形式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，利用完全平方公式进行配方后求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解： ，， ∴， 故答案为：． 12. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 14. 已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 【答案】0或 【解析】 【分析】当时，原函数为一次函数，与x轴，y轴各有一个交点，符合题意；当时，原函数是二次函数，由于该函数与y轴交于点，那么与x轴只有一个交点，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：当时，，此时函数为一次函数， 当时，，解得，故此时函数与x轴有一个交点， 当时，，此时函数与y轴有一个交点， ∴此时原函数与坐标轴有两个交点，符合题意； 当时，原函数是二次函数， 当时，，即该函数与y轴交于点 ∵二次函数与y轴必然有一个交点， ∴当函数的图象与坐标轴有两个交点时该函数与x轴只有一个交点， ∴， 解得； 综上所述，k的值为0或． 15. 九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成两组，在每一组中进行单循环的小组赛（每两个班之间比赛一场），再从每组选出前名班级进行比赛，最后进行决赛得出名次；若组共进行了场小组赛，设组有个班，则可列方程为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了场小组赛”是解决本题的关键．设组有个班，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故小组赛的总场数为场，从而可建立方程解答． 【详解】解：设组有个班，由题意可列出方程为． 16. 把二次函数的图象向左平移个单位后再向上平移个单位，得到的二次函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位后变成， 再向上平移个单位，二次函数解析式为：， 17. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】2024 【解析】 【分析】分别过点，，作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设， ， ，则，， ，再根据正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，逐步代入抛物线中，求a、b、c的值，得出规律，即可求出的边长为． 【详解】解：如图所示，分别过点，，作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C． 设， ， ， 则，， ， 在中， ， 代入二次函数中，得到方程， 解得，即 在中， ， 代入二次函数中，得到方程， 解得，即 在中， ， 代入二次函数中，得到方程， 解得，即， 以此类推可得的边长为2024． 三．解答题（共69分） 18. 计算 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方、零指数幂、绝对值和负整数指数幂，再进行加减法运算即可． 【详解】解： ． 19. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， （1）求的取值范围． （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，的值，再根据建立方程，解方程，并结合（1）的结论求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（符合题意）或（舍去）， 答：的值为． 21. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如下图所示的坐标系． （1）点坐标为____________________． （2）求抛物线的解析式． （3）一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？ 【答案】（1） （2） （3）货车能从隧道中顺利通过 【解析】 【分析】（1）直接利用抛物线的对称性求解即可； （2）先说明点A、B的坐标，再结合点P的坐标运用待定系数法求解即可； （3）先说明当车在隧道正中行驶时，，算出y与4作比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵隧道最高点位于的中央且距地面，， ∴点P的横坐标为，纵坐标为6，即点坐标为． 【小问2详解】 解：由题意可知：点，点，点， 设抛物线的解析式为， 则，解得：， 所以抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：∵一辆货车高，宽， ∴当车在隧道正中行驶时，， 当时，，则货车能从隧道中顺利通过． 22. 已知抛物线经过点，且经过直线与轴的交点及与轴的交点． （1）求抛物线的解析式． （2）求抛物线的顶点坐标． （3）若点在第四象限内的抛物线上，且，垂足为，则点的坐标为________． （4）在对称轴上找一点，使的值最小，则最小值是________． 【答案】（1） （2） （3） （4）5 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数解析式求出B、C坐标，再把A、B、C坐标代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）把（1）所求解析式化为顶点式即可解答； （3）如图：过点D作轴于E，先求出，得到，再说明是等腰直角三角形，易得，求出直线解析式为，联立求解即可； （4）先说明抛物线对称轴直线为，如图：作点O关于对称轴直线的对称点，则，连接，易得当三点共线时，的值最小，最小值为，再利用两点间距离公式求得当三点共线时，的值最小，最小值为即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴， 把，代入中得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过点D作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为D， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不合题意舍去）， ∴． 【小问4详解】 解∶∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴直线为， 如图：作点O关于对称轴直线的对称点，则，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴在对称轴上找一点，使的值最小，则最小值是5． 23. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本． （1）当售价为60元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？ （3）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）400千克 （2）60元或80元 （3）当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元 【解析】 【分析】（1）由月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，可求解； （2）设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解； （3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，由二次函数的性质可求解． 【小问1详解】 解：当售价为60元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×（60﹣50）＝400千克； 答：当售价为60元/千克时，每月销售水果400千克． 【小问2详解】 解：设每千克水果售价为x元， 由题意可得：8000＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]， 解得：x1＝60，x2＝80， 答：每千克水果售价为60元或80元； 【小问3详解】 解：设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元， 由题意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000， 因为水果销售量不少于400千克， 所以，500﹣10（m﹣50）≥400， 解得，m≤60， ∵﹣10＜0，当m＜70时，y随x增大而增大， ∴当m＝60时，y有最大值为8000元， 答：当每千克水果售价为60元时，获得的月利润最大值为8000元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系，并据此列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质． 24. 已知，如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点的坐标为， （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值； （3）若抛物线上有一点，使∠ACM=45°，求点坐标． 【答案】（1）； （2） （3）M（4，5） 【解析】 【分析】（1）根据OC=3OA，A（-1，0），求出C点坐标（0，-3），把点A，C的坐标代入，求出a与c的值，即可求出函数解析式； （2）先求出直线BC的函数关系式，如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N．设M（m，m-3）则D（m，），然后表示出DM的长，然后根据，转化为二次函数求最值； （3）过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H，证明△OAC≌△HKA，可得K（2，1），用待定系数法求出直线CM的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标；． 【小问1详解】 ∵OC=3OA，A（-1，0）， ∴C（0，-3）． 把点A，C的坐标代入得 解得： ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 令y=0，则，解得：， ∴B（3，0）， 设直线BC的解析式为y=px+q， 由B（3，0），C（0，-3）在直线BC上得： ，解得： 得直线BC的解析式为y=x-3， 如图1，过点D作DM∥y轴分别交线段BC和x轴于点M，N． 设M（m，m-3），则D（m，）， ， ∴-1＜0， ∴当x=时，DM有最大值， ∴， 此时四边形ABDC面积有最大值为； 【小问3详解】 如图1，过A作AK⊥AC交CM于点K，作KH⊥x轴于点H， ∵∠ACM=45°， ∴AC=AK， ∵∠AOC=∠KHA=90°，∠ACO=90°-∠OAC=∠KAH， ∴△OAC≌△HKA（AAS）， ∴AH=CO=3，KH=OA=1， ∴K（2，1）， 设直线CM的解析式为y=kx-3 ∴2k-3=1， ∴k=2， ∴直线CM的解析式为y=2x-3， 联立， 解得x=0（舍去），或x=4， ∴M（4，5） 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，三角形的面积公式等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级10月份质量检测数学试卷 考生注意： 1．全卷共三道大题，总分120分 2．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（   ） A. B. C. D. 2. 是关于的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. 4 D. 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 4. 某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. ，与为二次函数图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于x的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为（　　） A. 9 B. 10 C. 6或10 D. 8或10 7. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则代数式的值（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 若，则二次函数的图象的顶点在 （ ） A. 第一象限; B. 第二象限; C. 第三象限; D. 第四象限 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论①②③④（为任意实数）⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共21分） 11. 将化成的形式，则的值是______． 12. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 13. 如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是_____． 14. 已知函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为________． 15. 九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成两组，在每一组中进行单循环的小组赛（每两个班之间比赛一场），再从每组选出前名班级进行比赛，最后进行决赛得出名次；若组共进行了场小组赛，设组有个班，则可列方程为_________________． 16. 把二次函数的图象向左平移个单位后再向上平移个单位，得到的二次函数解析式为________． 17. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 三．解答题（共69分） 18. 计算 19. 解下列方程． （1）； （2）． 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， （1）求的取值范围． （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如下图所示的坐标系． （1）点坐标为____________________． （2）求抛物线的解析式． （3）一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？ 22. 已知抛物线经过点，且经过直线与轴的交点及与轴的交点． （1）求抛物线的解析式． （2）求抛物线的顶点坐标． （3）若点在第四象限内的抛物线上，且，垂足为，则点的坐标为________． （4）在对称轴上找一点，使的值最小，则最小值是________． 23. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．通过调查市场行情发现销售该水果不会亏本． （1）当售价为60元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？ （3）若某个月的水果销售量不少于400千克，当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？ 24. 已知，如图，抛物线与轴交于点C，与轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点的坐标为， （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值； （3）若抛物线上有一点，使∠ACM=45°，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $